高中数学三角函数知识点总结实用版[1]

高中数学第四章-三角函数
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z
?
▲
y
2
sinx
1
cosx
co sx
②终边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

③终 边在y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k?Z
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
, k?Z

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k? 180
?
?45
?
,k?Z

⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45< br>?
,k?Z

??
3
sinx
4
?
??
?
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx< br>3
x
??
4
??
SINCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
??
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关 系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：< br>?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

⑩角< br>?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的 关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

16. 几个重要结论
:
(1)
y
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
高三数学总复习—三角函数
(2)
y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x< br>|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cos x>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2

7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?

1
??
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

1
??< br>?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

cos
?
co
?
s
?co
?
t

sin
?
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?ta n
?

??co?s?1

tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec
sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

9、诱导公式：
把
k
?

?
?
的三角函 数化为
?
的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一
公式组二 公式组三
sinx
sin(2k
?
?x)?sinx
sin?(x)??sinx
sinx
·
csc
x
=1tan
x
=sin
2
x
+cos
2
x
=1
cosx
cos(2k
?< br>?x)?cosx
cos?(x)?cosx

cos

x

2

2

tan(2k
?
?x)?t anx
x
=
tan?(x)??tanx
cos
x
·
sec
x
=1
1+tan
x
=sec
x
sinx
cot(2k
?
?x)?cotx
cot?(x)??coxt
22
tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
x
=csc
x
公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin2(< br>?
?x)??sinxsin
?
(?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosxcos2(
?
?x)?cosxcos
?
(? x)??cosx

tan(
?
?x)?tanxtan2
?
(?x)??tanxtan
?
( ?x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot2
?
(?x )??coxtcot
?
(?x)??coxt
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
co
?
s
22
2
?
?co
2
s
?
?sin
?< br>?2co
2
s
?
?1?1?2sin
?

c os(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?

cos
2
?
?sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan
2tan
?
1?tan
?
2
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin??
2
?
1?co
?
s

2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?cos
?

cos??

1?tan
?
tan
?
22
高三数学总复习—三角函数 < /p>

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

tan

?
??1?cos
?
?
sin
?
?
1?cos
?1?tan
?
tan
?
21?cos
?
1?cos?
sin
?
公式组三 公式组四 公式组五
1
1
?
sin
?
cos
?
?< br>?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?< br>?
?
?
?
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
2tan
2
2
2

sin
?
?
1
2
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?< br>?
cos
?
sin
?
?
1
1?tan
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
2
2< br>1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
??
?
1
2
2
?
tan(
?
?
?
)?cot
?
1?tan
2
1
2

sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?< br>?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
2
1
1?tan
2?
?
??
?
?
cos(
?
?
?
)??sin
?
2
sin
?
?sin
?
?2si ncos
2
22
?
?
??
?
?
1
?
sin
?
?sin
?
?2cossin
tan(
?
?
?
)??cot
?
2tan
22
2
2

?
?
??
?
?
tan
??
cos
?
?cos
?
?2coscos
?
1
22
1?tan
2
sin(
?
?
?
)?c os
?
2
?
?
??
?
?
2
cos
?
?cos
?
??2sinsin
22
6?2
, ,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,.
tan75
?
?cot15
?
?2?3

sin1 5
?
?cos75
?
?
4
sin75
?
? cos15
?
?
6?2

4


10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期性
奇偶性






单调性

y?sinx

y?cosx
R
[?1,?1]


y?tanx
1
?

?
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R R
[?1,?1]

R
?

?
?A,A
?


?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?< br>
2
?

奇函数
2
?

2
?
偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
奇函数
?
?
?
?
? k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
奇函数
[?
?
2
?2k
?
,
；
?
??
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上 为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
?2k
?< br>]
上为增函
数；
[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]
2
上为增函
数
[2k
?,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
上为增函数；
?
?
2k
?
??
??
上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
( A),
??
?
??
??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数
高三数学总复习—三角函数

（
k?Z
）
注意：①
y??sinx
与< br>y?sinx
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx的单调性也同样相
反.一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上 递增（减），则
y??f(x)
在
[a,b]
上递减（增）.
▲< br>②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
. ③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(< br>?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?
y
?
.
O
x
x
y?tan
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?
，如图 ，翻折无效）.
2
?
④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
（k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?(osc?
x?
?
)
的
对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y?an(t
2
（
?
x?
?
)
的对称中心
k
?
.
,0
）
2
y?cos2x?
原点对称
????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当
t an
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
tan
?·
tan
?
??1,
?
?
?
?k
?< br>?
?
2
(k?Z)
.
?
?
⑥
y? cosx
与
y?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数，则
2
??
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定
义域关于原 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y? tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
y
▲
y
x
12
x
高三数学总复习—三角函数 y=cos|x|图象
y=|cos2x+12|图象

