高中数学函数知识点(详细)

第二章 函数
一．函数
1、函数的概念：
（1）定义：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中
的任意一个数
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f
：A→
B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y
=
f(x)
，< br>x
∈A．其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围A叫做函数的定 义域；与
x
的值相对应的y值叫做函数值，函数值的
集合{
f(x)
|
x
∈A }叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义
域一 致 (两点必须同时具备)
2、定义域：
（1）定义域定义：函数
f(x)
的自变量
x
的取值范围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：
①若
f(x)
是整式，则定义域为全体实数
②若
f(x)
是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数
例:求函数
y?
1
1?
1
x
的定义域。
③若
f(x)
是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数
4
例1． 求函数
y?
例2． 求函数
y?
?
x ?3x?4
x?1?2
2
?
3
的定义域。
0
2x
2
?1?
?
x?1
?
的定义域。

④对数函数的真数必须大于零
⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1
⑥若
f(x)
为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定
⑦指数为零底不可以等于零，如
x?
1(
x?
0)

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（4）求抽象函数（复合函数）的定义域
已知函数
f(x)
的定义域为[0 ,1]求
f
(
x
)
的定义域
已知函数
f(2x? 1)
的定义域为[0,1）求
f(1?3x)
的定义域

2
0
3、值域 :
（1）值域的定义：与
x
相对应的< br>y
值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域
（3）常见基本初等函数值域：
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

（4）确定函数值域的常见方法：
①直接法：从自变量
x
的范围出发，推出
y?f(x)
的取值范围。
例：求函数
y?x?1
的值域。
解：∵
x?0
，∴
x?1?1
，
∴函数
y?x?1
的值域为
[1,??)
。
2
② 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F(x)?af(x)?bf(x)?c的函
数的值域问题，均可使用配方法。
例：求函数
y??x?4x?2
（
x?[?1,1]
）的值域。
解：
y??x?4x?2??(x?2)?6
，
∵
x?[?1, 1]
，∴
x?2?[?3,?1]
，∴
1?(x?2)?9

∴
?3??(x?2)?6?5
，∴
?3?y?5

∴函数
y??x?4x?2
（
x?[?1,1]
）的值域为
[?3,5]< br>。
③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以< br>利用反函数法。
2
22
2
2
2
1?x
的值域。
2x?5
177
?(2x?5)?
1?x
2
??
1
?
2
， 解：∵
y??
2
2x?52x?522x?5
7
1
∵
2
?0
，∴
y??
，
2
2x?51?x1
∴函数
y?
的值域为
{y|y??}
。
2x ?52
例：求函数
y?
④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一 函数，从而求得原函数的值
域，形如
y?ax?b?cx?d
（
a
、
b
、
c
、
d
均为常数，且
a?0
）的函数 常用此法求解。
例：求函数
y?2x?1?2x
的值域。
1?t
2
解：令
t?1?2x
（
t?0
），则
x?
， < br>2

∴
y??t
2
?t?1??(t?)
2?
∵当
t?
1
2
5

4
135
，即
x?
时，
y
max
?
，无最小值。
284
5
∴函数
y?2x?1?2x
的值域为
(??,]
。 4
⑤判别式法：把函数转化成关于
x
的二次方程
F(x,y)?0
；通过方程有实数根，判别式
??0
，
a
1
x
2
?b
1
x?c
1
y?
2
ax?b
2
x?c
2
（
a
1
、
a
2
不同时为零）的函数的值 域，
2
从而求得原函数的值域，形如
常用此方法求解。
x
2
?x?3
例：求函数
y?
2
的值域。
x?x?1
x
2
?x?3
2
解：由
y?
2
变形得
(y?1)x?(y?1)x?y?3?0
，
x?x?1
当
y?1
时，此方程无解；
当
y?1
时，∵
x?R
，∴
??(y?1)?4(y?1)(y?3)?0
，
解得
1?y?
2
1111
，又
y?1
，∴
1?y ?

