人教版高中数学选修知识点总结

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


人教版高中数学选修1-1知识点总结
第一部分 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题： “若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
” 逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B 是A的
必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(
and
) ：命题形式
p?q
；⑵或（
or
）：命题形式
p?q
；
⑶非（
not
）：命题形式
?p
.
p

q

p?q

p?q

?p

真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
真
假 真 假 真
假 真
假 假 假
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；

第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1
，F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的 点的轨迹
称为椭圆．




第 1 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


即：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距 离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的
1
F
2
点的轨迹称为 双曲线．即：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F< br>1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上




第 2 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方程
y??
x
2
y2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2

y
2
x
2
? ?1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
ba
x

y??x

ab
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
标准方
程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形

顶点



?
0,0
?

x
轴 对称轴




y
轴
第 3 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


焦点
准线方
程
离心率
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”， 即
???2p
．
9、焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F< br>，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2 px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?

第三部分 导数及其应用
1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
0
2、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x?0
?x
3、函数y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是 曲线
的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
y?f
?
x< br>?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处
①
C
'
?0
；②
(x< br>n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sinx
； < br>⑤
(a
x
)
'
?a
x
lna
；⑥< br>(e
x
)
'
?e
x
； ⑦
(log
a
x)
'
?
5、导数运算法则：
?< br>?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
?
1
?

?
??
；
?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?f
?
?
x
?
g
?
x
?< br>?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
11
；⑧
(lnx)
'
?

xlnax




第 4 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
．
6、在某个区间
?
a,b
?
内，若f
?
?
x
?
?0，则函数y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；
若f
?
?
x
?
?0，则函数y?f
?
x< br>?
在这个区间内单调递减．
7、求函数y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程f
?
?
x
?
?0．当f
?
?
x
0
?
?0时：
?
1
?
如果在x
0
附近的左侧f
?
?
x
?
?0，右侧f?
?
x
?
?0，那么f
?
x
0
?是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧< br>f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f?
b
?
比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。



第四部分 复数
1．概念：
(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0 (
a,b∈R
)
?
z=
z
?

z
2
≥0；
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
)；
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a
=0 且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
＋
z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
(4)
a
+< br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
)；
2．复数的代数形式及其运算：设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
)，
则：
(1)
z

1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i；
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi< br>)·(
c
+
di
)＝（
ac
-
bd
）+ (
ad
+
bc
)
i
；
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(
z
≠0)
?

ac
2
?i
(c? di)(c?di)
c
2
?d
2
c
2
?d
2
3．几个重要的结论：
(1)
(1?i)
2
??2i
；⑷
1?i
?i;
1?i
??i;

1?i1?i
(2)
i
性质：T=4；
i
4n
? 1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
?? i
；
i
4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;





第 5 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


(3)
z?1?zz?1?z?
1
。
z
mm
mnm?nmnmn m
4．运算律：（1）
z?z?z;(2)(z)?z;(3)(z
1
?z< br>2
)?z
1
z
2
(m,n?N);

5．共 轭的性质：⑴
(z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
；⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
；⑶
(
z?z
。
z
1
z
)?
1
；⑷
z
2
z
2
6．模的性质：⑴
||z
1
|?|z
2
||?|z
1
?z
2
|?|z
1|?|z
2
|
；⑵
|z
1
z
2
|?| z
1
||z
2
|
；⑶
|
z
1
|z |
|?
1
；⑷
|z
n
|?|z|
n
；
z
2
|z
2
|

第五部分 统计案例
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；< br>r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两
个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定： < br>⑴总偏差平方和：
?
(y
i
?y)
⑵残差：
e
i
?y
i
?y
i
；⑶残差平方和：
2
i?1n
??




第 6 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


?
(yi?yi)
i?1
n
?
2
；⑷回归平方和 ：
?
(y
i
?y)
－
?
(yi?yi)
2
；⑸相关指数
2
i?1i?1
nn
?
R
2
?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
?y< br>i
)
2
。
?
2
(y?y)
?
i i
注：①
R
2
得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
2
越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
2
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

人教版高中数学选修2-1知识点总结
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命 题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，则这两个命题称为互否命 题.中一个命题称为原命题，另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定
和条件的否定，则这 两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另
一个称为原命题的逆否命题.
若原 命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题
真 真




否命题
真
第 7 页 共 28 页
逆否命题
真

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


真 假
假 真
假 假
四种命题的真假性之间的关系：
假
真
假
真
真
假

?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命
题都是假命题时，
p?q是假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用 “
?
”
表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成 立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．全称命题
的否 定是特称命题．

第二章 圆锥曲线与方程




第 8 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


11、平面内与两个定 点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹
1
F
2
称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离 称为椭圆的焦距．
12、椭圆的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?a?x?a
且
?b?y?b


y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、?
2
?
0,a
?

