高中数学教材知识点回顾

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高中数学教材知识点回顾
老师的话：
同学们，临近高考，你们还需要在数学上下什么功夫，老师告诉你，
回到课本中去

翻 开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被激活，联想由此而产生。课本是高
考命题的 依据，在课本的基础上组合加工和发展。离开书本的复习是无源之水，那么如何运用课本呢？
不是简单的 重复，你们应做到以下6点
1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。不仅要弄懂课本提供 的知识和方法，还要弄清定理、
公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换 < br>2、在解高考训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，
尽可能把问题回归为课本中的例题和习题
3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验 和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中
探寻这些经验、方法和规律的依据
4、注 意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与高考命题
之间的 联系
5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言 的随意
性和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范
6、注意通过对课本题目改变 设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。
现行课本一般是常规解答题 ，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源
等方面加以解释
第一章：集合与简易逻辑
1.元素与集合的关系： .（P4）
2.德摩根公式： .
3.包含关系: （P7）
4.容斥原理: （P23）
5．集合
{a
1
,a
2
,,a
n}
的子集个数共有 个；真子集有 个；

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非空子集有 个；非空的真子集有 个.
6.真值表 （P27）
ｐ ｑ 非ｐ
真 真
真 假
假 真
假 假
7.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，成立
对任何
x
，不成立
8.四种命题的相互关系（P30）

9.充要条件（P34）
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
的 条件.
q
是
p
的 条件
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
的 条件.
q
是
p
的 条件
（3）充要条件：若p?q
，且
q?p
，则
p
是
q
的 条件.
（4）
p
是
q
的充分不必要条件等价于
q
的 条件是
p

反设词






原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
反设词










ｐ或ｑ




ｐ且ｑ




p
或
q

p
且
q


第二章 函数

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1.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ； (2)顶点式 ；
(3)两根式 .
2.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式：
?
；
3.方程
f(x)?0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的
一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
ax ?bx?c?
0(
a?
0)
有且只有一个实根在
2
(k1
,k
2
)
内,等价于
4.闭区间上的二次函数的最值二次函数
f
(
x
)
?ax? bx?c
(
a?
0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最
2
b
处及区间的两端点处取得，具体如下：
2a
b
(1)当a>0时，若
x???
?
p
,
q
?
，则其 最值是 ；
2a
b
若x???
?
p
,
q
?
，则其最值是 ，.
2a
b
(2)当a<0时，若
x???
?
p
,
q
?
，则其最值是 ；
2a
b
若
x???
?
p
,
q
?< br>，则其最值是 ，.
2a
值只能在
x??
5.一元二次方程的实根分布
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：
(1)在给定区间
(??, ??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数
的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为 参数)恒成立的充要条件是 .
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t为参数)恒成立的
充要条件是 .
(3)
f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
恒成立的充要条件是 .
16.函数的单调性（P57）
42

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(1)设
x
1
?x
2
?
?
a, b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x)
在区间
[a,b]
上是增函数的充要条件是 ；
f(x)
在区间
[a,b]
上是减函数的充要条件是 .
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果 ，则
f(x)
为增函数；如
果 ，则
f(x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和
g( x)
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
是 函
数；如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数
y?f[g(x)]
是 函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；反过来，如果一个
函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 函数；如果一个函数图象关于y轴
对称，那么这个函数是 函数．
19.若函数
y?f(x)
是偶函数，则 ；
若函数
y?f(x?a)
是偶函数，则 ，并且
y?f(x)
关于 对称.
20.对于函数
y?f(x)(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,
则函数
f(x)
的对称轴是
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线 对称.
21.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点 对称；若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为 的周期函数.
nn?1
22．多项式函数
P(x)?a
n
x?a< br>n?1
x??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?

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多项式函数
P(x)
是偶函数
?
.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称等价于
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称等 价于
2m
24.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线 对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线 对称.
(3)函数
y?f(x)
和< br>y?f
?1
(
x
)
的图象关于直线 对称.
25.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数 的图象；
若将曲线
f(x,y)?0的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线 的图象.
26．（P60）互为反函数的两个函数的关系：
f(a)?b?________ _________
.
27.若函数
y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数为 ，并不是
y?f
?1
(kx?b)
，而函数
y?f
?1(kx?b)
是 的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,具有性质： .
(2)指数函数
f
(
x
)
?a
,具有性质： .
x
(3)对数函数
f
(
x
)
?
log
a
x
,具有性质： .
(4)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx，具有性质 ：，
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期 ；

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（2）
f(x?a)??f(x)
或
f(x?a)?
1
1
(f(x)?0)
,
(f
(
x
)
?
0)
或
f(x?a)??
f(x)
f(x)
则
f(x)
的周期 ； (3)
f(x?a)?
1
,(f(x)?1)
，则
f(x)的周期 ；
1?f(x)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)< br>且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x< br>1
?x
2
|?2a)
，
1?f(x
1
)f (x
2
)
则
f(x)
的周期 ；
(5)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期 .
30.分数指数幂： （P64）
31．根式的性质：
32．有理指数幂的运算性质：
33.指数式与对数式的互化式：
.
（P76）
34.对数的换底公式：
35．对数的四则运算法则： .（P77）
2
2
36.设函数
f
(
x
)
?
log
m
(
ax?bx?c
)(
a?
0)，记
??
b
?
4ac
.
若
f(x)
的定义域为
R
,则
若
f(x)
的值域为
R
,则 .【对于
a?0
的情形，需要单独检验.】








第三章 数列

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一、数列的分类
1、 （P106）数列的定义：数列是按一定的次序排列的列数，在函数意义下，数列是
定义域为 的函数f(n)当自变量n以1开始依次取自然
数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n )，通常用a
n
代替f(n)，于是数列的一
般形式为a
1
，a2
…a
n
简记{a
n
}，其中a
n
是数列{a
n
}的第n项。
2、 （P106）数列的通项公式：一个数列{a
n}的第n项a
n
与项数n之间的函数关系，
如果可以用一个公式a
n=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的 。
3、 （P109）递推公式：
4、 （P107）数列的分类：
a) 按照项数是有限还是无限来分： 。
b) 按照项与项之间的大小关系来分： 。
c) 按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：
5、S
n
与a
n
的关系：
常见的题型有：
二、等差数列的概念：
1、 等差数列：
（1） （P111）一般地，如果一个数列从第2项起， ，< br>这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d
表示，定义的表达式为 。
（2） （P112）等差数列的通项公式： ，a
n=a
m
+(n-m)d（其中n
与m的大小关系不确定），也可得d=
a
n
?a
1
a?a
m
(n≠1)或d=
n
(n≠m)由
n?1n?m
于a
n
=a
1
+(n-1)d， 可整理为a
n
= ，如果d=0，a
n
是常数；如果d≠0，a
n
是n的一次函数式，那么公差不为0的等差数列的图< br>象是
（3） 等差数列的增减性：d>0
?
{a
n
}为 数列；d<0
?
{a
n
}为 数列；
d=0
?
{a
n
}为 数列。

