人均效能计算公式线性拟合和二次拟合函数

6.2 线性拟合和二次拟合函数


线性拟合

给定一组数据，做拟合直线，均方误差为
（6.2）
是二元函数，的极小值要满足


整理得到拟合曲线满足的方程：

（6.3）
或
称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程：
a=
=

例6.1 下表为P. Sale及R. Dybdall在某处作的鱼类 抽样调查，表中为鱼的数量，为
鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。

13

11

40

13
15
10
42
14
16
11
55
22
21
12
60
14
22
12
62
21
23
13
64
21
25
13
70
24
29
12
17
30
14
23
31
16
34
36
17
72 100 130


解：设拟合直线
编
号
1
2
3
4
5

21
∑
，并计算得下表：
x
13
15
16
21
22

130
956
y
11
10
11
12
12

34
344
xy
143
150
176
252
264

x
2

169
225
256
441
484

4420 16900
18913 61640
将数据代入法方程组（6.3）中，得到：

解方程得：= 8.2084，= 0.1795
拟合直线为：

二次拟合函数

= 8.2084 + 0.1795
给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。
设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：
（6.4）
由多元函数的极值原理，的极小值满足

整理得二次多项式函数拟合的法方程：
（6.5）
解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函 数
的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶
。方程组（6.5）称为多项式拟合
时，法方程的系数矩阵是病
态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。
例6.2 给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。


－3
4
－2
2
－1
3
0
0
1
－1
2
－2
3
－5
解：设

－3
－2
－1
0
1
2
3
4
2
3
0
1
2
5
1

，由计算得下表：

－12
－4
－3
0
－1
－4
－15
－39
9
4
1
0
1
4
9



81
16
1
0
1
16
81
96
36
－27
8
3
0
－8
－1
0
－1
1
－8
8
－45
27
－7
0 28
将数据代入式（6.5），相应的法方程为：

解方程得：=0.66667，=－1.39286，=－0.13095
∴= 0.66667－1.39286－0.13095
拟合曲线的均方误差：
结果见图6.3。
=3.09524
6.3 拟合曲线与数据序

图