高中数学知识点(表格格式)

v1.0 可编辑可修改
高考数学回归知识必备

*1 集合与常用逻辑用语
概念
一组对象的全体.
x?A,x?A
。
子集
关系
集
合
交集
运算 并集
补集
概念
真子集
相等
元素特点：互异性、无序性、确定性。
x?A?x?B?A?B
。
x?A?x?B,?x
0
?B,x
0
?A?A?B

??A
；
A?B,B?C?A?C

n
个元素集合子集数
2
n
。
A?B,B?A?A?B

AB?
?
x|x?A,且x?B
?

C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)

C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)

集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
常
用
逻
辑
用
语
AB?
?
x|x?A,或x?B
?

C(CA)?A

UU
C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?

能够判断真假的语句。
原命题：若
p
，则
q

原 命题与逆命题，否命题与逆否命题互
逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命
题互否；原命题与逆 否命题、否命题与
逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。
命题
四种
命题
逆命题：若
q
，则
p

否命题：若
?p
，则
?q

逆否命题：若
?q
，则
?p

充分条件
充要
条件
必要条件
充要条件
或命题
逻辑
连接词
且命题
非命题
全称量词
存在量词
p?q
，
p
是
q
的充分条件
若命题
p< br>对应集合
A
，命题
q
对应集合
p?q
，
q< br>是
p
的必要条件
，则
p?q
等价于
A?B
，
p?q
等
p?q
，
p,q
互为充要条件
B
价于
A?B
。

类比集合的并
p?q
，
p,q
有一为真即为真，
p,q
均为假时才为假。

类比集合的交
p?q
，
p,q
均为真时才为真，
p,q< br>有一为假即为假。
?p
和
p
为一真一假两个互为对立的命题。
类比集合的补
量词

?
，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
?
，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
2.平面向量
向量
平
面
向
重
要
概
既有大小又有方向的 量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
长度为
0
，方向任意的向量。【
0
与任一非零向量共线】
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
起点放在一点的两向量所成 的角，范围是
?
0,
?
?
。
a,b
的夹角记为?a,b?
。
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0
向量
平行向量
向量夹角
量 念
1

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投影
?a,b??
?
，
bcos
?
叫做
b
在
a
方向上的投影。【注意：投影是数量】
e
1
,e< br>2
不共线，存在唯一的实数对
(
?
,
?
)
， 使
a?
?
e
1
?
?
e
2
。若e
1
,e
2
为
x,y
轴上
重
要
法
则
定
理
垂直条件
法则
算律
法则
分解
共线条件

一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解）
基本定理
的单位正交向量，
(
?
,
?
)
就是向量
a
的坐标。
a,b
（
b?0
共线
?存在唯一实数
?
，
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)?x
1
y
2
? x
2
y
1

a?
?
b

a?b?ab?0
。
x
1
y
1
?x
2< br>y
2
?0
。
加法
运算
a?b
的平行四边形法则、三角形法则。
a?b?b?a
，
(a?b)?c?a?(b?c)

a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
。
与加法运算有同样的坐标表示。
减法
运算
a?b
的三角形法则。
a?b?(x
1
?x
2
, y
1
?y
2
)

MN?(x
N
?x
M
,y
N
?y
M
)
。
MN?ON?OM
。
?
?a
为向量，
?
?0
与
a
方向相同，
概念
各
种
运
算
概念
数乘
运算
算律
?
a?(
?
x,
?
y)
。
?
?0
与
a
方向相反，
?
a?
?
a。
?
(
?
a)?(
??
)a
，
(< br>?
?
?
)a?
?
a?
?
a
，
与数乘运算有同样的坐标表示。
?
(a?b)?
?
a?
?
b

ab?a?bcos?a,b?

ab?x
1
x
2
?y
1
y
2
。
a?x
2
?y
2
，
数量
积运
算
主要
性质
aa?a
，
ab?a?b
。
2
22
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
2
?y
1
2
?x
2
?y
2
ab?ba
，
(a?b)c?ac?bc
，
算律
与上面的数量积、数乘等具有同样
的坐标表示方法。
(
?
a)b?a(
?
b)?
?
(ab)
。

*3.不等式、线性规划
不等式的
2
（1）
a?b，b?c?a?c
；
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两个实数的顺序关系：

