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(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 08:15
tags:高中数学知识点

高中数学内容-高中数学数据相关性


专题复习—— 三角函数
(一)知识梳理
?
?
1?rad ?0.01745rad
?
180
?
1、 角度制与弧度制的互化
?

180
?
?
1rad?
?
??
?57.30
?
?
?
?
?
?
①弧长l?
?
R
?
?
?
弧度制
?
11< br>(
?
为弧度)
2
?
②扇形面积S=
?
R?l R
?
?
?22
?
2、 扇形公式
?

n< br>?
R
?
①弧长l?
?
?
?
180
?
角度制
?
(n为角度)
2
?
?
②扇形面积S=n
?
R
?
?
360
?
?
?
?
sin
?
??1?cos
2
?
?
?
?①sin
2
?
?cos
2
?
?1?
?
cos
?
??1?sin
2
?
?
?
?
(其 中“?”由
?
所在象限确定)
?
?
?
?
?
sin
?
?
②tan
?
?
3、 同角三角函数恒等式
?

cos
?
?
?
?
1
cos
?
??
?
?
1?tan
2
??
③推论
?
(其中“?”由
?
所在象限确定)
?
?
2
tan
?
?
?
sin
?
??
?
?
1?tan
2
?
?
?
?
?
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
?
sin(?
?
?
)??sin
?
??
?
公式一cos(
?
?2k
?
)?cos
?
公式二
??
co s(
?
?
?
)??cos
?
?
?
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
?
tan(
?< br>?
?
)?tan
?
?
??
?
?
si n(?
?
)??sin
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
?
?
?
公式三
?
cos( ?
?
)?cos
?
公式四
??
cos(
?
?
?
)??cos
?
?
?
tan(?
?
) ?tan
?
?
tan(
?
?
?
)??tan
?
?
??
?
??
??
4、 诱导公式
?
sin(?
?
)?cos
?
sin(?
?
)?cos
?

??
?
??
22
公式六
?
?
公式五
?
?
?
cos(
?
?
?
)?si n
?
?
cos(
?
?
?
)??sin
?< br>??
?
?2?2
?
3
?
3
?
??< br>?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?
)??cos
?
??
??
?
22
推论1推论2
? ?
?
?
cos(
3
?
?
?
)??sin< br>?
?
cos(
3
?
?
?
)?sin
?
?
??
?2?2
?
1


?co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?
余余正正号相反
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
正余余正号相同
?
5、 差(和)角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

?
tan
?
?tan
?
?
tan(< br>?
?
?
)?
?
1?tan
?
tan
?
?
tan
?
?tan
?
?
tan(
?< br>?
?
)?
?
1?tan
?
tan
?
?
?
1
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?
?sin2
?
?< br>2
?
22
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?
6、 二倍角公式(倍角公式)
?
cos2
?
?1?2sin
2
?
?sin
2
?
?
1? cos2
?

?
2
?
1?cos2
?
?< br>22
cos2
?
?2cos
?
?1?cos
?
?
?
2
?
?
tan2
?
?
2tan?
?
1?tan
2
?
?
abc
?
①? ?
?
sinAsinBsinC
?2R(R为?ABC外接圆的半径)
??
②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?
abc
7、 正弦定理及推论
?

③sinA?,sinB?,sinC?
?
2R2R2R
?
?
④a:b:c?sinA:sinB:sinC
?
?

a
?
sinA
,
a
?
sinA,
b
?
sinB
?
bsinBcsinCcsinC
?
?
2
b
2
?c
2
?a
2
22?
a?b?c?2bccosA?cosA?
2bc
?
222
8 、 余弦定理及推论
?
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?cosB?
a?c?b

?
2ac
?
?
2
a
2
?b
2
?c
2
22
?c?a?b?2abcosC?cosC?
2ab
?
1
?
S?a h(a为底,h为高)
?
2
?
1
9、 三角形面积公式
?

S?r(a?b?c)(r为?ABC内切圆的半径)
?
2
?
?
111
S=absinC?acsinB?bcsinA?
?222
?y?Asin(
?
x?
?
)?k
2
?
最小正周期为T=
?
?
10、求最小正周期的公式
?
y?Acos(
?
x?
?
)?k
?
?
y? Atan(
?
x?
?
)?k的最小正周期为T=
?
?
?
?
2


?
1()定义域:R,值域:,
?
?11
?
?
?
?
??
?
?
在 ?+2k
?
,?2k
?
?
?
2
?
,k?Z 单调递增;
?
2
???
?
(2)单调性
?
?
?

?
?
+2k
?
,
3
?
?2 k
?
?
,k?Z单调递减.
?
??
?
22
??
?
?
?
?
?
当且仅当x=?2k
?
( k?Z)时,y
max
?1;
?
?
11、正弦函数y=sinx?

