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高中数学基础知识汇总(最新版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 07:42
tags:高中数学知识点

北师大版高中数学必修二课后习题答案-高中数学竞赛出模式题









高中数学基础知识
汇总(最新版)







高中数学知识归纳汇总
目录
第一部分 集合 ............................................... .................................................. ....................... 4

第二部分 函数与导数 .... .................................................. .................................................. ..... 5

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ........... .................................................. .12

第四部分 立体几何 .......................... .................................................. .................................14

第五部分 直线与圆 ............................................. .................................................. ..............16

第六部分 圆锥曲线 ............. .................................................. ..............................................19
第七部分 平面向量 .............................. .................................................. ...........................21

第八部分 数列 . .................................................. .................................................. ...............22

第九部分 不等式 .............. .................................................. .................................................. ..24

第十部分 复数 ........................... .................................................. .........................................25

第十一部分 概率 ................................... .................................................. .............................26

第十二部分 统计与统计案例 .......................................... .................................................. ...27

第十三部分 算法初步 ........................ .................................................. .................................29

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 ...................................... ........................................30


第十五部分 推理与证明 .......................... .................................................. ...........................32

第十六部分 理科选修部分 ........................................... .................................................. ....33






第一部分 集合
1.N,Z,Q,R分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集;
2.
交集,< br>A?B?{xx?A且x?B}.
并集,
A?B?{xx?A或x?B}.
符号 区分;
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2
n
,非空子集数为2
n< br>-1;真子集数为2
n
-1;
非空真子集的数为2
n
-2;
(2)
A?B?A?B?A?A?B?B;
注意:讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情
况。
(3)
C< br>I
(A
?
B)
?
(C
I
A)
?(C
I
B);C
I
(A
?
B)
?
(C
I
A)
?
(C
I
B);

4.
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。



第二部分 函数与导数
1.定义域:①抽象函数;已知
f[k(x)]
定义域,求
f[g(x)]
定义域,
k(x)

g(x)

域相同。(具体可以参考本节第4点复合函数定义域求法)。
②具体函数。分母不为0,偶次根号下不为负数,
a
中a不为0,
tan
?

0
log
a
x
中的x为正数。
2.值域:①一元二次方程配方法 ;②换元法;③分离参数法 ;
3.解析式:①配方法 ;②换元法;③待定系数和;④消去法。
4.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x )]的定义域由不等式a≤g(x)≤
b解出;
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的
值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为 基本函数:内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数
y?f(u)
的定义域是内函数
u?g(x)
的值域。


5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
....

f (x)
是奇函数
?
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f (?x)
??1

f(x)

f(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)
?1

f(x)
⑷奇函数
f(x)
在原点有定义,则
f(0)?0

⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:

f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,
x
2
?M
,
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f( x
2
)?0?(x
1
?x
2
)?[f(x
1
)?f(x
2
)]?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2

f(x )
在区间
M
上是减函数
??x
1
,
x
2< br>?M
,

x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)?0?(x
1
?x
2
)? [f(x
1
)?f(x
2
)]?0
?
f(x
1)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2
⑵单调性的判定
① 定义法:一般要将式子< br>f
(
x
1
)
?f
(
x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式,以利于
判断符号;
② 导数法(见导数部分);
③ 复合函数法;
④ 图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。


7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意
x
,若有
f(x?T)?f(x)
(其中
T
为非零常数),则称函数
f(x)
为周期函数,
T
为它的一个周 期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指
最小正周期。
(2)三角函数的周期

y?sinx:T?2
?
;②
y?cosx:T?2
?
;③
y?tanx:T?
?


y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?
?
2
?
;⑤
y?tan
?
x:T?

|
?
|
|
?
|
⑶ 与周期有关的结论

f(x?a)?f(x?a)

f(x?2a)?f(x)(a?0)