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性质
（2）
a?b，c?0?ac?bc；a?b，c?0?ac?bc
；
（3）
a?b?a?c?b?c
；
（4）
a?b，c?d?a?c?b?d
；
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?
11
?
的充要条件
ab
（5）
a?b?0，c?d?0?ac?bd；
（6）
a?b?0，n?N，n?1?a?b；a?b

*nn
nn
是
ab?0
。
一元二次
不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对
应的函 数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数
的不同取值确定方程 根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．
基本
不等式
a?b

ab?
2
（
a?0,b?0
）
a?b?2ab
（
a,b?0
）；
ab?(
a?b
2
；
)
（
a,b?R
）
2
a
2
?b
2
2aba?b
22
≤
ab
≤≤（
a,b?0
） ；
a?b?2ab
。
2
a?b2
二元一次不等式
Ax?B y?C?0
的解集是平面直角坐标系中表示
Ax?By?C?0
某一侧所
二元 一次
不等式组
有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平 面区域的公
共部分。
约束条件
对变量
x,y
的制约条件。如果是
x,y
的一次式，则称线性约束条件
目标函数
求解的最优问题的表达式。如果是
x,y
的一次式，则称线性目标函数。
基本
概念
简单的
线性规划
可行解
可行域
最优解
满足线性约束条件的解
(x,y)
叫可行解。
所有可行解组成的集合叫可行域。
使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。
线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。
第一步 画出可行域。
不含
问题
解法
含
实际背景
第二步 根据目标函数几何意义确定最优解。
第三步 求出目标函数的最值。

注意区域
边界的虚实。
第一步 设置两个变量，建立约束条件和目标函数。 注意实际问题对
变量的限制。
实际背景
第二步 同不含实际背景的解法步骤。



*4.函数﹑基本初等函数I的图像与性质
函数
概念
及其
3
概念
表示方法
本质：定义域 内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对应法
则相同即可。
解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、
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表示 值域是各段值域的并集。 < br>对定义域内一个区间
I
，
x
1
,x
2
?I, x
1
?x
2
,
，
单调性
f(x)
是增 函数
?f(x
1
)?f(x
2
)
，
f(x)是减函数
?f(x
1
)?f(x
2
)
。
对定 义域内任意
x
，
f(x)
是偶函数
偶函数在定义域关
于坐标 原点对称的
区间上具有相反的
单调性、奇函数在定
义域关于坐标原点
性质
?f(x)?f(?x)
奇偶性
，
f(x)
是奇函数
对称 的区间上具有
?
f(?x)??f(x)
。偶函数图象关于
y
轴对称 、
相同的单调性。
奇函数图象关于坐标原点对称。
周期性
指数函数 < br>对定义域内任意
x
，存在非零常数
T
，
f(x?T)?f(x )

0?a?1

(??,??)
单调递减，
x?0
时
y?1
，
x?0
时
0?y?1

函数图象过
y?a
x

基本
初等
函数
Ⅰ
幂函数
对数函数
a?1

(??,??)
单调递增，< br>x?0
时
0?y?1
，
x?0
时
y?1

定点
(0,1)

0?a?1

在
(0,??)< br>单调递减，
0?x?1
时
y?0
，
x?1
时
y?0

函数图象过
y?log
a
x

a?1

在
(0,??)
单调递增，
0?x?1
时
y?0
，
x?1
时
y?0

在在
(0,??)
单调递增，图象过坐标原点
在在
(0,??)
单调递减
定点
(1,0)

?
?0

?
?0

函数图象过
定点
(1,1)

y?x
?


*5. 函数与方程﹑函数模型及其应用
方程
f(x)?0
的实数根。方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有
函数
零点
存在定理
概念
函数
建模
图象在
[a,b]
上连续不断，若
f(a)f(b)?0
，则
y?f(x)
在
(a,b)
内存在零点。
把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

解题步骤
数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。
解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。
解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
概念
交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
**6. 三角函数的图像与性质
4
第 4 页 共 17 页

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基
本
问
题
定义
同角三角
函数关系
诱导公式

任意角
?
的终 边与单位圆交于点
P(x,y)
时，
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
．
x
sin
2< br>?
?cos
2
?
?1,
sin
?
?tan< br>?
。
cos
?

