人教版高中数学选修4-4知识点知识讲解

高中数学选修4-4知识点
第一章 坐标系

1.1 平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫 数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一
对应关系．
(2)平面直角坐标系：
① 定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角
坐标系； < br>②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数
轴的 正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称 为
坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
( 3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P
1
(x
1
，y1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，线段P
1
P
2
的中
点为P，填表：
两点间的距离公式 中点P的坐标公式
|P
1
P
2
|＝
(x
2
?x
1< br>)
2
?(y
2
?y
1
)
2

二、.平面直角坐标系中的伸缩变换
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2

?
?
y?
y
1< br>?y
2
?
2
?
?
?
x′＝λx（λ>0）< br>设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
?
的作用下，点P(x，
?
y′＝μy（μ>0）
?
y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直 角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
1.2 极坐标系
一、极坐标系
( 1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个
长度单位 、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
(3)图示

二、极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平 面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边 的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，
θ
)叫做点M
的极坐标，记作M (ρ，
θ
)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O的极坐标是(0，
θ
)，(θ∈R)，
若点M的极坐标是M(ρ，
θ
)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，
θ
＋2kπ)，(k∈Z)．
若规定ρ>0 ，0≤
θ
<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，
θ
)之间才是 一一对应关系．
三、极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点 ，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一
点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ ，
θ
)．
(1)极坐标化直角坐标
?
x＝ρcosθ，
?
?

?
?
y＝ρsinθ，

(2)直角坐标化极坐标
ρ2
＝x
2
＋y
2
，
?
?
?

y
tan
θ
＝（x≠0）.
?
x
?
1.3 简单曲线的极坐标方程
一、曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有 一个满足方程f(ρ，
θ
)
＝0，并且坐标适合方程f(ρ，
θ
)＝ 0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，
θ
)＝0叫做曲线C的极坐标
方程．
二、圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
圆心位置
圆心在极点(0，0)
极坐标方程
ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心在点(r，0)
ππ
ρ＝2rcos
θ
(－
≤
θ
<)
22

图 形

π
圆心在点(r，)
2
ρ＝2rsin
θ
(0≤θ<π)

π3π
ρ＝－2rcos
θ
(
≤
θ
<)
22

圆心在点(r，π)

3π
圆心在点(r，)
2
ρ＝－2rsin
θ
(－π<
θ
≤0)

(2)一般情形：设圆心C(ρ
0
，
θ
0
)，半径 为r，M(ρ，
θ
)为圆上任意一点，则|CM|＝r，

2
∠COM＝|θ－θ
0
|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ
2
－2ρ
0
ρ
cos(θ－θ
0
)＋ρ
2
0
－r＝ 0
即
r
22
?
?
2
?
?
0?2
??
0
cos(
?
?
?
0
)

三、直线的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
直线位置 极坐标方程
(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)

ππ
过点(a，0)，且与极轴垂直
ρcos
θ
＝a
?
－<
θ
<
?

2
??
2

π
过点
?
a，
?，且与极轴平
2
??
行
ρsin
θ
＝a(0<θ<π)

ρsin(α－θ)＝asin α(0<θ<π)

(2)一般情形，设直线l过点P(ρ
0
，
θ
0
)，倾斜角为α，M(ρ，
θ
)为直线l
上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρsin(α－θ)
＝ρ
0
sin(α－θ
0
)．

图 形
过极点，倾斜角为α
过点(a，0)倾斜角为α
1.4 柱坐标系与球坐标系简介
一、柱坐标系
(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Ox yz.设P是空间任意一点，
它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，
θ
)(ρ≥0， 0≤
θ
<2π)表示点Q在平面
Oxy上的极坐标，这时点
P
的位置 可用有序数组
（ρ，
θ
，z）
(z∈R)表示．这
样，我们建立了空 间的点与有序数组(ρ，
θ
，z)之间的一种对应关系．把建立
上述对应关系的坐标系 叫做柱坐标系，有序数组(ρ，
θ
，z)叫做点P的柱坐标，
记作P(ρ，
θ
，z)，其中
ρ
≥0，0≤
θ
<2π，z∈R．
x＝ρcos
θ
?
?
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与 柱坐标(ρ，
θ
，z)之间的变换公式为
?
y＝ρsin
θ
．
?
?
z＝z
二、球坐标系
(1)定义：一 般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，
连接OP，记|OP|＝r，OP与O z轴正向所夹的角为
φ
，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到 OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的
位置就可以用有序数组(r，
φ
，
θ
)表示，这样，空间的点与有序数组(r，
φ
，
θ
)之间建立了一 种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或

空间极坐标系)，有序数组 (r，
φ
，
θ
)，叫做点P的球坐标，记作P(r，
φ
，< br>θ
)，其中r≥0，0≤
φ
≤π，0≤
θ
<2π．
x＝rsin
φ
cos
θ
?
?
(2)空间点P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，
φ
，
θ
)之间的变换公式为
?
y＝rsin
φ
sin
θ
．
?
?
z＝rcos
φ
第二章 参数方程

