人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)

高中数学选修1-1知识点总结
第一章 简单逻辑用语
? 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．
? “若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论．
? 原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题： “若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
” 逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
? 四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
? 若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：
若
A?B
，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件；
? 逻辑联结词：⑴且：命题形式
p?q
； ⑵或：命题形式
p?q
； ⑶非：命题形式
?p
．
p

真
真
假
假
q

真
假
真
假
p?q

真
假
假
假
p?q

真
真
真
假
?p

假
假
真
真
? ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示．
全称命题p：
?x?M,p(x)
； 全称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
．
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示．
特称命题p：
?x?M,p(x)
； 特称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
．



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第二章 圆锥曲线
? 平面内与两个定点
F
）的点的轨迹称为椭圆．
1
，
F
2< br>的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
即：
|MF1
|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
．
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
? 椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

范围
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0, ?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?< br>1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0< br>?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率






短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
第 2 页 共 6 页

? 平面内与两个定点
F
）的点的轨迹称为双
1
，< br>F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2< br>曲线．即：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?| F
1
F
2
|)
．
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
? 双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2< br>?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
x??a
或
x?a
，
y?R
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
y??a
或
y?a
，
x?R

范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
y??
a
x

b
渐近线方程
? 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．






第 3 页 共 6 页

? 平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等 的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线
的焦点，定直线
l
称为抛 物线的准线．
? 抛物线的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

? 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、?
两点的线段
??
，称为抛物线的“通径”，
即
???2p．
? 焦半径公式：
p
；
2
p
2
若点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x?2 py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y?2px
?
p?0
?
上， 焦点为
F
，则
?F?x
0
?
2




第 4 页 共 6 页

第三章 导数及其应用
? 函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?

x
2
?x
1
x?x
0
? 导数定义：
f< br>?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
．
?x
? 函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
率．
? 常见函数的导数公式：
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜
'
①
C
?0
； ②
(x
n
)
'
?nx
n?1
；
③
(sinx)
'
?cosx
； ④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(a
x
)
'
?a
x
lna
； ⑥
(e
x
)
'
?e
x
；
'
⑦
(log
a
x)?
11
'
； ⑧
(lnx)?

xlnax
? 导数运算法则：
?
?
1
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
?< br>?f
?
xgx?fxg
?
xfx?gx
?
????? ???????
；
?
2
?

?
??
?< br>f
?
x
?
?
?
f
?
?
x< br>?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g?
x
?
?
?
g
?
x
?
??
．
? 在某个区间
?
a,b
?
内，若
f< br>?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递 减．
? 求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程< br>f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
? 0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么f
?
x
0
?
是极小值．



第 5 页 共 6 页

? 求函数
y?f
?
x
?
在
?a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函 数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内 的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?< br>的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大
值，最小的一个是最小值．






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