360??
?
,180? ?
?
，
?
?
，
90??
?
,270??< br>?
， “奇变偶不变，符号看象限”．
值域 周期
增
?
?
单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
三
角
三
函
角
数
函
的
数
性
的
质
图
与
y?sinx

（
x?R
）
?
?1,1
?

2k
?


?< br>?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

2
?
2
?
?
?
奇函数
x?
(k
?
,0)

k
?
?

?
2
3
?
?
?2k
?
?
减?
?2k
?
,
2
?
2
?
增
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?

y?cosx

（
x?R
）

?
?1,1
?

2k
?

(k
?
?
偶函数

?
,0)
x?k
?
2

减
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

y?tanx

象
图
?
(
x?k
?
?
2
与
象
性
质
平移变换
)
R

k
?

增
?
?
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?

2
?
2
?
奇函数
?
k
?
?
,0
?

?
2
??
无
上下平移
左右平移
图
象
变
换
中心对称
对称变换
轴对称
伸缩变换

y?f(x)
图象平移
k
得
y?f( x)?k
图象，
k?0
向上，
k?0
向下。

y? f(x)
图象平移
?
得
y?f(x?
?
)
图象，< br>?
?0
向左，
?
?0
向右。
1
?
图 象各点把横坐标变为原来倍得
y?f(x)
的图象。
y?f(x)
x
轴方向
?
y
轴方向
y?f(x )
图象各点纵坐标变为原来的
A
倍得
y?Af(x)
的图象。 y?f(x)
图象关于点
(a,b)
对称图象的解析式是
y?2b?f( 2a?x)

y?f(x)
图象关于直线
x?a
对称图象的解析式是
y?f(2a?x)
。

*7. 三角恒等变换与解三角形
和差角公式
正弦
变换

公式
余弦
倍角公式
sin2
?
?
sin(
?
?
?
)

?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)
?cos
?
cos?

2tan
?
1?tan
2
?
sin2?
?2sin
?
cos
?

1?tan
2?
cos2
?
?
1?tan
2
?
cos2?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos2
?
?1?1?2sin
2
?
sin
?
sin
?
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
5
第 5 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
cos
2
?
?
tan(
?
?
?
)?< br>正切

定理
正弦
定理
变形
径）。
类型
定理
三
角
恒
等
变
换
与< br>解
三
角
形
实际
应用
常用术语
面积
公式
余弦
定理
变形
类型
基本
公式
导出
公式
基本思想
tan
?
?tan
?1tan
?
tan
?
1?cos2
?

2
tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
a
?
b
?
c
。
sinAsinBsinC
射影定理：
a?2RsinA,b?2RsinB,c? 2RsinC
（
R
外接圆半
a?bcosC?ccosB

b?acosC?ccosA

c?acosB?bcosA

三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,b
2
?a
2
?c
2?2accosB,c
2
?a
2
?b
2
?2abcos C
。
b
2
?c
2
?a
2
(b?c)2
?a
2
cosA???1
等。
2bc2bc
两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 111111
S?a?h
a
?b?h
b
?c?h
c?absinC?bcsinA?acsinB
。
222222
S?
a bc1
（
R
外接圆半径）；
S?(a?b?c)r
（
r内切圆半径）。
4R2
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多 个三角形，只
要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
仰
角
俯
角
方
向
角

视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
方向角一般是指以 观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始
方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北 偏西30°）。
方位角：某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
*8. 等差数列﹑等比数列
数
列
、
等
一般
数列
概念
通项公式
前
n
项和
按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。
数列
?
a
n
?
中的项用一个公式表示，
a
n
?f(n )

?
a
n
?

?
S
1
,n?1,
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
,n?2.

S
n
?a
1
?a
2
??a
n

6
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v1.0 可编辑可修改
差
数
列
等
比
数
列
简单
的递
推数
列解
法
累加法
累乘法
a
n?1
?a
n
?f(n)
型
a
n?1
?a
n
f(n)
型
解决递推数列问题的
基本思想是“转
转化法
a
n?1
?p a
n
?q?p
n?1
(p?0,1,q?0)?
a
n?1< br>a
n
?
n
?q

n?1
pp
化”，即转化为两类
基本数列----等差数
待定
系数法
概念
a
n?1
?ca
n
?d(c?0, 1,d?0)?a
n?1
?
?
?c(a
n
?
?)
。
列、等比数列求解。
比较系数得出
?
，转化为等比数列。
满足
a
n?1
?a
n
?d
（常数），
d? 0
递增、
d?0
递减、
d?0
常数数列。
等差
数列
通项
公式
前
n
项
和公式
概念
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?m?n?p?q
。
a
n
?a
1
?(n?1)d ?a
m
?(n?m)d

a
m
?a
n
?2a
p
?m?n?2p
。
?
a
n
?