?
2
?
(3)最值
?
?
?
当且仅当x=-
?
?2k
?
(k?Z)时,y??1.
min?
?
?2
?
?
(4)周期性:周期为2k
?
( k?Z且k?0),最小正周期为2
?
.
?
(5)奇偶性:y?sinx为R 上的奇函数.
?
?
?
?
①为轴对称图形,对称轴为x=?k
?
,k?Z;
?
?
(6)对称性
2
?
?
?
?
?
②为中心对称图形,对称中心为(k
?
,0),k?Z.
?

?
1()定义域:R,值域:,
?
?11
?
?
?
?
?

?
?
?
+2k
?,2k
?
?
,k?Z单调递增;
?
(2)单调性
??
?

?
2k
?
,
?
?2k
?
?
,k?Z单调递减.
?
?
当且仅当x=2k
?
(k?Z)时,y
max
?1;
?
(3)最值
?
?
12、余弦函数y=cosx
?

?
当且仅当x=
?
?2k
?
(k?Z)时,y
min
??1.
?
?
(4)周 期性:周期为2k
?
(k?Z且k?0),最小正周期为2
?
.
?< br>?
(5)奇偶性:y?cosx为R上的偶函数.
?
?
①为轴对称图形 ,对称轴为x=k
?
,k?Z;
?
?
?
(6)对称性
?
?
②为中心对称图形,对称中心为(+k
?
,0),k?Z.
?
?
?2
?

3


?
?< br>??
()
?
1定义域:
?
x|x??k
?
, k?Z
?
,值域:R
2
??
?
?
??
(2 )单调性:在开区间(-+k
?
,?k
?
),k?Z单调递增.
?< br>22
?
?
13、正切函数y=tanx
?
(3)周期性:周期 为k
?
(k?Z且k?0),最小正周期为
?
.

?
(4)奇偶性:y?tanx为奇函数.
?
?
?
①不是轴对称图形;
?
(5)对称性
?
?
k
?
?
②是中心对称图形, 对称中心为(,0),k?Z.
?
?
?2
?

?
① 振幅:A
?
?
②周期:T=
2
?
?
?
?< br>1
?
?
14、简谐运动
y?Asin(
?
x?
?
)
?
③频率:f=?(其中A?0,
?
?0,x?
?< br>0,??
?
)

T2
?
?
?
④相位 :
?
x+
?
?
?
⑤初相:x=0时的相位
?
?
?
b
?
22
①asin
?
x?bcos
?
x?a?bsin(
?
x?
?
)(其中tan
?
?)
15、三角恒等变换之辅助角公式
?
?
a
?
(其中a ?0)
?
②asin
?
x?bcos
?
x?a
2< br>?b
2
cos(
?
x?
?
)(其中tan
?
?
a
)
?
b
?
辅助角公式的证明如下:
证明: asin
?
x
+bcos
?
x
=
a?b
22
(
a
a?b
2
22
sin
?< br>x
+
b
a?b
22
cos
?
x
),
① 令
a
a?b
22
=cos
?
,
ba?b
2
=sin
?
,
则asin
?
x+bcos
?
x
=
=
a
2
?b
2(sin
?
x
cos
?
+cos
?
x
sin
?
)
a
2
?b
2
sin(
?x
+
?
) (其中tan
?
=
4
b
)
a


② 令
a
a?b
22
=sin
?
,
b
a?b
22
=cos
?
,则
asin
?
x
+bcos
?
x
=
=
a
2
?b
2
(sin
?
x
si n
?
+cos
?
x
cos
?
)
a
2
?b
2
cos(
?
x
-
?
),(其中 tan
?
=
a
)
b
b
注:其中
?
的大小可以由sin
?
、cos
?
的符号确定
?
的象限, 再由tan
?
的值求出;或由tan
?
=
a
和(a,b)所 在的象限来确定.
例:化简
y?3sin2x?cos2x
.
法一:逆用差(和)角公式
y?3sin2x?cos2x?2(
法二:应用辅助角公式
31
???< br>sin2x?cos2x)?2(sin2xcos?cos2xsin)?2sin(2x?)
22666
?
13
?
y?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)< br> (其中
tan
?
???
?
?
)
6
36
3
(二)考点剖析
考点一:正、余弦定理,三角形面积公式的应用
AB
4
例1: 在△ABC中,C=2B,=.
AC
3
(1)求cos B;
(2)若BC=3,求S

ABC
.
解:(1)由C=2B和正弦定理得
ACAB
2
sin C=2sin Bcos B=2·sin C·cos B ∴cos B==
AB
2AC3
(2)设AC=3x,则AB=4x.
由余弦定理得
(3x)
2
=(4x)
2
+3
2
-2×4x×3cos B,即9x
2
=`16x
2
+9-16x
9
∴7x
2
-16x+9=0 解得x=1或x=
7
115
当x=1时,AC=3,AB=4 ∴S

ABC
=BA×BC×sin B=×4×3×=25.
223
927361136518
当x=时,AC=,AB= ∴S

ABC
=BA×BC×sin B=××3×=5.
77722737
考点二:利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解:(1)

2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C
5


由正弦定理得2a
2
=(2b+c)b+(2c+b)c,即a
2
= b
2
+c
2
+bc①
由余弦定理得a
2
=b
2
+c
2
-2bccos A
12
?
.
??2bccosA?bc?cosA??

