高中数学数列知识点总结(精华版)

. .
一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
⑴ 数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规
律”．因此，如果组 成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a
n
与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正 整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式，即
a
n< br>?f(n)
.
3.递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第一项（或前几项），且任何一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即
a
n
?f(an?1
)
或
a
n
?f(a
n?1
,a
n?2
)
，
那么这个式子叫做数列
?
a
n
?
的递推公式. 如数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?2a
n
?1
，其中
a
n
? 2a
n
?1
是数列
?
a
n
?
的递推公式.
4.数列的前
n
项和与通项的公式
?
S
1
(n? 1)
①
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
； ②
a
n
?
?
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
? a
n
.
②递减数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
?a
n
.
③摆动数列:例如:
?1,1,?1,1,?1,?.

④常数数列:例如:6,6,6,6,……. < br>⑤有界数列:存在正数
M
使
a
n
?M,n?N
?.
⑥无界数列:对于任何正数
M
,总有项
a
n
使得< br>a
n
?M
.
1、已知
a
n
?
n1
*
{a}
(n?N)
，则在数列的最大项为__（答：）；
nn
2
?15625
an
2、数列
{a
n
}的通项为
a
n
?
，其中
a,b
均为正数，则
a
n
与
a
n?1
的大小关系为___（答：
bn?1
a
n
?a
n?1
）；
3、已知数列
{a
n
}
中，
a
n
?n
2
?
?
n
，且
{a
n
}
是递增数列，求实数
?
的取值范围（答：
?
??3
）；
4、一给定函数
y?f(x)
的图象在下列图中，并且 对任意
a
1
?(0,1)
，由关系式
a
n?1
?f (a
n
)
*
得到的数列
{a
n
}
满足a
n?1
?a
n
(n?N)
，则该函数的图象是 （）（答：A）




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二、 等差数列
1、 等差数列的定义：如果数列
a
n
从第二项起每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
??< br>a
n
?
a
n?1
?d(n?
N
*
, 且n?2)
.(或
a
n?1
?
a
n
?d(n?N
*
)
).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①定义法：
a
n?1
?
a
n
?d(常数)
?
?
a
n
?
为等差数列。
② 中项法：
2a
n?1
?
a
n
?
a
n?2
?
?
a
n< br>?
为等差数列。
③通项公式法：
a
n
?an?b
（ a,b为常数）
?
?
a
n
?
为等差数列。
④前n 项和公式法：
s
n
?An
2
?Bn
（A,B为常数）
?
?
a
n
?
为等差数列。
如设
{a
n
}
是等差数列，求证：以b
n
=
等差数列。
（2）等差数 列的通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
。
公式变形为:
a
n< br>?an?b
.
a
1
?a
2
???a
n

n?N*
为通项公式的数列
{b
n
}
为
n
其中a=d, b=
a
1
－
d.

如1、等差数列
{a
n}
中，
a
10
?30
，
a
20
?50
，则通项
a
n
?
（答：
2n?10
）；< br>2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______
（答 ：
8
?d?3
）
3
n(a
1
?a
n)n(n?1)
，
S
n
?na
1
?d
。
公式变形为：
22
（3）等差数列的前
n
和：
S
n
?
s
n
?An
2
?Bn
d
，其中A=
2
，B=
a
1
?
d
.
注意：已知n,d,
a
1
,
a
n
,
s
n
中的三者可以求
2
另两者，即所谓的“知三求二”。