?
f(x)
的周期为
2a


y?f(x)的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称
?
f(x)
周期 为2
a?b


y?f(x)
的图象关于直线
x?a,x ?b
轴对称
?
f(x)
周期为2
a?b

y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
中心对称,直线
x?b
轴 对称
?
f(x)
周期为
4
a?b

8.基本初等函数的图像与性质
?
⑴幂函数:
y?x

?
?R)
;⑵指数函数:
y?a(a?0,a?1)

x
⑶对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
;⑷正弦函数 :
y?sinx

ax?bx?c?
0

⑸余弦函数:
y?cosx
;(6)正切函数:
y?tanx
;⑺一元二次函数:

2


⑻其它常用函数:
① 正比例函数:
y?kx(k?0)
;②反比例函数:
y
?
② 函数
k1
(k?0)
;特别的
y?

xx
y
?
x
?
a
(a?0)

x
9.二次函数:
⑴解析式:
①一般式:
f
(
x
)
?ax?bx?c
;②顶点式:
f(x)?a(x?h)?k

(h,k)
为顶点;
22
③零点式:
f
(
x)
?a
(
x?x
1
)(
x?x
2
)< br> 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ
y?f(x)?y?f(x?a)

(a?0)
— ——左“+”右“-”;

y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”;
② 伸缩变换:

y?f(x)?y?f(
?
x)
, (
?
?0)
———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的
倍;

y?f(x)?y?Af(x)
, (
A?0)
———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的
A
倍;
1

?


③ 对称变换:ⅰ
y?f(x)
??

??
y??f(?x)
; ⅱ
y?f(x)
???
y??f(x)

(0,0)y?0

y?f(x)
???
y?f(?x)

x?0
④ 翻转变换:

y?f(x)?y?f(|x|)
———右不动,右向左翻(
f(x)

y
左侧图象去掉);

y?f(x)?y?|f(x) |
———上不动,下向上翻(|
f(x)
|在
x
下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数
y?f(x)
图像的 对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称
轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数
y?f(x)

y?g(x)
图象的对称性,即证明
y?f(x)< br>图象上任意
点关于对称中心(对称轴)的对称点在
y?g(x)
的图象上,反之 亦然;
(注意上述两点的区别!)
注:
①曲线C
1
:f(x ,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C
2
方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C
2
方程为: f(2a-x, y)=0;
③曲线C
1
:f(x,y)=0,关于y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线C
2
的方程为f(y-
a,x+a)=0(或f(-y+a ,-x+a)=0);
??
y=f(x)图像关于直线x=④f(a+x)=f(b-x) (x∈R)
?
a?b
对称;
2
??
y=f(x)图像关于直线x=a对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)
?
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b- x)的图像关于直线x=
12.函数零点的求法:
a?b
对称;
2


⑴直接法(求
f(x)?0
的根);⑵图象法;.
13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x
0
处的导数记作
y?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
n?1
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C
?0
;②
(x)?nx
'x'x
n'
;③
(sinx)?cosx

x
'

(cosx)
??
sinx
;⑤
( a)?alna
;⑥
(e)?e
;⑦
(log
a
x)?x'
1

xlna

(lnx)?
'
1

x
u
v
u
?
v?uv
?
;
v
2
⑶导数的四则运算法则:
(
u?v
)
?
? u
?
?v
?
;(
uv
)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
??

(理科)< br>复合函数的导数:
y
?
x
?y
u
?u
x;

⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”
该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:

f
?
(x)?0?f(x)
是增函数;ⅱ
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数;

f
?
(x)?0?f(x)
为常数;
③利用导数求极值:ⅰ求导 数
f
?
(x)
;ⅱ求方程
f
?
(x)?0
的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)
定积分
⑴定积分的定义:
?
b
a
f
(
x
)
dx?
lim
?
n??
i?1
n
b?a
f
(
?
i
)

n
⑵定积分的性质:①
?
b
a
kf(x)dx?k
?
f(x )dx

k
常数);
a
b




?
b
a
b
[f
1
(x)?f
2
( x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx

aa
bb
?
a
f(x)dx?
?< br>f(x)dx?
?
f(x)dx
(其中
a?c?b)
。 < br>ac
cb
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

b
a
⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积:
S
?
③ 求变速直线运动的路程:
S?




