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最全高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 08:03
tags:高中数学知识点

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高中数学
选修1-1知识点总结归纳
(经典版)


1


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常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
1、命题:一般地,在数学中 我们把语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做
命题。其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成:在数学中,命题通常写成“若
p
,则< br>q
”的形式。其中
p
叫做命题的条件,
q
叫做命题的结论。

1.1.2 四种命题
3、互逆命题:一般地,对于两个命题,如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结
论和条件,那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做 原命题,另一个叫做
原命题的逆命题。如果原命题为“若
p
,则
q
” ,则它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
4、互否命题:一般地,对于 两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条
件的否定和结论的否定,我们把这样的两个 命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做
原命题,,那么另一个叫做原命题的否命题。如果原命题 为“若
p
,则
q
”,则它的否命题
为“若
?p
,则
?q
”.
5、互逆否命题:一般地,对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好 是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个 命
题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题。如果原命题为“若
p
,则
q
”,则它的
逆否命题为“若
?q
,则
?p
”.
6、以上总结概括:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题


p
,则
q


q
,则
p


?p
,则
?q


?q
,则
?p


p
,则
q

原命题


互 逆










q
,则
p

逆命题





1.1.3 四种命题间的相互关系
7、四种命题间的相互关系:一般地,原命
否命题
题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题


?p
,则
?q

之间的相互关系:
8、四种命题的真假性:一般地,四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题和互否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆否命题或互否命题,它们的真假性没有关系。
原命题




逆命题




否命题





逆否命题

?q
,则
?p

逆否命题




1.2 充要条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
2


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1、充要条件与必要条件:一般地,“若
p
,则
q
”为真命题,是指 由
p
通过推理可以得出
q
.
这时,我们就说,由
p
可推出
q
,记作
p?q
,并且说
p

q
的 充分条件,
q

p
的必要
条件。如果“若
p
,则< br>q
为假命题”,那么由
p
推不出
q
,此时我们就说
p
不是
q
的充分条
件,
q
不是
p
的必要条件 。

1.2.2 充要条件

2、一般地,如果既有
p?q,又有
q?p
,就记作
p?q
.此时,我们说,
p
是< br>q
的充分
必要条件,简称充要条件。
1.2内容总结
条件
p
与结论
q
的关系
结论 用集合表示p:A,q

B
p?q

q?p

p

q
的充分条件
p

q
的必要条件
p

q
的充分不必要条件
p

q
的必要不充分条件
p

q
的充要条件
A?B

B?A

A
?
B

p?q

q?p

p?q

q?p

B
?
A

p?q

p?q

q?p

A?B

A?B

B?A

p

q
的既不充分
也不必要条件
1.3 简单的逻辑联结构
1.3.1 且(and)
1、
p

q
定义:一般地,用关联词“且”把命题
p
和命题
q
连接起来,就得到一个新命题,
记作
p?q
,读作“p

q
”.与集合
AB?
?
xx?A

x?B
?
相关。
2、
p

q
的真假:当
p

q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题中有一个
命题是假命题时,
p?q
是假命题。简记为:一 假则假,同真则真。


1.3.2 或(or)
3、
p

q
定义:一般地,用关联词“或”把命题
p
和命题
q
连 接起来,就得到一个新命题,
记作
p?q
,读作“
p

q< br>”.与集合
AB?
?
xx?A

x?B
?
相 关。
4、
p

q
的真假:当
p

q两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题都是假命题时,
p?q
是假命题。简记为:一真则真,同假则假。
1.3.3 非(not)
5、
p

q
定义:一般地,对一个命 题
p
全盘否定,就得到一个新命题,记作
?p
,读作
“非
p
”或“
p
的否定”.与集合
?
U
A?xx?U

x?A
?

6、
p

q
的真假:若
p
是真命题,
?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p< br>必是真命题。
简记为:与
p
真假性相反。
?
3


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1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1、定义:短语“对所有的”“对任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“
?