2.1 曲线的参数方程
一、参数方程的概念
1．参数方程的概念
(1 )定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函
?
?
x＝f（t）
数：
?
①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定 的点M(x，y)都在这条曲线上，
?
y＝g（t）
?
那么方程①就叫做这条 曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参
数方程而言，直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程．
(2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意 义或几何意义的变数，也可以是
没有明显实际意义的变数．
2．参数方程与普通方程的区别与联系
(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了 曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有x，y两
?
?
x＝f（t）
个变量 ；参数方程
?
(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有三个变
?
y＝g（t）
?
量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数．
(2) 联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的
值；参数方程 中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x，y的值．
这两种方程之间 可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，
也可把普通方程化为参数 方程．
二、圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程
如图圆O与x轴正半轴交点M
0
(r，0)．

( 1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是
?< br>x＝rcos
θ
?
?
(θ为参数)．
?
y＝rsin
θ
?
其中参数θ的几何意义是OM
0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度．
(2)设动点M在圆上从M
0
点 开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为
ω
，则OM
0
经过时间t
?
?
x＝rcos
ω
t
转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆O的 参数方程为
?
(t为参数)．
?
y＝rsin
ω
t
?
其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．
2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数 方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得
?
?
x＝a＋rcos
θ
，
到，所以其参数方程为
?
(θ为参数)．
?
y＝b＋rsin
θ
?
三、参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两
种方 程是等价的可以互相转化．
(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程 通过消去参数就可得到
普通方程．
(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将
?
x＝f（t）
?
x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则
?
(t为参数)就是曲线的参数方程．
?
y＝g（t）
?
(4)在 参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2.2 圆锥曲线的参数方程
一、椭圆的参数方程
?
?
x＝acos
φ
x
2
y
2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的参数方程是
?
(φ是参数)，规
ab
?
?< br>y＝bsin
φ
定参数φ的取值范围是[0，2π)．
?
?
x＝bcos
φ
y
2
x
2
(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的参数方 程是
?
(φ是参数)，规
ab
?
y＝asin
φ
?
定参数φ的取值范围是[0，2π)．
22
?
?
x＝h＋acos
φ
（x?h）（y?k）?
(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为，则其参数方程为(φ是参数)．
??1
22
?
y＝k＋bsin
φ
?
ab
二、双曲线的参数方程
?
?
x＝asec
φ
x
2
y
2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
2
－
2
＝1的参数方程是
?
(φ为参数)，规定参
ab
?
y＝btan
φ
?
π3π
数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，
φ
≠．
22

?
?
x＝btan
φ
y
2< br>x
2
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线
2
－
2
＝1的参数方程是
?
(φ为参数)．
ab
?
y＝asec
φ
?
三、抛物线的参数方程
2
?
?
x＝2pt< br>(1)抛物线y
2
＝2px的参数方程为
?
(t为参数)．
?
y＝2pt
?
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
2.3 直线的参数方程
一、直线的参数方程
?
?
x＝x
0
＋tcos
α
经过点M
0
(x
0
，y
0
)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
?(t为参数)．
?
y＝y
0
＋tsin
α
?
二、直线的参数方程中参数t的几何意义
(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M
0
的距离．
→→< br>(2)当M
0
M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．当M
0
M与e反向时，t取负数，当M与
M
0
重合时，t＝0．
三、直线参数方程的其他形式
对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参 数方程．我们把过点M
0
(x
0
，y
0
)，
??
x＝x
0
＋tcos
α
倾斜角为α的直线，选取参数t＝M
0
M得到的参数方程
?
(t为参数)称为直线参数方程的
?
y＝y
0
＋tsin
α
?
标准形式，此时的参数t有明确的几何意义．
?
?
x ＝x
0
＋at
b
一般地，过点M
0
(x
0
，y
0
)，斜率k＝(a，b为常数)的直线，参数方程为
?
(t为参数)， 称
a
?
y＝y
0
＋bt
?
为直线参数方程的一般形 式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义．
2.4 渐开线与摆线（了解）
一、渐开线的概念及参数方程
(1)渐开线的产生过程及定义
把一条没有弹性的细 绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与
圆相切，逐渐展开，铅笔画出的 曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)圆的渐开线的参数方程
以基圆 圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r，
?
x? r(cos
?
?
?
sin
?
)
绳子外端M的坐标为 (x，y)，则有
?
(φ为参数)．这就是圆的渐开线的参数方
y?r(sin
?
?
?
cos
?
)
?
程．

二、摆线的概念及参数方程

(1)摆线的产生过程及定义
平面内， 一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆
线，简称摆线，又叫 旋轮线．
?
x?r(
?
?sin
?
),
(2)半 径为r的圆所产生摆线的参数方程为
?
(
?
为参数)
．
y?r(1?cos
?
).
?