?
1
?
0 ,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
?b,0
?
、
?2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c?
、
F
2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
13、设
?
是 椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准线
的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
14、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的
1
F2
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线
的焦距．
15、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上




第 9 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x< br>2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x??a
或
x?a
，
y?R< br>

y
2
x
2
??1
?
a?0,b ?0
?

a
2
b
2
y??a
或
y ?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

F
1
?< br>?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
< br>?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
F
2
?2c
?c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
a
y??x

b
a
2
准线方程
x??

c
b
y??x

渐近线方程
a
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、设
?
是 双曲线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准
线的距离为
d2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”，即
???2p
．
20、焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
若点
?< br>?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F? y
0
?
；
2
p
若点
?
?
x0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
．
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?




第 10 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


21、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
?
p?0
?

图形

顶点
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

第三章 空间向量与立体几何
22、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指
的方向表 示向量的方向．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或 长度），记作
??
．
?
4
?
模（或长度）为
0< br>的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?< br>与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
23、空间向量的加法和减法：




第 11 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅






?
1
?
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法 则．即：在空间
以同一点
?
为起点的两个已知向量
a
、
b< br>为邻边作平行四边形
??C?
，则以
?
起
点的对角线
?C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和
的方法，称为向量加法 的平行四边形法则．
?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
???a?b
．
24、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0< br>时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，< br>?
a
为零向量，
记为
0
．
?
a
的长 度是
a
的长度的
?
倍．
25、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结< br>合律．
分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b< br>；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??< br>?
a
．
26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量称为共线
向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
27、向量共线的充要条件： 对于空间任意两个向量
a
，
bb?0
，
ab
的充要条
件是存在实数
?
，使
a?
?
b
．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
29、向量共面定理：空间一点
?< br>位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，
????
y
，使
???x???y?C
；或对空间任一定点
?
，有
??????x???y?C
；或
若四点
?
，
?，
?
，
C
共面，则
???x???y???z?C
?< br>x?y?z?1
?
．
??a
，
???b
，30、已 知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作
?
则
????
称为向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?< br>?
．
31、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??




?
2
，则向量
a
，
b互相垂直，记作
a?b
．

第 12 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


osab,?
32、已知两个非零向量
a
和
b
，则
abc
a?b?abcosab?,?
b
的数量积，
?
称为
a
，记作
a?b
．即
．零向量与 任何向量的数量积为
0
．
33、
a?b
等于
a
的 长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b ?
的乘积．
34、若
a
，
b
为非零向量，
e为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向
2
?
，
a?a?a
，
a?a?a
；
?
2
?
a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b?
?
?aba与b反向
?
?
? ?
??
?
4
?
cos?a,b??
a?b
ab；
?
5
?
a?b?ab
．
35、向量数乘积的运算律 ：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b< br>；
????
?
3
?
?
a?b
?
? c?a?c?b?c
．
36、若
i
，
j
，
k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序
实数组
?< br>x,y,z
?
，使得
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k
上
的分量．
37、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，
存在实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
38、若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间 向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
．这个集 合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
?
a,b,c
?
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意三个不共面的向
量都可以构成空间的一个基底．
39、设e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位
正交基底），以
e
1
，
e
2
，
e
3
的公共起点
?
为原点，分 别以
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
? xyz
．则对于空间任意一个向量
p
，
一定可以把它平移，使它的起点与原点
?
重合，得到向量
???p
．存在有序实




第 13 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p< br>在单位正交基底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p?
?
x,y,z
?
．此时，向量
p
的坐标是点
?
在空间直角
坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z
?
．
40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y2
?z
1
z
2
．
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab? a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y< br>1
2
?z
1
2
．
a?b
ab
?< br>x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
?
8
?
cos?a,b??
．
?
??
y
2
y
2
则
d
??
?
??
?
x
2
,y< br>2
,z
2
?
，
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
???< br>?
x
2
x?
1
?zz
?
1
?
?
2
?
1
22
?
．
41、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任意一点
?
的位置可以用向量
??
来表示．向量
??
称为点
?
的位置向量．
42、空间中任意一条直 线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定．点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示直线
l
的 方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，
有
???ta< br>，这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置，还 可以具体表示出直
线
l
上的任意一点．
43、空间中平面
?
的位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线
相交于点
?< br>，它们的方向向量分别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序
实数对
?
x,y
?
，使得
???xa?yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确定 了平面
?
的位置．
44、直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的 法向量．
45、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为< br>a
，
b
，则
ab?ab?

a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．




第 14 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


46、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a?
?
，则< br>a
?
?a
?

?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
．
47、 若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a
，
b
，则
?