0?A?
?

?A?
23
(2)由①得sin2
A=sin
2
B+sin
2
C+sin Bsin C


1
sin B+sin C=1
?
sin B=sin C=
2
0?B?
?
2
,0?C?
?
2

?
B=C
?
△ABC是等腰三角形.
考点三:三角恒等变换 之辅助角公式:
asin
?
x?bcos
?
x?
例3:已知 函数
f(x)?2sinxcosx?2cosx

x?R

(1) 求f(x)的最小正周期及最大值;
(2) 求函数f(x)的单调递增区间;
(3) 若
x?
?
0,
2
b
a
2
?b
2sin(
?
x?
?
)(其中tan
?
?)

a
?
?
?
,求函数f(x)的值域 .
?
2?
?
2
解:
f(x)?2sinxcosx?2cosx
?si n2x?cos2x?1
?
(1) f(x)的最小正周期为
T?
(2) 由
?
2sin(2x?)?1

4
?
2
?
?
?
,最大值为
f(x)
max
?2?1
.
2
?2k
?
,k?Z

242
3
? ?

??k
?
?x??k
?
,k?
?
< br>88
?
?
?2k
?
?2x?
??
?
?
3
?
?
?k
?
,?k
?
?
,k ?Z

?
函数f(x)的单调递增区间为
?
?
8
?
8
?
(3)
0?x?
?
2

??
4
?2x?
?
5
?
4
?

4
?)?1

?2

1
??
2
?
?
?sin(2x?)?1

?0?2sinx(2?
24
4

0?f(x)?2?1

?
函数f(x)的值域为
?
0,2?1
?

??< br>22
即时训练:已知函数
y?(sinx?cosx)?23cosx?3
,< br>x?R

(1) 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间;
(2) 当
0?x?



6

?
2
时,求函数f(x)的值域.


【高考地位】

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一
.
掌握化简和求值问题的解题规 律和一些
常用技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍
.
这也是解决三角函数问题的前提和出发点
.
在高
考中常以选择题、填空题出现,其试题难度考查不大
.
【方法点评】

方法一

切割化弦

使用情景:一般三角求值类型

解题模板:第一步

利用同角三角函数的基本关系
tan
?
?
第二步

计算出正弦与余弦之间的关系;

第三步

结合三角恒等变换可得所求结果
.

1
已知
tan(?
?
?
)?
A

sin
?
,将题设中 的切化成弦的形式;

cos
?
sin
?
?cos
?
1
=




,则
2
2sin
?
?cos
?
1111
B

C

?
D

?

42
42
【答案】
C
【解析】

试题分析:
tan
?
?
C.
考点:同角三角函数基本关系学
*
科网

【变式演练
1】已知
tan(
?
?
?
)??2
,则
1sin
?
?cos
?
tan
?
?11
???
,故 选,将原式上下同时除以
cos
?
,即
22sin
?
?co s
?
2tan
?
?14
1
?




2
cos2
?
?cos
?
A

3
B.
【答案】
C
【解析】

5
2
C.
?
D.
?3

5
2

考点:诱导公式,同角间的三角函数关系,二倍角公式
.
[
来源
:]
方法二

统一配凑

使用情景:一类特殊三角求值类型

7


解题模板:第一步

观察已知条件中的角和所求的角之间的联系;

第二步

利用合理地拆角,结合两角和(或差)的正弦(或余弦)公式将所求的三角函
数值转

化为已知条件中的三角函数值;

第三步

利用三角恒等变换即可得出所求结果
.

2
已知
tan< br>?
?
11
7
,tan
?
?
3
,
tan(
?
?2
?
)?

【答案】
1
【解析】

试题分析:
t
?
?
1
3
a
13
?tan
?
?
?2
?
?
?
tan
?
?tan2
?
7
?
4
1?tan
?
tan2
?
??1

1?
1
?
3
74
考点:两角和的正切公式
.
方法三

公式活用


3
下列式子结果为
3
的是(




tan25??tan35??3tan25?tan35?



2
?
sin35?cos25??cos35?cos65?
?



1?tan15?
1?tan15?


tan
?

6
1?tan
2
?
.
6
A.
①②
B.

C.
①②③
D.
②③④

【答案】
C
【高考再现】

1.

2018
年全国卷Ⅲ文)若,则

A

B


C

D


【答案】
B
8

?
n??
2
?
2
1
?
?,
ta
t

a
ta
n
n
n


【解析】

分析:由公式
详解:
故答案为
B.
点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题
.
可得
.


3

,则
cos
2
?
?2s in2
?
?




4
644816
(A) (B) (C) 1 (D)
252525
2.

2 016
高考新课标
3
理数】若
tan
?
?
【答案】
A
【解析】

试题分析:由
tan
?
?
3434
3
,得
sin
?
?,cos
?
?

sin
?
??,cos
?
??
,所以
4
5555
161264
cos
2
?
?2sin2
?
??4??
,故选
A


252525
考点:
1< br>、同角三角函数间的基本关系;
2
、倍角公式.

