高中数学函数知识点总结(经典收藏)

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高中数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、
无序性”。
< br>如：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y? lgx
?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函
数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?
?
x|x
2
?2x?3?0
?
，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为
1
?

（答：
?
?
?1，0，
?
）

?
3
?

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一 个元素。故B只能是-1
或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=13. 但是， 这里千万小心，还有
一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：
（1）集合
?
a
1
，a
2
，……，a
n
?
的所有子集的个数是2
n
；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a
1
来说，有2种选择（在
或者不在）。同样，对于元素a
2
, a
3
,……a
n
,都 有2种选择，所以，总共有
2
n
种选择， 即集合A有
2
n
个子集。
当然，我们也要注意到，这
2
n
种情况之中，包含了这n个元素全部在何全
部不在的情况，故真子集个数为
2
n
?1
，非空真子集个数为
2
n
?2

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A< br>?
?
?
C
U
B
?
，
C
U< br>?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
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4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3?M，∴
a·3?5
?0
3
2
?a
a·5?5
?0
5
2
?a< br>5
??
?a?
?
1，
?
?
?
9，2 5
?
）
3
?
?
ax?5
?0的解集为M，若3?M 且5?M，求实数a

x
2
?a

∵5?M，∴
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告
诉你函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0) 在
(??,1)上单调递减，在
(1,??)
上单调递增，
就应该马上知道函数对称轴是x=1. 或者，我说在上 ，也应该马上可以想
到m，n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A?{x|x
满足条件
p}
，
B?{x|x
满 足条件
q}
，
若 ；则
p
是
q
的充分非必要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的必要非充分条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的充要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的既非充分又非必要条件
?___________；
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和
B中与 之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，
则从A到B的映射个数有n< br>m
个。
如：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c }
；问：
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
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的映射有 个；
A
到
B
的函数有 个，若
A?{1,2,3}
，则
A
到
B
的一一
映射有 个。
函数
y ?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时
具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2

的定义域是

（答：
?
0，2
?
?< br>?
2，3
?
?
?
3，4
?
）



函数定义域求法：
?
?
?
?
?
?
?
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
?
正切函数
y?tanx

?
?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?

2
?
余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

?

?
反三角函数的定义域
，函数y＝函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是
义域是 R ，值域是
π) .
arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定
.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0,
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条
件的自变量的范围，再取他们 的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？

如： 函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x)?f( x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：
?
a，?a
?
）

复合函数定义域的求法： 已知
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
，求
y? f
?
g(x)
?
的定
义域，可由
m?g(x)?n
解出x的范围，即为
y?f
?
g(x)
?
的定义域。

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1
?
gx)
的定义域例 若函数
y?f(x)
的定义域 为
?
?
2
,2
?
，则
f(lo
2
??
为 。
?
,2
分析：由函数
y?f( x)
的定义域为
?
所以
y?f(log
2
x)
?x ?2
；
?
2
?
可知：
2
??
1
1
中有
?log
2
x?2
。
解：依题意知：
?log
2
x?2

解之，得
2?x?4

∴
f(log
2
x)
的定义域为< br>?
x|2?x?4
?


11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、 求函数y=
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这
类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
1
x
1
2
1
2
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b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?型 通常用判别式
x
2
?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
例：y?
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
??（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的
值域。
例 求函数y=

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，来确定函数的
值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
e
x
?1
2sin
?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
e
x
?11?y
x
?e??0
1?y
e
x
?1
2sin
?
? 11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2 ?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1?y(1?co s
?
)
1?cos
?
2sin
?
?ycos
?
?1?y
y?
4?y
2
sin(
?
?x)?1 ?y,即sin(
?
?x)?
又由sin(
?
?x)?1知
1?y
4?y
2
1?y
4?y
2
3x?4
值域。
5x?6

?1
解不等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函 数y=
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10 ）的值域
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7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有
根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值
域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜
率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
y
例：已知点P（x.y）在圆x
2
+y
2
=1上，
x?2
(2)y-2x的取值范围

解:(1)令
y
?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2
22
(1)的取值范围
x?1
的值域。
例求函数y=

(x?2)
+
(x?8)
的值域。
d?R(d为圆心到直线的距离为半径)
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣
,R
+∣x+8∣
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=
y=

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x
2
?6x?13
+
2
x
2
?4x?5
的值域
2
解：原函数可变形为 ：
(x?3)
(x?2)
?
(0?1)

22
?
(0?2)
+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点

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A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
由图可 知当点P为线段与x轴的交点时，y
=
min
=∣AB∣
(3?2)
2
?
(2?1)
=
43
，
2
故所求函数的值域为[
9 、不等式法
。
43
，+∞）
注：求两距离之和时，要将函数
利用基本不等式 a+b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈
R
?
），求
函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要
求 和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例
：





倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=< br>y?
x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3
=x?x?(3-2x)?(
2
(x?0)
x
1111
=x
2
???3
3
x
2
???3
xxxx

x
2
?
(应用公式a+b+c?3
3
abc时，注意 使3者的乘积变成常数）
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
x?2?0时 ，y=0
1
?0?y?
2

1
x?2
?2?0?y?
1
2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特
征，然后再选择恰当的方法，一般优 先考虑直接法，函数单调性法和基本
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不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。


12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了
吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单
位等东西要记得协商 ，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交
臂

如：f
?
x?1
?
?e
x
?x，求f(x).


令t?x?1，则t?0


∴x?t
2
?1


∴f(t)?e
t2
?1
2
?t
2
?1


∴f (x)?e
x?1
?x
2
?1
?
x?0
?

13. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2< br>?x
?
?
x?1x?1
?
?
?
?
? 1
（答：f(x)?
?
?
?
??x
?
x?0
?
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷

）

?
x?0
?
的反函数

x?0
??

懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理)函数
y?x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
A．y=
x
2
－2
x
+2(
x
<1)
C．y=
x
2
－2
x
(
x
<1)


B．y=
x
2
－2
x
+2(
x
≥1)
D．y=
x
2
－2
x
(
x
≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如
果不出现计算问题的话 ，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，
因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我 的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看
值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明
白呢？
14. 反函数的性质有哪些？
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反函数性质：
1、
2、
3、
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原
反函数的值域 是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函
反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（ x,y）和点（y，
函数中的y）
数中的x）
x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f< br>?1
(b)?a


?f
?1
?
f( a)
?
?f
?1
(b)?a，f
?
f
?1
(b)
?
?f(a)?b

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数
x?
__________.
f(x)?log
3
(
4
?2)
，则方程
f
x
?1
(x)?4
的解
15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对 称，函数f(x)在关于点(a，0)的对
称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
② 若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的
对称区间里具有相反 的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜
0时，它们是反向变化的。
③如果函数f 1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变
化；（函数相加）
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f(x)
f(x
1
)?f(x
2
)的正负号或者
1
与1的关系
f(x
2
)
x
1
?x
2

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④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向
变化；如 果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们
反向变化；（函数相 乘）
⑤函数f(x)与
f
1
在f(x)的同号区间里反向变化。
(x)
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是
递增的； 若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]
或u∈[φ(β )，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]
是递减的。（同增异减） < br>⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f
－1
(y)也是严格单调的，< br>而且，它们的增减性相同。
f(g
)
增
增
减
减
g(x
)
增
减
增
减
f[g
(x)
]
增
减
减
增
f(x)
+g(x
)
增


减
增


减


如：求y?log
1
?x
2
?2x的单调区间

2
f(x)*g(x) 都
是正数




??

（设u??x
2
?2x，由u?0则0?x?2


且log
1
u?，u??
?
x?1
?
2
?1，如图 ：

2
u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
∴……）
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16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间< br>?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数 等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大

值是__________。
?
a
??
a
?

（令f'(x)?3x?a ?3
?
x?
??
x?
?
?0

3
??
3
??
2


则x??
aa

或x?
33
a
?1，即a?3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的
乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1


（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即
0
2?1
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2
x

又如：f(x)为定义在 (?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
，

4?1
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

4?11?4
x
?
2
x
?

又f( 0)?0，∴f(x)?
?
?
4
x
?1
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
x?(?1，0)
x ?0
x?
?
0，1
?
）


判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于 原点对称，它是函数为奇（偶）
函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函
数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(?x)
，然后根据函数
的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)

三、 复合函数奇偶性

f(g
)
奇
奇
偶
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g(x
)
奇
偶
奇
f[g
(x)
]
奇
偶
偶
f(x)
+g(x
)
奇
非奇非偶
非奇非偶
f(x)
*g(x
)
偶
奇
奇

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偶




偶 偶 偶 偶


18. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们
要马上反应过来，这时说这个函数周 期2t. 推导：
f(x?)
f(?x
f(?x?)t
?
0
f(x)
?
??
)t?(f?x2?)t0
?
?f(x
，< br>?

2t)
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f (a-x)=f(a+x).其实
这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由 括号内
的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a +x)
就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴x ?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
?
f(x )?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
?
f(x)?f(2b?x)
?
令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f (t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2| b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值




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19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点
（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点
（x,y）,(-x,-y)
联想点
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
a(a?0)个单位

将y?f(x) 图象?
左移
?????????
右移a(a?0)个单位
上移b(b?0)个 单位
y?f(x?a)?b

??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
y?f(x?a)

y?f(x?a)
（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)
怎么由y=f (x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原
点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面


如：f(x)?log
2
?
x?1
?