?
?ab?

a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
48、设异 面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
． < br>49、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l< br>与
n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos< br>?
?
l?n
ln
．
50、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?< br>，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，
则
cos
?
?
n
1?n
2
n
1
n
2
．
51、点
?与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
52、在直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到直线
l< br>的距离为
d???cos???,n??
???n
n
．
53 、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平面
?
内的 一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，
则点
?
到平面
?
的距离为
d???cos???,n??
???n
n
．
人教版高中数学选修2-1知识点总结
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆




第 15 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


命题.
若原 命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p，则
?q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题 的结论的否定
和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另
一 个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否 命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题
真 真
真 假
假 真
假 假
四种命题的真假性之间的关系：
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
真
假

?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命
题都是假命题时，
p?q是假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．




第 16 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是 真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”
表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有p
?
x
?
成立”，记作“
?x? ?
，p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．全称命题
的否 定是特称命题．

第二章 圆锥曲线与方程
11、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨 迹
1
F
2
称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦 距．
12、椭圆的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程





y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2< br>?
0,a
?

?
1
?
0,?b
?< br>、
?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、F
2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
F
2
?2c
?c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
第 17 页 共 28 页

a
2
y??

c

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


13、设
?< br>是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d< br>1
，点
?
到
F
2
对应准线
的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2< br>d
2
?e
．
14、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的
1
F
2
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线
的焦距．
15、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x??a
或
x?a
，
y?R


y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0?

a
2
b
2
y??a
或
y?a，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、?
2
?
a,0
?

F
1
?
? c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
F
2
?2c
?c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
a
y??x

b
a
2
准线方程
x??

c
b
y??x

渐近线方程
a
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、设
?
是 双曲线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准
线的距离为
d2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．




第 18 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


19、过抛物线的焦点 作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”，即???2p．
20、焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?在抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上，焦点 为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?? y
0
?
．
2
21、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

若点
?
?
x
0,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p ?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
图 形

顶点



?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

第三章 空间向量与立体几何
22、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．




第 19 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指
的方向表示向量的 方向．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）， 记作
??
．
?
4
?
模（或长度）为
0
的 向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与 向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a．
?
6
?
方向相同且模相等的向
量．
23、空间向量的加法和减




量称为相等向
法：
?
1
?
求两个向量和的运算称为向量的 加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间
以同一点
?
为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边作平行四边形
??C?
，则以
?
起< br>点的对角线
?C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
?
2
?
求两个向量差的运算 称为向量的减法，它遵
循三角形法则．即：在空间任取一点
?
，作
???a< br>，
???b
，则
???a?b
．
24、实数
?与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?< br>?0
时，
?
a
为零向量，
记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍．
25、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则 数乘运算满足分配律及结
合律．
分配律：
?
a?b?
?
a ?
?
b
；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
26、如果表示空间的有向线段所在的直线 互相平行或重合，则这些向量称为共线
向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
2 7、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
a
，
bb?0
，
a b
的充要条




第 20 页 共 28 页

??
??

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


件是存在实数
?
，使
a?
?
b
．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
29、向量共面定理：空间一点
?< br>位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，
y
，使
???x???y?C
；或对空间任一定点
?
，有
????? ?x???y?C
；或
若四点
?
，
?
，
?
，
C
共面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1?
．
??a
，
???b
，30、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作
?
则
??? ?
称为向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
．两个 向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
． 31、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??
?< br>2
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a?b
．
b
的数量积，
?
称为
a
，记作
a?b
．即
osab,?
32、已知两个非零向量
a
和
b
，则
abc
a?b?abcosab?,?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．
33、
a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
34、若a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向2
?
，
a?a?a
，
a?a?a
；
?
2
?
a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b??
?aba与b反向
?
?
??
??
?
4
?
cos?a,b??
a?b
ab
；
?
5
?a?b?ab
．
35、向量数乘积的运算律：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；
????
?3
?
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
3 6、若
i
，
j
，
k
是空间三个两两垂直的向量，则对空间任 一向量
p
，存在有序
实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj
，
zk为向量
p
在
i
，
j
，
k
上
的 分量．
37、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，
存在实数组
?
x,y,z< br>?
，使得
p?xa?yb?zc
．




