高中数学学考复习知识点

数学学业水平考试常用公式及结论

一、集合与函数：
集合
1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
2、 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
A?B

3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4．集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
*
5.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
?
b4ac?b
2
?
4ac ?b
2
b
1、顶点坐标公式：
?
?
?
2a
,
4a
?
?
， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
指数与指数函数
1、幂的运算法则：
22

（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a?a?a
n
mnm?n
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）( ab )
n
= a
n
? b
n

n
?
1
1
a< br>n
?
a
?
m
n
?n
（5）
??
?
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a?
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
n
2、指数函 数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）





1
0
X
Y
a > 1
1
0
X
Y
0 < a < 1
3.指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b?N
(a?0,a?1,N?0)
.

对数与对数函数
1.对数的运算法则：
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
log
a
N

= N
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
n
log
b
N

log
b
a
（10）推论
log
a
m
b?
（11）log
a
N = < br>n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
e
A
log
N
a
（其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）




0
1
X
0
1
Y
a >1 Y
0 < a < 1
X
2.图象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y? f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减

平均增长率的问题
(?p)
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N1
函数的零点：1.定义：对于
y ?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
x
. 2.函数零点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
二、圆：
1、斜率的计算公式：k = tanα=
y
2
?y
1
（α ≠ 90°，x
1
≠x
2
）
x
2
?x
1
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b(k存在) ；（2）点斜式 y – y
0
= k ( x – x
0
) (k存在）；
（3）两点式
y?y
1
x?x< br>1
xy
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
） ；4）截距式
??1
（
a?0,b?0
）
?
ab
y
2
?y
1
x
2
?x1
（5）一般式
Ax?By?c?0(A,B不同时为0）

3、两条直线的位置关系：

l
1
：y = k
1
x + b
1

l
2
：y = k
2
x + b
2

重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2

k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2

k
1
k
2
= – 1
l
1
： A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
： A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1

A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式：设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
)，则 | P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l

：A

x + B y + C = 0的距离：
d?

6、圆的方程
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2

22
Ax
0
?By
0
?C
A?B

标准方程
圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2

(x – a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2

x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0
圆心
（0，0）
（a，b）
半径
r
r
一般方程
?
DE
?
?
?,?
?

?
22< br>?
1
D
2
?E
2
?4F

2
7.点与圆的位置关系
22
点
P(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种若
d ?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，
222
则 d?r?
点
P
在圆外
?
(x?a)?(y?b)?r

222
d?r?
点
P
在圆上
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

d?r?
点
P
在圆内
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By ?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
①
d?r?相离???0
②
d?r?相切???0
③
d?r?相交???0.
9.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O2
?d

222
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
三、立体几何：
（一）、线线平行判定定理：
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
四、三角函数：
1、同角三角函数公式 sin
2
α+ cos
2
α= 1
tan
?
?
2、二倍角的三角函数公式
sin
?
tanαcotα=1
cos
?
2tan
?

2
1?tan
?
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos
2
α-1 = 1-2 sin
2
α


tan2
?
?
3、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ
土
cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ
干
sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

1
?
tan
?
tan
?
4、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
5、三角函数的周期公式
函数
y?sin(?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x ?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
ω＞0) 的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
,k ?Z
(A,ω,
?
为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?

五、平面向量 ：

1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
a
| =
a?a?a
；
2
（2）坐标法：设
a
=（x，y），则|
a
| =
2、平行向量
x
2
?y
2

规定：零向量与任 一向量平行。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），λ为实数
向量法：
a
∥b
（
b
≠
0
）<=>
a
=λ
b

坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=> x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
3、垂直向量
规定：零 向量与任一向量垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
）
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0 坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
4、平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?
5、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2） 坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（ x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
6、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
7、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos
?
=
x
1
x
2
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
?
y
1
y
2
AB?AB
?(x< br>2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
a?b
|a||b|

（2）坐标法：设
a
=（x< br>1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2< br>），则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

8、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：
a
·
b
= |
a
| |
b
| cos
?

（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

（3） a·b的几何 意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的

乘积 ．
六、解三角形：
ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60?，∠A +∠C = 120?
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
4、边角关系：（1）正弦定理：
abc
???2R
（R为ΔABC外接圆半径）
sinAsinBsinC
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc?cosA , b
2
= a
2
+ c
2
– 2a c?cosB ,
c
2
= a
2
+ b
2
– 2 a b?cosC
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?
,
cosC?

2bc2ac
2ab
5、面积公式：S =
1111
a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
2222
七、不等式：
（一）、均值定理及其变式：（1）a , b ∈ R , a
2
+ b
2
≥ 2 a b
?
a?b
?
（2）a , b ∈ R , a + b ≥ 2
ab
（3）a , b ∈ R , a b ≤
??

?
2
?
+ +
2
以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
（二）.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
(a?0,??b? 4ac?0)
，如果
a
与
2
2
ax
2
?b x?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx ?c
异号，则其解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
x
1
?x
2

(x?x
1
)(x?x< br>2
)?0?x
1
?x?x
2
；
(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?x
1
,或x?x
2< br>

八、数列 ：
（一）、等差数列{ a
n
}
1、通项公式：a
n
= a
1
+ ( n – 1 ) d ，推广：a
n
= a
m
+ ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：S
n
= n a
1
+
3、等差数列的主要性质：
① 若m + n = 2 p，则 a
m
+ a
n
= 2 a
p
（等差中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
( m , n , p , q∈N )
（二）、等比数列{ a
n
}1、通项公式：a
n
= a
1
q
n – 1
，推广：a
n
= a
m
q
n – m
( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
n(a
1
?a
n
)
1
n ( n – 1 ) d =
2
2
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
当q≠1时，S
n
= =， 当q = 1时，S
n
= n a
1

1?q
1?q
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a
p
2
= a
m
? a
n
（等比中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
? a
n
= a
p
? a
q
( m , n , p , q∈N )
（三）、一般数列{ a
n
}的通项公式：记S
n
= a
1
+ a
2
+ …

+ a
n
，则恒有
?
n?1
?
?
S
1
a
n
?
?

??
n?2,n?N
S?S
n?1
?
n