作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x ?1的图象






19. 你熟练掌握常用函数的图象和性

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y

y=log
2
x


O 1 x


质了吗？

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

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（2）反比例函数：y?
曲线。 kk
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k?0
?< br>是中心O'(a，b)
的双
xx?a
b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象为抛物线

?
2a
?
4a
2
2
?
b4ac?b
2
?
b

顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min

a?0，向下，y
max
根的关系：x?
x
1
?x
2
??
?b?
2a
4ac?b
2
?

4a
4ac?b
2
?

4a

bc
,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?< br>aa|a|

二次函数的几种表达形式：
f(x)?ax
2
? bx?c(一般式)
f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x< br>2
是方程的2个根）
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2< br>)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)

应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——
二次方程
ax
2< br>?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

y


(a>0)


O k x
1
x
2
x

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b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fmin?f(m)
2a

b
区间在对称轴2边 （n???m）
2a
4
a
c?b
2
fmin?,fma x?max(f(m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

一根大于k，一根小于k?f(k)?0
?
??0
?
b
?
m???n
?
在区间（m，n）内有2根?
?
2a< br>?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在区间（m，n ）内有1根?f(m)f(n)?0
?
??0
?
?
b
2如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0








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（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?

（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
y
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?


对数运算：log
a
(M?N)?log
a
M?l og
a
N
?
M?0，N?0
?


log
a
M1
?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a
M

Nn
a







?k

O x
k


1
(a?0)

a
p

对数恒等式：a
logx
?x


y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0 a
m
n
?a
n
m
(a?0)，a
?
mn
?
1
n
a
m
(a?0)
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对数换底公式：log
a
b?
log
a
x?
1
log
x
a
log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am


21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

??

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1


几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数

f< br>（
x
）＝
kx
（
k
≠0）------------ ---
f
（
x
±
y
）＝
f
（
x< br>）±
f
（
y
）
2. 幂函数型的抽象函数
< br>f
（
x
）＝
x
a
----------------
f
（
xy
）＝
f
（
x
）
f（
y
）；
f
（）＝
3. 指数函数型的抽象函数

f
（
x
）＝
a
x
--------------- ----
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）；
f
（
x
－
y
）＝
f(x)

f(y)
x
y
f(x)

f(y)
4. 对数函数型的抽象函数
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f
（
x
）＝lo
g
a
x
（
a
>0且
a
≠1）-----
f
（
x
·< br>y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）；
f
（）
＝
f
（
x
）－
f
（
y
）
5. 三角函数型的抽象函数

x
y
f
（
x
）＝tgx--------------------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
f
（
x
）＝cot
x------------------------< br>
f
（
x
＋
y
）＝

例1已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
均有
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋f
（
y
），
且当
x
>0时，
f
(x
)>0，
f
(－1)＝ －2求
f
(
x
)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（注意到
f
（
x
2
）＝
f
[（
x
2
－
x
1
）＋< br>x
1
]＝
f
（
x
2
－
x
1
）＋
f
（
x
1
））；再根据区间求其值域.
< br>例2已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y< br>均有
f
（
x
＋
y
）＋2＝
f
（x
）＋
f
（
y
），且当
x
>0时，
f
(
x
)>2，
f
(3)＝ 5，求不等式
f
（
a
2
－2
a
－2）<3的
解. 分析：先证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（仿例1）；再求出
f
（1）＝3；
最后脱去函数符号.

例3已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
都有
f
（
xy
）＝
f
（
x
）
f
（
y
），< br>且
f
（－1）＝1，
f
（27）＝9，当0≤
x
＜1 时，
f
（
x
）∈[0，1].
（1）
（2）
（3）
判断
f
（
x
）的奇偶性；
判断
f
（
x
）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
若
a
≥0且
f
（
a
＋1）≤
3
9
，求
a
的取值范围.
x
1
x
·
x
2）＝
f
（
1
）
f
（
x
2
）；
x
2
x
2
分析：（1）令
y
＝－1；
（2）利用
f
（
x
1
）＝
f
（
（3）0≤
a
≤2.

例4设函数
f
（
x
）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在
x
1
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≠
x
2
，使得
f
（
x
1
）≠
f
（
x< br>2
）；对任何
x
和
y
，
f
（
x＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y< br>）成
立.求：
（1）
（2）

例5是否存在函数
f
（
x
），使下列三个条件：①
f
（
x
）>0,
x
∈
N
；②
f
（
a
＋b）＝
f
（
a
）
f
（b），
a
、b∈
N
； ③
f
（2）＝4.同时成立？若存在，
求出
f
（
x
）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出
f
（
x
）＝2< br>x
；再用数学归纳法证明.