；
y?co sx
为周期函数（
T?
?
）；
y?cosx
是周期函数（ 如图）
y?cos2x?
1
的周期为
?
（如图），并非所有周期函数 都有最小正周期，例如：
2
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
1 1、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
２）、描点法及 其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲
线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
|
?
|
T2
?
（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（ 当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅 变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用yA
替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不 变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的
|
1
|< br>倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx
?
替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象 上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象 叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后 顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区
别。
4、反三角函数：
函数y＝sinx ，
?
?
??
?
?
的反函数叫做反正弦函数，记作
? ?
?
x?
?
?
2
，
?
2
?
??
??
y＝arcsinx，它的定义域是［－1，
1］，值域是
?－
?
，
?
?
．
?
?
22
?
?
函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccos x，它的定
义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y＝tanx，
?
记作
?
??
?
?
的反函数叫做反正切函数，
?
?
?
?
x?
?
?
2
，
?
2
?
?
?
?
?
?
?
22
?
y＝ar ctanx，它的定义域是（－
∞，＋∞），值域是
?
?
?
，
?
?
．
高三数学总复习—三角函数

函数y＝ctgx， ［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域
是（－∞，＋∞） ，值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数
y?arcsinx
是奇函数，故
arcsin(?x)? ?arcsinx
，（一
?
x?
?
?1,1
定要注明定义域 ，若
x?
?
??,??
?
，没有
x
与
y< br>一一对应，故
y?sinx
无反函数）
注：
sin(arcsinx )?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arcsinx?< br>?
?
?
,
?
?
.
?
?
2 2
?
?
⑵反余弦函数
y?arccosx
非奇非偶，但有
a rccos(?x)?arccos(x)?
?
?2k
?
，
x??
?1,1
?
.
注：①
cos(arccosx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arccosx?
?0,
?
?
.
②
y?cosx
是偶函数，
y? arccosx
非奇非偶，而
y?sinx
和
y?arcsinx
为 奇函数.
⑶反正切函数：
y?arctanx
，定义域
(??,??)，值域（
?
arctan(?x)??arctanx
，
x?
( ??,??)
.
??
22
,
），
y?ancartx
是奇函数，
注：
tan(arctanx)?x
，
x?
(??,??)
. ⑷反余切函数：
y?arccotx
，定义域
(??,??)
，值域（< br>?
??
，
y?acrcotx
是非奇非偶.
,
）< br>22
arccot(?x)?arccot(x)?
?
?2k
?
，
x?
(??,??)
.
注：①
cot(arccotx)?x
，
x?
(??,??)
.
②
y?arcsinx
与
y?arcsin(1?x)
互为奇函数，
y?arctanx
同理为奇而
y?arccosx
与
y?arccotx
非奇非偶但满足
arcc os(?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]arcco tx?arccot(?x)?
?
?2k
?
,x?[?1,1]
.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a
的取值范围 解集
a
的取值范围 解集
x?a
的解集 ①
sinx?a
的解集 ②
cos
a
＞1
?

=1
?
x|x?2k
?
?arcsai,nk?Z
?

＜1
x|x?k
?
?
?
?1
?
k
arcsina,k?Z

a
a
＞1
?

a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?

a
??
a
＜1
?
x|x?k
?
?arccosa,k?Z
?

③
tanx?a
的解集：
?
x|x?k
?
?arctana, k?Z
?
③
coxt?a
的解集：
?
x |x?k
?
?arcoat,k?Z
?

二、三角恒等式.
sin2
n?1
?
组一
n
cos
?
co s2
?
cos4
?
...cos2
?
?
n?12sin
?

组二
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?
k?1
n
cos
?
2
k
?cos?
2
cos
?
4
cos
?
8
?
cos
?
2
n
?
sin
?
2
n
sin
?
2
n

高三数学总复习—三角函数

?
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?
k?0< br>n
sin((n?1)d)cos(x?nd)

sind
?
k?0
n
sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)

sind
tan(
??
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?< br>?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?< br>
1?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
组三 三角函数不等式
?
sinx
在
(0,
?
)
上是减函数
sinx
＜
x
＜
tanx,x?(0,)

f(x)?
2
x
若
A?B?C?
?
，则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xzcosB?2x ycosC

高三数学总复习—三角函数