?
|
f
(
x
)?
g
(
x
)|
dx

b
a
?
b
a
v(t)dt
;③求变力做功:
W?
?
F(x)dx


第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
?
弧度
?180

1?
?
?
?
180
1
2
1
⑵弧长公式:
l?
?
R
;扇形面积公式:
S
?
?
R
?
Rl

22
弧度,
1
弧 度
?(
180
?
)
?
?57
?
18
'

2.三角函数定义:角
?
中边上任意一点
P

(x,y)
,设
|OP|?r
则:
sin
?
?
yxy
,cos
?
?,tan
?
?

rrx
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”;
5.⑴
y?Asin(?
x?
?
)
对称轴:
x?
k
?
??
2
?
?
?
;对称中心:
(
k
??
?
,0)(k
?
Z)

?
?
2
?
?

y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴:
x?
k
?
?
?
;对称中心:
(
?
22
k
?
?
?

,0)(k?Z)

6.同角三角函数的基本关系:
sinx?cosx?1;
7. 三角函数的单调区间

y?sinx
的递增区间是
[2k
?
?
si nx
?tan
x

cosx
?
2
,2k
?
?
?
2
](
k?Z
)
,递减区间是
[2 k
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?](k?Z)

2
y?cosx
的递增区间是
[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)
,递减区间是
[2k
?
,2k
?
?
?
](k?Z)

y?ta nx
的递增区间是
(k
?
?
?
2
,k
?< br>?
?
2
)
(k?Z)

y?cotx
的递减 区间是
(k
?
,k
?
?
?
)(k?Z)

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?;



cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;< br>③
tan(
?
?
?
)?
9. 倍角公式:①
sin2
?
?2sin
?
cos
?

tan
?
?tan
?
。.二
1?tan
?
tan
?

cos2
?
?cos
?
?sin?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
;③
tan2< br>?
?
2222
2tan
?

2
1?tan
?
10.正、余弦定理:
⑴正弦定理:
abc
???2
R

2R

?ABC
外接圆直径 )
sinAsinBsinC注:①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
;②
a?2RsinA,b? 2RsinB,c?2RsinC


abca?b?c

???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理:
a
?
b
?< br>c
?
2bccosA
等三个;注:
cosA?
等三个。
2bc
11。几个公式:
⑴三角形面积公式:
S
?ABC
?
11
ah
?
ab
sin
C

22⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
;外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??
;

sinAsinBsinC

11.已知
a,b,A
时三角形解的个数的判定:
C
b
h
A
a
其中h=bsinA,⑴A为锐角时:①a②a=h时,一解(直角);③h一钝角);④a
?
b时,一解(一锐角)。
⑵A为直角或钝角时:①a
?
b时,无解;②a>b时,
一解(锐角)。


第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为
22:1

2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S

+2S

;②侧面积:S

=
2
?
rh
;③体积:V= S

h
⑵锥体:①表面积:S=S

+S

; ②侧面积:S

=
?
rl
;③体积:V=
'
1S

h:
3
⑶台体:①表面积:S=S

+S
上底
S
下底
;②侧面积:S

=
?
(r
?
r)l

1
(S+
SS
'
?S
'
)h;
3
4
32
⑷球体:①表面积:S=
4
?
R
;②体积:V=
?< br>R

3
③体积:V=
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面
平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:
① 平移法:平移直线,构造三角形;


② 补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。
注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作
比,得sin
?