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（4） （P115）等差数列的求和公式：（由倒序相加法推得）
s
n
=
? 由于s
n
=na
1
+
n(n?1)
dd
d，可整理得s
n
= ，设A=，B=a
1
-，
222
上式可写成s
n
= ，当A≠0（即d≠0）时，s
n
是关于n的二
次函数（其中常数项为0），那么(n ，s
n
)在二次函数y=Ax
2
+Bx的图象上，
因此，当d≠0时 ，数列s
1
，s
2
，s
3
…s
n
的图象为 。
? 注意①上面的数列s
1
，s
2
，s
3
…s
n
不为等差数列{a
n
}；
②由二次函数的性质可以得出结论：当d>0时s
n
有最 值；当d<0
时，s
n
有最 值；
③数列{a
n
}为等差数列的充要条件是前n项和 ；
④显然若数列{a
n
}的前n项和y=An
2
+Bn+C（C≠0）不是等 差数列，
而是
? 一个等差数列，只有五个基本元素， a
1
，a
n
，d，n，s
n
知道其中任意三个元
素 ，通过解方程（组）均可求出另外二个元素，即“知三求二”。
? 常用的求，s
n
的最大值或最小值的三种方法有：

（5） （P113）等差数列中 ：任意两个数a、b有且只有一个等差中项即，A= ，
a，A，b成等差数列的充要条件是 ，因此，两个数的等差中项
就是这两个数的算术平均数。
2、 等差数列的性质：
（1） 有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之
和；特别地 ，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即
a
1
+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
n
+a
n-2
=…2a
中

（2） 若m，n，p，R∈N
*
，且m+n=p+k，则 ，其中a
m
，a
n
，a
p
，
a
k
是数列中的项，特别地，当m+n=2p时，有 。这条性质，可
以推广到有三项 ，四项……等情形，使用该性质时，一要注意等式两边下标

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和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多的。
（3） 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列
是 数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。
（4） 等差数列中连续几项之和构成的新数列是 数列。
（5） 若数列{a
n
} 与{b
n
}均为等差数列，则{ma
n
+kb
n
}为 数列，其中m，k均
为常数。
（6） 等差数列{a
n
}中，若a
n
=m，a
m
=n(m≠n)，则a
m+n
=
（7） 等差数列{a
n
}中，若s
n
=m，s
m
=n(m≠n)，则s
m+n
=
（8） 等差数列 {a
n
}中，若s
n
=m，s
m
=n(m≠n)，则sm+n
=
（9） 若{a
n
}与{b< br>n
}均为等差数列，有前n项和分别为s
n
与s′
n
，则a
m
?_____

b
m
（10） 项数为偶数2n的 等差数列{a
n
}，有s
2n
n(a
1
+a
2n< br>)=…=n(a
n
+a
n+1
)，
s
奇
s
偶
-s
奇
= ；
?_______

s
偶
项数为奇数(2n-1)的等差数列{a
n
}，有s
2n-1
=(2n-1)a
n
(a
n< br>为中间项)；
s
偶
-s
奇
= ；
3、 等差数列的判定方法：
（1） 定义法：
（2） 中项公式法： ；
（3） 通项公式法： ；
（4） 前n项和公式法： .
三、等比数列：
1、 等比数列：
（1） （P122）一般地，如果一个数列从第2项起， ，这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表
s
奇
?__ ______

s
偶

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示(q≠0)可表示为 (其中n∈N
*
，n≥2).
（2） 等比数列的通项公式 ，其中n>m也可以n≤m，
由于a
n
=a
1
q
n-1可以整理为a
n
=
?
?
a
1
?
a1
?
n
?
q，因此，等比数列{a}，即{·q
n
}中
n
?
q
?
q
?
的各项所表示的点离散地分布在第一 象限或第四象限，当q>0时，这些点在
曲线y=
a
1
·q
x
上。
q
（3） 等比数列的增减性：

?
{a
n
}为递增数列

?
{a
n
}为递减数列



?
{a
n
}为常数列

?
{a
n
}为摆动数列
（4） （P125）等比数列的求和公式(可由错位相减法推得)
s
n
=
? 有关等比数列的求和问题，当不能确定“q≠1”时，应分q=1和q≠1来讨
论。
? 一个等比数列，共有5个基本元素，a
1
，a
n
，n，q，s< br>n
，“知三求二”。
a
1
(1?q
n
)
? 等比数列前n项和公式的结构特点，由s
n
=(q≠1)可以化为
1?q
s< br>n
=
a
1
aaa
-
1
·q
n
，其中q
n
的函数-
1
与
1
互为相反数，这是公式的1?q1?q1?q1?q
一个很重要的特点，注意前提条件是q≠0，q≠1。
（5） （p124）等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a< br>与b的等比中项，如果G是a与b的等比中项，那么 因
此，G= ，所以必有ab>0。
2、 等比数列的性质：
（1） 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积

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特别地，若项数为奇数，等于中间项的平方。即
a
1
·a
n
=a
2
·a
n-1
=a
3
·a
n-2< br>=a
2
中

（2） 若m，n，p，R∈N
*
，且m+n=p+k，则 ，特别地，当m+n=2p
时 类似于等差数列，在使用该性质时，不 仅应注意等式两
边下标和相等也应要求等式两边作积的项数应是一样多的。
（3） 在等比数 列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数
列仍然是等比数列，剩下的项按原来的 顺序构成的数列不一定是等比数列，
一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二 次幂，
一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂。
（4） {λa
n
}(λ≠0)，{|a
n
|}皆为等比数列，公比分别为q和|k|
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比k次幂。
例如，以q为公比 的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比数列，公比
为
1
，{a
2
n
}也是等比数列，公比为q
2

q
（5） 等比数列中连续n基之积构成的新数列仍然是等比数列。
（6） 若数列{a
n
}与 {b
n
}均为等比数列，则{m·a
n
·b
n
}与
?
m是不为零的常数。
（7） 已知三个数成等差数列可设三个数为 。已
知三个数成等比数列可设三个数为 .
3、 等比数列的判定方法：
（1） 定义法：
（2） 通项公式法： ；
（3） 中项公式法： ；
（4） 前n项和公式法： 。
四、求数列通项公式的方法
n?1
1、 ： 如
a
1
?
2,
a
n
?
2
?
3
?a
n?1
(
n?
2)

?
ma
n
?
?
仍为等比数列，其中
b
?
n
?

