人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修5知识点总结

高中数学必修5知识点总结
第一章：解三角形
1、正弦定理：在
? ??C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接 圆的半径，则
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、 正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c ?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
sin??，
sinC?
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
???
④．
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
有
4、余 定理：在
? ??C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?< br>，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
为直角三角形；
②若
a?b?c
，则
C?90
为锐角三角形；③若
a?b?c
，则
C?90
为钝角三角形．

222
222
?
?
222
?
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数称为 等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
?
，
b
组 成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．

通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
⑤
d?
a
n
?a
1
a?a
1
?1
；；④
n?n
n?1d
a
n
?a
m
．
n?m
1 4、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则< br>a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若?
a
n
?
是等
差数列，且
2n?p?q
（n
、
p
、
q??
*
），则
2a
n?a
p
?a
q
；下角标成等差数列的项仍是等差数列；
连续m项 和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n?
n?1
?
d
． ；②
S
n
?na
1
?
22
*
16、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为< br>2nn??
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd，
??
S
奇
S
a
n
（其
?
n
．②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且S
奇
?S
偶
?a
n
，
奇
?
S
偶
a
n?1
S
偶
n?1
中
S
奇< br>?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?a
n
）．
17、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这
个常数称为等比数列的公比．
18、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b< br>的等比中项．若
G?ab
，
则称
G
为
a
与< br>b
的等比中项．
19、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
．
20、通项公式的变形：①
a
n< br>?a
m
q
n?m
；②
a
1
?a
n< br>q
?
?
n?1
?
2
；③
q
n?1< br>?
a
n
a
n?m
；④
q?
n
． < br>a
1
a
m
21、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p< br>、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比< br>2
数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
），则
a
n
?a
p
?a
q；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连
续m项和构成的数列成等比数列。
?
na
1
?
q?1
?
?
22、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q< br>
q?1
时，
S
n
?
a
1
a
?
1
q
n
，即常数项与
q
n
项系数互 为相反数。
1?q1?q
*
23、等比数列的前
n
项和的性质：① 若项数为
2nn??
，则
??
S
偶
S
奇
? q
．
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
． ③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
n

24、
a
n
与
S
n
的关系：
a
n
??
?
?
S
n
?S
n?1
?
n?2?

?
n?1
?
?
?
S
1

一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
，列两个方程 求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an
2< br>?bn?c
，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n
?aq
n
?b
，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为
a
n?1
?a
n
?d
形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
②若化简后为
a
n?1
?a
n
?f(n),
形式，可用叠加法求解；
③若化简后为
a
n?1
?a
n
?q
形式，可用等比数列的通项公式代入求 解；
④若化简后为
a
n?1
?ka
n
?b
形式， 则可化为
(a
n?1
?x)?k(a
n
?x)
，从而新数列
{a
n
?x}
是等比数
列，用等比数列求解
{a
n
?x}
的通项公式，再反过来求原来那个。（其中
x
是用待定系数法来求得）
3、由求和公式求通项公式：
①
a
1
?S
1
②
a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a
1
是否满足a
n
，若满足则为
a
n
，不满足用分段 函数写。
4、其他
（1）
a
n
?a
n?1
?f
?
n
?
形式，
f
?
n
?
便于 求和，方法：迭加；
例如：
a
n
?a
n?1
?n?1

有：
a
n
?a
n?1
?n?1

a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4
?
a
n
?a
n?1
?n?1
各式相加得
a
n
?a
1
?3?4?
?
?n?1?a
1
n?4??
n?1
??
?
2

（2）
a
n< br>?a
n?1
?a
n
a
n?1
形式，同除以
a
n
a
n?1
，构造倒数为等差数列；
?
1
?a
n
?a
n?1
11
例如：
a
n
?a
n?1
?2a
n
a
n?1
，则
?2??
， 即
??
为以-2为公差的等差数列。
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n
?
a
n
?
（3）
a
n
?qa
n?1
?m
形式，
q?1
，方法：构造 ：
a
n
?x?q
?
a
n?1
?x
?
为等比数列；
例如：
a
n
?2a
n?1
?2
， 通过待定系数法求得：
a
n
?2?2
?
a
n?1
? 2
?
，即
?
a
n
?2
?
等比，公比为2。
（4）
a
n
?qa
n?1
?pn?r
形式：构造：
a
n
?xn?y?qa
n?1
?x
?
n?1
?
?y
为等比数列；
??

（5）
a
n< br>?qa
n?1
?p
n
形式，同除
p
n
，转化 为上面的几种情况进行构造；
因为
a
n
?qa
n?1
?p
n
，则
a
n
q
a
n?1
q
??1 ?1
转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的，若
nn?1
pppp
方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若
?
?
a
k
?0
?
a
1
?0
，则
S
n
有最大值，当n=k时取到的最大值k满足
?
< br>?
d?0
?
a
k?1
?0
?
a
k< br>?0
?
a
1
?0
②若
?
，则
Sn
有最小值，当n=k时取到的最大值k满足
?

d?0
a?0
?
?
k?1
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用 于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：
a
n
?
?
2 n?1
?
?3
；
n
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通 项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
a
n
?
111
11
?
11
?
??
，
a
n
?
等； < br>?
?
?
n
?
n?1
?
nn?1
?< br>2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1?
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和 的部分，如：
a
n
?2
n
?n?1
等；
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为
aq和
a
类型，这样可以相乘约掉。
q

第三章：不等式
1、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a ?b
．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
； < br>⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧< br>a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．





nn
?
n??,n?1
?
；

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根

有两个相等实数根


一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?

?b??
x
1,2
?
2a
?
x
1
?x
2
?

1
x
1
?x
2
??
b

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
2
一元二次不
等式的解集

?b?
xx??
??

2a
??
?

R

?
xx
1
?x?x
2
?

?


5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组） 的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
，所有
这样的有序数对
?
x,y
?
构 成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的 点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若< br>??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x?? y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
? ?0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方 的区域．
10、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成 的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称 为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 12、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
11、设
a、
b
是两个正数，则
13、常用的基本不等式：
①
a
2
?b
2
?2ab
?
a,b?R
?
；
a
2
?b
2
②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0, b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
2< br>?
2
??
2
?
14、极值定理：设
x
、y
都为正数，则有
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值） ，则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
x y?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
22