S
n
?na
1
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)

d ?
22
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
为等差数列。
满足
a
n?1:a
n
?q
（
q?0
的常数），单调性由
a
1
的正负，
q
的范围确定。
等比
数列
通项
公式
a
m
a
n
?a
p
a
q
?m?n? p?q
，
a
n
?a
1
q
n?1
?am
q
n?m

a
m
a
n
?a
2
p
?m?n?2p

公比不等于
?1
时，
?
a
n
?

前
n
项
和公式
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?,q?1,
?S
n
?
?
1?q

1?q
?
na,q ?1.
?
1
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
成等比数列。

*9. 数列求和及其数列的简单应用
数
列
求
和
及
数
列< br>的
简
单
7
等差数列
S
n
?na
1
?
常
用
求
和
公
式
n(a
1< br>?a
n
)
n(n?1)
，特别
1?2?3?d?
22
?n?
n(n?1)
。
2
?
a
1
(1? q
n
)
a
1
?a
n
q
?,q?1,
?
2
S?
，特别
1?2?2?
1?q1?q
?
n
等比数列
?
na,q?1.
?
1
自然数
平方和
自然数
立方和
?2
n?1
?2
n
?1
。
1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?
(2n?1)
( 1?2?
3
?n)?
2
n(n?1)(2n?1)
。
6< br>1
3
?2
3
??n
3
?(1?2?
?
n(n?1)
?
。
?n)
2
?
??
2
??
常用裂项方法：
常公式法
n
如
a
n
?2?2n,a
n
?3
。
1
?
1
(
1
?
1
)
；
n(n?k)knn?k
第 7 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
应
用
用
求
和
方
法
分组法
nn
如
a
n
?2n?2
，
an
?(?1)n?2
。
11
?
11
?
??
??
；
n
2
?12
?
n?1n?1
?
1
?
11
???
??
；
2
4n?12
?
2n?12n?1
?
1
裂项法
错位
相减法
倒序
相加法
如
a
n
?
111
??
。
n(n?1)n n?1
n
如
a
n
?(2n?1)?2
。
n?111
??
。
n(n?1)?2
n
(n?1)2
n?1
n?2
n

01
如
C
n
?C
n
?
k
?kC< br>n
?
n
?C
n
。
数
列
模
等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。
等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
一个简单
基本特征是指数增长 的同时又均匀减少。如年收入增长率为
20%
，每年年底要拿
型
递推数列
出
a
（常数）作为下年度的开销，即数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?1.2a
n
?a
。
注：表中
n,k
均为正整数
*10.空间几何体（其中
r
为半径、
h
为高、
l
为母线等）
三
视
图
直
观
图
空
间
几
何
体
表
面
积
和
体
积
圆锥
圆台
球

8
第 8 页 共 17 页
正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。
侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。
俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
画法
面积
关系

棱柱
棱锥
棱台
圆柱
正视图与侧视图高平齐；
侧视图与俯视图宽相等；
俯视图与正视图长对正。
使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
水平放置的平面图形的 面积为
S
，使用斜二测画法画出的直观图的面积为
S'
，则
S?22 S'
。
表面积
S
全
?S
侧
?2S
底

S
全
?S
侧
?S
底

S
全
?S
侧
?S
上底
?S
下底

S
全
?2
?
r
2
?2
?
rh
S
全
?
?
r
2
?
?
rl

体积
表面
积即
空间
几何
体暴
露在
外的< br>所有
V?S
底
h
高

1
V?S
底
h
高

3
1
V?(S'?S'S?S)h

3
V?
?
r
2
h

1
V
锥
?Sh

3

?
S?S'

1
V
台
?(S'?S'S?S)h

3

?
S'?0

V
柱
?Sh

1
V?
?
r
2
h

3
1
V?
?
(r'
2
?r'r?r
2
)h

3
S
全
?
?
(r'
2
?r
2
?r' l?rl)

面的
S
球
?4
?
R

2
面积
之和。
4
V
球
?
?
R
3

3

v1.0 可编辑可修改
*11.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字
母表平面）：
公理1
基
本
公
理
公理3
公理4
线线
位
置
关
系
面面
线面