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2、 ：如a
1
?1,(2n?1)a
n
?(2n?3)a
n?1
(n?2)

3、 ：如
a
1
?
3,
a
n?1
?
2
a
n
?
5
4、 ：如
a
1
?< br>3a
n?1
1
,a
n
?
(
n?
2)

2a
n?1
?3
2
5、 ：如
a
1
?3,a
n?1
?a
n

6、 ：如
S
n
?2
a
n
?1

五、数列求和的常用方法（关键是找数列的通项结构）：
（1） ：如等差、等比数列
（2） ：如a
n
=1n(n+1)
（3） ：如a
n
=(2n-1)2
n

（4） ：如a
n
=
nC
100

（5） ：如a
n
=2n+3
n

（6） ：如求数列1，1+2
,?
，1+2+2
2
+
??
2
n-1
,?
,的前n 项和
六、求数列{a
n
}的最大、最小项的方法：
① ： 如a
n
= -2n
2
+29n-3
n
9
n
(n?1)
② ： (a
n
>0) 如a
n
=
n
10
③ ：如a
n
=
n

n
2
?156

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第四章 三角函数
一、三角函数的概念（P4）
终边相同的角，区间和象限角
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同
三角函数线（P14）
正弦线：
余弦线：
正切线：
注：三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函 数值的一种图示方法。利用三角函数
线在解决比较三角函数值大小、解简单三角方程及三角不等式等问题 时，十分方便。
1、三角函数的定义（P13）：
以角
?
的顶点为坐标原 点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角
?
的终边上任取
一个异于原点的点
P(x,y)
，点P到原点的距离记为
r
，
则sin
?
= ， csc
?
=
cos
?
= ， sec
?
=
tan
?
= ， cot
?
=
2、
弧长公式与扇形面积公式（P8）

弧度制与角度制的换算：


L
弧长
= =
S
扇形
=
=
=
3、同角三角函数基本关系式（P24）
平方关系是： ， ， ；

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倒数关系是： ， ， ；
商数关系是： ， 。
4、诱导公式（P28）
可用十字口诀概括为：
如：
sin(
3
?
15
?
?
?
) ?
，
ctg(?
?
)
= ，
tg(3
?
?
?
)?
。
22

5、特殊角的三角函数值：
0
?

Sin
?

Cos
?

Tan
?

Cot
?

二、三角基本公式
?

12




?

6




?

4




?

3




7
?

12




?

2




?





3
?

2








1、两角和与差的三角函数公式：（P34）
sin(
?
?
?
)?


cos
?
(?
?
)?

tan(
?
?
?
)?

2、二倍角公式： （P42）
sin2
?
=
cos2
?
= = =
tan2
?
= 。
3、半角公式是：（P45）

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?
=
2
?
cos=
2
?
tan= = = 。
2
sin
4、．升幂公式是：
1?c os
?
?___________

1?cos
?
?__________
。
_

5、 降幂公式是：
sin
?
?
________________

2
cos
2
?
?_________________
。
6、万能公式：
sin
?
= cos
?
= tan
?
=
7、辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
?__________
（其中 辅助角
?
与点（a,b）在同一象限，且
tg
?
?
b
）
a
三、三角函数的图象与性质、变换（P48）
1、正弦、余弦、正切函数的图象和性质可归纳为下表：
三角
函数

图象

定义域
值域
最值



y?sinx








y?cosx








y?tanx

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奇偶性
周期性
有界性


单调性



对称性












（其中A?0，
?
?0）
2、函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)?B
（P65）
的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位
是 ，初相是 ；
3、函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k(A?0,
?
?0,
?
?0,k?0)
的图象的基本变换（P60）
（1）振幅变换：
（2）周期变换：
（3）相位变换：
（4）上、下变换：
4、五点描点法
?
x?
?

x

0

?

2

?


3
?

2

2
?

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y


5、已知三角函数求角（P73）
（1） 当
x?
时符合条件 的角
x
，叫做实数
a
的反
正弦，记作 ，即
（2） 当
x?
时符合条件 的角
x
，叫做实数
a
的反
余弦，记作 ，即
（3） 当
x?
时符合条件 的角
x
，叫做实数
a
的反
正切，记作 ，即
四、与三角形有关的几个重要结论（P127）
1、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：
2、余弦定理第一形式：


余弦定理第二形式：


3、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周
长用p表示， 则你能写出几种求面积的形式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、三角形中的射影定理：

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5、在△ABC 中：
sin(A+B)=_________cos(A+B) ?_________tan(A+B) ?__________
sin
A?BA?B

_
?_______

tan?
_______
22

tanA?tanB?tanC?____________________

_< br>tan
ABBCCA
tan?tantan?tantan?_______;

222222
6、在△ABC中有
⑴
A?B?________?___ ______;cosA?cosB?_________;

⑵ A，B，C成等差数列?_________;a,b,c
成等差数列
?___________
；a, b, c 成等比数列
?__________;

⑶
tanAtanB?1??ABC
是 三角形；
tanAtanB?1??ABC
是 三角形；
tanAtanB?1??ABC
是 三角形；
附：几个重要式子与结论
（1）sin(
?
?
?
)sin (
?
?
?
)= ， cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
) = = 。
（2）
4sin
?
sin(60
?
?
)sin(60
?
?
)
= ；
00

4co s
?
cos(60
?
?
)cos(60
?
?
)
= ；
00

tan?
ot
(60
?
?
)tan(60
?
?
)
= 。
00
（3）
cot
?
?tan
?
= 。
（4）若
a?(0,
?
2
)
，则
____?s ina?cosa?_____;sina?a?tana
（可由三角函
数线的关系得到）；
第五章 平面向量

