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高中数学基础知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 08:04
tags:高中数学知识点

优化学习 高中数学专题讲座-全国高中数学竞赛湖南


高中数学基础知识点总结
高中数学基础知识点总结:集合与简单逻辑
1注意遗忘空集致误
错因分析:由于空集是任何非空集合的真子集,因此,
对于集合B,就有B=A,φ≠B,B≠φ,三种情况,在解题中
如果思维不够缜密就有可能忽视了 B ≠φ这种情况,导致解
题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时,更要充分
注意当参数在 某个范围内取值时所给的集合可能是空集这
种情况。空集是一个特殊的集合,由于思维定式的原因,考< br>生往往会在解题中遗忘了这个集合,导致解题错误或是解题
不全面。
2忽视集合元素的三性致误
错因分析:集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,
集合 元素的三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字
母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些 要求。在
解题时也可以先确定字母参数的范围后,再具体解决问题。
3四种命题的结构不明致误
错因分析:如果原命题是“若 A则B”,则这个命题的逆
命 题是“若B则A”,否命题是“若┐A则┐B”,逆否命题是“若
┐B则┐A”。
这里面 有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等
价,否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该 命题的
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其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之
间的等价关系。
另外,在否定一个命题时,要注意全称命题的否定是特
称命题,特称命题的否定是全称命题 。如对“a,b都是偶数”
的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a ,b都是奇
数”。
4充分必要条件颠倒致误
错因分析:对于两个条件A, B,如果A=>B成立,则
A是B的充分条件,B是A的必要条件;如果B=>A成立,
则A是 B的必要条件,B是A的充分条件;如果A<=>B,
则A,B互为充分必要条件。解题时最容易出错的 就是颠倒
了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要
条件的概念作出准确的判断 。
5逻辑联结词理解不准致误
错因分析:在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为 理
解不准确而出现错误,在这里我们给出一些常用的判断方
法,希望对大家有所帮助:
p&or;q真<=>p真或q真,
p&or;q假<=>p假且q假(概括为一真即真);
p&and;q真<=>p真且q真,
p&and;q假<=>p假或q假(概括为一假即假);
┐p真<=>p假,┐p假<=>p真(概括为一真一假)。
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高中数学基础知识点总结:数列
1用错基本公式致误
错因分析:等差数列的首项为a1、公差为d,则其通项
公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式
Sn=na1+n(n-1)d2=(a1+an)d2;等比数列的首项为a1、公比
为q, 则其通项公式an=a1pn-1,当公比q≠1时,前n项和公
式Sn=a1(1-pn)(1-q) =(a1-anq)(1-q),当公比q=1时,前n项
和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中 ,等差数列、等比数
列的这几个公式是解题的根本,用错了公式,解题就失去了
方向。
2 an,Sn关系不清致误
错因分析:在数列问题中,数列的通项an与其前n项和
Sn之间存在关系:
这个关系是 对任意数列都成立的,但要注意的是这个关
系式是分段的,在n=1和n&ge;2时这个关系式具有完 全不
同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用
这个关系式时要牢牢记住其“分 段”的特点。
当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时,这
两者之间可以 进行相互转换,知道了an的具体表达式可以通
过数列求和的方法求出Sn,知道了Sn可以求出an, 解题时
要注意体会这种转换的相互性。
3对等差、等比数列的性质理解错误
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错因分析:等差数列的前n项和在公差不为0时是关于
n的常数项为0的二次函数。
一般 地,有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,
b,c&isin;R),则数 列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;
在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m( m&isin;N*)是等
差数列。
解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面 ,
把各种可能性都考虑进去,认为正确的命题给以证明,认为
不正确的命题举出反例予以驳斥。 在等比数列中公比等于-1
时是一个很特殊的情况,在解决有关问题时要注意这个特殊
情况。
4数列中的最值错误
错因分析:数列的通项公式、前n项和公式都是关于正
整数的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题。
但是考生很容易忽视n为正整数的特点, 或即使考虑了
n为正整数,但对于n取何值时,能够取到最值求解出错。
在关于正整数n的二次 函数中其取最值的点要根据正整数距
离二次函数的对称轴远近而定。
5错位相减求和时项数处理不当致误
错因分析:错位相减求和法的适用环境是:数列是由一
个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前
n项和。基本方法是设这个和式为Sn,在 这个和式两端同时
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乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两 个和式错一位相
减,得到的和式要分三个部分:
(1)原来数列的第一项;
(2)一个等比数列的前(n-1)项的和;
(3)原来数列的第n项乘以公比后在作差时出现的 。在用
错位相减法求数列的和时一定要注意处理好这三个部分,否
则就会出错。
高中数学基础知识点总结:二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a, b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0
时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下 ,IaI还可以决定
开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,
0)和 B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
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h=-b2a k=(4ac-b^2)4a x?,x?=(-b±&radic;b^2-4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P ( -b2a ,(4ac-b^2)4a )
当-b2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x
轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开
口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
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6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是
虚数(x= -b±&radic;b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整
个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方
程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,
y=ax^2+b x+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,
它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2 (0,0) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b2a,[4ac-b^2]4a) x=-b2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平
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行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单
位,再向上移动k个单位 ,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2 向右平行移动h个单
位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再
向上移动k个单位可得到y=a(x-h )^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再
向下 移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线 y=ax^2+ bx+c(a≠0)的图象,通过配方,
将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点 坐标、对
称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方
便.
2.抛 物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向
上,当a<0时开口向下,对称轴 是直线x=-b2a,顶点坐标是
(-b2a,[4ac-b^2]4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x &le; -b2a
时,y随x的增大而减小;当x &ge; -b2a时,y随x的增
大而增大.若a<0,当x &le; -b2a时,y随x的增大而增大;
当x &ge; -b2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
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(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△= b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和
B(x?,0),其中的x1,x2是一元 二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时 ,图象落在x轴
的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x
轴的下方,x 为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=
-b2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐
标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y
的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对 称轴时,可设
解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条 件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可
设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠ 0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较
为复杂的综合题目。因此 ,以二次函数知识为主的综合性题
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目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。
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