北师大版高中数学必修知识点

8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
， 半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?
11
lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个 任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y< br>?
，它与原点的距离是
r
?
r?
tan
?
?
y
?
x?0
?
．
x
x
2
?y< br>2
?0
?
，则
sin
?
?
，
cos
?
?
，
y
r
x
r
10、三角函数在各象限 的符号：第一象限全为正，第二象限正弦
为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11 、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：< br>?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?< br>?1

y
P
T
OM
A
x
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?

sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,co s
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
2
??
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，< br>cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin< br>?
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数
y ?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，

2 < /p>

得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图 象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有
点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函
?
1
数
y?si n
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin?
?
x?
?
?
的图象上所有点的
纵坐标伸长（缩短）到 原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x ?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐 标伸长（缩短）到原来的倍
?
1
（纵坐标不变），得到函数
y?sin?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点 向左（右）平
?
移个单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x ?
?
?
的图象；再将函数
?
（缩短）到原来的
?
倍
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标 伸长
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?< br>?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
⑤初相：
?
．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
， 当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x? x
2
时，
取得最大值为
y
max
，则
?
? x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?．
2
??
1
?
y
ma
?
x
y
2
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
?2
?
；④相位：
?
x?
?
；
?
m
，
in
??
1
?
y
max
?y
min
?
2
，
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
y?sinx




性
质
y?cosx

y?tanx


3

图
象


定
义
域
值
域
当
x?2k
?
?
R

R


?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

?
2
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

最
时，
y
max
?1
；当
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

值
x?2k
?
?
既无最大值也无
最小值
?

?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
单< br>在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
调
性

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
?
22
??
k??
?
上是增函
上是增函数；在
在
?
?< br>k
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
2k
?
,2k?
?
?
?

4
?
k??
?
上是增函

数；在
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
数．
?
k??
?
上是减函
数．
对
对
称
对
性
x?k
?
?
称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称
?
2
轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与
任一向量平行．
相等向量：长度相等且方
向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首
尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．


5

⑶三角形不等式：
?
?
?
?
?
?
a?b?a?b?a?b
．
?
?
??
?
?
?
??
?
⑷运算性质：①交 换律：②结合律：
a?b?c?a?b?c
a?b?b?a
；
????
；
?
??
??
③
a?0?0?a?a
．
C

⑸坐标运算：设
?
?
a?b?
?
1
?
a?
?
x
1
,y
1
?
，< br>?
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
?
a

x?,
2
x
1
y?
．
?
2

y
?

?
b

?

18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被
减向量．
?????
?
?
???????
a?b??C?????C

?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
????
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1< br>?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
?
?
??
①
?
a?
?
a
； ②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方 向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
?
?
?
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
?
?
?
?
?
?
?
?????
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
? ?
?
a
；②
?
?
?
?
?
a??
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?< br>?
b
．
??
??
⑶坐标运算：设
a?
?< br>x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
???
20、向量共线定理：向量
aa?0
??
?
与
b共线，当且仅当有唯一一个

6

?
?
实数?
，使
b?
?
a
．
?
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0< br>，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，
??
?
?
向量
a
、
bb ?0
??
共线．
?????
21、平面向量基本定理：如果
e1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线
?
向量，那么对于 这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
??? ??
?????
?
（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向
?
2
，使
a?
?
1e
1
?
?
2
e
2
．
量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分
?????? ??
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
别是
?
x
1
,y
1< br>?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点< br>?
的坐标是
?

,
?
x
2
,y2
?
，
??
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0 ?
?
?180
?
??
．零向量与任一向量的数量
积为
0
．
??
??
?
?
?
?
⑵性质：设< br>a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同
?
?
?
?
?
?
向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
????
??
?
?
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
2
或
???
a?a?a
．③
?
?< br>?
?
a?b?ab
．
；②
?
?
?
?
?
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b ?a?
?
b
⑶运算律：①
?
??
?
a?b?b?a
????
；③
?
?
?
???
?
?
a?b?c?a?c?b?c
．
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
?
?
a?b?
1
x
2
x?
1
y
．
y

2
?
2
若
a?
?
x,y
?，则
a?x
2
?y
2
，或
a
?
?a?
?
x
1
,y
1
?
，
?
b ?
?
x
2
,y
2
?
，则
?
?x< br>2
?y
2
．
?
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
?
??
?
设
a
、
b
都是非零向量，
a
，< br>?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?

