高中数学知识点汇总：选修六

选修之6 导数及其应用
一、变化率与导数
1.变化率
式子
f(x
2
)?f(x
1
)
叫做函数f (x)从x
1
到x
2
的平均变化率. 记Δ x =x
2
－x
1
，Δ y=f (x
2
)－
x
2
?x
1
f (x
1
)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.
2.导数定义
函数y= f (x)在x=x
0
处的瞬时变化率
lim
f ′(x
0
)或y′|x = x
0
，即
f'(x)?lim
?x?0
?y
.
称为函数y= f (x)在x = x
0
处的导数，记作
?x?0
?x
f(x
0
+?x)?f(x
0
)
.

?x
（3）(sin x)′=cos x
（4）(cos x)′=－sin x
（5）(ax)′=axlna
（6）(ex)′=ex
（7）
(log
a
x)'?
（8）
(lnx)'?
2.求导法则
（1）[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
（2）[f(x)·g(x) ]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
（3）f(x)g(x)′=f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x) ]
2

（4）[Cf(x) ]′=Cf′(x)（C为常数）
1

xlna
1

x

1

3.复合函数的导数（理科）
（1）复合函数：对于两个函数y= f (u)和u= g (x)，如果通过变量u，y可以表示成x的
函数，那么称这个函数为函数y＝ f (u)和u = g (x)的复合函数，记作y = f (g(x))．
（2）复合函数求导法则：
y
x
'?y
u
'?u
x
'

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
三、导数的应用
1.单调性与导数
（1）在某个区间(a , b)内，如果f ′(x)≥0，且f ′(x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函
数y=f (x)在(a , b)内单调递增；如果f ′(x)
≤
0，且f ′(x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函数
y=f (x)在(a , b)内单调递减.
（2）用导数单调区间：①求f ′(x)；②解不等式f ′(x)≥0，可得f (x)的单调递增区间，
解不等式f ′(x)
≤
0，可得f (x)的单调递减区间（注意定义域）.
注意：上述定理的逆命题不成立.
（3）求函数的极值的方法
求函数y= f (x)在区间[a , b]上的最值的步骤如下：
①解方程f ′(x)=0；
②当f ′(x
0
)=0时，如果在x
0
附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x
0
)是极大值；
如果在x
0
附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f (x
0
)是极小值．
（4）求函数的最值的方法
①求函数y= f (x)在(a , b)内的极值；
②将函数y= f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．


2

四、定积分（理科）
1.定积分的概念
函数f (x)在区间[a , b]上连续，用分点
a=x
0
1
＜…i
－
1
i
＜…n< br>=b
将区间[a , b]等分成n个小区间，在每个小区间[x
i
－
1
, x
i
]上任取一点ξ
i
(i=1，2，…，n)，
作和式
?
i?1
分，记作
?
f(x)dx
，即
a
b
n
f(
?
i
)?x?
?
b?a
f(< br>?
i
),

n
i?1
n
当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a , b]上的定积
?
a
b
f(x)dx?lim
?
b?a
f(
?
i
),

n??
n
i?1
n
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a , b]叫做积分区间，函数f (x)叫做
被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．
由y= f (x)，x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形的面积为
S?
?
f(x)dx.

a
b
注：对于稍复杂些的 图形的面积，可通过向x轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积
的和或差.
（2）求变速直线运动的路程

3

b
位移：
s?
?
v(t)dt

a
路程：
s?
?
v(t)dt
，其中v(t)表示速率.
a
b
（3）变力作功
W?
?
F(x)dx
，其中F (x)表示变力.
a
b


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