【方法点拨】三角函 数求值:①

给角求值

将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去非特 殊
角,进而求出三角函数值;②

给值求值

关键是目标明确,建立 已知和所求之间的联系.

3
,

cos2x?

4
1111
A.
?
B. C.
?
D.
4488
4.

201 7
山东,文
4
】已知
cosx?
【答案】
D
【解析】


【考点】二倍角公式

(1)
三角函 数式的化简与求值要遵循

三看

原则
,
一看角
,
二看名
,
三看式子结构与特征.
(2)
【名师点睛】
三角函 数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系
(
和、差、倍、互余、互补等
),寻找式子和三
角函数公式之间的共同点.

来源学。科
6.

2015
高考福建,文
6
】若
sin
?
??
5
,且
?
为第四象限角,则
tan
?
的值等于(



13
121255
A

B

?
C

D

?

551212
【答案】
D
9


【考点定位】同角三角函数基本关系式.

【名师点睛】本题考查同角 三角函数基本关系式,在
sin
?

cos
?

t an
?
三个值之间,知其中的
一个可以求剩余两个,但是要注意判断角
?的象限,从而决定正负符号的取舍,属于基础题.

6.

2018年全国卷
II
文)已知
【答案】
.
【解析】

分析:利用两角差的正切公式展开,解方程可得
.
,则
__________


详解:,

解方程得
.
学科
*


点睛:本题主要考查学生对 于两角和差公式的掌握情况,属于简单题型,解决此类问题的核心是要
公式记忆准确,特殊角的三角函数 值运算准确
.
7.

2018
年全国普通高等学校招生统一考试数 学(江苏卷)】已知
.(
1
)求
【答案】(
1

【 解析】

分析:先根据同角三角函数关系得
式得
,再根据二倍角余弦公式得结 果;(
2
)先根据二倍角正切公
;(
2


的值;(
2
)求的值.

为锐角,,
,再利用两角差的正切公式得结果
.

,所以




,所以.

详解:解:(
1
)因为
因为
因此,
10



点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是

配凑
”. (2)
变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有

切化弦



升幂与降幂


.
(3)
变式:

常根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通 常有:
值代换



逆用变用公式



通分约分



分解与组合



配方与平方


.

#
科网

【反馈练习】

1
.【山东省济南市
2018
届高三第一次 模拟考试数学(文)试题】若
sin
?
A?
?
?
?
?
72


?
?
4
?
10
??
?
A?
?
,
?
?
,则
sinA的值为(



?
4
?
A


34343
B

C



D


55554
【答案】
B
【解析】

A?
?
?
?
?
5
?
?
?
?
,
?
?
,?A??
?
,
4
?
24
?
4
?
?
???
cosA?
,所以
???
?0

4
???

cos
?
A?
?
??
?
?
?
2
2
?


??1 ?sinA???
???
4
?
4
?
10
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
4
??
sinA?sinA???sinA?cos?cosA?
所以< br>?????
sin?
,选
B.
?
?
?
4< br>?
4
?
4
?
44
?
45
??
?
?
点睛:本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等,属于易错题
.
解答本题的关键
是拆角,将
sinA
拆成
sin
??
A?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>.
?
?
4
?
4
?
?
2
. 【山西省
2018
年高考考前适应性测试文科数学试题】已知
tan
?
?3
,则
A


?3
B


?
C


sin2
?
?




1?cos2
?
1
3
1
D


3

3
11


【答案】
D
【解析】
故选
D

sin2
?
2sin
?
cos
?
?? tan
?
?3

2
1?cos2
?
2cos
?
sin65
0
?sin35
0
cos30
0
3 .
【江西省上饶市
2018
届高三下学期第二次高考模拟数学(理)试题】
?
0
cos35




A


?
11
33
B


?
C

D


22
22
【答案】
C
【解析】由题得
sin35
0
?30
0
?sin35
0
cos30
0
cos3 5
0
??
cos35
0
sin30
0
1
, 故选
C.
0
??sin30?
cos35
0
2
4.
【河南省濮阳市
2018
届高三第一次模拟考试数学(理)试题】设
?< br>?
?
0?,90?
?
,若
3
sin
?
7?5?
?
2
?
??
,则
sin
?
15 ??
?
?
?sin
?
75??
?
?
? ( )
5
A


11
22
B

C


?
D


?

1010
2020
【答案】
B
【解析】
sin75?
?
?cos15?
?

< br>所以原式等于
sin15?
?
cos15?
?
?
?? ??
????
1
sin30?2
?

2
??
sin30?2
?
?sin
?
75?2
?
? 45
?
?
??
?
??
?
2
?



sin75?2
?
?cos75?2
?
?< br>??
2
????
75?2
?
?75,255



又因为
sin75?2
?
?0
,所以
75?2
?
?180,255
,可求得
cos75?2
?
? ?
那么
sin30?2
?
?
??
????
??4



5
??
2
?
2
?< br>3
??
4
?
?
?
?
2
?
s in75?2
?
?cos75?2
?
????