注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
5.结论:
⑴ 长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为
a
2
?b
2
?c
2

全面积为2ab+2bc+2 ca;
长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?
,
?
,
则:
cos
2
?
+cos
2?
+cos
2
?
=1;sin
2
?
+sin< br>2
?
+sin
2
?
=2
23
⑵ 正方体的 棱长为a,则对角线长为
3a
,全面积为6
a
,体积为
a

⑶ 长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长;
(4) 正四面体的性质:设棱长为
a
,则正四面体的:
① 高:
h
?
62
a
;②对棱间距离:
a

32
66
a
;外接球半径:
a

124
② 内切球半径:


第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式:
y?y
?
?k
(
x?x
?
)
;⑵斜截式:
y?kx?b
;⑶截距式:
?
⑷两点式:
x
a
y

?1

b
y?y
1
x?x
1
?
;⑸一般式:
Ax?By?C?0
,(A,B不全为0)。
y
2
? y
1
x
2
?x
1
(直线的方向向量:(
B,?A)
,法向量(
A,B)

2.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:





4.直线系:
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
l
1
:y?k
1
x?b
1
l
2
:y?k
2
x?b
2

k1?k2,b1?b2

k
1
?k
2
??1

l
1
,l
2
有斜率
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

A
1
B
2
?A
2
B
1
,

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
不可写成
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
? 0

B
1
C
2
?B
2
C
1
(验证) 分式
直线方程
y?kx?b

Ax?By?C?0

平行直线系
y?kx?m

Ax?By?m?0

垂直直线系
y??
1
x?m

Bx?Ay?m?0

k
相交直线系
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0


5.几个公式
⑴设A(x
1
,y
1
)、B (x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
),⊿ ABC的重心G:(
x
1
?x
2
?x
3
,
y
1
?y
2
?y
3
);
33
⑵点P(x
0,
y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离:
d?
Ax< br>0
?By
0
?C
A?B
22

⑶两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距 离是
d?
C
1
?C
2

A
2
?B
2
6.圆的方程:
⑴标准方程:①
(x?a)?(y?b)?r
;②
x?y?r

⑵一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?
0

D?E?4F?0)

2222
222222
注:Ax
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B= 0且D
2
+E
2
-4AF>0;
7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
8.圆系:

x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)
?0,(
?
??
1)

2222
注:当
?
??1
时表示两圆交线。

x?y?Dx?Ey?F?< br>?
(
Ax?By?C
)
?
0,(
?
??1)

22
9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(
d
表示点到圆心的距离)

d?R?点在圆上;②
d?R?
点在圆内;③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(
d
表示圆心到直线的距离)

d?R?
相切;②
d?R?
相交;(直线与圆相交所得的弦长
AB?

d?R?
相离。
r
2
?d
2


⑶圆与圆的位置关系:(
d
表示圆心距,
R,r
表示两圆半径,且
R ?r


d?R?r?
相离;②
d?R?r?
外切;③< br>R?r?d?R?r?
相交;

d?R?r?
内切;⑤
0?d?R?r?
内含。
10.与圆有关的结论:
⑴过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为:x
0
x +y
0
y=r
2

过圆(x-a)
2
+(y-b )
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切 线方程为:(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=r
2

⑵以A(x
1
,y
2
)、B(x
2
,y
2
)为直径的圆的方程:(x-x
1
)(x-x
2
)+ (y-y
1
)(y-y
2
)=0。


第六部分 圆锥曲线
(此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质,下面所列可能是你
会疏忽的一些内容)
1.定义:⑴椭圆:
|
MF
1
|
?
|
MF
2
|
?
2
a
,(2
a?
|
F1
F
2
|)

⑵双曲线:
||
MF
1
|
?
|
MF
2
||
?
2
a,(2
a?
|
F
1
F
2
|)

⑶抛物线:
MF?d

2.结论
⑴焦半径:①椭圆:
PF
; (左“+”
1
?a?ex
0< br>,PF
2
?a?ex
0
(e为离心率)
右“-”);
②抛物线
y
?
2px