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1．基本概念：（P94）
向量的定义：
向量的模：
零向量：
单位向量：
相反向量：
共线向量：
相等向量：
2． （P97）加法与减法的代数运算：
(1)
A
1
A
2
?A
2
A
3
?
?
?A
n?1
A
n?A
1
A
n
．
(2)若a=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则a
?< br>b= ．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量
AB
=
a
、
AD
=
b
为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线 的向量
a
+
b
= ,
b
－
a
= ,
a
－
b
=
且有︱
a
︱－︱
b
︱≤︱
a
?
b
︱≤︱
a
︱+︱
b
︱．
3．（P103）实数与向量的积： 。
(1)︱
?
a
︱=︱
?
︱·︱
a
︱;
(2) 当
?
＞0时，
?
a
与
a
的方向 ；当
?
＜0时，
?
a
与
a
的方向 ；当
?
=0时，
?
a
= ．
(3)若
a
=（
x
1
,y
1
），则
?
·< br>a
= ．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量
a
共线的充要条件是 ．
(2) 若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则
a
∥b
?_______ ________
．

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（P105）平面向量基本定理：
4．（P113）P分有向线段
P
1
P
2
所成的比： 设P
1
、P
2
是直线
l
上两个点，点P是
l< br>上不同于P
1
、P
2
的任意一点，则存在一个实数
?
使 ，
?
叫做点P分有向线段
P
1
P
2
所成的比。
当点P在线段
P
当点P在线段
P

?
0；
?
0；
1
P
2
上时，
1
P
2
或
P
2
P
1
的延长线上时，
5、（P114） 线段的定比分点公式：
设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
?
?
PP
2
，则
?
OP?
1
OP
1
?
?
OP
2
（
）.
t?
?(1?t)OP
?< br>OP?tOP
12
1?
?
1?
?
中点坐标公式： ；
三角形的重心坐标公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1< br>,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的
坐 标是 .
6、 （P116）向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a
与b，它们的夹角为?
，则
a
·b= ．
其中 称为向量b在
a
方向上的投影．
（3）．（P117）向量的数量积的性质：
若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则e·
a
=
a
·e= (e为单位向量);
a
⊥b
?

?
（
a
，b为非零向量）;
︱
a
︱= ;
cos
?
= = ．
(4) ．向量的数量积的运算律：

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a
·b=b·
a
;(
?
a
)·b=
?
(< br>a
·b)=
a
·(
?
b);(
a
＋b)·c =
a
·c+b·c．
7、（P121）点的平移公式 ：
?OP
'
?OP?PP
'
.
注:图形F上的任意一点P (x，y)在平移后图形
F
'
上的对应点为
P(x,y)
，且
PP
的
坐标为
(h,k)
.
8、“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点的坐标是 .
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h, k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式
''
' ''
'
为 .
(3) 图象
C按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析 式
y?f(x)
,则
C
的函数
解析式为 .
(4)曲线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k )
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为 .
''
''
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量为 .
9．常用结论：
（1）
AB?BC?CA?0
;
AB?BC?AB?BC?AB?BC;

（2）三角形四“心”向量形式的充要条件，设
O
为
?ABC
所在平面上一点 ，则
1、
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
2、
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
?

OG?
222
1
(
OA?OB?OC
)
.
3
3、
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC? OC?OA
.
4、
O
为
?ABC
的内心
?aOA ?bOB?cOC?0
.(
a,b,c
为角
A,B,C
所对边长)
（3）
a?b,b?c?a?c
，但
ab,bc?ac
；一般地， 若a,b,c为非零向量，则
a?(b?c)
与
(a?b)?c
不一定相等，
a?(b?c)?(a?b)?c?
a 与 c 共线（注意“·”
的不同意义）；

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（4）设非零向量
a?
(< br>x
1
,
y
1
),
b?
(
x
2
,
y
2
)
, a 与 b 的夹角为
?
，则
?
?[0,
?
],

当a 与b不共线时，a·b=0
?
?
为直角，a·b>0
?
?
为 锐角，a·b<0
?
?
为
钝角。也就是说，当夹角为锐角时，注意检验夹角为 零度角的时候；当夹角为钝角
角时，注意检验夹角为
180?
度角的时候。
（5）异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围
依次是 ；
直线的倾斜角，L
1
到L
2
的角，L
1
与L< br>2
的夹角的取值范围
依次是 ；
（6）反正弦、反余弦、反正切函数的值域分别是 ；
（7）直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。
当直线
L
的方向向量为
m?
(
x
0
,
y
0
)时，其斜率为 ；
当直线L斜率为 k 时，其方向向量为
（8）设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
? x
1
,y
2
?y
1
)
.











第六章 不等式

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一、（P4）不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则
要改变。 < br>②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，
要注意分类讨论 。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的
图象），直 接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大
小
二、（P9）均值不等式
两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若
a,b?0
，则
基本变形：
①
a?b?
；
(
22
11
?
。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号 方向
ab
a?b
?
ab
（当且仅当
a?b
时取等号 ）
2
a?b
2
)
?
；
2
a
2
?b
2
a?b
2
?()
②若
a,b?R
，则
a
?
b
?
2ab
，< br>22
a?ba
2
?b
2
即：
a,b,c
均为 正数，则（一正，二定，三相等）；
?ab??
11
22
?
ab< br>2
注意：（1）对于函数
y
?
ax
?
当
b? 0
时在
(
??
,
?
b
(a?0)

x
bbb
)
或
[,??)
上都分别单调递增，在
[
?
,0)
或
aaa

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(0,
b
0]
上都分别单调递减；
a
当
b?0< br>时在
(??,0)
或
(0,??)
上都分别单调递增
（2）
(
a?b
)(
c?d
)
?
(
ac?bd< br>)(
a
,
b
,
c
,
d?R
)
（柯西不等式）
22222
基本应用
①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当
ab?p
（常数），当且仅当 时， ；
当
a?b?S
（常数），当且仅当 时， ；
常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数
y?4x?
91
(x?
)
的最小值 。
2?4x2
11
?
的最小值 。
xy
②若正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
三 、绝对值不等式：
内容：
?

?