33
x
2
?x?3
11
∴函数
y?< br>2
的值域为
{y|1?y?}

x?x?1
3
值域为
{y|?1?y?1}

2x
2
?x?2
练习：求函数
y?
2
的值域
x?x?1
4、函数的表示方法
（1）解析法、列表法、图象法
（2）求函数解析式的常见方法：
①换元法
例：已知
f(3x?1)?4x?3
, 求
f(x)
的解析式.
例：若
f()?
1
x
x
,求
f(x)
.
1?x
例：已知
f(x?1)?2x?3,
求
f(x)
.

②解方程组法
例：设函数
f(x)
满足
f(x)
+2 f（
1
）=
x
（
x
≠0），求
f(x)
函数解析式.
x
一变：若
f(x)
是定义在R上的函数，
f(0)?1
，并且对于任意实数
x,y< br>，总有
2
f(x?)?f(x)?y(2x?y?1),
求
f(x)< br>。（令x=0，y=2x）
y
③待定系数法
例：已知
f(x)是一次函数，并且
f[f(x)]?4x?3
求
f(x)

解：设
f(x)?kx?b
，则
f[f(x)]?kf(x)?b?k(k x?b)?b?k
2
x?kb?b?4x?3

?
k
2?4
?
k?2
?
k??2
则
?
，解得
?
或
?

?
b?1
?
b??3
?
kb?b?3
故所求一次函数解析式
f(x)?2x?1
或
f(x)??2x ?3

④配变量法
例：已知
f(x?)?x?
1
x
2
1
, 求
f(x)
的解析式.
2
x
例：若
f(x?1)?x?2 x
,求
f(x)
.
⑤特殊值代入法（取特殊值法）
例：若
f(x?y)?f(x)?f(y)
,且
f(1)?2
，
求值
f(2)f(3)f(4)f(2005)
?????
.
f( 1)f(2)f(3)f(2004)
例：设
f(x)
是
R
上的函数 ，且满足
f(0)?1
并且对任意实数
x,y
有

f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
求
f(x)
的表达式
解：设
x?y
则
f(0)?f(x)?x(2x?x?1)?1

即
f(x)?x?x?1

或设
x?0
则
f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(?y?1)


f(x)?1?x(x?1)?x?x?1

⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.
2
2

例：对
x
∈R,
f(x)
满 足
f(x)??f(x?1)
,且当
x
∈[－1,0]时,
f(x )?x
2
?2x
求当
x
∈[9,10]时
f(x)
的表达式.
解析：
f(x)??f(x?1)
，则
f(x?1)??f( x)
则
f(x?1)?f(x?1),f(x)?f(x?2)
，T=2

5、分段函数
(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量
x
的不同 取值区间，有着不同的对应关系，这样
的函数叫分段函数。
(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；
分段函数是一个函数，而不是几个函数；
写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。
6、复合函数
如果
y?f(u),(u ?M),u?g(x),(x?A)
则
y?f[g(x)]?F(x),(x?A),
称为
f
、
g
的复合函数。
7、函数图象问题
（1）熟悉各种基本初等函数的图象
如：
y?0
，
y?c(c为常 数)
，
y?x
，
y?
11
2
，
y??，
y?x

xx
（2）图象变换
平移：
y?f(x)向右平移a(a?0)个单位长度
y?f(x?a)


y?f(x)向上平移b(b?0)个单位长度
y?f(x)?b

对称：
y?f(x)关于x轴对称
y?-f(x)


y?f(x)关于y轴对称
y?f(?x)


y?f(x)关于原点对称
y?-f(?x)

翻折：
y?f(x),y?f(x)

