高中数学知识点：空间角问题

高中数学知识点：空间角问题
一、直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的
角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两
条异面直线a，b平行的直线，形成两条 相交直线，这两条相
交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与
平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面
内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一
作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线
上一点到面的垂线，
三、解题技巧
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息
（1）斜线上一点到面的垂线；
（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面
面垂直性质易得垂线。
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（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从 一条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫
做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两
个面内分别作垂 直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫
二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ，那么这两个平
面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为
直二面角
④求二面角的方法
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有
注曰：“师教人以道者之称也”。“师” 之含义，现在泛指从事
教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习
者。“老师”的 原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中
也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师 ”连用最初
见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也
不再有年龄的限制 ，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”
当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的 复合构
词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其
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身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教
师”的必要条件不光是拥有知 识，更重于传播知识。
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂
直于棱的射线得到平面角
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋
元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云 ：“伯安入小学，颖
悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小
学教师被称为 “老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，
而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见 ，“教师”
一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”
一说，具有资历和学 识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，
教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作
平面与两个面的交线所成的角为二面 角的平面角
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