????
??
??
22
?
?
5
??
5?
?
10
????
那么
12
,故选
B. sin30?2
?
?
220
??
5
.【安徽省宣城市< br>2018
届高三第二次调研测试数学理试题】已知
cos
?
?
3
?
3
?
?
,2
?
?
,则,

?
?
?
5
?
2
?
12


?
??
cos
?
?
?
?
?
__________


3
??
【答案】
3?43

10
【解析】∵
cos
?
?

sin
?
??

cos< br>?
?
?
3
?
3
?
?
,2
?
?



?
?
?
5
?
2
?
4

5
?
?
?
?
??
31
?
4
?
33?43

?cos
?
cos?sin
?
sin???
?
?
?
??
?
3
?
3352
?< br>5
?
210
故答案为
3?43
.
10
三角函数的图像和性质问题
【高考地位】
近几年高考降低了对三角变 换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函
数的性质是研究函数的一个重要内容, 是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际
问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重 点和难点。要充分运用数形结合的思想,把图象与性
质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数 的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,
又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均 有出现如选择题、填空题和解答题,其试
题难度属中档题.
【方法点评】
类型一 求三角函数的单调区间
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数
A,
?
的正负;
第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间;
第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.
例1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学(文)试题】 设向量
??
? ???
a?
?
cos,?cos2x
?
,b?
?
s in2x,sin
?

f
?
x
?
?a?b
.
44
????
13


(1)求
f
?
x
?
的最小正周期;
(2)求
f
?
x
?
在区间
0,
?
上的单 调递减区间.
【答案】(1)
?
;(2)
?
.
,
?
88
??

(2)第一步,先将函数式化为基本三角函 数的标准式,要特别注意参数
A,
?
的正负:
由题意可得:
f?
x
?
?a?b?sin2xcos
??
?
3
?
7
?
?
?
4
?cos2xsin
?
4< br>
第二步,利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间:
所 以
f
?
x
?
?a?b?sin2xcos
?
4?cos2xsin
??
??
?sin
?
2x?
?
44
??
第三步,运用三角函数的图像与性质确定其单调区间:
令< br>2k
?
?
?
24
3
?
7
?
求得
k
?
??x?k
?
?,k?Z

88
故函数的减区间为
?
k
?
?
?2x?
?
?2k< br>?
?
3
?
,k?Z

2
?
?3
?
7
?
?
,k
?
?,k?Z
. < br>88
?
?
?
3
?
7
?
?
,
再根据
x?0,
?
,可得函数的减区间为
?
.
?
?
88
?
【点评】(1)由题设,根据向量数量积的坐标运算可得函数
f
?
x
?
?sin
?
2x?
的最小正周期为T?
??
?
?
?
?
?
,因此函数
f< br>?
x
?
4
?
2
?
?
?
2< br>?
n
的单调递减区间为
?
?
;(2)由正函数
y?s ix
2
?
3
?
?
??
3
?
?2k
?
?,k2
?
?k?Z
,由(1)可令(
k?Z< br>),从而可得
2kx??2x??2k
?
?
??
??
22
?
242
?

?
. 所求函数
f
?< br>x
?
在区间
0,
?
上的单调递减区间为
?
8 8
??
【变式演练1】【福建省龙岩市2018年高三毕业班教学质量检查文科数学试题】函数
??
?
3
?
7
?
?
?
??
y?cos
?
x?
?
?
cosx?sinx
?
的 单调递增区间是( )
2
??
A.
?
2k
?
?

?
?
?
8
,2k
?
?
3
?
?

?
k?Z
?
B.
8
?
?
?3
?
??
k
?
?,k
?
?

?
k?Z
?

??
88
??
14


C.
?
k
?
?
【答案】B
?< br>?
?
4
,k
?
?
?
?
4
?
?

?
k?Z
?
D.
?
2k< br>?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?

?
k?Z
?

?
2
?
【解析】整理函数的解析式有:
y?sinx
?< br>cosx?sinx
?
?sinxcosx?sin
2
x
11 ?cos2x
sin2x?
22
11
?
?
sin2x?co s2x
?
?
22
2
?
?
1
?
?s in
?
2x?
?
?.
24
?
2
?
?

结合三角函数的性质可知,函数的单调递增区间满足:
2k
?
?
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?

?
?
求解不等式可得函数的单调递增区间是
?
k
?
?
?
8
,k
?
?
3
?
?

?
k?Z
?
.本题选择B选项.
8
?
?
类型二 由
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象求其函数式
使用情景:一般函数
y?Asin(
?
x?
?
)
求其函数式
解题模板:第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与
x
轴交点坐标等;
第二步 利用 特殊点代入函数解析式计算得出参数
A,
?
,
?
中一个或两个或三个 ;
第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数;
第四步 得出结论.
例2函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0 ,
?
?0,|
?
|?
?
2
)
的图象如图所 示,则y的表达式为( )
10x
?
?)

116
10x
?
B.
y?2sin(?)

