天津高中数学陈文胜-金山区高中数学老师
数学选修2-3
第一章 计数原理
知识点:
1、分类加法计数原
理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1种不同的
方法,在第二类办法中有M2种不
同的方法,??,在第N类办法中有MN种不同的方法,
那么完成这件事情共有M1+M2+??+MN
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一 步有m1种
不同的方
法,做第二步有M2不同的方法,??,做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有
N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)
个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数:
5、组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从
n个不同元素中取出
m个元素的一个组合。
6、组合数:
7、二项式定理:
8、二项式通项公式
第二章 随机变量及其分布
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验
的结果的不同
而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y等或希
腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我
们可
以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....
,xi ,......,xn
X取每一个值
xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X
的概率分布,
简称分布列
4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ?
; ② p1 + p2 +?+pn= 1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
其中0
6、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取
n
(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,则它取值为k时的概率为 ,
其中 ,且
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生
的概率,叫
做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率
8、公式:
9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
10、n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布: 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,A发生次数ξ是一个随
机
变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在
n次独立重
复试验中 (其中 k=0,1, ??,n,q=1-p )
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p) ,其中n,p为参数
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称
Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn+?
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称
为期望.是离散型随机变量。
13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2?P1+(x2-Eξ)2?P2
+......+(xn-Eξ)2?Pn 叫随机变量ξ的均方差,
简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
期望 方差
两点分布 Eξ=p
Dξ=pq,q=1-p
二项分布,ξ ~ B(n,p) Eξ=np
Dξ=qEξ=npq,(q=1-p)
15、正态分布:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像,其中解析式中的实数
是参数,分别表示总体的平均数与标准差.
则其分布叫正态分布 ,f( x
)的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x= 对称,且在x= 时位于最高点.
③当时 ,曲线上升;当时
,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐
近线,向它无限靠近.
④当
一定时,曲线的形状由 确定. 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
越
小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3 原则:
从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在
以外取值的概率只有0.3% 由
于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通
常认为这些情况在一次试
验中几乎是不可能发生的.
第三章 统计案例
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1,
y2},其样本频数列联表为:
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述
为H1:“X与Y有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关
系,并且能较精确地给出这种
判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量
K^2的值(即K的平方) K2 =
n (ad - bc) 2 [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d为
样
本容量,K2的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤3.841时,X与Y无关;
K2>3.841时,X与Y有95%可能性有关;K2>6.635时X与Y
有99%可能性有关
回归分析
回归直线方程
其中 ,
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