注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式：
（1）设
a,b?R
，则
a?
0 ,(
a?b
)
?
0
（当且仅当 时取等号）
22
（2）
|a|?a
（当且仅当 时取等号）；
|a|??a
（当且仅当 时取等号）
（3）
a?b,ab?0?
1111
?
；
??
；
abab
五、（P12）证明不等式常用方法：
（1）比较法：
作差比较：
A?B?0?A?B

作差比较的步骤：

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⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：
由因导果。
（3）分析法：
执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：
正难则反。
（5）放缩法：
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：
a
2
?1?____
；
n(n?1)?____

⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利 用基本不等式，如：
log3?lg5?__________________________；
n(n?1)?__________________

⑷利用常用结论：
Ⅰ、
k?1?k?
1
?__________
；
k?1?k
11
；
?_____________?___________
（程度大）
22
kk
1
Ⅲ、
2
?___________________
； （程度小）
k
Ⅱ、
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难 为易，化繁为简，常用
的换元有三角换元和代数换元。如：

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已知
x?y?a
，可设 ；
已知
x?y?
1
，可设 (
0?r?1
)；
22
222
x
2
y
2
已知
2
?
2
?
1
，可设 ；
ab
x
2
y
2
已知
2
?
2< br>?
1
，可设 ；
ab
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、（P17）不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、
ax?b(a?0)
：⑴若
a?0
，则 ；⑵若
a?0
，则 ；
Ⅱ、
ax?b(a?0)
：⑴若
a?0
，则 ；⑵若
a?0
，则 ；
（2）一元二次不等式：
一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；
注：要对
?
进行讨论：
（5）（P20）绝对值不等式：
若
a?0
，则
|x|?a?
；
|x|?a?
；
注意：(1).几何意义：
|x|
： ；
|x?m|
： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若
a?0
则
|a|?
；②若
a?0
则
|a|?
；③若
a?0
则
|a|?
；
（
2
）< br>f
?
x
?
?g
?
x
?
与

同解

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f
?
x
?
?
x
?

与

同解

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
即
f
?
x
?
?g
?
x
?
?f
2
?
x
?
?g
2
?
x
?< br>?
?
?
f
?
x
?
+g
?
x
?
?
?
?
?
f
?
x
?
- g
?
x
?
?
?
>0

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通常变形为整式不等式；
⑴
f(x)f(x)
?0?
；⑵
?0?
；
g(x)g(x)
f(x)f(x)
?0?
；⑷
?0?
；
g(x)g(x)
⑶
（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是
这个不 等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画
在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论 .如果遇到下述情况则一
般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行
讨论. < br>③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的
一元二次方程 根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为
x
1
,x
2
（或更
多）但含参数，要分
x
1
?x
2
、
x
1
?x
2
、
x
1
?x
2
讨论。
（9）指数不等式:
当a>1时,
a
f
?
x
?< br>>a
g
?
x
?
与 同解;

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当0（10）对数不等式:
当a>1时,
log
当0


















a
f
?
x
?
>a
g
?
x
?
与 同解.
a
f
?
x
?
>log
a
g
?
x
?
与不等式组 同解;
log
a
f
?
x
?
>log
a
g
?x
?
与不等式组 同解.

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第七章 直线与圆
（P34）1、斜率公式： （
P
1
( x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2,y
2
)
）.
（P38）2.直线的五种方程
（1）点斜式
（2）斜截式 .
（3）两点式
(4) 截距式
（5）一般式 .
3.（P45）两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k< br>1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x? b
2

两直线平行的充要条件是：
两直线垂直的充要条件是：
(2 )若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,且A
2
、B
2
、C
2
都不为零,
两直线平行的充要条件是：
两直线垂直的充要条件是：
4.（P47）夹角公式： .(
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是 .
5.
l
1
到
l
2
的角公式： .(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是 .
6．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
( x
0
,y
0
)
的直线系方程为 (除直线
x?x
0
),其
中
k
是待定的系数；经过定点P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为 ,其中
A,B
是待
定的系数．

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(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系
方程为 (除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系
方程．与直线
Ax?By? C?0
平行的直线系方程是 (
?
?C
)，
λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程
是 ,λ是参变量．
7.（P51）点到直线的距离： (点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l
：
Ax?By?C?0).
8. （P57）
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线< br>l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表 示的平面区域是：
若
C?0
，则用原点代入；若
C?0
，则用另外特殊点代入即得
9. （P75）圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 .
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 【圆的直径的端点
是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
】.
10. 圆系方程
(1 )过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程
是 ,λ是待定的系数．
(2)过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2< br>x?E
2
y?F
2
?0
的交点的
圆系方程是 ,λ是待定的系数．
（3）两圆相交弦所在直线方程的求法：

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圆C
1
的方程为：x
2
+y
2
+D1
x+E
1
y+C
1
=0.
圆C
2
的方程为：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y +C
2
=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：
11.点与圆的位置关系，点
P(x
0
,y
0
)
与 圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种：
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
；
d?r?
；
d?r?
.
12.直线与圆的位置关系
直线< br>Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
________?相离?_________
；
________?相交?_________

________?相切?_________
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
13.两 圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
< br>____________?外离?_____条公切线
____________?外切?__ ___条公切线
____________?相交?_____条公切线
__________ __?内切?_____条公切线
____________?内含?_____条公切线

14.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
；

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.
当
(x
0
,y
0
)
圆外时, 表示过两个切点的切
点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0< br>?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时
必有两条切线，注意不 要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为 ；
②斜率为
k
的圆的切线方程为 .