116
A.
y?2sin(
C.
y?2sin(2x?

?
6
)

15


D.
y?2sin(2x?
【答案】C
【解析】
?
6
)

试题分析:由图像可知最大值为2,所以A=2,周期T?2
?
?
?
?
2
?
3
?
? ?
?
?
,代入点
?
?
?
?
?2
? ?
,2
?
6
?
?
6
?

sin< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1 ?
?
?
,所以函数式为
y?2sin(2x?)

6
6
?
3
?
考点:三角函数图像及性质
【山西省平遥中学2018届高三3月高考适应性调研考试数学试卷】
已知函数
f< br>?
x
?
?2sin
?
?
x?
?
?< br>(
?
?0

?
?x)
的部分图像如图所示,已知点
A0,3

??< br>?
?
?
?
B
?
,0
?
,若将它的图 像向右平移个单位长度,得到函数
g
?
x
?
的图像,则函数
g
?
x
?
图像的一
6
?
6
?
条对 称轴方程为( )

A.
x??
【答案】A
【解析】
f
?
0
?
?2sin
?
?3,f
?
?< br>24
B.
x?
?
4
C.
x?
?
3
D.
x?
2
?
3
?
?
?
??
?
?
?2sin
??
?
?0
,所以
?
?,
?
?4
, < br>???
3
?
6
??
6
?
?
?
?
?
所以
f
?
x
?
?2sin
?
4x?
所以对称轴满足
4x?
?
?
?
?
3
?
?
,移动后得
g
?
x
?
?2sin
?
4
?
x?
?
?
?
?
?
??
??2sin4x?
???

?
6
?
3
?3
??
?
3
?
?
2
?k
?
, 解得
x?
5
?
k
?

?
244
所以满足条件的一条对称轴方程为
x??
考点:
y?Asin
?
?< br>x?
?
?
的图像学
?
24
。故选A。
函 数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0, 0?
?
?
?
)
在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )
16


x
?
?
)
B.
y?2sin(2x?)

233
2
?
?
C.
y?2sin(2x?)
D.
y?2sin(2x?)

33
A.
y?2sin(?
【答案】C
【解析】


考点:三角函数的图象和性质及运用.

类型三 求三角函数的周期
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 利用恒等变换将其化成“
y? Asin(
?
x?
?
)

y?Acos(
?
x?
?
)
”的形式;
第二步 运用周期的计算公式
T?
第三步 得出结论.
例3 若函数
( )
A. B. C. D.
在上的图象与直线恰有两个交点.则的 取值范围是
2
?
?
直接计算可得所求.
【答案】A
【解 析】第一步,利用恒等变换将其化成“
y?Asin(
?
x?
?
)< br>、
y?Acos(
?
x?
?
)
”的形式:
因为
第二步,运用周期的计算公式
T?
由题意可知,在
2
?
?
直接计算可得所求:
存在两个最大值,

第三步,得出结论:
17


所以,所以,故选A。
[来源学科网]

存在两个最大值,则 在图象

【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题,由题意可知,在
上得到第二 个最大值
解得答案。

和第三个最大值,因为在恰有两个最大值,则得到
【 河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学】记实数
a,b
种的最小数为
m in
?
a,b
?
,若函数
f
?
x
?
?min
?
1?sin2
?
x,1?sin2
?
x
??
?
?0
?
的最小正周期为1,则
ω
的值为( )
A.
1
?
B. 1 C. D.
π

22
【答案】C
【解析】 由题意,如图所示,函数
y?1?sin2wx

y?1?sin2wx
的图象关于
y?1
对 称,
则函数
f
?
x
?
的周期为
y?1?sin 2wx
的周期的一半,

f
?
x
?
的最小正周 期为
1
,则
y?1?sin2wx
的周期为
2


T?
2
?
?
?2
,解得
w?
,故选C.
2w2

点睛:本题考查了三角函数的图象与性质,以及三角函数的周期求解问题, 解答中根据函数
y?1?sin2wx

y?1?sin2wx
的图象之间的 关系,得到函数
f
?
x
?

y?1?sin2wx

y?1?sin2wx
的关系即可求解,其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重 考查了分析
问题和解答问题的能力.
【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测一(一模)数学(理)试题】
已知函数
f
?
x
?
?3cos
?
?
??
3
?
???
?
?
1
?x
?
sin
?
x?
?
?cos
2
?
?x
?
?
. 2
??
2
???
2
?
2
(1)求函数
f
?
x
?
的单调递增区间;
(2)已知在
?ABC
中,
A,B,C
的对边分别为
a, b,c
,若
f
?
A
?
?1

a?2
,求
?ABC
面积的最
18


大值.
【答案】(1)单调递增区间为
?
k
??
?
?
?
6
,k
?
?
?
?< br>(
k?Z
);(2)
3
.
?
3
?
【解析】试题分析:(1)根据诱导公式及降幂公式,化简函数,利用正弦函数的单调性写出单调区
间; (2)先求出A,再由余弦定理求出a,根据
4?b
2
?c
2
?bc ?2bc?bc?bc
求面积的最大值即
可.
试题解析:
(1)
f
?
x
?
?
?
??
3
?
???< br>?
?
1
xcos
?
?x
?
sin
?
x?
?
?cos
2
?
?x
?
?

