高中数学选修1-1知识点归纳

高中数学选修1-1知识点总结

第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、原命题：“若
p
，则
q
”逆命题：“若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
”逆否命题：“ 若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系：例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B是 A的
必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(
and
) ：命题形式
p?q
；⑵或（
or
）：命题形式
p?q
；
⑶非（
not
）：命题形式
?p
.
p

真
真
假
假
q

p?q

p?q

?p

真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
- 1 -

全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命 题
p
：
?x?M,p(x)
；特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；

第二章 圆锥曲线
一、椭圆 ( )
1、平面内与两个定点
F
1< br>，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹
称为椭圆．
即：
|
MF
1
|
?
|
MF
2
|
?
2
a
,(2
a ?
|
F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?a?x?a
且
?b?y?b


y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?b?x?b
且
?a?y?a

顶点
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

轴长
焦点
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?0,c
?

- 2 -

焦距
对称性
离心率

F
1
F
2
?2c?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
3、e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆。
二、双曲线 ( )
1、平面内与两个定点
F
）的
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
点的轨迹称为双曲线 ．即：
||
MF
1
|
?
|
MF
2
||
?
2
a
,(2
a?
|
F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
x
2
y
2< br>?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
x??a
或
x?a
，
y?R


y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
y??a
或
y?a
，
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
- 3 -

离心率
渐近线方程

cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线(a=b).
6、等轴双曲线的离心率
三、抛物线
1、平面内与一个定点
F
和一 条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物
线．定点
F
称为
抛物线的
焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
标准方
程

y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


图形
顶点
?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??p
??
F
?
0,
?
?

2
??
焦点
准线方
程
离心率
?
p
?
F
?
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

- 4 -

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”，即< br>???2p
．
9、焦半径公式：
若点
?
?
x0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F< br>，则
?F?y
0
?
p
；
2
p
；
2


第三章 导数及其应用
1、函数
f
?x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：< br>
2、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x
y?f
?
x
?
在点
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导 数的几何意义是曲线
处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①
C
'
?0
；
②
(x
n
)
'
?nx
n?1
；
③
(sinx)
'
?
cosx
；
④
(cosx)
'
??
sinx
；
⑤
(
a
x
)
'
?
a
x
ln
a
；
5、导数运算法则：
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
⑥
(e
x
)
'
?e< br>x
；
⑦
(log
a
x)
'
?
⑧< br>(lnx)
'
?
1
；
xlna
1

x
?
?f
?
x?g
?
xfx?gx
?
? ???????
；
?
1
?
?
??
- 5 -

?
?
2
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f< br>?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0?
??
?
2
gx
?
?
3
?
?
??
?
?
g
?
x
?
?
?
．
6、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?在这个区间内单调递
增；
若
f
?
?
x
??0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f?
x
0
?
是极大值（左增
右减）；
?
2?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x< br>?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0，那么
f
?
x
0
?
是极小值（左减
右增）．
8、①注意极大值、极小值、极大值点和极小值点的区别；（极大值是一个函数
值，极大值点是 一个点，包括横坐标和纵坐标）
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。
③导数为0的点不一 定是函数的极值点（例如：），也就是说：函数
在某一点的导数为0是函数在这一点取极值的必要条件而 不是充分条件。
④同一个函数的极大值不一定比极小值大。（但是函数的最大值一定大于最小
值）
9 、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
?2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的 函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
- 6 -

考试大纲
1、 常用逻辑用语
（1） 命题及其关系
① 理解命题的概念
② 了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
种命题的相互关系。
③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2） 简单的逻辑连接词
了解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义。
（3） 全称量词与存在量词。
① 理解全程量词与存在量词的意义。
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2、 圆锥曲线与方程
① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用。
② 掌握椭圆的定义、集合图形、标准方程及简单几何性质。
③ 了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道他们的简单几何性
质。
④ 理解数形结合的思想。
⑤ 了解圆锥曲线的简单应用。
3、 导数及其应用
（1） 导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景。
② 理解导数的几何意义
- 7 -

（2） 导数的运算
① 能根据导数的定义求函数 (C为常数)，，，的导数。

② 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3） 导数在研究函数中的应用
① 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求导数 的单调区
间（其中多项式函数一般不超过三次）。
② 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件，会用导数求函数的极大值、极小
值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的 最大值、最小值（其
中多项式函数一般不超过三次）。
（4） 生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题。





- 8 -