PF?x
0
?
2
p

p?0

2
⑵弦长公式:
AB?
1
?k
2
?x
2
?x
1
?
(1
?k
2
)[(
x
1
?x
2
)
2
?4
x
1
x
2
]

?1?
1
? y
2
?y
1
?
k
2
(1?
1
)? [(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

2
k
注:(Ⅰ)抛物线焦点弦长:
AB
= x
1
+x
2
+p
(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线:
2b
;②抛物线:2p。
2
a
⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
mx?ny?
1

m,n
同时大于0
22
时表示椭圆,
mn?0
时表示双曲线);
(4) 双曲线中的结论:
22
y
2
y
2
xx
①双曲线< br>?
2
?1
(a>0,b>0)的渐近线:
2
?
2?0

2
abab
2
b
y
2
x< br>②共渐进线
y??
x
的双曲线标准方程为

??
?
(
?
为参数,
?
≠0)
a
a
2
b
2


③双曲线为等轴双曲线
?
e?
3.直线与圆锥曲线 问题解法:
2?
渐近线为
y??x
?
渐近线互相垂直;
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法或叫点差法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点 A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
); ②作差得
k
AB
?
决问题。
4.求轨迹的常用方法:
(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关
点法或 转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。

y
1
?y2
???
;③解
x
1
?x
2


第 七部分 平面向量
⑴设a=(x
1
,y
1
),b=(x2
,y
2
),则:
① a∥b(b≠0)
?
a=
?
b (
?
?R)
?x
1
y
2
-x
2
y
1
=0;
② a⊥b(a、b≠0)
?
a·b=0
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0 .
⑵a·b=|a|| b|cos=x
2
+y
1
y
2

注 :①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的
投 影;
③ a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘
积。
⑶cos=
a?b

|a||b|
22
22< br>(4)
a?a?a?a?a?a?x?y

2
⑷三点共线的充要条件
P,A,B三点共线
?
OP?xOA?yOB(且x?y?1)

附:(理科)P,A,B,C四点共面
?
OP?xOA?yOB?zOC(且x?y?z?1)


第八部分 数列
1.定义:
⑴等差数列
{a
n
}?a
n?1
?a
n
?d
(
d为常数)?
2
a
n
?a
n?1
? a
n?1
(
n?
2,
n?N
*)

?a
n
?kn?b?s
n
?An
2
?Bn

{a
n
}
?
⑵等比数列
a
n?1
2?q
(
q?
0)
?a
n
?a
n-1
? a
n?1
(n
?
2,n
?
N)

a
n
?a
n
?cq
n
(c,q均为不为0的常数)?Sn?k?kq
n
(q?0,q?1,k?0)

2.等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
n?1
通项公式
a
n
?
a
1
?(n
?1)
d

a
n
?a
1
q

1.q?1时,S
n?na
1
;
n(a
1
?a
n
)
a1
(1?q
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

2.q?1时,S
n
?
前n项和
S
n
?

22
1?q
a?a
n
q
?
1
1?q
性质 ①a
n
=a
m
+ (n-m)d, ①a
n
=a
m
q
n-m
;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q


S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成GP
m

a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,?
成AP,< br>d'?md

a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,?
成GP,
q'?q

3.数列通项的求法:
⑴定义法(利用AP,GP的定义);(2)累加法(
an
?1
?a
n
?c
n



S
1
(n=1)

S
n
-S
n-1
(n≥2)


(3)公式法:

⑷累乘法(
a
n
= < br>a
n?1
?c
n
型);⑸变形构造法(
a
n?1?
ka
n
?
b

a
n
a
n? 1
?a
n
?4a
n
a
n?1
?
4.前n
项和的求法:
11
??4
等类型);
a
n
a
n?1
(1)倒序相加法;(2)错位相减法。(3)裂项相消法;(4)分组求和法
5.等差数列前n项和最值的求法:
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
;⑵(函数思想)利用二次函数的图象⑴(数列思想)?
?