表示。含有全程量词的命题,叫做全称 命题。
2、表述形式:对
M
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成立。符号简记为
?x?M

p
?
x
?
.
1.4.2 存在量词
3、定义:短语“存在一个”“至有少 一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“
?
”表
示。含有存在量词的命题,叫做 特称命题。
4、表述形式:存在
M
中的一个
x
0
,是p
?
x
0
?
成立。符号简记为
?x
0
?M

p
?
x
0
?
.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
5、全称命题的否定:一般地,对于含有一个量词的全程命题的否定,有下面的结论:
全 称命题
p

?x?M

p
?
x
?
,它的否定
?p

?x
0
?M

?p
?< br>x
0
?
.
全称命题的否定是特称命题。
6、特定命题的否定:一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特 称命题
p

?x
0
?M

p
?
x
0
?
,它的否定
?p

?x?M

?p< br>?
x
?
.
特称命题的否定是全称命题。
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
1、椭 圆的定义:平面内与两个定点
F
1

F
2
的距离之和等于常 数(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹
叫做椭圆。这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。用集合语言表示:
P?MPF
1
?PF
2
?2a,2a?F
1
F
2

2、椭圆的满足条件 :①当
MF
1
?MF
2
?2a?F
1
F
2
时,
M
的轨迹为椭圆;
②当
MF
1
?MF
2
?2a?F
1
F
2
时,
M
的轨迹为
F
1

F
2
为端点的线段;
③当
MF
1< br>?MF
2
?2a?F
1
F
2
时,
M
的轨迹不存在。
??
x
2
y
2
3、椭圆的标准方程:①焦 点在
x
轴上:
2
?
2
?1
?
a?b?0< br>?

ab
我们把这样的方程叫做椭圆的标准方程,两个焦点分别是
F< br>1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0< br>?
,这里
b
2
?a
2
?c
2
.
4


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y< br>2
x
2
②焦点在
y
轴上:
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?
两个焦点分别为
ab
F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?
.
③当焦点不确定可设为:
mx
2
?ny
2
? 1
?
m?0,n?0,m?n
?

x
2
y
2
2.1.2 椭圆的简单几何性质
(设椭圆的 标准方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?


ab
4、范围:由图可知,椭圆上点
A
1
A
2< br>为长轴,横坐标的范围是

B
1
B
2
为短轴,纵坐标 的范围是
?a?x?a

a
为长半轴长)
?b?y?b
(< br>b
为短半轴长)。
5、对称轴:椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。
6、顶点:椭圆与它的对称轴有四个焦点,这四个交点叫做椭圆的
顶点。线段
A
1A
2
的长等于
2a
,线段
B
1
B
2< br>的长等于
2b
.
7、离心率:椭圆的焦距与长轴长的比
表示,即e?
c
叫做椭圆的离心率,常用
e
a
c
,离心率的范围 :
0?e?1
.
e
越接近于
a
,从而
a
因 此椭圆越扁;反之,当
e
越接近
0
时,
c
接近于0,从而< br>b
越接近于
a

b?a
2
?c
2
越 小,
这时椭圆就越接近圆。
当且仅当
a?b
时,
c?0
,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为
x?y?a

222
椭圆补充内容
8、离心率公式推导:
cb
2
P

y轴上:
e??1?
2
?cos?OF
2
B

a a
P
不在
y
轴上:
e?
sin
?
2

?
sin
?
?sin
?
cos
?
?< br>?
2
cos
?
?
?

9、交点三角形面积公式:
S
PF
1
F
2
b2
sin
??
1
??b
2
tan?Cy
P?PF
1
PF
2
?sin
?

1?cos
?
22
5


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周长公式:
C?2
?
a?c
?