2
??
2
???
2
?
2
1
?3s inxcosx?sin
2
x?

2
?
31
sin2x?cos2x

22
?
??
?sin
?
2x?
?

6
??

2k
?
?
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2

k?Z
),
解得
k
?
?
?
6
?x?k
?
?
?
3

k?Z
),
所以
f
?
x
?
的单调递增区间为
?
k
?
?

?< br>?
?
6
,k
?
?
?
?

k ?Z
).
?
3
?
已知函数
f(x)?2cosx(sin x?cosx)?1
.
(1)求函数
f(x)
的最小正周期和单调增区间;
(2)
?ABC
中,锐角
A
满足
f(A)?1
,< br>b?2

c?3
,求
a
的值.
【答案】(1) < br>f(x)
的最小正周期为
?
;单调增区间为
[k
?
?
【解析】
?
8
,k
?
?
3
?
(2)
a?5
.
](k?Z)

8
试题分析:(1)由二倍角公 式及两角和与差公式化简函数的解析式得
f(x)?2sin(2x?)
,由
4
?
T?
2
?
???

??2k
?
?2x ???2k
?
(k?Z)
可求函数的单调
?
?
可求该函数的 最小正周期,
242
2
递增区间;(2)由
f(A)?1
先求出角< br>A?
?
4
,再利用正弦定理即可求
a
.
19


试题解析: (1)
f(x)?2sinxcosx?2cos2
x?1?sin2x?cos2x?
∴函数
f(x)
的最小正周期为< br>?
.

?
2sin(2x?)

4
?< br>?
2
?2k
?
?2x?
?
4
?
?< br>2
?2k
?
(k?Z)
得:

k
?
?
?
8
?x?k
?
?
3
?
(k?Z)
8

函数
f(x)
的单调增区间为
[k
?< br>?
(2)由题意知
f(A)?

A
为锐角,∴
2A?
?
8
,k
?
?
3
?
](k?Z)

8
2sin(2A?
?
4
)?1

sin(2A?
?
4
)?
2

2
?
4
?
?
4
,∴
A?
?
4

由余弦定理得
a
2
?2?9?2?2?3cos
?
4
?5
,∴
a? 5
.学%科网
[来源学科网ZXXK]
考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图 象与性质;3.余弦定理.
【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理 ,属中档题;利用同角三
角函数基本关系化简的基本方法是切化弦,角的表示与化为一个角的三角函数是 解本题的关键,熟
练掌握公式是解题的基础.
【高考再现】
1.【2018年全国 普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I卷)】已知函数
f
?
x
??2cos
2
x?sin
2
x?2
,则
A.
f
?
x
?
的最小正周期为π,最大值为3
B.
f
?
x
?
的最小正周期为π,最大值为4
C.
f
?
x
?
的最小正周期为

,最大值为3
D.
f
?
x
?
的最小正周期为

,最大值为4
【答案】B
【解析】分析:首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简 为
f
?
x
?
?
35
cos2x?
,之后应 用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项.
22

20
< /p>


点睛:该题考查的是有关化简三角函数解析式,并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的 性质,
在解题的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.
π
2.

2017
全国
III
理,
3
】设函数
f(x)?cos(x?)
,则下列结论错误的是(



3
A

f(x)
的一个周期为
?2π
B

y?f(x)
的图像关于直线
x?
C

f(x ?
?
)
的一个零点为
x?
【答案】
D
ππ
D

f(x)

(,π)
单调递减

62

对称

3
π
??
【解析】函数< br>f
?
x
?
?cos
?
x?
?
的图象 可由
y?cosx
向左平移
π
个单位得到,

3
? ?
3
?
π
?
如图可知,
f
?
x
?

?

?
上先递减后递增,
D
选项错误,故选< br>D.
?
2
?
y
?
?
?

?
?
-
O
?
6

?
?
?
x
3.【2017山东,文7】函数
y?3sin2x?cos2x
最小正周期为
A.
π

B. C.
π
D.


23
【答案】C
【解析】

【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数 周期的方法:①利用周期函数的定义.②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=
Acos(ωx+ φ)的最小正周期为
2ππ
,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.③对于形如
| ω||ω|
y?asin
?
x?bcos
?
x
的函数,一般 先把其化为
y?a
2
?b
2
sin
?
?
x ?
?
?
的形式再求周期.
4.

