高中数学知识学习要点

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高中数学知识学习要点
1
函数
函数是历年高考命题的重点，集合、函数的定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周
期性、最值、反函数以及具体函数的图象及性质在高考试题中屡见不鲜.因此须注意以下几
点.
（1）集合是近代数学中最基本的概念之一，集合观点渗透于中学数学内容的各个方面，所
以我 们应弄懂集合的概念，掌握集合元素的性质，熟练地进行集合的交、并、补运算.同时，
应准确地理解以 集合形式出现的数学语言和符号.
（2）函数是中学中最重要的内容之一，主要从定义、图象、性质三 方面加以研究.在复习时
要全面掌握、透彻理解每一个知识点.为了提高复习质量，我们提出下述几个问 题：
①掌握图象变换的常用方法（参照南师大第一学期教材图象变换一节）特别注意：凡变换均
在自变量
x
上进行.
②求函数的最值是一种重要的题型.要掌握函数最值的求法， 特别注意二次函数在定区间上
的最值问题以及有些问题可能隐藏范围，因此范围问题是二次函数最值的关 键.另外二次分
式函数的最值亦应引起注意，它的基本解法是“
?
”法，当然有一部分 可以转化为函数
b
f(x)?ax?(a,b?0)
的形式，而后与基本不等式相联系 ，或用函数的单调性求解.
x
③学会解简单的函数方程，认真对待指数或对数中含参数问题的 求解方法，特别注意对数的
真数必须“>0”，注意方程求解时的等价性.
1、 三角 三角包括两部分内容：三角函数和两角和与差的三角函数.三角函数主要考查三角函数的
性质、图象 变换、求函数解析式、最小正周期等. 两角和与差的三角函数中公式较多，应在
掌握这些公式的内在联 系及推导过程的基础上，理解并熟悉这些公式.特别注意以下几个问
题：
（1）和、差、倍、 半角公式都是用单角的三角函数表示复角（和、差、倍、半角）的三角
函数.这就决定了这些公式应用的 广泛性，即这些公式可以将三角函数统一成单角的三角函
数.
（2）了解公式中角的取值范围 ，凡使公式中某个三角函数或某个式子失去意义的角，都不
适合公式.例如:
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
?
（
?
,
?
,
?
?
?
?k
?
?,k?Z
）类似还有一些，请自己注意.
1?
tg
?
?tg?
2
（3）半角公式中的无理表达式前面的符号取舍，由公式左端的三角函数中角的范围决 定，
半角正切公式的有理表达式中，无需选择符合，但
tg
?
2
与< br>sin
?
的符合是一致的.
（4）掌握公式的正用、反用、变形用及在特定条 件下用，它可以提高思维起点，缩短思维
线路，从而使运算流畅自然.例如:
1?tg
??
?
?tg(?
?
)
；
1?sin2
?
?
(sin
?
?cos
?
)
2

sin
?
?cos
?
=
2sin(
?
?)
；1
?
tg
?
4
4
1?cos2
?
?2 cos
2
?
；
1?cos2
?
?2sin
2
?
.

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（5）三角函数式的化简与求 值，这是中学数学中重要内容之一，并且与解三角形相集合，
有的还与复数的三角形式运算相联系，因此 须注意常用方法和技巧：切割化弦、升降幂、和
积互化、“1”的互化、辅助元素法等.
2、 不等式
有关不等式的高考试题分布极为广泛，在客观题中主要考查不等式的性质、简单不等式
的解法以及均值不等式的初步应用.经常以比较大小、求不等式的解集、求函数的定义域、
值域、最值等 形式出现.在中档题中，求解不等式与分类讨论相关联；特别是近几年来强调
考查逻辑推理能力，增加了 一个代数推理题，也和不等式的证明相关联.在压轴题中，无论
函数题、还是解析几何题，也往往需要使 用不等式的有关知识.在复习中应注意下述几个问
题：
（1）掌握比较大小的常用方法：作差、作商、平方作差、图象法.
（2）熟练掌握用均值不 等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等.三者缺一不
可.
（3）把握解含参数的不等式的注意事项
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行 分类讨论.如果遇到下述情况则一
般需要讨论：
① 在不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
② 在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进
行讨论.
③ 当解集的边界值含参数时，则需对零值的顺序进行讨论.
3、 数列
本章是高考命题的主体 内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出
解决下述几个问题：
（1）等 差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前
n
项和
Sn
，
S
1
(n?1),
?
则其通项为
a
n
?
?
若
a
1
?S
1
满足
a< br>1
?S
2
?S
1
,
则通项公式可写成
S?S (n?2,n?N).
n?1
?
n
a
n
?S
n?S
n?1
.
（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通 项公式、前
n
项和公式及
其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容. （3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，
是我们 复习应达到的目标.
①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是
n
的函数，所以等差等
比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
及
S
n
?na
1
(q?1)
； 用等比数列求和公式应分为
S
n
?
1?q
已知
S
n
求
a
n
时， 也要进行分类；
计算
linq
时，应分为
q?1
时，
li mq?1
，
q?1
时，
limq?0
；
n??
n??n??
nnn