10、椭圆的第二 定义:平面内,若动点
M(x,y)
与定点
F
?
c,0
?< br>的距离和它到定直线
a
2
c
l:x?
的距离的比是常数
?
a?c?0
?
,则
M
的轨迹是一个椭圆。
c
a
注:①常数为离心率,定直线为椭圆的准线 ②
F?l

焦半径:设
P
?
x
0
,y
0
?
.
当焦点在
x
轴上时,
PF
1

=
a?ex

PF
2

?a?ex
.
0
0
当焦点在
x
轴上时,
PF
1

=
a?ey

PF
2

?a?ey
.
0
0
11、直线与椭圆的位置关系
?
x
2
y2
?1
?
a?b?0
?
?
?
位置关系的判定:联立
?
a
2
b
2
消去
x
或消去
y
解方程。
?
Ax?By?C?0
?
①当直线与椭圆有两个焦点时,直线与椭圆相交,即
??0
;②当直线与椭圆有一个 焦点时,
直线与椭圆相切,即
??0
;③当直线与椭圆无焦点时,直线与椭圆相离,即
??0
.
12、弦长公式
设直线
y?kx?b
与椭圆 相交于
A
?
x
1
,y
1
?

B< br>?
x
2
,y
2
?
两点,则弦长公式为:
A B?x
1
?x
2
1?k
2
?1?k
2
?< br>AB?y
1
?y
2
1?
11
?1??
k2
k
2
?
x
1
?x
2
?
2< br>?4x
1
x
2
2
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

13、中点弦长公式(
P
点在弦
AB
的中点)
焦点在x
轴上:
k
OP
?k
AB
a
2
b2
??
2
;焦点在
y
轴上:
k
OP
? k
AB
??
2
.
ba
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
1、双曲线的定义:我们把平面内与两个定点
F
1

F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹叫做双曲线。两个定点
F
1

F
2
叫做双曲线的焦点,两焦点的距离
F
1
F
2
叫做双曲线的 焦距。用符号表示:
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
?2c
.
2、双曲线的轨迹:①当
0?2a?F
1< br>F
2
时,
1
F
2
时,
F
1

F
2
的轨迹为双曲线;②当
2a?
F
6


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动点的轨迹以
F
1

F
2
为端点的射线;③当
2a?
F
1
F
2
,则动点轨迹不存在。
x
2
y
2
3、双曲线的标准方程:①焦点在
x
轴上:
2
?
2
?1?
a?0,b?0
?
.
ab
我们把这样的方程叫做双曲线的标准 方程,两个焦点分别是
F
1
?
?c,0
?

F2
?
c,0
?
的双曲线,这里
c
2
?a
2
?b
2
.
y
2
x
2
②焦点在
y
轴上:
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
.两个焦点分别为
ab
F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?
.
③当焦点不确定可设为:
mx
2
?ny
2
?1
?
m?0,n?0,m?n< br>?

x
2
y
2
2.2.2 双曲线的简单几何性 质
(设双曲线的标准方程为
2
?
2
?1
?
a?0, b?0
?

ab
4、范围:双曲线在不等式
x?a
x??a
所表示的区域内,而在
?a?x?a
之间没有图像。
5、对称轴:双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形。
6、顶点:双曲线和它的对称轴有两个焦点,他们叫做双曲线的顶点。
线段
A< br>1
A
2
叫做双曲线的实轴,它的长度等于
2a

a< br>叫做双曲线的
实半轴长;线段
B
1
B
2
叫做双曲线的 虚轴,它的长度等于
2b

b
叫做
双曲线的半虚轴长。
x
2
y
2
7、(1)渐近线的意义:双曲线
2
?
2< br>?1
的各支向外延伸时,与
ab
这两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫做双 曲线的渐近线。当在
b
矩形的两条对角线所在直线的方程式
y??x
;当在< br>y

x
轴上时,
a
a
上时,矩形的两条对角线所在直 线的方程式
y??x
.
b
(2)等轴双曲线:如果
a?b
,那么双曲线的方程为
x?y?a
,它的实轴与虚轴的长都
等于
2a
,它的一般形式:
x?y?
?
?
?
?0
?