如 数列
{a
n
}
中，
a
n
?a
n?1
?
1
3
15
(n?2,n?N
*
)
，
a
n
?
，前n项和
S
n
??
，则2
2
2
2
a
1
＝＿，
n
＝＿（答：< br>a
1
??3
，
n?10
）；（2）已知数列
{a< br>n
}
的前n项和
S
n
?12n?n
，
2*< br>?
?
12n?n(n?6,n?N)
求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
（答：
T
n
?
?
2
）.
*
?
?
n?12n?72(n?6,n?N)
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（4）等差中项：若< br>a,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且A?
a?b
。
2
提醒：（1）等差数列的通项公式及前
n和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2。（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a?2d,a?d,a,a?d ,a?2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d ,a?d,a?3d
,…（公差为2
d
）
3.等差数列的性质：
（1）当公差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1< br>?(n?1)d?dn?a
1
?d
是关于
n
的一
次函 数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
?na
1
?
函数且常数项为0. 等差数列{a
n
}中，
+ (a
1
－
n(n?1)dd
d?n
2
?(a
1
?)n< br>是关于
n
的二次
222
S
n
S
d
是 n的一次函数，且点（n，
n
）均在直线y =x
nn
2
d
)上
2
（2）若公差
d?0
， 则为递增等差数列，若公差
d?0
，则为递减等差数列，若公差
d?0
，则为 常数列。
（3）对称性：若
?
a
n
?
是有穷数列，则与首 末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p< br>.
如1、等差数列
{a
n
}
中，
S
n?18,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3,S
3
?1
，则
n
＝____（答：27）；
2、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
10
?0,a
11
?0
，且
a
11
?|a
10
|
，
Sn
是其前
n
项和，则A、
S
1
,S
2
S
10
都小于0，
S
11
,S
12
都大于0 B 、
S
1
,S
2
S
19
都小于0，
S
20
,S
21
都大于
0 C、
S
1
,S
2
S
5
都小于0，
S
6
,S
7
都大于0 D、
S
1
,S
2
S
20
都小于0，
S21
,S
22
都大于0 （答：B）
(4) 项数成等差,则相应的项 也成等差数列.即
a
k
,
a
k?m
,
a
k ?2m
,...(k,m?N
*
)
成等差.若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，
{ka
n
? pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、则
{ ka
n
}
、
{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
a
S
n
,S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
（公差为
n
2
d
）．，… 也成等差数列，而
{a
n
}
成等比数列；若
{a
n
}
是
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等比数列，且
a
n
?0
，则
{lga
n
}
是等差数列.
如 等差数列的前
n
项和为25，前2
n项和为100，则它的前3
n
和为 。
（答：225）
（5）在等差数列
{a
n
}
中，当项数为偶数
2n
时，
s
n
?n(
a
n
?
a
n?1
)
；
s
偶
?
s
奇
?nd
；
s< br>偶
a
n?1
.
?
s
奇
a
n
项数为奇数
2n?1
时，
s
2n?1
?(2n?1)
a< br>n
；
s
偶
?
s
奇
??
a
1
；
如1、在等差数列中，S
11
＝22，则
a
6
＝______（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列
{a
n
}
中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的
中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d为等差数列
?
a
n
?
的公差，则
d>0
?
?
a
n
?
是递增数列；d<0?
?
a
n
?
是递减数列；d=0
?
?
a
n
?
是常数数列
(7)若等差数列
{a
n
}< br>、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n< br>、
B
n
，且
s
偶
n?1
。
?n
s
奇
A
n
?f(n)
，则
B
na
n
(2n?1)a
n
A
2n?1
???f(2n?1 )
.
b
n
(2n?1)b
n
B
2n?1
如设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若
a
S
n
6n?2
3n?1
，那么
n
?
______ _____（答：）
?
T
n
4n?3
8n?7
b
n
（8）设a
l
，a
m
，a
n
为等差数列中的三项 ，且a
l
与a
m
，a
m
与a
n
的项距差之 比
l?m
=
?
m?n
（
?
≠－1），则a
m
=
a
l
?
?
a
n
．
1?
?
（9）在等差数列{ a
n
}中，S
n
= a，S
m
= b (n＞m)，则S
m?n
=
8、已知
?< br>a
n
?
成等差数列，求
s
n
的最值问题：
n?m
(a－b)．
n?m
a
n
① 若
a
1
?0
,d<0且满足
?
?
?
?0,
?
?
a
n?1
?0
,则
s
n
最大；
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?
a
n
?0,
,则
s
最小. ②若
a1
?0
,d>0且满足
?
?
n
?
?
a
n?1
?0
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有 非负项之和；“首负”的递增等
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不 等式组
?
?
或
?
?
?
??
?
a< br>n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
确 定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函 数，故可转
化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
n?N
。上述两种方法是运 用了哪种数学
思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数 列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，
S
9
?S
17
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前1 3项和最大，最大值为169）；
2、若
{a
n
}
是等差数列，首 项
a
1
?0,a
2003
?a
2004
?0
，
*
a
2003
?a
2004
?0
，则使前< br>n
项和
S
n
?0
成立的最大正整数
n
是 （答：4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差 数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究
a
n
?b
m
.



