222

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第八章 圆锥曲线
x
2
y
2
1、（P92）椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是 .
ab
x
2
y
2
2．（P97）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式： .
ab
3、椭圆的的内外部
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部，则 .
ab
x2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)< br>在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部，则 .
ab
x
2
y
2
4.（P104）双曲线
2?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式：
ab
5.（P108）双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y< br>2
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?
1
?渐近线方程： .
ab
(2)若渐近线 方程为
y??
xy
b
x
?
??0
?
双曲线 可设为 .
ab
a
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?
1
有公共渐近线，可设为 （
??0
，焦点在x
ab
轴上；
??0
，焦点在y轴上）
（4）焦点到渐近线的距离为
6. （P115）抛物线
y
?
2px
的焦半径公式
2
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径 .
过焦点弦长 .
7.抛物线
y
?
2px
上的动点可设为
2
2

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b
2
4 ac?b
2
)?
8.二次函数
y?ax?bx?c?a(x?
(a? 0)
的图象是抛物线：
2a4a
2
（1）顶点坐标为 ；
（2）焦点的坐标为 ；
（3）准线方程是 .
9.直线与圆锥曲线相交的弦长公式为
端点A
(
x
1
,
y
1
),
B(
x
2
,
y
2
)
， 【
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率】.
10.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是 .
（2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴 对称的曲线是
11、焦点三角形：重视焦半径公式、三角形中正余弦定理和合分比定理等的应用
x
2
y
2
（1）若椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
，
F
1
,F
2
分别是其左、 右焦点，B是其短轴
ab
端点，P是椭圆上除长轴端点A
1
、A
2< br>的任一点，则
①
?F
1
PF
2
的最大值为
②
S
?F
1
PF
2
?

________ __
1
|
F
1
F
2
|?|
PH
| ?
c
|
y
0
|?__________
，其最大值为
2
x
2
y
2
（2）若双曲线方程为
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
，
F
1
,F
2
分 别是其左、右焦点，P是椭圆
ab
上除实轴端点A
1
、A
2
的任一点，则
①
S
?F
1
PF
2
?________

②焦点三角形的内切圆的圆心（即三角形的内心）切实轴于顶点
（3）抛物线
y
?
2px
的焦点弦性质
2
已知AB是抛物线
y?
2
px
(
p?
0)
的焦点弦 ，且
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，直线AB的
2

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倾斜角为α，点F为抛物线的焦点，则
⑴
y
1
y
2?______,
x
1
x
2
?_______

⑵
AB?____________?___________

⑶
S
?AOB
?________

⑷


11
?
为定值

__________
|AF||BF|
⑸以AB焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线 （以AB焦点弦为直径的圆必与椭
圆的准线 ，以AB焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线 ）
（6）过A准线的垂线于A
1
，过B准线的垂线于B
1
，则
?
A
1
FB
1
?_______

（ 7）O为坐标原点，则A、O、B
1———————
（O为中点）（椭圆与双曲线有类似性质）
（8）抛物线上不存在两点关于焦点弦所在的直线对称
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
1. 给出直线的方向向量
u?
?
1,k
?
或
u?
?
m,n
?
；
2. 给出
OA?OB
与
AB
相交,等于已知
OA?OB< br>过
AB
的
??
?
3. 给出
PM?PN?
0
,等于已知
P
是
MN
的 ;
4. 给出
AP?AQ?
?
BP?BQ
,等于已知 ;
5. 给出以下情形之一
①
??
ABAC
,
??
②存在实数
?
,
使
AB
?
?
AC,

??
?
③若存在实数
?
,
?
,且
?
?
?
?1,使
OC
?
?
OA
?
?
OB
,
等于已知
A,B,C
.
OA?
?
OB
，等于已知
P
是
AB
的 定比分点，
?
为定比，即
1?
?
6. 给出
OP?

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7. 给出
MA?MB?0
,等于已知
MA?MB
,即
?AMB
是 ,给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是 , 给出
MA?MB?m?0
,等于已
知
?AMB
是 ,
??
?
MAMB
?
8. 给出
?
?
?
?
?
MP
,等于已知
MP
是
?
MAMB
?
??
9. 在平行四边形
ABCD
中 ，给出
(AB?AD)?(AB?AD)?0
，等于已知
ABCD
是
10. 在平行四边形
ABCD
中，给出
AB?AD?AB?AD
， 等于已知
ABCD
是
11. 在
?ABC
中，给出OA
2
?OB?OC
22
，等于已知
O
是
?A BC
的 ；
12. 在
?ABC
中，给出
O A?OB?OC?0
，等于已知
O
是
?ABC
的 ；
13. 在
?ABC
中，给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知
O
是
?ABC
的 ；
14. 在
?ABC
中，给出
OP?OA?
的 ；
15. 在
?ABC
中，给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,
等于已知
O
是
?ABC
的 ；
16. 在
?ABC
中，给出
AD?








?
(
AB
AB
?
ACAC
)
(
?
?R
?
)
等于已知
AP< br>通过
?ABC

1
AB?AC
,等于已知
AD
是
?ABC
中 ;
2
??

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第九章 直线、平面、简单几何体
Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

?
?
?
?
?
?
a,
?
?
??ab
a
ab

?

?


b
a?
?
,b?

?
?
??

?
?
?
b
?


?a
?

a?
?
,b?
?

A b
a
?
b?A



?
a


a
?
,b
?

??
?
?
?
?
?
公理4

ab,bc
?ac
线线∥

线面平行判定

线面平行性质

线面∥
?
?

?
面面平行判定1


面面∥
面面平行性质

面面平行性质1

?

?
?
?

?
?

?
?
a?
?
?

?
?
?
?b
?
?
a
?
?ab
?

?
?a?
?
?
?
?


?
?

?

?a
?

2、 线线、线面、面面垂直关系的转化：

?
?
a
?
b?O
?

l?a,l?b
?
?
a,b?
?
?l?
?

?
?
?
?
?
?

a?
?
?
a?
?

面面⊥
三垂线定理、逆定

理
线线⊥
PA?
?
,AO为 PO
在
?
内射影
a?
?
则a?OA?a?PO
a? PO?a?AO
l?
?
线面垂直判定1

线面垂直定

义
线面⊥
?
?
?
面面垂直判

定
面面垂直性质，推2论


?
?
a?
?
?

?l?a

?< br>?
?
?
?
?
b
?
?a?
?

a?
?
,a?b
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?

?
?
?
?a?
?

?
a
?
?

面面垂直定义

?
?
?
?
l，且二面角
?
?
l
?
?
?
成直二面角
?
?
?
?
?

?

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3、平行与垂直关系的转化：
ab
?
a?
?
?
?b?
?
?
线面垂直 判定2

线面垂直性质2


线面⊥
a?
??
?
?
?

?
a?
?
?

面面∥
线线∥
面面平行判定2

面面平行性质3

a?
?
?
b?
?
?
?
?ab

?

?
?
a?
?