7
??
是
a
与
b
的夹角，

?
?xx?yy
a?b
则
cos
?
?
?
?
?
2
12
2
1
2
2
2
ab
x1
?y
1
x
2
?y
2
．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
⑹
ta n
?
?
?
?
?
?
tan
?
?ta n
?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?t an
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??< br>1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
，
）．
．
?
2
??
2
sin
?
?
?< br>?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?< br>⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2< br>?
26、
?sin
?
??cos
?
?

高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C< br>的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①
a? 2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??

a
2R
，
sin??
bc
，
sinC?
；
2R2R
8

③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin ?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin? ?absinC?acsin?
．
222
④
4、余弦定理：在
b< br>2
?a
2
?c
2
?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
???C
中，有
a
2
?b
2
?c
2
2?cbocs
，
?
5、余弦定理的推论：
a
2
?b2
?c
2
cosC?
2ab
b
2
?c
2
?a
2
cos??
2bc
，
a
2
?c< br>2
?b
2
cos??
2ac
，
．
6、设< br>a
、
b
、
c
是
???C
的角
?、
?
、
C
的对边，则：①若
a
2
?b
2
?c
2
，
则
C?90
?
；
②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
?；③若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?9 0
?
．
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n项与序号
n
之间的关系

9

的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1< br>（或前几
项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同
一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的
公差．
1 8、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的 等差
数列，则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
b?
等差中项．
19、若等差数列
?
a
n
?
的 首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a1
?
?
n?1
?
d
．
20、通项公式的变形 ：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?< br>d
；③
d?
a
n
?a
1
；
n?1
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的
2< br>a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
；⑤
d?
④
n?
．
n?m
d
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
），
则
2a
n
?a
p
?a
q
．
n
?
a
1
?a
n
?
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?< br>；②
2
n
?
n?1
?
S
n
?na< br>1
?d
．
2
23、等差数列的前
n
项和的性质：① 若项数为
2n
?
n??
*
?
，则

10

S
2n
?n
?
a
n
?a
n ?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd
，
*
S
奇
a
?
n
．
S
偶
a
n?1
S
奇
n
②若项数为
2n?1
?
n???
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，?
S
偶
n?1
（其中
S
奇
?na
n< br>，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）．
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个 常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的
公比．
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，< br>b
成等比数列，则
G
称
为
a
与
b
的 等比中项．若
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
26、若等比数列
?
a
n
?的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
? a
1
q
n?1
．
?
?
n?1
?
n?m
a?aq
a?aq
27、通项公式的变形：①
n
；②
1
；③
m
n
q
n?1
?
a
n
a< br>1
；④
q
n?m
?
a
n
．
am
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n? p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
，则
a
m
?a
n
?a
p
? a
q
；若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n? p?q
（
n
、
p
、
q??
*
）
2
a
n
?a
p
?a
q
．
?
na< br>1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：
S
n
?
?a
1
?
1?q
n
?
a
1
?a
n
q
．
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2n
?
n??
*
?
，则
n
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
．
S
偶
S
奇

?q
．
③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a?b? 0?a?b
；
a?b?0?a?b
．

11

32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b? c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?a c?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b? d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解
集间的关系：
判别式
??b
2
?4ac

二次函数
y?ax
2
?bx?c

??0

??0

??0

?
a?0
?
的图象

有两个相异
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0


有两个相等
没有实数
实数根

实数根
?b ??
x
1,2
?
2a
?
a?0
?
的根
一元二
ax
2
?bx?c?0


?
x
1
?x
2
?

b
x
1
?x
2
??

2a
根 < br>?
xx?x或x?x
?
12
次不等
?
a?0
?

式的解
集
ax
2
?bx?c?0


?b?
xx??
??

2a
??
R

?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的

12

不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的 集
合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内
的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0< br>，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线< br>?x??y?C?0
的上
方．
②若
??0
，
?x< br>0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下
方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域． ②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C? 0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上 方的区域．
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组 成的不等式
组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最
小值问题．

13

可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设
a
、
b
是两个正数，则
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
2
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
b?0
，42、均值不等式定理： 若
a?0
，则
a?b?2ab
，即
a?b
?ab
．
2
43、常用的基本不等式：①
a
2
?b
2
?2a b
?
a,b?R
?
；②
a
2
?b
2
ab?
?
a,b?R
?
；
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
2
?
2
??
2
?
22
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取 得最大值
s
2
．
4
⑵若
xy?p
（积为定值）， 则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．

14