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三、等比数列
1、等比数列的有关概念：如果数列
a
n
从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即
a
n
?q(n?
*
,n?2)
（或
N
a
n?1
??
a
n?1
a
n
?q(n?
N< br>*
)

2、等比数列的判断方法：定义法
a
n?1
a a
，其中
q?0,a
n
?0
或
n?1
?
n

?q(q
为常数
）
a
n
a
n
a
n?1
(n?2)
。
如1、一个等比数列{
a
n
}共有
2n?1
项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
a
n?1
为____（答：
5
）；
6
2、数列
{a
n}
中，
S
n
=4
a
n?1
+1 (
n ?2
)且
a
1
=1，若
b
n
?a
n?1< br>?2a
n
，求证：数列｛
b
n
｝
是等比数列。 < br>3、等比数列的通项：
a
n
?a
1
q
n?1
或
a
n
?a
m
q
n?m
。
如 设等比数 列
{a
n
}
中，
a
1
?a
n
?6 6
，
a
2
a
n?1
?128
，前
n
项和
S
n
＝126，求
n
和公比
q
. （答：
n?6
，
q?
1
或2）
2
a
1< br>(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?4、等比数列的前
n
和：当
q?1
时，
S
n
? na
1
；当
q?1
时，
S
n
?
。
1?q
1?q
如 等比数列中，
q
＝2，S
99
=77， 求
a
3
?a
6
???a
99
（答：44）
提醒：等比数列前
n
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n
项和时， 首先要判断
公比
q
是否为1，再由
q
的情况选择求和公式的形式，当 不能判断公比
q
是否为1时，要对
q
分
q?1
和
q ?1
两种情形讨论求解。
5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与 b的等比中项，即G=
?ab
.
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存 在等比中项，且有两个
?ab
。
如已知两个正数
a,b(a?b)
的 等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为
______（答：A＞B）
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提醒：（1）等比数列 的通项公式及前
n
项和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其 余2
个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
aa
aa
3
2
,,aq,aq
,,a,aq,aq
…（公 比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，
q
2
3
qq
qq
因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
q
。如有四个数， 其中前三
个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
6、等比数列的性质：
（1）对称性：若
?
a
n
?
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
2
2
即当
m?n?p?q
时，则有
a
m
.a
n
?a
p.a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
.a
n
?a
p
.
如 1、在 等比数列
{a
n
}
中，
a
3
?a
8
?124,a
4
a
7
??512
， 公比q是整数，则
a
10
=___（答：
512）；
2、各项均为 正数的等比数列
{a
n
}
中，若
a
5
?a
6
?9
，则
log
3
a
1
?log
3a
2
?
（答：10）。
(2) 若{ a
n
}是公比为q的等比数列，则{| a
n
|}、{a
n
}、{ka
n
}、{
2
?log
3
a
10
?