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”其中核心的位
置关系是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度
与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时， 尽可能地先从图形中找出线面垂直的
位置关系
Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法
三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算”
即：（1） ； （2） ；
（3） （4）
1 、异面直线所成的角θ：
（1）定义：如图
（2）范围：
（3）求法：


注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，
把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。
这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。
（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑 是否异面垂直，即可通过证明垂
直的位置关系得到90°的数量关系
2、直线与平面所成的角：
（1）定义：如图
（2）范围：
?
a?
?
?

（
?
?0?时，b∥
?
或b?
?
）

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（3）求法：

即三余弦定理： （其中
?
、
?
、
?
分
别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)
3、二面角：
（1）定义 ：
（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法


另外，还有
公式法：①、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）
②、利用异面 直线上任意两点间的距离公式
l
2
?m
2
?n
2
? d
2
?2mncos
?

向量法：最后 是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后
判定，若方向是同进同出，则是其补角，若是 一进一出，则就
是此角
注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线
（2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形
（3）若是无棱二面角，一种办法是作出 交线，利用结论：若三个平面两两相交于
在三条直线，则三条直线平行或相交于一点，即要么作平
行线，要么延长相交，就能作出交线。
另外，也可用面积射影公式
3、空间距离：
从各种距离的定义上看，它们基本上是将空间距离转化为两点间距离——构造三角
形、 解三角形、求该线段的长，即求距离时，应注意运用化归与转化思路：面面距→线
面距→点面距→点点距 。求点到面的距离是重点，求异面直线的距离是难点。
（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”
（2）给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证（先定性），后计算（后定量）
（3）线面距、面面距都转化为点面距
（4）如何求点面距？共有两大类办法

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第一类：作射影
①、利用面面垂直
②、熟知一些关于三棱锥P-ABC的顶点P在底面上的射影O的结论
若PA=PB=PC，则O为△ABC的 心；
若侧棱与底面所成的角相等，则O为△ABC的 心；
若P到△ABC的三边距离相等，则O为△ABC的 心；
若侧面与底面所成的角相等，则O为△ABC的 心；
若PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB且O为△ABC的 心；
若PA、PB、PC两两互相垂直，则O为△ABC的 心
③、如果一个角
?AOB
所在平面外一点P到角的两边距离相等（或
，那么这一点在平面上的射影在 上；
?POA??POB
）
第二类：不作射影
①、 ，转化为锥体高
②、 （
d
为P到面的距离，
n
为平面的法向量）
③、转化法，如果求这 个点到平面的距离非常困难的情况下，可以利
用平行转化（即转化为面的平行线上的其它特殊点）
或分点转化（即转化为平面的斜线上的其它点，如中点）
Ⅲ、简单多面体与球
1、棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）

侧棱垂直底面 底面为正多边形
斜棱柱 直棱柱 正棱柱




?
侧棱都相等；
C
1
?

?
侧面是平行四边形；
?
对角面是平行四边形；
A
1
B
1

?
性质
?

两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
?
D C
?
S
侧
?直截面周长?侧棱长；

?
A B
?
?
V
柱
?底面积?高?直截面面积?侧棱长。

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注：（1）S
侧
=各个侧面面积之和
（2）V=
1
S?h
，其中h是某一侧棱到其相对侧面的距离，S是这一侧面的面积
2
（3）直棱柱的一个很重要的性质是：侧面与底面垂直的面面垂直关系
2、棱锥（底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

棱锥
底面是正多边形，顶点
在底面的射影是底面的中心
正棱锥

1
S
底面积?高
3



正棱锥的性质：

l
—侧棱 a—底边长 h—高，h’—斜高


l h h’
R—底面正多边形半径 r—边心距
D C
α—侧面与底面成角

V
锥
?
?
—侧棱与底面成角，?BOE?

180°
n

r
α
R O θ E
A
a
B
?< br>侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形
?
?
四个直角三角形（如图所示）及元 素之间的关系
?
Rt?SOBh?l
2
?R
2
?h'sin
?
?lsin
?

?
?
S
2

1
2
r
222
?
Rt?SOEh' ?h?r?l?a?
?
h
1
O
2
4cos
?
?
S
1
2
a
h
1
?
222
O
1

R?l?h?r?a?
?
Rt?SEB
180°
4
2sin
?
S
n
?
O
?
?
Rt?OEB


如果棱锥被平 行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截
得的棱锥的高与已知棱锥的高的平 方比。
S
正棱锥侧
?
1
ch'(c—底面周长)
2

即

S
截
S
底
h
?
12
h
2

如图所示，S
1
、S
2
是两个平行截面且
?
?
O
2
O
1
O
1< br>O

则S
1
?
S
2
?
?S
1?
?

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3、球（半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫
做球体，简称球）


?
22
?
球心和截面圆心的连线垂直于截面，且r?R?d

O
1

r
?

d
?
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
R
?

性质
?
经过两点的大圆的劣弧长度叫做两点的球面距离
O
?
（海里：海面上,地球球心角1'所对的大圆弧长，1海里?）
?
4
3
?< br>2
S?4
?
RV?
?
R
球面球
?
3
?

θ—纬度角（OP与赤道大圆面所成角）

N
α—经度角（以SN为棱的二面角）

注：
P

1、求A、B两点间的球面距离的方法与步骤：

θ
O
（1） 计算线段AB的长；（在小圆上求）
W
E
α
（2） 在大圆内，计算弦AB所对的圆心角
?
的大小
（3） 利用弧长公式求劣弧长，即球面距离
l?
?
R
（R
为球半径）
S
2、球的切接问题
（1）球内接长方体的体对角线等于球的直径；
（2）若正方体的棱长为
a
，由其内切球的直径是 （即为棱长）；棱切球的直径
是 ；（即为面对角线长）；外接球的直径是 （即为体对角线长）
（3）若正四面体的棱长
a
，则其外接球的半径是 ；内切球的半径是
外接球与内切球的半径之比为 。
另外：空间向量与立体几何的综合
1、异面直线所成角
rr
rr
|a?b|
cos
?
?|cos?a,b?|
=
rr?
|a |?|b|
oo
|x
1
x
2
?y
1
y2
?z
1
z
2
|
x?y?z?x
2
? y
2
?z
2
2
1
2
1
2
1
222

rr
b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方（其中
?
（
0?
?
?90
）为异面直 线
a,
向向量）
2.直线
AB
与平面所成角
?
? arc
sin
AB?m
|AB||m|
(
m
为平面
?
的法向量).
m?n
3.二面角
?
?l?
?
的 平面角
?
?arccos
m?n
或
?
?arc
co s
（
m
，
n
为平面
?
，
?