?
?0
,在
x
轴;
?
?0
,在
y
轴);渐近
22
222
线方程为
y??x
;离心率:
e? 2

8、离心率:双曲线的焦距与实轴长的比
c
叫做双曲线的离心率,因为< br>c?a?0
,所以双曲
a
7


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c
?1
.
e
越接近于
1
,双曲线开口越小。
a
双曲线补充内容
线的离心率
e?
ca
2
?b
2
b
?
b
?
?1?
9、离心率公式推导:
e??

?e
2
?1

??
2
aa
a
?
a
?
10、焦点三角形面积公式:
S
?PF
1
F
2
2
b
2
?sin
?
b
2< br>??

?
1?cos
?
tan
2
11、双曲 线的第二定义:动点到定点
F
的距离与它到定直线
l
的距离
之比是常 数
e
?
e?1
?
.
12、直线与双曲线的位置关系 ?
l:y?kx?m
?
位置关系的判定:联立直线
l
与双曲线< br>C

?

y
带入双曲线
C
可解。
x
2
y
2
?
C:
2
?
2
?1< br>?
ab
(1)当
k??
b
,若
m?0
,方程 有一根,直线与双曲线有一焦点,此时直线平行于渐近
a
线;若
m?0
,方程 无根,直线与双曲线无焦点,该直线就是渐近线。
b
,①
??0
时,直线与 双曲线有两个相异焦点;②
??0
时,直线与双曲线
a
相切,有一个焦点;③
??0
时,直线与双曲线相离,没有交点。
(2)当
k??
13、弦长公式
设直线
y?kx?b
与双 曲线相交于
A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
两点,则弦长公式为:
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1?k
2
?
AB?1?
11
y?y?1??
12
k
2
k2
?
x
1
?x
2
?
2
?4x
1
x
2
2
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

14、中点弦公式
x
2
y
2
已知
A
?
x
1
,y
1
?< br>,
B
?
x
2
,y
2
?
是双曲线2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
上的两个不同 的点,
ab
?
x
1
2
y
1
2
?? 1
?
?
a
2
b
2

M
?
x
0
,y
0
?
是线段
AB
的中点,则
?< br>22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
a
2
b
2
15、共轭双曲线(以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为 虚轴的双曲线)
x
2
y
2
y
2
x
211
?
2
?1

??1??1
与 ①有共同的渐 近线;②
2
2222
e
1
e
2
abba
8


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2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
1、定义:平面内与一个定点
F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点
F

做抛 物线的焦点,直线
l
叫做抛物线的准线。
2、抛物线标准方程的四种形式
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
y
2
?2px

?
p?0
?


?
p
?
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2
y
2
??2px

?
p?0
?


?
p
?
?,0
??

2
??
x?
p

2
x
2
?2py


?
p?0
?

x
2
??2py

?
P
?
?
0,
?

?
2
?
y??
P

2
?
p?0
?


P
??
0,?
??

2
??
y?
P

2
①焦点在一次项所含未知数的轴 上,②开口由一次项系数正负决定,③焦点的非零坐标是一
次项系数的
1
.
4
2.3.2 抛物线的简单几何性质
(设抛物线的标准方程
y
2
?2px
?
p?0
?


3、范围:因为
p?0
,由方程可知,对于抛物线
y?2px
?
p?0
?

x?0
,所以这条抛物
2
线在
y
轴的右侧,开口方向与< br>x
轴正向相同;当
x
的值增大时,
y
也增大,这说明抛物线< br>向右上方和右下方无限延伸。
4、对称轴:抛物线
y?2px
?
p? 0
?
对称轴是以
x
轴为对称轴的轴对称图形。
2
5、顶点:抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点。
6、离心率:抛物线上的点到 焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率,用
e
表示。由定义可知:
e ?1