?
?
?
??
?
a
n? 1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
与性质。



第九部分 不等式
a?b
1.均 值不等式:
ab??
2
a
2
?b
2

2
a?b
2
a
2
?b
2

)?
22
注意:①一正二定三相等;②变形,
ab?(
2.不等式的性质:

a?b?b?a
;⑵
a?b,b?c?a?c

a?b?a?c?b?c

a?b,c?d
?a?c?b?d


a?b,c?0?ac?bd

a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,

c?d?0?ac?bd


a?b?
0
?a?b?
0(
n?N
)
;(6)
a?b?0?
n n?
n
a?
n
b
(
n?N
?
)

4.不等式等证明(主要)方法:
⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。




第十部分 复数
1.概念:
⑴z=a+bi∈R
?
b=0 (a,b∈R)
?
z=
z
?
z
2
≥0;
⑵z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b∈R)
?
z+
z
=0(z≠0)
?
z
2
<0;
⑷a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R),则:
(1) z
1
± z
2
= (a + b) ± (c + d)i;⑵ z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
⑶ z
1
÷z
2
(z
2
≠0) (方法:分子分母同时乘以分母的共轭复数);
3.共轭的性质:⑴
(z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
;⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
;⑶
(
z
1
z
)?
1
;⑷
z
2
z
2
z?z

4.模的性质:(1)
|
z
1
z
2
|
?
|
z
1
||
z
2
|
;(2)
|



z
1
|z|
nn
|?
1
;(3)
|z|?|z|< br>;
z
2
|z
2
|


第十一部分 概率
1.事件的关系:
(1)事件A与事件B互斥:不可能同时发生的两个事件A和B叫做互斥事件;
﹙2﹚对立事件:两个互斥事件A、B必有一个发生,则这两个事件叫做对立事件
2.概率公式:
(1) 互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
(2)对立事件概率公式:
P(A)?1?P(A)

(3) 古典概型:
P(A)?
A包含的基本事件的个数

基本事件的总数
(4) 几何概型:
P(A)?
=



构成事件A的区域长度(面积或体积等)

试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
d

D


第十二部分 统计与统计案例
1.抽样方法
⑴简单随 机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个
容量为n的样本,且每个 个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为
n

N
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的
规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号
l

④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为 使样本更充分的反映总体的
情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样 叫分层抽样。
注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
2.总体特征数的估计:
n
⑴样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2
? ????x
n
)?
1
?
x
i

n

N
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
?1
?
(x
i
?x)
2

n
ni?1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
? x)
2
]
=
1
?
(x?x)
2
i
n
n
i
i?1
3.相关系数(判定两个变量线性相关性):< br>r?
?
(x
i?1
n
?x)(y
i
?y)< br>n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2< br>?
(y
i
?y)
2
i?1


注:⑴r
>0时,变量
x,y
正相关;
r
<0时,变量
x,y
负相关;
⑵ ①
|r|
越接近于1,两个变量的线性相关性越强;

|r|
接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
(3)判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析
4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量
K
2
越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。


第十三部分 算法初步
1.程序框图:
⑴图形符号:
① 终端框(起止况);② 输入、输出框;⑥ 连接点。


处理框(执行框);④ 判断框;⑤ 流程线 ;

⑵程序框图分类:
①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构:
r=0? 否
求n除以i的余数

输入n


n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0?否


第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1. 四种命题:
⑴原命题:若p则q; ⑵逆命题:若q则p;
⑶否命题:若
?
p则< br>?
q;⑷逆否命题:若
?
q则
?
p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
2.充要条件的判断:
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系:例如:若
A ?B
,则A是B的充分条件或B是A
的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;
3.逻辑连接词:
⑴且(and) :命题形式 p
?
q; p q p
?
q p
?
q
?
p
⑵或(or):命题形式 p
?
q; 真 真 真 真 假
⑶非(not):命题形式
?
p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全称量词与存在量词
⑴ 全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用
?
表示;
全称命题p:
?x?M,p(x)