注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法


***********************************课堂习题*********** **********************
1.求下列函数的定义域：
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2

x?1
x?3 ?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则函数
f (x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x??1)
4.函数
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
=
?
?
2x(x?2)
?
5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增减函数和单调区间
设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果对于定 义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
f(x)
在区间D上是增函
数.区间D称为
y?f(x)
的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值
x< br>1
,x
2
当
x
1
?x
2
时，都有< br>那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为
y?f(x)
的 单调
f(x
1
)?f(x
2
)
，
减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数
y? f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y?f(x)
在这一
区间 上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函
数的图象从左到右是下降 的.
（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）
(A) 定义法：
1 任 取
x
1
,x
2
∈D，且
x
1
?x
2
；
○
2 作差
f(x
1
)?f(x
2
)
；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负）；
○
5 下结论（指出函数
f(x)
在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复 合函数
f[g(x)]
的单调性与构成它的函数
u?g(x)
，
y? f(u)
的单调性密切
相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起
写成其并集.
例：是否存在实数
a
使 函数
y?f
(
x
)
?
log
a
(
ax?x
)
在闭区间
[2,4]
上是增函数？如
果存在，说明
a
可取哪些值；如果不存在，说明理由。
解：当
a
>1时，为使函数
y?f
(
x
)
?
log
a
(
ax ?x
)
在闭区间
[2,4]
上是增函数
只需
g
(
x
)
?ax?x
在闭区间
[2,4]
上是增函 数，故
2
2
2
?1
?
1
?
x???2< br>a?

?
得
，又由
a
>1，得
a
>1
2a
2
?
?
g(2)?4a?2?0
2
当0<
a
<1时，为使函数
y?f
(
x
)
?
log
a
(
ax?x
)
在闭区间
[2,4]
上是 增函数
只需
g
(
x
)
?ax?x
在闭区间
[2,4]
上是减函数，故
2

?1
?
?
x???4
无解
?< br>2a
?
?
g(4)?16a?4?0
2
综上，当
a? (1,??)
时，
f
(
x
)
?
log
a< br>(
ax?x
)
在闭区间
[2,4]
上是增函数



（D）常用结论
? 函数
y??f(x)
与函数
y?f(x)
的单调性相反；
? 函数
f(x)
与
f(x)?c(c为常数)
具有相同的单调性；
? 当
c?0
时，函数
f(x)
与
cf(x)
具有相同的单调性 ，
c?0
时，它们具有相反的单
调性；
? 若
f(x)?0
则函数
f(x)
与
1
具有相反的单调性；
f(x)
? 公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、
增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数
? 若
f(x)?0,g(x) ?0,
且
f(x)
与
g(x)
都是增（或减）函数，则
f( x)?g(x)
也是
增（或减）函数；
若
f(x)?0,g(x)?0,< br>且
f(x)
与
g(x)
都是增（或减）函数，则
f(x)?g (x)
也是
增（或减）函数；
? 若
f(x)?0
，且在定义域上是增函数，则
也是增函数。
? 常见函数的 单调性（一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数
y
?
x
?
n< br>f(x)
也是增函数，
f
n
(x)(n?1)
k
(k ?0)
）
x
（E）利用函数的单调性求函数的最值
确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同
增异减判断
例：求函数
f(x)?
2
在区间[2,6]上的最大值和最小值
?x?1
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）函数奇偶性定义
一般地， 对于函数
f(x)
的定义域D内的任意一个
x
，都有
?x?D
,且
f(?x)??f(x)
（或
f(?x)?f(x)
），那么
f(x)
就叫做奇（或偶）函数．
（2）图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定
f(?x )??f(x)
与
f(?x)?f(x)
是否成立；
○
3作出相应结论：若
f(?x)?f(x)
或
f(?x)?f(x)?0
，则
f(x)
是偶函数；
○
若
f(?x)??f(x)
或
f(?x)?f(x)?0
，则
f(x )
是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定 义域是否关
于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;或由变式
f(?x)?f(x)?0
或
f(?x)
??1
来判定;利用定理，或借助函 数的图象判定 .
f(x)

（4）函数奇偶性的重要结论
? 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；
?
f(x)
、
g(x)是定义域分别为
D
1
,D
2
的奇函数，那么在
D
1
?D
2
上，
f(x)
+
g(x)
是奇
函数，
f(x)
?
g(x)
是偶函数。