点线面
公理2
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?
。
A,B,C
不共线
?A,B,C
确定平面
?
。
用途
判断直线在平面内。
确定平面。
确定两平面的交线。
P?
?
,P?
?
,
??
?l?P?l

两直线平行。
a
∥
c
，
b
∥
c
?
a
∥
b

共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
A?l,B?l
；
A?
?
,B?
?
。
l
?
,l
?
?A,l?
?
.
。分别对应线面无公共点 、一个公共点、无数个公共点。

?
∥
?
，
??
? l
。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。
判定定理 性质定理
空< br>间
点
、
直
线
、
平
面
的
位< br>置
关
系
……
平
行
关
系
面面
线面
a?
?
,b?
?
,ab?a
?

线线平行
?
线面平行
a
∥
?
，
a??
，
??
?b
?
a
∥
b

线面平行
?
线线平行
a?
?
,b?
?
, a
a
?
,b
?
b?P
?
?
?
?< br>
?

?
?

?
,
??
?a,
??
?b?ab

线面平行
?
面面平行
垂
直
关
系
面面
……
线面
面面平行
?
线线平行
m?
?
,n?
?
, mn?P
?
?
?a?
?

a?m,a?n
?
线线垂直
?
线面垂直
a?
?
?
?
?a
∥
b

b?
?
?
线线垂直
?
线线平行

空
间
角
线面角
线线角
9
l?
?
,l?
?
?
?
?
?

线面垂直
?
面面垂直
定义
把两异面直线平移到相交时两相交直线
所成的角。
?
?
?
,
??
?l,a?
?
,a?l?a?
?

面面垂直
?
线面垂直
特殊情况
两直线平行时角为
0?

所成角为
90?
时称两直
线垂直
线面平行或线在平面内
范围
?
?
?
0,
?

?
?
2
?
平面的一条斜线与其在该平面内射影所
成角。
时线面角为
0?

线面垂直时线面角为
?
?
?
0,
?

?
?
2
?
90?

第 9 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
两个半平面重合时为
0?

二面角
在二面角的棱上一定向两个半平面内作
垂直棱的垂线，这两条射线所成角。
两个半平面成为一个平
面时为
180?

当二面角为
90?
时称两
个平面垂直
空
间
距
离

面面距
点面距 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。
线面距 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。
两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。
线面距和面面距
转化为点面距。
?
0,
?
?

*12. 空间向量与立体几何
重要
空
间
向
量
基本
定理
概念
共面向量
空间基底
共线定理
共面定理
基本定理
空
间
向
量
与
立体
几
立
体
几
何
中
位置
关系
线面
标志
方向向量
法向量
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直

面面垂直
线线角
?

空间
角
线面角
?

二面角
?

空间
距离
10
一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。
空间任何三个不共面的向量
a,b,c
都可做空间的一个基底。
a,b（
b?0
共线
?
存在唯一实数
?
，
a?
?
b
。
（
a,b
不共线）共面
?
存在实数对< br>x,y
，使
p?xa?yb
．
p
与
a,b
、
a,b,c
不共面，空间任意向量
p
存在唯一的
(x,y,z)< br>，使
p?xa?yb?zc
。
所在直线与已知直线
l
平行或 者重合的非零向量
a
叫做直线
l
的方向向量。
所在直线与已知平面
?
垂直的非零向量
n
叫做平面
?
的法向量。
方向向量共线。
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。
判定定理；两个平面的法向量平行。
两直线的方向向量垂直。
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。

判定定理；两个平面的法向量垂直。
两直线方向向量为
a,b
，
cos
?
?cosa,b
。
直线的方向向量为
a
，平面的法向量为
n
，
sin
?
?cosa,n
。
两平面的法向量分别为
n
1
和
n
2
，则
cos< br>?
?cosn
1
,n
2
。
直线的方向向量为
a
，直线上任一点为
N
，点
M
到
两平行线距离 转化
为点线距。
第 10 页 共 17 页
何
的
向
量
方
法
点线距

v1.0 可编辑可修改
直线
a
的距离
d?MNsinMN,a
。
平面
?
的法向量为
n
，平面
?
内任一点为
N
，点
M

点面距
到平面
?
的距离
d?MNco sMN,n?
MN?n
n
线面距、面面距转化
。
为点面距。

* 13.直线与圆的方程
倾斜角
概念
斜率
x< br>轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与
x
轴平行或重合时倾斜角为
0?
倾斜角为
?
，斜率
k?tan
?
?
y2
?y
1
（
x
1
?x
2
），
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
在直线上。
x
2
?x
1
在
y
轴截距为
b
时
y?kx?b
。
点斜式
直线
方程
直
线
直
线
与
圆
的
方
程