1
}也是等比数
a
n
列，其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{
2
a
1
{b
n
}
成 等比数列，则
{a
n
b
n
}
、
{
n
}
}。若
{a
n
}、
b
n
q
成等比数列 ； 若
{a
n
}
是等比数列，且公比
q??1
，则数列S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S< br>2n
，…也
是等比数列。当
q??1
，且
n
为偶数 时，数列
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n< br>?S
2n
，…是常数数列0，
它不是等比数列. 若
?
a< br>n
?
是等比数列，且各项均为正数，则
log
a
a
n
成等差数列。若项数
为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S
1< br>与T
1
，次n项和与次n项积分别
为S
2
与T
2，最后n项和与n项积分别为S
3
与T
3
，则S
1
，S
2
，S
3
成等比数列，T
1
，T
2
，T
3
亦成等比数列
??
1
如1、已知
a?0
且
a?1
，设数列
{x
n
}
满足
log
a
x
n?1
??lo
a
xg
n
(n?N*)
，且
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. .
x
1
?x
2
??x
100
?100
， 则
x
101
?x
102
?
；
?x
200
?
. （答：
100a
100
）
2、在等比数列
{a
n
}
中，
S
n
为 其前n项和，若
S
30
?13S
10
,S
10
?S
30
?140
，则
S
20
的值为______（答：40）
(3) 单调性：若
a
1
?0,q?1
，或
a
1< br>?0,0?q?1
则
{a
n
}
为递增数列；若
a1
?0,q?1
,
或
a
1
?0,0?q?1
则
{a
n
}
为递减数列；若
q?0
，则
{a
n
}
为摆动数列；若
q?1
，则
{a
n
}
为
常数列.
(4) 当
q?1
时，
S
n
??a
1
n
a
q?
1
?aq
n
?b，这里
a?b?0
，但
a?0,b?0
，
1?q1?q
这是等比数列前
n
项和公式的一个特征，据此很容易根据
S
n
，判断 数列
{a
n
}
是否为等比数
列。如若
{a
n
}
是等比数列，且
S
n
?3
n
?r
，则
r
＝ （答：－1）
(5)
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
?S
n
?q
n
Sm
.如设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，前< br>n
项和为
S
n
，
若
S
n?1
,S< br>n
,S
n?2
成等差数列，则
q
的值为_____（答：－2 ）
(6) 在等比数列
{a
n
}
中，当项数为偶数
2n< br>时，
S
偶
?qS
奇
；项数为奇数
2n?1
时 ，
S
奇
?a
1
?qS
偶
.
(7)如果数 列
{a
n
}
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{a
n< br>}
是非零常数数列，故常数
数列
{a
n
}
仅是此数列 既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
（
n?N
）， 关于数 列
?
a
n
?
有下列三个命题：①若
a
n
? a
n?1
b?R
?
，
(n?N)
，则
?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列；②若
S
n
?an
2
?bn
?
a、
n
则
?
a
n
?< br>是等差数列；③若
S
n
?1?
?
?1
?
，则
?
a
n
?
是等比数列。这些命题中，真命题的序号
是 （答：②③）
nm
⑧等差数列中，S
m+n
=S
m
+S< br>n
+mnd；等比数列中，S
m+n
=S
n
+qS
m
=S
m
+qS
n
；




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. .

四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形 式上也不一定唯一．已
知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差( 比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项
的差(比)等于同一个常 数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存
在，而“同一个常数”则是保证至少 含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充
分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a
n
}与a
n
是不同 的，前者表示数列a
1
，
a
2
，…，a
n
，…，而 后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a
1
，a
2
，…，a
n
，…，与集
合{ a
1
，a
2
，…，a
n
，…， }不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一
个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺 序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq
aq，…；
⑵对 连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq
．．
?3
2
?2
， aq
?1
， a，aq，
， aq
?1
， aq，aq，…．
3
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研 究等比数列时，
要注意a
n
≠0，因为当a
n
= 0时，虽有a
n
= a
n?1
· a
n?1
成立，但{a
n
}不是等比数列，即
“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a
n
}，“2b = a +
c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义 知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，
首先要注意特殊情况“0”．等比数列 的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1
和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
欢迎您的光临，Wo rd文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语 ； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应 学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是 自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。
2
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