抛物线补充内容
7、抛物线与直线的位置关系
9


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设直线
l: y?kx?b
与抛物线
y?2px
?
p?0
?
,公共点的个 数等于方组
2
?
y?kx?b
不同实数解的个数。
?
2
?
y?2px
①当
k?0
,则当
??0
时,直线 与抛物线相交,有两个公共点;当
??0
时,直线与抛物
线相切,有一个公共点;当< br>??0
时,直线与抛物线相离,无公共点。
②当
k?0
,则直线y?b
与抛物线相交,有一个公共点。特别地,设
x?m
,则当
m?0< br>时
直线
l
的斜率不存在时,
l
与抛物线相交,有两个公共点; 当
m?0
时,
l
与抛物线相切,有
一个公共点;当
m?0< br>时,
l
与抛物线相离,无公共点。
8、弦长公式

A< br>?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
是直线
y?kx?b
与抛物线的交点, 则弦长公式为:
2
AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
?
?
x
1
?x
2
??4x
1
x
2
?
??
AB?1?
9、中点弦
11
y?y?1??
12
22
kk
?
y
1
?y
2
?
2
2
?4y
1
y
2

A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
是抛物线
y? 2px
?
p?0
?
上的点,
AB
中点
M
?
x
0
,y
0
?
,则
AB
的斜率为

p
y?y
2
2pp
??
,则
1

y
0
x
1
?x
2
y
1
?y
2y
0
第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
1、平均变化率:设
x
1

x
2
是函数
y?f
?
x
?
定义域内两个不同的数,把式子f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?< br>x
2
?x
1
称为函数
y?f
?
x
?

x
1

x
2
的平均变化率。习惯上用
? x
表示
x
2
?x
1
,也可把
?x
看作是< br>相对于
x
1
的一个“增量”,可用
x
1
??x
代替
x
2
;类似地,
?y?f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
.于是,平均
?y

?x

3.1.2 导数的概念
变化率可以表示为
2、瞬时速度
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。一般地,函数
y?f
?
x
?

x?x
0
处的瞬时变化率
10


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f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?< br>?y
?
,我们称它为函数
y?f
?
x
?
在< br>x?x
0
处的导数,
limlim
?x?x
?x?0?x?0
,即
f'
?
x
0
?
?
记作
f'< br>?
x
0
?

y'
x?x
0
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?y
?

limlim
?x
?x?0
?x
?x?0
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?k

3.1.3 导数的几何意义
3、切 线方程:求函数在点
x
0
,f
?
x
0
?
处 的导数
f'
?
x
0
?
?
??
lim
?x?0
?x
得到曲线在点
P
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率。

3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
1、函数
y?f
?x
?
?c
的导数:
y'?
lim
?y
?
lim
0?0
.
?x?0
?x
?x?0
2、函数
y?f
?
x
?
?x
的导数:
y'?
lim
?y
?
?x?0
?x
lim
1?1

?x?0< br>3、函数
y?f
?
x
?
?x
2
的导数:y'?
lim
?y
?
lim
?
2x??x
?< br>?2x

?x?0
?x
?x?0
4、函数
y?f?
x
?
?
1
?y1
x
的导数:
y'?
lim
?x?0
?x
?
lim
?
?x?0
?
?
?
?
1
x
2
?x??x
?
?
??
x
2

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、基本初等函数的导数公式
(1)若
f
?
x
?
?c
,则
f'
?
x
?< br>?0
;(2)若
f
?
x
?
?x
a
?
a?Q
*
?
,则
f'
?
x
?
?a x
a?1

(3)若
f
?
x
?
?sin x
,则
f'
?
x
?
?cosx
;(4)若
f
?
x
?
?cosx
,则
f'
?
x
?
??sinx

(5)若
f
?
x
?
? a
x
,则
f'
?
x
?
?a
x
ln a
?
a?0
?
;(6)若
f
?
x
?
?e
x
,则
f'
?
x
?
?e
x

(7)若
f
?
x
?
?log
1
a
x
,则
f'
?
x
?
?
xlna

a?0
,且
a?1
);
(8)若
f
?
x
?
?lnx
,则
f'
?
x
?
?
111< br>x
;(9)若
f
?
x
?
?
x
,则< br>f'
?
x
?
??
x
2
.
6、导数的运算法则
(10)
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
'?f'
?
x
?
?g'
?
x
?