全称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)


⑵ 存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用
?
表示;
特称命题p:
?x?M,p(x)

特称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)




第十五部分 推理与证明
数学归纳法(仅限理科)
一般的证明一个与正整数
n
有关的一个命题,可按以下步骤进行:
⑴证明当
n
取第一个值
n
0
是命题成立;
?⑵假设当
n?k
(
k?n
0
,
k?N
)
命题成立,证明当
n?k?1
时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从
n
0
开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;

n
0
的取值视题目而定,可能是1,也可能是2等。




第十六部分 理科选修部分
1. 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:
A
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
全排列
A
n
=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
(m≤n),
C
0
?C
n
?
1

⑵组合数公式:
C??
nn
m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
m
n
m
n!
( n?m)!
(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为
n
⑶组合数性质:
C< br>n
m
?C
n
n?m
;C
n
m
?C< br>n
m?1
?C
n
m
?1

n0n1n?1 1kn?kknn?
⑷二项式定理:
(
a?b
)
?C
na?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
(
n?N
)

rn?rr
①通项:
T
r?1
?C
n
ab
(
r?
0,1,2,...,
n
);< br>②注意二项式系数与系数的区别;
⑸二项式系数的性质:
①与首末两端等距离的二项 式系数相等;②若n为偶数,中间一项(第
项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第
n
+1项)二
2
n?1n?1
和+1项)二项式系数最大;
22
0 12nn0213n?1

C
n
?C
n
?C
n?????C
n
?
2;
C
n
?C
n
? ????C
n
?C
n
?????
2;

(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。

2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列:
①随机变量分布列的性质:p
i
≥0,i=1,2,…; p
1
+p
2
+…=1;
②离散型随机变量:
X x
1
X
2
… x
n


P P
1
P
2
… Pn …
期望:EX= x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ …
222
方差:DX=
( x
1
?
EX)p
1
?
(x
2
?
E X)p
2
?????
(x
n
?
EX)p
n
????

注:
E
(
aX
?
b
)?< br>aEX
?
b
;
D
(
aX
?
b
)?
aDX

2


③两点分布:
X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).
P 1-p p

① 超几何分布:
一般地,在含有M件次品的N件产品中 ,任取n件,其中恰有X件次品,则
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?,k?0,1,?m,m?min{M,n},
其中,
n?N,M?N

n
C
N
称分布列

X 0 1 … m
0n?01n?1mn?m
C
M
C< br>N
C
M
C
N
C
M
C
N?M?M?M
P …
nnn
C
N
C
N
C
N
为超几何分布列, 称X服从超几何分布。
⑤二项分布(独立重复试验):


kkn?k
若X~B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注:
P(X?k)?C
n
p(1?p)

⑵条件概率:称
P(B|A)?
P(AB)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
P(A)
注:①0
?
P(B|A)
?
1;②P(B∪C|A)=P( B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正态总体的概率密度函数:
f(x)?
1
2
??
e
?(x?
?
)
2
2
?
2
,x?R,
式中
?
,
?
是参数,分别表
示总体的平均数(期望值)与标准差;
(6)正态曲线的性质:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x=
?
对称; < br>③曲线在x=
?
处达到峰值
1
?
2
?
;④曲 线与x轴之间的面积为1;
② 当
?
一定时,曲线随
?
质的变化沿x轴平移;
③ 当
?< br>一定时,曲线形状由
?
确定:
?
越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布 越集
中;
?
越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。
注:P
(
?
?
?
?x?
?
?
?
)
=0 .6826;
P
(
?
?2
?
?x?
?
?2
?
)
=0.9544

P
(
?
?3
?
?x?
?
?3
?
)
=0.9974



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