高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学学案
高中数学必修二知识点汇总

第一章：立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征












（1）棱柱：定义：有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱
柱
AD
'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱
平行且 相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成
的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字 母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相 似比等于
顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字 母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的
顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转所成的曲面所围成
的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆 的半径垂直；④侧面
展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的
几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一
个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）

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注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
'
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母 线）
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

2
S
正棱台侧面积
?

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
2
r

h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
1< br>'
1
1
'
'2
'
V?(S?SS?S)h?
?
(r
2
?rR?R)h

V
台
?(S?SS?S)h

圆台
33
3









（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R
2

3

第二章：空间点、直线、平面的位置关系
1、平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点A在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面
?
内 ，记作
A?
?

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A
?
l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?
α；直线l不在平面α内，记作l
?
α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个
平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）

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应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用 符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l??

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确
定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公
共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
P?A?B?A?B?l,P?l

公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面
直线
④ 异 面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，
b’∥b，则把直 线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异
面直线所成角的范围是（0° ，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两
条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判
定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移 到某个特殊的位置，
顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互
补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．



三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
2、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平
行。
线线平行
?
线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面

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相交，那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平 行。（面面平行→
线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线
线平行）
3、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互
相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个
平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平
面所组成的 图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这
个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直
于另一个平面。
4、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的
角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直
线
a
?
,b
?
，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两 条异面
直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
?
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定
为
90
?
。
③平面的斜线与平 面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫
做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时， 注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线
上的一点或过斜线的平面与 已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线

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叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一 点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的
．．．．．
两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的 平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角 是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两
个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成
的角为二面角的平面角
第三章：直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成 的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴
平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角 的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它 的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜
率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
y?y
1
②过两点的直线的斜率公式：
k?
2
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无 关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接
求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当 直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但
因l上每一点的横坐标都 等于x
1
，所以它的方程是x=x
1
。
②斜截式：
y?k x?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2?x
1
?
???
④截矩式：
?
y
?1

b
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
, 与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
x
a
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x? B
0
y?C?0
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率 为k的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；

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（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程
为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为 参数）
（5）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
Bx
2
,y
2
）
（7）两点间距离公式：设
A(x
1< br>,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22

（9）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第四章：圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为
圆的半径 。
2、圆的方程
22
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b< br>?
，半径为r；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

DE
?
，半径为
r?
1
当
D
2
? E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?< br>?
?
22
?
2
D
2
?E
2
?4F

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图
形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标
准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到l的距离为
d?
Aa?Bb?C
A< br>2
?B
2
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与 C相切
；
d?r?l与C相交

（2）设直线
l:Ax?By?C? 0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y ?b
?
2
?r
2
，先将方程联立消元，得到
一个一元二次方 程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0 ?l与C相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点 ，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
去解直线与圆相切的问题 ，其
中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r 表示半径。

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(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x
2
+y
2
=r
2< br>，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为
xx< br>0
?yy
0
?r
2
(课本命题)．
222
②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x
0
，
y
0
)， 则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=
2
r (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确
定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

五、空间直角坐标系
（1）定义：如图，
OBCD?D
,
A
,
B
,
C
,
是单位正方体.以A为原点，
分 别以OD,O
A
,
,OB的方向为正方向，建立三条数轴
x轴.y轴.z轴< br>。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫
做坐标面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇
指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正 向，中指指向则为z轴正向，这样也可以
决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：空间 一点M的坐标可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，有序实数
组
(x,y ,z)
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
M(x,y,z)
（x叫做点M 的横
坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2



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