高中数学符号Cu-高中数学竞赛论文建模范文
高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1
.
三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右
俯视图:从上往下
2. 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等
3.
直观图:斜二测画法
4. 斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5. 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积
1.
棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2 . 圆柱的表面积
4. 圆台的表面积
(二)空间几何体的体积
3 . 圆锥的表面积
5. 球的表面积
1. 柱体的体积
2. 锥体的体积
3. 台体的体积 4. 球体的体积
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1. 平面含义:平面是无限延展的
2. 平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的2倍长
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的
四
个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3.
三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
0
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
1. 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3.
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4. 注意点:
①两条异面直线所成的角a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,
点O一般取在两直线中的一条上;
②
两条异面直线所成的角θ∈(0,
?
);
2
③
当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④
两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤
计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 ——
有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
aα a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平
行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、线面平行性质定
理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,
我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,
直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
2、线面垂直的判定定理:一条直线
与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
2、二面角的记法:二面角α-
l
-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、面面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章
直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之
间所成
的角α叫做直线
l
的倾斜角.特别地,当直线
l
与x轴平行或
重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,用字母k表示,也就是 k =
tanα
⑴当直线
l
与x轴平行或重合时, α=0°, k =
tan0°=0;
⑵当直线
l
与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线的
l
倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点
P
1
?
x
1<
br>,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
,x
1
?x
2
,用两点的坐标来表示直线
P
P
12
的斜率:
k?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都
有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那
么它们平行,
即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.
2、两
条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒
数,那么它们互相垂直,即
3.2.1 直线的方程
1、
直线的点斜式方程:
2、、直线的斜截式方程:
3、直线的两点式方程:
4、直线的截距式方程:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
y?kx?b
y?y
1
x?x
1
?
y?
y
2
x?x
2
xy
??1
ab
5、直线的一般式方程:
Ax?By?C?0
(A,B不同时为0)
3.3直线的交点坐标与距离公式
1、两直线交点坐标:联立方程求解
2、两点间
的距离公式:
PP
12
?
?
x
1
?x
2<
br>?
?
?
y
1
?y
2
?
22
3、点到直线的距离公式
点
P
?
x
0
,
y
0
?
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
4、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
:
Ax?By?C
1?0
,
:
,则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B22
第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:
2、点<
br>(1)
(3)
与圆
>
<
圆与方程
圆心为A(a,b),半径为r
的关系的判断方法:
,点在圆外
(2)
,点在圆内
=,点在圆上
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
2、圆的一般方程的特点:
(1) ①
x
和
2
y
2
的系数相同,不等于0; ②
没有xy这样的二次项.
(2)
圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)
、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指
出了圆心坐
标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线:
到直线
的距离为
(1)当
(3)当
,圆:,圆的半径为,圆心
,则判别直线与圆的位
置关系的依据有以下几点:
时,直线与圆
时,直线与圆
相离;(2)当
相交;
时,直线与圆相切;
4.2.2 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当
(3)
当
(4)当
时,圆与圆
时,圆
相离;(2)当
与圆相交;
时,圆与圆外切;
时,圆与圆内切;(5)当时,圆与圆内含;
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
是P、Q、R在<
br>x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
?
x,y,z
?
,
x
、
y
、
z
分别
?
x,y,z
?
,对应着空间直角坐标系中的一点
?
x,
y,z
?
来表
?
x,y,z
?
,
x
叫做点
M的横坐标,
y
叫做点M
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
示,
该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M
的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式
选修1-1,1-2知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.
2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.
3、原命题:“若p,则q” 逆命题: “若q,则p”
否命题:“若,则”
逆否命题:“若,则”
4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
p?q
,则
p
是
q
的充分条件,
q?p
,则
p
是
q
的必要条件.
若
p?q
,则
p
是
q
的充
要条件(充分必要条件).
6、逻辑联结词:⑴且(and)
:命题形式
p?q
;⑵或(or):命题形式
p?q
;
⑶非(not):命题形式
?p
.
5、若
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
”表示;
假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“
全称命题p:;
全称命题p的否定p:
”表示;
p:
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“
特称命题p:;
特称命题p的否定;
第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
即:
的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.
。这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆
图形
标准方程
范围
且
且
、
顶点
、
、
、
轴长
焦点
短轴的长
、
长轴的长
、
焦距
对称性
关于轴、
轴、原点对称
离心率
3
、平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离之差的绝对值等于常
数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为双曲线.即:
。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或,
或,
顶点
轴长
焦点
、
虚轴的长
、
实轴的长
、
、
焦距
对称性
关于轴、
轴对称,关于原点中心对称
离心率
渐近线方程
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
6、平面
内与一个定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,
定
直线
l
称为抛物线的准线.
7、抛物线的几何性质:
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即
.
9、焦半径公式:
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则;
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