高中数学选修4-4知识点(最全面系统知识点总结)

高中数学 选修4-4知识点

1．伸缩变换
：设点
P(x, y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
x
?
?
?< br>?x,(
?
?0),
的作用下，点
P(x,y)
对应到点P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐
?
y
?
?
?
?y,(
?< br>?0).
标伸缩变换，简称伸缩变换。
教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换
教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题
掌握内容：会求伸缩变换后的曲线方程 < br>?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
易出现的问题：
?
:
?
公式记混乱
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
解决方法 ：加强练习，巩固记忆




2.极坐标系的概念
：在 平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引一条射线
Ox
叫
做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
掌握内容：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位
易出现的问题：极角的确定
解决方法：通过观察、探索、发现

3．点
M
的极坐标
： 设
M
是平面内一点，极点
O
与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极
径，记为
?
；以极轴
Ox
为 始边，射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角，记为< br>?
。有序
数对
(
?
,
?
)
叫做点< br>M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
. 极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点.

教学重点：理解极坐标中极径，极角的概念
教学难点：极坐标与直角坐标的区别
掌握内容：能找出极径，极角
易出现的问题：极角的确定
解决方法：通过练习巩固概念

4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点
。
如果规定
?
?0,0?
??2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,< br>?
)
表示；
同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的。

教学重点：
?
? 0
?
?0,0?
?
?2
?
的理解
教学难点：
?
?0,0?
?
?2
?

掌握 内容：
?
?0,0?
?
?2
?
的前提下
(
?
,
?
)
表示的点唯一
易出现的问题：若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称，即< br>(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点的理解
解决方法：通过练习巩固概念







5．极坐标与直角坐标的互化：

?
2
?x
2
?y
2
,tan
?
?
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
y
(x?0)

x



教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
掌握内容：
?
2
?x
2
?y
2
,tan
?
?
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
y
(x?0)
必须要会互化
x
易出现的问题：公式记忆混乱，张冠李戴。
解决方法：加强训练巩固记忆


6.
圆的极坐标方程
：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asi n
?
；
2
教学重点、极坐标方程的意义
教学难点：极坐标方程的意义
掌握内容：必须会写出圆心不同位置圆的极坐标方程
易出现的问题：求曲线方程的步骤
解决方法：圆的直角坐标方程和极坐标方程的形式，从而发现及坐标方程更简洁

?
7.在极坐标系中，
?
?
?
(
?
?0)
表 示以极点为起点的一条射线；

?
?
?
(
?
? R)
表示过极点的一条直线
.
在极坐标系中，过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
?
cos
?
?a
， 过
点
A(0,a)(a?0)
，且平行于极轴的直线l的极坐标方程是
?sin
?
?a
.

教学重点、极坐标方程的意义
教 学难点：
?
?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一 条射线
掌握内容：几种特殊形式的极坐标方程
易出现的问题：
?
cos
?
?a

?
sin
?
?a
的区别与理解
解决方法：多注意观察，加深理解





第二讲 参数方程

1．参数方程的概念
：在平面直角坐标系中，如果曲线 上任意一点的坐标
x,y
都是
?
x?f(t),
某个变数
t
的函数
?
并且对于
t
的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)
都
?
y?g(t),
在这条曲线上，那么这个方程就叫做这 条曲线的参数方程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变
数，简称参数 。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
掌握内容：理解参数方程的概念
易出现的问题：对概念理解 不透
解决方法：学写出参数方程，体会参数的意义，解决参数的有关问题。

2．圆(x?a)
2
?
x?a?rcos
?
,
?(y?b)< br>2
?r
2
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数 )
.
y?b?rsin
?
.
?
教学重点：能选取适当的参 数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
掌握内容：会写出圆不同位置的参数方程
易出现的问题：对参数的理解出现混淆
解决方法：随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，体会参数方程意义。


x?acos
?
,
x
2
y
2
3.

椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示 为
?
(
?
为参数)
.
?
ab
?
y?bsin
?
.

教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法[来源:
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程
掌握内容：会写焦点在不同位置的椭圆的参数方程
易出现的问题：焦点在不同位置的椭圆的参数方程中a,b所对应的位置。
解决方法：加强相关练习，加深印象。
?
x?2px
2
,
2
4
．
抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
(t为参数)
.
?
y?2pt.
教学重点：来源选择适当的参数方程求最值。:
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题
掌握内容：根据条件会求不同焦点位置的双曲线参数方程
易出现的问题：焦点在不同位置的双曲线的参数方程中a,b所对应的位置。
解决方法：通过观察、探索、发现的创造性过程解决问题。



5. 经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
x?xo
?tcos
?
,
（
t
为参数）.
?
?
y?y
o
?tsin
?
.
教学重点：曲线参数方程的定 义及方法。来源
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
掌握内容：直角坐标方程与极坐标方程的互化。
易出现的问题：直线参数方程中对参数t的几何意义的理解出现问题
解决方法：强化训练，深入理解，加强记忆。

6．
在建立曲线的参数方程 时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通
方程的互化中，必须使
x,y< br>的取值范围保持一致.
教学重点：来参数方程与普通方程的互化源
教学难点：参数方程与普通方程的等价性
掌握内容：选择适当的参数普通方程化参数方程，参数方程消去参数变为普通方程。
易出现的问题：曲线的参数方程化为普通方程的方法的掌握。
解决方法：，体会互化过程，归纳方法，总结经验。