与
方
位置


程
关系
平行
y?y
0
?k(x?x
0
)

两点式
xy
y?y
1
x?x
1
在
x,y
轴截距分别为
a,b
时
??1
。
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

?
ab
y
2
?y
1
x
2
?x
1
，
B?0
时斜率
k??
Ax?By?C?0
（
A
2< br>?B
2
?0
）
一般式
A
C
，纵截距
?
。
B
B
当不重合的两条 直线
l
1
和
l
2
的斜率存在时，
l
1< br>l
2
?k
1
?k
2
；如果不重合直
线
l
1
和
l
2
的斜率都不存在，那么它们都与
x
轴 垂直，则
l
1
l
2

l
1
l
2< br>l
1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
l
1
,l
2
0


22
P
?(x?x)?(y?y)

1
(x
1,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)PP
122121
P(x
0
,y
0
)
l:Ax ?By?C?0
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B< br>22







l
1
:Ax?By?C
1
?0l
2
:Ax?By?C
2
?0
d?

C
1
?C
2
A?B
22

(a,b)r
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
D
2
?E< br>2
?4F?0


第 11 页 共 17 页
DE
(?,?)
22
D
2
?E
2
?4F

2

11

v1.0 可编辑可修改





d?r


d?r


d?r




r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2

d?r
1
?r
2
d?r
1
?r
2

d?r
1
?r
2
d?r
1
?r
2

d
锥曲线的定义、方程与性质

定义
平面内与两个定点
F
1
，
标准方程
几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
F
2
的距离之和等于常数
椭
圆

圆
锥< br>曲
线
的
定
义
、
方
程
与
性< br>质
平面内到一个定点
F
和
一条定直线
l
（定点F
不
抛
在定直线
l
）距离相等的
物
点的轨迹是 抛物线。
线
【焦点到准线的距离等
于
p
，
p?0
，焦参数】
双
曲
线
xy
??1

22
ab
22
x?a
(?a,0)
(?c,0)

y?b

(0,?b)

椭圆中
2a
（大于
F
1
F
2
?2c
）
的点的轨迹叫做椭圆．
【
b?a?c
，
a?b
】
平面内与两个定点
F< br>1
，
222
yx
??1

22
ab
22
y?a

(0,?a)

x?b

(?b,0)

(0,?c)

F
2
的距离之差的绝对值
等于常数
2a
（小于
x
2
y
2
??1

a
2
b
2
x?a

y?R

(?a,0)

(?c,0)

a?c

0?e?1
?

x
轴
c

e?
y
轴
a
?

坐标原点

双曲线
中
a?c

F
1
F
2
?2c
）的点的轨迹
叫做双曲线．
【
b?c?a
】
222
y
2
x
2
??1

a
2
b
2
y?a

x?R

(0,?a)

(0,?c)

e?1

x?0

y
2
?2px

y?R

p
(,0)

2
1

【离心
x
轴

x?0

y??2px

x?2py

2
2
率是曲
线上的
点到焦
点的距
y?R

y?0

p
(?,0)

2
(0,0)

x?R

y?0

p
(0,)

2
y
轴
p
(0,?)

