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高中数学圆锥曲线知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 07:58
tags:高中数学知识点

电大高中数学(入学测试)(省)-高中数学2018理科三卷答案


高中数学知识点大全—圆锥曲线
一、考点(限考)概要:
1、椭圆:
(1)轨迹定义:
①定义一:在平面内到 两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,
两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦 距2c。用集合表示为:

②定义二:在平面内到定点的距离和它到 一条定直线的距离之比是个常数e,那么这
个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e是离心率。
用集合表示为:
(2)标准方程和性质:


注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。
(3)参数方程:
3、双曲线:
(1)轨迹定义:
(θ为参数);
①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值 等于定长的点的轨迹是双曲线,
两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个 点的轨
迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。
用集合表示为:


(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。



4、抛物线:
(1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是 抛物线,定点是焦
点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为

(2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;
②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;
③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;


二、复习点睛:
1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;
六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形
各性质(除切线外)均可 在这个图中找到。
。则椭圆的


3、椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为
圆是椭圆在e =0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段
也可认为是椭圆在e=1时的特例 。
4、利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A 、
B两点的坐标分别为,则弦长
,此时

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。
5、若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB,则


6、结合下图熟记 双曲线的:“四点八线,一个三角形”,即:四点:顶点和焦点;八线:
实轴、虚轴、准线、渐进线、焦 点弦、垂线PQ。三角形:焦点三角形。

7、双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线
的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐 渐变得开阔。由此可知,双曲线的离
心率越大,它的开口就越阔。
8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。


9、共轭双曲线:以已知双曲线的 实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双
曲线的共轭双曲线。区别:三常数a、b、c中a 、b不同(互换)c相同,它们共用一对渐近
线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲 线的共轭双曲线的方法:将1
变为-1。
10、过双曲线
点的情况如下:
外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共
(1)P点在两条渐近线之间 且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和
分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;
(2)P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和< br>只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;
(3)P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条
是切线;
(4)P为原点时不存在这样的直线;
11、结合图形熟记抛物线:“ 两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线:
准线、焦点弦;梯形:直角梯形ABCD。

12、对于抛物线上
13、抛物线
则有如下结论:
的点的坐标可设为
的焦点弦(过焦点的弦)为AB,且
,以简化计算;


14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只 有一个公共点:两条切线和一条平行于
对称轴的直线;
15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法:即设
为曲线上不同的两点,是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:

16、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线
方程,消元后 ,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然
后把交点坐标代入曲线方程 ,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件
△>0是否成立。

5、圆锥曲线:
(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:
为定点,d为点P到定直线的l 距离,, e为常数,如图。
,其中F

(2)当0<e<1时,点P的轨迹是椭圆;当e>1时,点P的轨迹是双曲线;当e=1时,
点P的轨 迹是抛物线。
(3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质,不 因为位置的


改变而改变。
①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上
ⅰ椭圆及双曲线:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;
ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称,关于中心为中心对称;
ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴,对称中心是原点。
②定量:

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变)
以焦点在x轴上的方程为例:



6、曲线与方程:
(1)轨迹法求曲线方程的程序:
①建立适当的坐标系;
②设曲线上任一点(动点)M的坐标为(x,y);
③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0;
④化简方程f(x,y)=0为最简形式;
⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上;
(2)曲线的交点:

由方程组确定,方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;
方程组没有实数解,两条曲线就 没有公共点。

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