例6设
f
（
x
）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
f
（
x
·
y
）
＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），< br>f
（3）＝1，求：
（1）
f
（1）；
（2） 若f
（
x
）＋
f
（
x
－8）≤2，求
x
的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数
y
＝ f
（
x
）的反函数是
y
＝
g
（
x）.如果
f
（
a
b）＝
f
（
a
）＋
f
（b），那么
g
（
a
＋b）＝
g
（
a
）·
g
（b）是否正确，试说明理由.
分析：设
f< br>（
a
）＝
m
，
f
（b）＝
n
，则< br>g
（
m
）＝
a
，
g
（
n
） ＝b，
进而
m
＋
n
＝
f
（
a
） ＋
f
（b）＝
f
（
a
b）＝
f
[
g
（
m
）
g
（
n
）]….

f(x)
f(y)
f
（0）；
对任意值
x
，判断
f
（
x
）值的符号.
分析：（1）令x=
y
＝0；（2）令
y
＝
x
≠0.
例8已知函数< br>f
（
x
）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①
②
③
（1）
（2）
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x
1
、
x
2
是定义域中的数时，有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
)f(x
2
)?1< br>；
f(x
2
)?f(x
1
)
f
（
a
）＝ －1（
a
＞0，
a
是定义域中的一个数）；
当0 ＜
x
＜2
a
时，
f
（
x
）＜0.
f
（
x
）的奇偶性如何？说明理由；
在（0，4
a
）上，
f
（
x
）的单调性如何？说明理由.
试问：

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分析：（1）利用
f
[－（
x
1
－
x
2
）]＝ －
f
[（< br>x
1
－
x
2
）]，判定
f
（
x）
是奇函数；
（3） 先证明
f
（
x
）在（0，2< br>a
）上是增函数，再证明其在（2
a
，
4
a
）上也是 增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊
模型理 解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本
初等函数.因此，针对不同的函数要进 行适当变通，去寻求特殊模型，从
而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数
f
（
x
）（
x
≠0）满足
f
（
xy）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），
（1）
（2）
（3）
1
2
求证：
f
（1）＝
f
（－1）＝0；
求证：
f
（
x
）为偶函数；
若
f
（x
）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f
（
x
）＋
f
（
x
－）≤0.
分析：函数模型为：
f
（
x< br>）＝lo
g
a
|
x
|（
a
＞0）
（1）
（2）
（3）

例10已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足
f
（0）≠0 ，
f
（
x
＋
y
）
＝
f
（
x
）·
f
（
y
），且当
x
＜0时，
f（
x
）＞1，求证：
（1）
（2）
当
x
＞0时，0＜
f
（
x
）＜1；
先令
x
＝
y
＝1，再令
x
＝
y
＝ －1；
令
y
＝ －1；
由
f
（
x
）为 偶函数，则
f
（
x
）＝
f
（|
x
|）.
f
（
x
）在
x
∈R上是减函数.
分析：（1）先 令
x
＝
y
＝0得
f
（0）＝1，再令
y
＝ －
x
；
（2）受指数函数单调性的启发：由
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（y
）可得
f
（
x
－
y
）＝
进而由
x
1
＜
x
2
，有
练习题：
1.已知：
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）对任意实数
x
、
y都成立，则（ ）
（
A
）
f
（0）＝0 （B）
f
（0）＝1
（C）
f
（0）＝0或1 （D）以上都不对
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f(x
1
)
＝
f
（
x
1
－
x
2
）＞1.
f(x
2
)

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2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f
（xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），则下列各式中错误
的是（ ）
（
A
）
f
（1）＝0 （B）
f
（）＝
f
（
x
）
（C）
f
（）＝
f
（
x
）－
f
（
y
） （D ）
f
（
x
n
）＝
nf
（
x
）（< br>n
∈
N
）
3.已知函数
f
（
x
） 对一切实数
x
、
y
满足：
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
xy
1
x
f
（
y
），且当
x
＜0时，< br>f
（
x
）＞1，则当
x
＞0时，
f
（
x
）的取值范围是（ ）
（
A
）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数
f
（
x
）定义域关于原点对称，且 对定义域内不同的
x
1
、
x
2
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f
（
x
）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
f
（
x< br>1
－
x
2
）＝
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
满足
f
（
x
＋
y
）＋
f
（x
－
y
）
＝2[
f
（
x
）＋
f
（
y
）]，则函数
f
（
x
）是（ ）
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

2
?
2

2
2
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇
形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?l·R?
1
2
1
?·R2
）

2
(和三角形的面积公式很相似，


R


1弧度
O R
可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)

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