2

离与到
准线的
距离之
比】
x??2py

2
x?R

注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为y??
ba
x
，
y??x
。
ab
12
第 12 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
2.表中四 种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是
x??
pppp
,x?,y??,y?。
2222
*15. 圆锥曲线的热点问题
曲线
C
上点的 坐标都是方程
f(x,y)?0
的解，以
f(x,y)?0
的解为坐标的点都 在曲线
C
概念
上，则称曲线
C
为方程
f(x,y)?0< br>的曲线、方程
f(x,y)?0
为曲线
C
的方程。
直接法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。
曲
曲
线
方
程
与
圆
锥
曲
线
热
点
问
热
定值
含义
解法
含义
解法
含义
解法
定点
含义
解法
交规法
线
与
方
程
求法
把动点坐标
(x,y)
用参数
t
进行表达的方法。此 时
x?
?
(t),y?
?
(t)
，消掉
t
即
参数法
得动点轨迹方程。
轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线 （曲线）中消掉参数即
得轨迹方程的方法。
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。
把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲
线系恒过的定点。
不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。
建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。
一个量变化时的变化范围。
建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或
者解不等式。
一个量在变化时的最大值和最小值。
建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。
代入法
定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。
动点
P
?
x,y
?
随动点
Q
?
x
0
,y
0
?
运动，
Q
在曲线
C:f
?
x,y
?
?0
上，以
x,y
表示
x
0
,y
0
，代入曲线
C
的方程得到动点轨迹方程的方法。
题
点
问
题
范围
最值



*16. 函数与方程思想,数学结合思想
函
数
与
方
程
13
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用
函数与方
程思想
函数联 系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立
函数与方程思想在
一定的条件下是可以相
互转化的，是相辅相成
的，函数思想重在对问
题进行动态的研究，方
思想 各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的
有关性质，使问题得到解决．
方程方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表
第 13 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
思
想
、
数
形
结
合
思
想
数形结合
思想
思想 示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程
（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以
求得问题的解决．
以形
根 据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通
程思想则是在动中求
静，研究运动中的等量< br>关系．
数形结合的重点是
研究“以形助数”，这
在解选择题、填空题中
助数
过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决

思路解决数学问题的思想。
更显其优越，要注意培
养这种思想意识，做到
以数
根据数与形之间的对应关系 ，通过把形转化为数，通
心中有图，见数想图，
以开拓自己的思维视
野.
助形
过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法。

*17. 分类与整合思想,化归与转化思想
分
类
与
整
合
、
化
归
与
转
化
化归
与
转化
转化
思想
决问题的思想方法。
化归
思想
化复杂为简单的解决问题的思想方法。
根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法 ，把
数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解
分类
与
整合
分类
解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解
分类与整合思想的主要问题
是“分”，解题的过程是“合
—分—合”。
思想
决的思想方法。
整合 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出
思想 整体结论的思想方法。
根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把
数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化 整体为局部、
化归转化思想的实质是
“化不能为可能”，使用化归
转化思想需要有数学 知识和
解题经验的积累。

选修部分IB课程
*1.复数
规定 ：
i??1
；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、
虚数单位
乘运算律仍成立。
i

复数 概念
复数
4k
2
?1,i
4k?1
?i,i
4k?2
??1,i
4k?3< br>??i(k?Z)
。
形如
a?bi(a,b?R)
的数叫做复数，< br>a
叫做复数的实部，
b
叫做复数的
虚部。
b?0
时叫 虚数、
a?0,b?0
时叫纯虚数。
第 14 页 共 17 页
14

v1.0 可编辑可修改
复数相等
共轭复数
加减法
运算 乘法
除法
a?bi?c?di(a,b,c,d?R)?a?c,b?d

实部相等，虚部互为相反数。即
z?a?bi
，则
z?a?bi
。
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
，
(a,b,c,d?R)
。
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
，
(a ,b,c,d?R)

(a?bi)?(c?di)?
一一对应
ac?bdb c?da
?i(c?di?0,
a,b,c,d?R
)

c
2
?d
2
c
2
?d
2
一一对应
几何
意义
?
复平面内的点
Z(a,b)
?????
向量
OZ
复数
z?a?bi
????
向量
OZ
的模叫做复数的模，
z ?a
2
?b
2