? 类似结论：奇
?
奇=奇、奇×奇=偶、
偶
?
偶=偶、偶×偶=偶
奇×偶=奇
? 若
f(x)
是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正 负对称区间上的单调性是相同
（反）的。
? 若
f(x)
的定义域关于原点 对称，则
F(x)?f(x)?f(?x)
是偶函数，
F(x)?G(x)
）
2
? 若
f(x)
既是奇函数又是偶函数，则
f(x)?0

? 复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则
y?f[g(x)]
是偶函数
（不用死记硬背） 内层是奇函数，外层是奇函数，则
y?f[g(x)]
是奇函数
外层是偶函数，则
y?f[g(x)]
是偶函数
G(x)?f(x)?f(?x)< br>是奇函数。（
f(x)?
（5）函数奇偶性与单调性的关系
? 奇函数在
[a.b]
上是增函数，在
[?b,?a]
上也是增函数；
? 偶函数在
[a.b]
上是增函数，在
[?b,?a]
上是减函数。
例：函数
y?f(x)(x?0)
是奇函数，且当
x?(0,??)
时是增函 数，若
f(1)?0
，求
不等式
f[x(x?
)]
?
0
的解集。
解：已知
f(1)?0
不等式可化为
f[x(x?< br>)]
?f
(1)
，
因为
f(x)
在
x?(0,??)
上递增，所以
0?x(x?
)
?
1
1
2
1
2
1
2
11?171?17
?x?0< br>
?x?
，或
4
24
又由
f(x)
是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，
11
且
f(?1)??f(1)?0
，得
f[x(x?
)]
?f
(
?
1)
，即有
x(x?)??1
，无解。
22
11?171?17
?x?0
}
综上，原不等式的解集是{< br>x?x?
，或
244
f(x)?f(?x)
?
0
例： 设奇函数
f(x)在(0,??)
上为增函数，且
f(1)?0
，则不等式< br>x
得
的解集为？
解：由
f(x)
是奇函数得
f(x)??f(?x)
，所以
即
?
f(x)?f(?x)2f(x)??
0

xx
?
f(x)?0
?
f(x)?0
或
?
，
?
x?0
?
x?0
由奇函数f(x)在(0,??)
上为增函数，故
f(x)在(??,0)
上为增函数
由
f(1)?0
知
f(?1)?0

?f(x)?0
?
f(x)?f(1)
可化为得
0?x?1
，同理
??
?
x?0
?
x?0
?
f(x)?0
?
f(x)?f(?1)
可化为得
?1?x?0

??
x?0x?0
??
解集为
?1?x?0?0?x?1

3.函数的周期性
（1）周期函数的定义
若函数
f(x)
对于定义域中任意
x
，存在不为零的常数
T
，使得
f(x?T)? f(x)
恒成
立，则
f(x)
为周期函数，
T
为
f (x)
的周期
（2）有关周期性的一些结论
? 若
f(x)
的周 期为
T
，则
nT(n?Z,n?0)
也是
f(x)
的周期
? 若周期函数的周期
T
是所有正周期中最小的，则
T
为
f (x)
的最小正周期
? 若函数
f(x)
满足
f(x?a)??f (x)(a?0),f(x?a)?
1
(
a?
0),

f( x)
1
(a?0)
，则
f(x)
比以
2a
为周期， 反之不成立。
f(x)
证明提示：①令
x
=
x?a
；②令
x?x?a
；③令
x?x?a
。
f(x?a)??
（3）函数的对称性
? 满足条件
f(x?a)?f(b?x)
的函数的图象关于直线
x?
? 若满足
f(x?a)??f(b?x)
的函数的图象关于点
(
a?b
对称；
2
a?b
,0)
对称
2
? 点
(x,y)
关于
y
轴的对称点为
(?x,y)
，函数
y?f(x)
关 于
y
轴的对称曲线方程为
y?f(?x)

