高中数学基础知识

点拨：对三视图的考查，高考中有可能由三视图去画空间几何体，因
此观察三 视图，想象几何体式至关重要的，这类题目只要把握三视图
和几何体之间的关系是不难解决的。
题型六 空间几何体的探究性问题
例14 如图1-7-1-19所示，已知圆柱体的高为80cm，底面半径为
10cm，轴截面上有P, Q
两点，且PA=40cm，
BQ
=30cm，若
1
一只蚂蚁沿 着侧面从P点爬到
Q
点，问蚂蚁爬过的最短路径
是多少？
解：将圆柱侧面 沿母线
AA
1
展开，得到图1-7-1-20所示的矩形，所以
1
A
1
B
1
??2
?
r?
?
r?10
?
?
cm
?
。
2
作
QS?AA
1
于点
S
，在
Rt?PQS
中，
PS?80?40?30?1 0
?
?
cm
?
，所以
PQ?PS
2
?QS
2
?
?
10
?
?
2
?10
2
第二讲 柱、锥、台、球的表面积与体积

考纲解1. 了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式。
读 2. 会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积
考纲指1． 以几何体为载体，考查空间想象力和运算能力
南 2． 对空间几何体的表面积和体积的考查，主要是借助组合
体或不规则图形进行，而不是单纯的应用公式
3． 题目难度应属于中低档水平，常出现在选择题、填空题
中、也可作为解答题的一小问
知识网络清单

重难考点突破
要点知识解读
1. 多面体的表面积
（1） 设直棱柱高为
h
，底面多边形的周长为c
，则
s
直棱柱
?ch

（2） 设正
n棱锥底面边长为
a
，底面周长为
c
，斜高为
h
?
，则
11
s?ch
?
?nah
?

22
（3） 设正
n
棱台下底面边长为
a
，周长为
c
，上底面边长为
a
?
，周长
为
c
?
，斜 高为
h
?
，则
s?
?
c?c
?
?
h
?
?n
?
a?a
?
?
h
?

（4） 设球的半径为
R
,则
S?4
?
R
2

2. 几何体的体积公式
（1） 柱体的体积
V
柱体
?Sh
（其中
S
为柱体的底面面积，h为高）
特别的，底面半径是r，高是h的圆锥的体积
V?
?
r
2
h

（2） 椎体的体积
V?sh
（其中s为椎体的底面面积，h为高），特
别的底面半径是r，高h的圆锥的体积
V?
?
r
2
h

（3） 台体的体积
v?h
?
s?ss
?
?s
?
?
（其中
s
?
，
s
分别是台体上、下底
面的面积，
h
为高），特别的，上、下底面的半径分 别是
r
?
、
r
，
高是
h
的圆台的体积v?
?
?
r
2
?rr
?
?r
?
2
?

（4） 柱体、椎体、台体的体积公式的内在联系
（5） 球的体积
v?
?
r
3
（其中
r
为球的半径）
3. 棱锥中平行于底面的截面的性质
（1） 小棱锥的侧面和底面与原棱锥的侧面和底面是 相似形，且它
们的面积比等于对应线段（如高、底边长、斜高等）的比的

1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3

平方
（2） 截得棱锥的体积比等于对应线段（如高、底边长）的比的立
方
4. 几何体的展开图
对柱体、椎体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展
开图进行的
（1） 圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆
柱的母线长
（2） 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧
长是圆锥的底面周长
（3） 圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的
上、下底面周长
5. 常用的几种思想方法
（1） 还台为锥的思想：这是处理台体时常用到的方法
（2） 割补法：求不规则图形面积和几何体体积时常用
（3） 等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的
特点，灵活求解三棱锥的体积
（4） 截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有光的组合体问题，
常画出轴截面进行求解
学法策略指导
根据近几年高考命题的特点，复习时应采用以下策略：
1. 求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和。