(11)
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
'?f'
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x
?




11


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?
f
?
x
?
?
f'
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g'?
x
?
'?
(12)
?
?
g
?
x
?
?0
?

?
2
gx
?
?
??
?
?
g
?
x
?
?
?
(13)
?
?
cf
?
x
?
?
?
' ?c'f
?
x
?
?c
?
?
f
?
x
?
?
?
'?cf'
?
x
?
.
推导:
(14)
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?h
?
x
?
?
?'?f'
?
x
?
g
?
x
?
h
?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x?
h
?
x
?
?f
?
x
?
g< br>?
x
?
h'
?
x
?

(15)?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>?h
?
x
?
?
?
'?f'
?
x?
?g'
?
x
?
?h'
?
x
?

3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
1、函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间
?
a,b
?
内,如果f'
?
x
?
?0
,那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增;如果
f'
?
x
?
?0
,那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调
递减。 若
f
?
x
?

?
a,b
?
单调递 增,则
f'
?
x
?
?0

?
a,b
?
恒成立。
注意:①原函数看增减,导函数看正负;②
f'
?
x
?
越大,
y?f
?
x
?
越大。
2、求 单调区间的一般步骤:①确定函数
f
?
x
?
的定义域;②求导函数< br>f'
?
x
?

③在定义域内解不等式
f'?
x
?
?0

f'
?
x
?
? 0
;④决定函数的单调期间。
3.3.2 函数的极值与导数
3、
函 数的极大值:如果对
x
0
附近的所有点都有
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
,就说
f
?
x< br>0
?
是函数
y?f
?
x
?
的一个极大值,记 作
y
极大值
=
f
?
x
0
?
x
0
是极大值点。
4、
函数的极小值:如果对
x
0< br>附近的所有点都有
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
,就说
f
?
x
0
?
是函数
y?f
?
x
?
的一个极小值,记作
y
极小值
=f
?
x
0
?

x
0
是极小值点。
5、极值:极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值。
6、函数极值的判断方法
(1)设函数
f
?
x
?
在点
x
0
x
0
处可导,且在
x
0
处取得极 值,则
f'
?
x
0
?
?0

(2)设函数
f
?
x
?

f'
?
x
0
?
?0

①如果在
x
0
附近左侧
f'
?
x
?
?0
,右侧
f'
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
?

x
0
处取得极 大值;

②如果在
x
0
附近左侧
f'
?
x
?
?0
,右侧
f'
?
x
?
?0
, 那么
f
?
x
?

x
0
处取得极小值;
12


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③ 如果在
f'
?
x
?

x
0
左右两侧的符号 不变,那么
f
?
x
?

x
0
处不取得极值 。
7、求函数极值的步骤
①确定函数的定义域;②求导函数
f'
?
x
?
;③求函数
f'
?
x
?
?0
的根, 列出可能极值点;
④列表;⑤确定极值

3.3.3 函数的最大(小)值得导数
8、函数的最大值:如果在函数
f
?
x
?
的定义域内存在
x
0
,总有
f
?
x
?< br>?f
?
x
0
?
,那么
f
?
x
0
?
为函数在定义域上的最大值;
9、函数的最小值:如果在函数
f?
x
?
的定义域内存在
x
0
,总有
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
,那么
f< br>?
x
0
?
为函数在定义域上的最小值。
10、判断极值的步骤
一般地,求函数
y?f
?
x
?

?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函 数
y?f
?
x
?

?
a,b
?
内 的极值;
(2)将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的 函数值
f
?
a
?

f
?
b
?比较,其中最大的一个是
最大值,最小的一个是最小值。
注:①若
f
?
x
?
在闭区间
?
a,b
?
上连续,则
f< br>?
x
?

?
a,b
?
上必有最值;
②若
f
?
x
?

?
a,b
?
内仅有一个极值,则极值必为最值。
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