? 点
(x,y )
关于
x
轴的对称点为
(x,?y)
，函数
y?f(x)< br>关于
x
轴的对称曲线方程为
y??f(x)

?
( x,y)
关于原点的对称点为
(?x,?y)
，函数
y?f(x)
关 于
y
轴的对称曲线方程为
y??f(?x)

a?b
? 函 数
y?f(x?a)
与函数
y?f(b?x)
关于直线
x?
对称。
2
a?x?b?x
注意：
f(x?a)?f(b?x)
，对 称轴求法：
x?
；
2
b?a

y?f(x?a )
与
y?f(b?x)
的对称轴求法：
a?x?b?x
，
x ?

2
*************************课堂习题****** ****************************
1.已知函数
f(x?1)? x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的 解析式
2.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4，则
f(x)
= 。
3.设
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=

f(x)
在R上的解析式为
4.求下列函数的单调区间：

⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

5.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论．
2
1?x
6.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证：
f(1
)??f(x)
．
2
1?x
x

三、一次函数（略）与二次函数（函数应用中有提及）
1、二次函数的定义及表达式
（1）定义：函数
y?ax?bx?c
(
a?
0)
叫做二次函数， 它的定义域是R
（2）表达式：一般式、顶点式、两根式
2
2、二次函数的图象与性质
（1）图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。
3、二次函数在闭区间上的最值（分情况讨论对称轴与闭区间的位置
关系）
4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
判别式
??b
2
?4ac

?
>0





有两不等实根
?
=0

?
<0

二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)的图象
一元二次方程

ax
2
?bx?c?0
（a?0）的根
一元
二次
不 等
式的
解 集

?b?b
2
?4ac
x
1
,x
2
?

2a
（
x
1
?x
2
）


{
xx?x
1
或x?x
2
}

{
xx
1
有两相等实根
b
{
x?x
1
?x
2
??
}
2a
{
xx?R,且x??
空集
没有
实根
a x
2
?bx?c?0
（a?0）
ax
2
?bx?c?0b
}
2a
实数
集R
空集
（a?0）
5 、一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0,b
2
?4ac?0 )
的实根分布
一元二次方程
?x?x
2
}
ax
2
?bx?c?0
比较标准
二次函数
充要条件
（a?0）的实根

x
1
,x
2
的分布
x
1
?x
2
?K

y?ax
2
?bx?c
(a?0)的图象

方程两根与
实数
K
比较
??0
b
??K

2a
f(K)?0
??0
b
??K

2a
f(K)?0









K?x
1
?x
2

x
1
?K?x
2

f(K)?0

??0
b
K
1
???K
2
2a

f(K
1
)?0
f(K
2
)?0






K
1
?x
1
?x
2
?K
2
方程两根与
区间
（
K
1
,K
2
）
比较

x
1
?K
1
?K
2
?x
2

f(K
1
)?0
f(K
2
)?0

x
1
?(K
1
,K
2
)
或x
2
?(K
1
,K
2
)

f(K
1
)?f(K
2
)?0


6、函数的零点与二分法
（1）函数零点的定义
如果
y?f(x )
在实数
a
处的值等于零，即
f(a)?0
，则
a
叫做这个函数的零点。
一般地，函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
的实数根，也就是函数
y?f(x)
的图
象与
x
轴的交点的横坐标。所以，方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y? f(x)
的图象与
x
轴
有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
注意：并不是每个函数都有零点
（2）函数零点的判断（零点存在性定理）
如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异
号，即
f(a)f(b)?0
，则这个函数在区间
(a,b)
上至少有一个零点，即存在一点
x
0
?
(
a
,
b
)
使得
f
(
x
0
)
?
0
，这样的零点叫做变号零点，有时 曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做
不变号零点。
（3）二分法的概念
对于区间
[a,b]
上连续且满足
f(a)f(b)?0
的函数
y? f(x)
通过不断地把函数
y?f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，从而得到零点近
似值的方法叫做二分法。
（4）用二分法求函数零点近似值的一般步骤（略）