对于 圆柱、圆锥、圆台，已知上下底面半径和母线长可以用表
面积公式直接求出。对于棱柱、棱锥、棱台没有 一般的计算方
式，可以用直接根据条件求各个面的面积，特别，对于长方体、
正方体和侧棱与底 面垂直的一些棱柱，棱锥中的正棱锥，棱台
中的正棱台，可以借助展开图求表面积。
2. 在 掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基
础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积 ，能够将其分解
成柱、锥、台、球在进一步分解平面图形以求得其表面积，同
时注意对各几何体 相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性
质的灵活运用。
棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥有如下比例性质
？=对应线段（如高、底面边长等）的平方之比
注意：这个比例关系很重要，在求锥形的侧面积、底面积的比时，
会大大简化运算过程，在求台 体的侧面积，底面积的比时，将台体化
成椎体，也可应用这个关系式
3. 求柱、锥、台体的 体积时，根据体积公式，需要具备已知底面
积和高两个重要条件，底面积一般底面边长或半径求出，但当
高不知道时，求高比较困难，一般要作出高后转化为平面几何
知识求出高
4. 求球 的表面积、体积、求两点的球面距离等问题时，常常把球
中的问题转换成相应的轴截面来处理，有时还要 利用圆的有关
性质、正昡定理和余弦定理来解决球的问题

5. 面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一
些重要的思想方法，因此是 高考考查的重要体型。其中以棱锥
和不规则几何体的表面积，体积计算为主，棱锥的体积计算往
往需要转换顶点和底面，而不规则几何体计算往往需要转换顶
点和底面，而不规则几何体的体积计算则往 往需要用到分割或
补形的方法。
题型分类精讲
题型一 几何体的表面积问题
求解有关的几何体的表面积问题，首先要分析是多面体还是旋转体，
是直接利用公式求解
例一 已知一个正三棱台的两底面边长分别是30cm和20cm，且其侧
面积等于两底面面积 的和，求棱台的高
分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯
形，转换为平面问题来求解所需几何元素
求解：？
点拨 求解有关多面体表面积问题，关键是找到其特征几何图形，
如 棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥的直角三角形，它们是联
系高与斜高、边长等几何元素的桥梁， 从而架起求侧面积公式中的未
知量与条件中已知几何元素间的联系
例二 在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别是
49
?
cm
2
和
4 00
?
cm
2
，求球的表面积
分析 要求出球的表面积，求出球的半径即可，利用题中所给的截

面，结合图形和直角三角形中相关关系求出即可
解：？
点拨 解决旋转体的表面 积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展
开图，借助于平面几何知识，求得所需几何元素，代人公式求 解即可
例三 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图
的扇环的圆 心角是
180
o
，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留
?
）
分析 先求出母线长，然后代入公式求解
解：？
点拨 展开前后有关量的变与不变是解决此类问题的突破口
例 4 正四棱台两底面边长分别是a和b（
a?b
）
（1）若棱台所在直线与上下底面正方形中心的联线所成的角为
45度，求棱台的侧面积
（2）若棱台的侧面积等于两底面之和，求它的高。
点拨 注意有关面积的求法，特别的在棱柱中与 各侧棱都垂直的截面
叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面既是其上下底面。棱柱的侧面积
与直截 面周长有如下关系式：？
题型二 几何体的体积问题
例5 如图1-7-2-5，一个直三 棱柱形的容器中盛有水，且侧棱
AA
1
?8
.
AC
，
BC
，
AC
若侧面
AAB
11
B
水平放置时，液 面恰好过
11
，
B
1
C
1
的中点，
当底面
ABC
水平放置时，液面的高为多少？
解：？
点拨 解答本题的关键是明确两种放置方法中水的形状，利用水

的体积的不变性建立等式，从而获得高。
变式预测1 若正方体的棱长为
2
，则以该正方体各个面的中心，
为顶点的凸多面体的体积为（）
A.
2
223

B.

C.

D.