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求一般数列的和时还应考虑字母的取值或项数的奇偶性.
④ 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问
题，再利用 有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简
单地模仿和套用所能完成 的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
4、 复数
高考试题中有关复数的 题目的内容比较分散，有的是考查复数概念的，有的是考查复数
运算的，有的是考查复数几何意义的.并 且每个题目都有一定的综合性，即使是一个简单的
客观题也包括3—4个知识点.从1994年以来复数 题主要分布在客观题及中档解答题中.因此，
我们应扎扎实实地全面复习基础知识及基本解题方法.在复 习过程中应注意下述几个问题：
（1）对复数的有关概念的理解要准确，不能似是而非，否则在 解题过程中就会发生错误.
如：在实数范围内适用的幂的运算法则
(a)?a
mnmn
(m,n?R,a?R
?
)
，在复数集内不在
适用，纯虚数的概念等
（2）要掌握复数的模及辐角主值的最值的求法.求复数的模的最值的常用方法有：把复数
化成三角形式，转求三角函数的最值问题（三角法）；利用复数的代数形式，转求代数函数
的最值问题（ 代数法）；利用复数的几何意义，转成复平面上的几何问题（图象法）；利用
z?zz
或
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.
求有关复数的辐角或辐角主值的最值的主要
方法有几何法 和三角法.
（3）要掌握在复数集中解一元二次方程和二项方程的方法：所有一元二次方程均可用 求
根公式求方程的根，并且韦达定理也成立，只有实系数一元二次方程可用
?
判断方程 根的情
况，复系数一元二次方程只能利用复数相等的条件化为方程组求解.
（4）由于复 数知识与中学数学中许多内容有着密切联系，这就提供了复数与实数、复数
与三角函数、复数与几何的双 向转化的基础，因此复习复数内容时是培养我们转化思想的极
好机会.
6、立体几何
（1）“直线和平面”这一章的内容是立体几何的基础.在复习时要反复梳理知识系统，掌握
每个概念 的本质属性，理解每个判断定理和性质定理的前提条件和结论.
（2）在研究线线、线面、面面的位置 关系时，主要是研究平行和垂直关系.其研究方法是采
取转化的方法.
（3）三垂线定理及其 逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理，只要题设条件中有直线和
平面垂直时，就往往需要使用三垂线 定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理.三垂
线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间 图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定
二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
（4）在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥、棱台的问题转化成平面
图形去解决.
②利用轴截面将旋转体的有关问题转化成平面图形去解决.
③将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.
④由于台体是用 一个平行于锥体底面的平面截得的几何体，因此有些台体的问题，常
常转化成截得这个台体的锥体中去解 决.
⑤ 利用割补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.
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⑥ 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.
（5）立体几何解答题一 般包括“作、证、求”三个步骤，缺一不可，在证明中使用定理时，
定理的条件必须写全，特别是比较明 显的“线在面内”，“两直线相交”等必须交代清楚.
5、 平面解析几何
有关直线方程的 高考试题可分成两部分，一部分是独立成题，多出在客观题中，并且每
年只有一个题，难度属于基本题. 考查内容除了对称问题，求直线的倾斜角及斜率外，还出
现求直线方程，两条直线平行或垂直的充要条件 等.另一部分是在解析几何综合题出现，例
如在圆锥曲线中往往涉及到和直线的位置关系，此种情况下一 般都使用直线的斜截式或点斜
式.因此，我们在复习时须加强基本概念和基本方法的复习.
（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
（2）要学会变形使用两点间距离公式
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
，当已知直线
l
的斜率
1
y< br>2
?y
1
；当已知直线的倾斜角
?
时，
2
k
2
公式变形为
d?1?kx
2
?x
1
或
d ?1?
k
时，
还可以得到
d?x
2
?x
1
?sec
?
或
d?y
2
?y
1
?csc
?

（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算.
（4）会在任何条件下求出直线方程.
（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 < br>高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压
轴题. 也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆
锥曲线的位置关系 、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关
系.在复习过程中要注意下述几 个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时< br>注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两 圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元
后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的 对称轴平行时，直线与双曲线的
渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况， 可以使用数形结合
思想，画出方程所表示的曲线，通过图形求解.
（3）求圆锥曲线方程通常 使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定
义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆 锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线
定义简化运算或证明过程.
（4）在解与焦 点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）
有关的命题时，一般需使用正 余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦 长、中点弦、定比分点弦、弦
对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何 的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的
灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化 成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通
过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常 用方法有：直接法、定义法、几何
法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建 系、设点、列式、化
简、确定点的范围.
（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公 式，后用化归的思想转化到普通方程即
可求解.

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