第 21 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


38、若三个向量a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
．这个集合可看作是由向量
a< br>，
b
，
c
生成的，
?
a,b,c
?
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意 三个不共面的向
量都可以构成空间的一个基底．
39、设
e
1
，< br>e
2
，
e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直 的单位向量（称它们为单位
正交基底），以
e
1
，
e
2，
e
3
的公共起点
?
为原点，分别以
e
1，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
?xyz
．则对于空间任 意一个向量
p
，
一定可以把它平移，使它的起点与原点
?
重合，得到 向量
???p
．存在有序实
数组
?
x,y,z
?
， 使得
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底
e< br>1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p ?
?
x,y,z
?
．此时，向量
p
的坐标是点
?< br>在空间直角
坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z
?
．
40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2< br>,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?< br>x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b??
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?
4
?
a?b? x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1z
2
．
?
5
?
若
a
、
b< br>为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?< br>6
?
若
b?0
，则
ab?a?
?
b?x1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y< br>2
,z
1
?
?
z
2
．
?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z< br>1
2
．
a?b
ab
?
x
1
x2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x ?y?z?x?y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
?
8
?
cos?a,b??．
?
??
y
2
y
2
则
d
? ?
?
??
?
x
2
,y
2
,z
2< br>?
，
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
???
?
x
2x?
1
?zz
?
1
?
?
2
?
1
22
?
．
41、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么 空间中任意一点
?
的位置可以用向量
??
来表示．向量
??
称为点
?
的位置向量．




第 22 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


42、空间中任意一条 直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定． 点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，
有
???ta
，这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置， 还可以具体表示出直
线
l
上的任意一点．
43、空间中平面
?的位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线
相交于点
?
，它们的方向向量分别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序
实数对
?
x,y
?
，使得
???xa?yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确 定了平面
?
的位置．
44、直线
l
垂直
?
，取直 线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
45、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
ab?ab?

a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
46、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量 为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a
?

?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
．
47、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a
，
b
，则
?

?
?ab?

a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
48、设异面直线
a
，
b的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
． < br>49、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l< br>与
n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos< br>?
?
l?n
ln
．
50、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?< br>，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，
则
cos
?
?
n
1?n
2
n
1
n
2
．
51、点
?与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
52、在直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到直线




第 23 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


l
的距离为
d???cos???,n??
???n
n
．
53、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，
则点
?< br>到平面
?
的距离为
d???cos???,n??
???n
n
．
人教版高中数学选修2-3知识点总结
计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1
种不同的方法 ，在第二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有
M
N
种不同的方法，那么完成这件事情共有M
1
+M
2
+……+M
N< br>种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有 m1
种不同的方法，做第二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N不同的方法.那
么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、 排列：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)个元素，按照 一定顺序排成一列，
．．．．．．
叫做从
n
个不同元素中取出
m个元素的一个排列
m
4、排列数：
A?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
5、组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m ≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元 素的一个组合。

m
m
A
A
n?
?
1)< br>1
?
(n?
?
m
m
?
?
1)
1)
m
m
n!
n!
n(n)
?
(n
n< br>n
n(
6、组合数：
C
C
?
?
m
? C?
?C?
n
n
m
m
m
!
!
!(
!
n?
?
m
m
)!
)!
A
A(n
m
m

m
m

m
m
n
n
n?m
C
m
n
?C
n
;

n0n1n?12n?22rn?rrnn

a?b)?Ca?Cab?Cab?…? Cab?…?Cb
nnnnn
7、二项式定理：
(
rn?rr
8、二 项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n

1m
C
m?
n
?C
m
?C
nn?1


第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验 可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X
是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做 随机变量． 随机变量常
用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变 量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能
取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为




第 24 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变
量 X 的概率分布，简称分布列


4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．


5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：



其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有
物品中任取n (n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,
n
C
N
,m)
，
nM
(必记忆)
N
7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生
的概率，叫做条件概率. 记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
其中
m?min?
M,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
E (
?
)?

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B( 或A)发生的概率没有影响,
这样的两个事件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P (B)


10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数
ξ是一个随机 变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的
kkn?k
?Cpq
（其中
P(
?
?k)
n
概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中
P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)

k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：




第 25 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅



这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学
期望又简称为期望．是离散型随机变量。
13、方差: D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+（x
2-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变
量ξ的均方差，简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布
二项分布，ξ ～ B（n,p）
期望
Eξ=p
Eξ=np
方差
Dξ=pq，q=1-p

Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?

1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2< br>,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总 体的平均数与标的图像，其中解析式中的实数
?
、
?
准差．
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质：




第 26 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅



①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限
延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
?
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况
发生为小概 率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发
生的.
第三章 统计案例
知识点：
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数
列联表为：

x
1

x
2

总计
y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计
a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变
量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断 的可靠程度。具体的做法是，由表
中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K
2
= n (ad - bc)
2





第 27 页 共 28 页

欢迎收藏咸鱼翻身龙门 开始你的智能人生之旅


[(a+b)(c+d )(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K的值越大，说明“X
与Y有关系” 成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K
2
>6.635
时X与Y有99% 可能性有关
2、回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
2
1
x
?
y
?
n
?
其中b?
1
22
?
x?
n
(
?
x)










?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
?
a?y?bx

SS
?
(x?x)
2
x




第 28 页 共 28 页