3
633
解析 由题意知以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面
体 （即两个同底同棱长的正四棱锥），所在棱长均为1，其中每个正
四棱锥的高均为
答案为B
点拨 解决本题的关键是弄清各面中心连接线构成一个什么图形，
在理清各量之间的关系。
题型三 组合体的表面积和体积问题
与球有关的组合体问题，一种是内切,一种是外接。解 答时要认
真分析图形，明确接点和切点的位置，确定有关元素的数量关系，并
作出合适的截面图 。如球内切与正方体，切点为正方体各个面的中心，
正方体的棱长等于球的直径，正方体的体对角线等于 球的直径，球与
旋转体的组合，通常作为它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通
过多面体的 一条侧棱和球心或切点，接点作为截面图。
例6 如图1-7-6-2，在等腰梯形
ABCD
中，
AB?2DC?2
，
E
为
AB
的
中点 ，将
?ADE
与
?BEC
分别沿
ED
、
EC
想上折起，使
A
、
B
重合，求
形成的三棱锥的外接球的体积？
分析 易知折叠成的几何体是棱长为1的三棱锥，求其外接球半

122
2< br>，故正八面体的体积为
V???2??1
2
??
。
323
2

径即可。
解：？
点拨 （1 ）折叠问题是高考经常考查的内容之一，解决这类问题
的关键是搞清楚处在折线同一个半平面内的量的关 系是不变的，然后
根据翻折后图形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几何知识
即可求解
（2）与球有关的组合体，是近几年高考常考查的题目，主要
考查空间想象能力及截面图的 应用，因此画出组合体的截面图是解决
这类问题的关键。
变式预测2 正三棱柱
A BC-A
1
B
1
C
1
内接与半径为2的球，若
A< br>、
B
两点的球面距离为
?
，则正三棱柱的体积为
解：？
点拨 本题主要考查了球的基础知识及三棱柱的性质和体积
例7 形容器，它的轴截面是一 个正三角形在容器内放一个半径为r
的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度。
分析 作出轴截面，因为铁球的取出前后水的体积相同，所以可
利用 水的体积不变性建立关于水的深度h与球的半径r的方程。
解：？
点拨 解答组合体问 题要注意知识的横向联系，善于把立体几何
问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融 计
算、推理、想象于一体。

题型四 最值问题
求几何体的体积及侧面积的最值问题时一般考虑函数的思
想，也要注意转化思想的运用。
例8 如图1-7-2-10，一个正三棱锥
P-ABC
的底面边长为a，高为h，< br>一个内接直三棱锥
A
1
B
1
C
1
-A
0
B
0
C
0
，
A
1
、
B
1
、
C
1
分别在三棱锥的三条
侧棱上，
A
0、
B
0
、
C
0
分别在底面
ABC
上， 试求当三棱柱侧面积最
大时，三棱柱上面底面
A
1
B
1
C< br>1
的位置。
分析 将三棱柱的侧面积表示为某个变量的函数，然后求值
解：？
点拨 解决几何体的侧面积或体积的最值问题，应联想到函数中
求最值得方法 ，对于与几何体有关的代数恒等变形问题，可以采
用特殊图形法或者特值代入法得到启示，然后在进行论 证。
变式预测3 已知圆锥的全面积为
?
，能否根据这一条件求出圆锥
体的 最大值，若能，求出其最值，若不能，请说明理由。
分析 设出圆锥的底面半径，母线及高，由全 面积为
?
，找出三
者之间的关系，建立关于体积的函数关系式。
解：？
例9 如图1-7-2-11，在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中，底面
ABC
为
直角三角形
?ACB=90
0
,
AC=6
,
BC=CC
1
=2
.
P
是
BC
1
上一
动点，求
CP+PA
1
的最 小值。
分析 空间中的最短距离问题一般将空间几何问题转化为平面问
题，利用展开成平面图形分析解决.

解：？
附录一
求体积的几种方法
体积 的求解与计算是立体几何学习的重点，也是高考考查的重点
和热点，其方法灵活多样，而分割、补形和等 积变换是我们中学阶段
常见的三种求体积方法。其中分割、补形也称为“分割法”。
一、 分割法求和法
求不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和
例1 如图1- 7-2-13所示，在多面体
ABCDEF
中，已知面
ABCD
是边
长为3的正方形，
EF
平行于
AB
，
EF=AC
，
EF
与面
AC
的距离为2，
则该多面体的体积为（）
915
A.

B.5

C.6

D.

22
3
2
解：？
点拨 割补法是求几何体体积的一种常用的思想方法
二 补形法
把不规则行体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其
体积。
如上例也可用补形法求解，其解答如下
解：？

9