2. 导数及其应用
概念
与几
何意
义
几何
意义
概念
函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处的导数< br>f'(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)? f(x
0
)
。
?x
f'(x
0
)
为曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
)
处 的切线斜率，切线方程是
y?f(x
0
)?f'(x
0
)(x?x< br>0
)
。
nn?1?
；
(x)
?
?nx(n?N)
；
C< br>?
?0
（
C
为常数）
导
数
及
其应
用
运算
基本
公式
(sinx)
?
? cosx，(cosx)
?
??sinx
；
(e
x
)?
?e
x
，(a
x
)
?
?a
x
lna
（
a?0
，且
a?1
）；
1
?
1
?
'??
；
??
2
x< br>?
x
?
(lnx)'?
11
（
a?0
，且< br>a?1
）．
(lnx)
?
?，(log
a
x)?
?log
a
e
xx
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
；
[f(x)g(x)]< br>?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
运算
法则
，
1
。
x
[Cf(x)]
?
? Cf
?
(x)
；
?
f(x)
?
?
f
?
(x)g(x)?g
?
(x)f(x)
?
1
?
?
g
?
(x)
??
?(g(x)?0)
， ．
?
g(x)
?
?
g(x)
?
2
2
g(x)< br>g(x)
??
??
复合函数求导法则
y?
?
f(g( x))
?
'?f'(g(x))g'(x)
。
研究 单调性
f' (x)?0
的各个区间为单调递增区间；
f'(x)?0
的区间为单调递减区间。
15
第 15 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
函数
性质
极值
f'(x
0
)?0
且
f'(x)
在
x
0
附近左负（正）右正（负）的
x
0
为极小（大）值点。
?
a,b
?
上的连续函数一定存在最大值和最小值， 最大值和区间端点值和区间内的极
最值
大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
*3.计数原理与二项式定理
完成一件事有
n
类不同方案，在第
1
类方案中有
m
1
种不同的方法，在第
2
类方案
分类 加法
计数原理
基本
原理
分步乘法
计数原理
事共有N?m
1
?m
2
?
中有
m
2
种不同的 方法，…，在第
n
类方案中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件?m
n
种不同的方法．
完成一件事情，需要分成
n
个步骤，做 第
1
步有
m
1
种不同的方法，做第
2
步有
m
2
种不同的方法……做第
n
步有
m
n
种不同的方 法.那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
?????m
n< br>种不同的方法.
从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元 素，按照一定的次序排成一列，叫做从从
n
排
列
组
合
二项
式
定
理
定义
出
m(m?n)
个元素的组 合，所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
排列数
公式
m
A
n
?n(n?1)(n?2)
定义
排列
个 不同元素中取出
m(m?n)
个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从
nm
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的排列数，用符号
A
n
表示。
(n?m?1)?
n!
(n
，
m?
Ν，< br>m?n)
，规定
0!?1
．
(n?m)!
从
n个不同元素中，任意取出
m(m?n)
个元素并成一组叫做从
n
个不同元 素中取
组合
组合数
公式
性质
定理
二项
式定
理
系数和
16
m(m?n)
个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示。 C?
m
n
n(n?1)
m
A
n
(n?m?1)
m
，
C
n
?
m
．
m!
A
m
mn?m
mmm?1
C
n
?C
n
(
m ,n?N,且m?n
)；
C
n?1
?C
n
?C
n< br>(
m,n?N,且m?n
)．
0n1n?1
(a?b)
n< br>?C
n
a?C
n
ab?
rn?rr
?C
n< br>ab?
nn
r
?C
n
b
（
C
n叫做二项式系数）
rn?rr
?
通项公式
T
r?1
?C
n
ab
（其中
0
?
k
?
n，k?N， n?N
）
012rnn
?1
；
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2
；< br>C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
r
?C
n
r
?1第 16 页 共 17 页

v1.0 可编辑可修改
公式
135
C
n
?C
n
?C
n
?
024
?C
n
?C
n
?C
n
?
123
2
n?1
;C
n
?2C
n
?3C
n
?
n< br>?nC
n
?n2
n?1
.

*4.概率
如果随机事件
A
在
n
次试验中发生了
m
次，当试验的次数< br>n
很大时，我们可以将发生的
定义
频率
m
m
作为事 件
A
发生的概率的近似值，即
P
?
A
?
?
。
n
n
①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件.
事件
A
和事件
B
在任何一次实验中不会同时发生
事件
A
和事件
B
，在任何一次实验中有且只有一个发生。
事件
关系
基本关系
互斥事件
对立事件
基本性质
0?P(A)?1
，
P(?)?0
，
P(?)?1
。
事件
A,B
互斥，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
。
事件
A
与它的对立事件
A
的概率满足
P(A)?P(A)?1.
基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
类比集合关系。

概

率
性质 互斥事件
对立事件
古典
特征
概型
计算公式
特征
几何
概型
计算公式

P(A)?
m
，
n
基本事件的个数、
m
事件
A
所包含的基本事件个数。
n
基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。
P(A)?
构成事件A的测度
试验全部结果所构成的测度



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