|m||n|
|m||n|
的法向量）

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4.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO 与AB所成的角为
?
1
，
AB与AC所成的角为
?
2
，AO与AC所成的角为
?
．则
cos
?
?cos
?1
cos
?
2
.
5.异面直线间的距离
d?|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量 为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
|n|
为
l
1
,l
2
间的距 离).
6.点
B
到平面
?
的距离
d?
|AB ?n|
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过面?
的一条斜线，
A?
?
）.
|n|

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2.分步计数原理（乘法原理）

（P88）3.排列数公式
第十章 排列、组合与二项式定理
（P84）1、分类加法原理（加法原理）

A
n
m
= .(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．注:规 定
0!?1
.
4.排列恒等式
mm?1nn?1nmmm?1
（1）
A
n
?nA
n?1
；（2）
nA
n
?A
n?1
?A
n
；（3）
A
n?1
?A
n
?mA
n
；
(4)
1!?2?2!?3?3!?
5.（P96）组合数公式
?n?n!?(n?1)!?1
.
A
n
m
C
=
m
= (
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
A
m
m
n
6.组合数的两个性质
mm
m?10
(1)
C
n
= ;(2)
C
n
+
C
n
= ；注:规定
C
n
?1
.
7.组合恒等式
n
n< br>m?1
rrrrr?1
r
n
（1）
C?C
n?1； （2）
?
C
n
=
2
； （3）
C
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
；
m
r?0
m
n
135
(4)
C
n
?C
n
?C
n
?
123
(5)
C
n
?2C
n
?3C
n
?
024
?C< br>n
?C
n
?C
n
??2
n?1
；
n
?nC
n
?n?2
n?1
；
mm
！? C
n
8.排列数与组合数的关系：
A
n
?m
.
9.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

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10.解排列组合问题的规律是(优限法和间接 法)：相邻问题捆绑法；不邻(相间)问题插空法；
多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法 ；有序问题用除法(组合法)；选取问
题先选后排法；至多至少问题间接法，特别地还有穷举法、概率法 、构造法等.
n0n1n?1
（P108）11.(1)二项式定理：
(a?b)? C
n
a?C
n
ab?
rn?rr
?C
n
a b?
nn
?C
n
b
，其
中各系数就是组合数
Cn
，它叫做第
r
+1项的二项式系数；展开式共有
n
+1项，其 中
第
r
+l项
T
r?1
?C
n
a
看成组合数的上标.
(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值 性和
01
C
n
?C
n
?
r
?
?C
n
r
rn?r
b
r
.某项“加数
b
”的指 数
?
该项的“项数减去1的差”，也可
n
?C
n
?2
n
.
（3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶
024
次(数)项”的系数和.如
C
n
?C
n
?C
n
?
135
?C
n
?C
n
?C
n
??2
n?1
，奇(偶)
次项系数和
?
1
[f(1 )?f(?1)]
(
1
[f(1)?f(?1)]
)
22
12、二项式定理的应用：
近似问题、估算问题、证明不等式（如
2?2n?1
（n为大于2的自然数）等
n

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第十一章 概率
1、（P124）必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 02、（P127）等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=
m
理解这里m、ｎ的意义。
n
（P133）互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同 时发生），这时P(A?B)=０）
P(A+B)=P（A）+ P(B)
对立事件（A 、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。
这时P(A?B)=０）P（A ）+ P(B)＝１
（P137）独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B)
独立重复事件（贝努里概型）
P
n
(K)
=C
n
k
p
k
(1－p)
k
表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的
．．．．．
k
．．
概率。
P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
(０)00
特殊：令k=0 得：在 n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
．．．．．．．．
P
n
=C< br>n
p(1－
p)
n
=(1－p)
n
令k=n 得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
．．．．．．．．
P
n
(n)
=C
n
n
p
n
(1－p)
0
=p
n
注意：
1、解决排列组合问题不要忘记穷举；分组问题一定要看是否是均匀 分组等；正难则
反的策略运用；不重不漏
2、灵活运用二项式定理；用赋值法时，注意是哪些项，是否少（多）了一项
3、概率应用题最后别忘了写“答”

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第十二章 统计
（P4）总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
（P6）抽样方法：
1、简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；
2、分层抽样。
（P13）样本平均数：
样本方差：
样本标准差：
作用：估计总体的稳定程度
（P11）理解频率直方图的意义
注：

区分方差与标准差、注意频率直方图纵坐标的意义

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第十三章 导数
1、（P30）导数的背景
瞬时速度
切线的斜率
边际成本
2、（P33）导数的概念
3、（P35）多项式函数的导数运算法则
4、（P40）函数的单调性与极值
5、（P42）函数的最大值与最小值
注：（1）多项式导数的求导法则。
y?x(n?N)

?

y?nx
①
y?
?
ax
?
?y?3
?
a x
?
（
a
为常数）；
3
'
2
n*'n? 1
.但常有两种错误：
②
y?
?
2x?1
?
?y? 3
?
2x?1
?
.（应先用二项展开式，后用多项式依次求导）
32
（2）切线与曲线的交点个数。
（3）任何一条三次函数曲线y=f(x)都是中心对称图形
（4）过曲线上某一点P的切线 在曲线上点P处的切线。求切线方程的一般步骤是：
①先设出切点坐标；②写出切线方程（导数为切线的 斜率且切点为曲线上一点）；
③将点P坐标代入切线方程即可。
也就是说可能有两条切线。其 实结论是如果P点是三次函数的对称中心时有且
仅有一条切线，如果P点不是对称中心，那就有两条切线 。
当然如果点P不在曲线上，则有可能有三条切线。
（5）可导函数在某点取得极值的必要 条件和充分条件。可导函数在某点取得极值的必
要条件是该点处的导数为0；可导函数在某点取得极值的 充分条件是该点处导数两
侧异号。但常见错误：只管导数为0，不去判断两侧异号。例如：
y? x
，则
y?3x
.
令
y?0
，则
x?0
，所以
f(0)
为函数
f(x)
的极值。克服错误的方法是，养成规
范的表达方式——列表判断符号的习惯
'
3'2