2018
年全国 普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷)】已知函数
图象关于直线
【答案】
.
21


对称,则的值是
________


【解析】

分析:由对称轴得
详解:由题意可得
所以
点睛:函数
(2)
最小正周期


A>0,ω>0
)的性质:
(1)

(3)

求增区间
;



求对称轴;
(4)

求减区间
.
,再根据限制范围求结果
.
,所以,因为,
5.【2015高考陕西,文1 4】如图,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y=3sin(
+Φ)+k,据此函数 可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.
?
x
6

【答案】8

【考点定位】三角函数的图像和性质.
【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质,在 三角函数的求最值中,我们经常使用的是整理
法,从图像中知此题
sin(
?
继而求得
k
的值,当
sin(x??)?1
时,
x??)??1时,
y
取得最小值,
66
?
y
取得最大值.2.本题属 于中档题,注意运算的准确性.
6.

2018
年全国普通高等学校招生统 一考试理科数学(北京卷)】设函数
f

x

=

【答案】

【解析】分析:根据题意取最大值,根据余弦函数取最大值条件解得
ω,进而确定其最小值
.
对任意的实数
x
都成立,则
ω
的最小值为
__________



22


详解:因为对任意的实数
x
都成立,所以
,因为,所以当
取最 大值,所以
时,
ω
取最小值为
.
点睛:函数
(1)
(2)
周期
(3)


满足
(4)


..

.
的性质

求对称轴,最大值对应自变量满足
,学科
&


求增区间
;

,最小值对应自变量
求减区
7.【2017 山东,理16】设函数
f(x)?sin(
?
x?
(Ⅰ)求
?

?
)?sin(
?
x?)
,其中
0?
??3
.已知
f()?0
.
626
??
(Ⅱ)将函数< br>y?f(x)
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象
向左平移
?
4
个单位,得到函数
y?g(x)
的图象,求
g (x)

[?
?
3
?
44
,]
上的最小值 .
【答案】(Ⅰ)
?
?2
.(Ⅱ)得最小值
?
3
.
2
?)?3sin(x?)
.
4312
?
3
?< br>??
2
?
根据
x?[?,]
得到
x??[?,],进一步求最小值.
441233
试题解析:(Ⅰ)因为
f(x)?sin(< br>?
x?
从而
g(x)?3sin(x?
???

?
)?sin(
?
x?)

62
?
所以
f(x)?
31
sin
?
x?cos
?
x?cos
?
x

22
?
33
sin
?
x? cos
?
x

22
13
?3(sin
?
x ?cos
?
x)

22
23


?3(sin
?
x?)

3
?
< br>即
x??
?
4
时,
g(x)
取得最小值
?< br>3
.
2
【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点 睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三
角公式化简函 数、进一步讨论函数的性质,本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是
忽视设定角的范围. 难度不大,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
【反馈练习】
1.函数
f
?
x
?
?cos
?
?
x?A.
x?k?
?
?
?
?
?
的图象的对称轴方程为( )
6
?
21
?
k?Z
?
B.
x?k?
?
k?Z
?

33
11
C.
x?k?
?
k?Z
?
D.
x?k?
?
k?Z
?

63
【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题
【答案】C
【解析】
?
x?
?
6
?k
?
?
k?Z
?
?x?k?
?
?
1
?
k?Z
?
,选C.
6
?
?
2.若仅存在一个实数
t?
?
0,

?
的取值范围是( )
?
?
2
?
?
,使得曲线
C

y ?sin
?
?
x?
?
?
?
(
?
? 0)
关于直线
x?t
对称,
6
?
24


A.
?
,
?
B.
?
,
?
C.
?
,
?
D.
?
,
?

?
33
??
33
?
?
33
??
33
?
【来源】【全国市级联考】河北省邯郸 市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题
【答案】D
【解析】
?
17
?
?
410
?
?
17
?
?
410
?

【点睛】函数
y?Asin
?
?
x?< br>?
?
?B(A?0,
?
?0)
的性质
(1)
y
max
=A+B,y
min
?A?B
.
(2)周期
T?
2
?
?
.

π
?k
π
?
k?Z
?
求对称轴
2
ππ
(4)由
??2kπ?
?
x?
?
??2kπ
?
k?Z
?
求增区间;
22
π3π

?2kπ ?
?
x?
?
??2kπ
?
k?Z
?
求减区 间
22
(3)由
?
x?
?
?
3.已知函数f
?
x
?
?2sin
?
?
x?
??
?
?
?
(
?
?0)
的图象与函数
6
?
g
?
x
?
?cos
?
2x?
?
?
(
?
?
A.
?
2
)
的图象的对称中心完全相同,则
?
为( )
?
?
?
?
B.
?
C. D.
?

6633
【来源】【全国市级联考】河南省六市2018届高三第 一次联考(一模)数学(文)试题
【答案】D
【解析】因为函数
f
?x
?
?2sin
?
?
x?
象的对称中
?
?
?
?
?
(
?
?0)
的图象与函数
g< br>?
x
?
?cos
?
2x?
?
?
(< br>?
?)
的图
6
?
2
心完全相同,所以
??
?2,
?
?

?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
?
?
??
?
3
?2k
?
?
k?Z
?
?
?
?< br>2
?
?
??
?
3
,选D.
5.函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?

?
?0

?
?
?
2
)的最 小正周期是
?
,若其图象向左平移
?
个单
3
位后得到的函数 为奇函数,则函数
f
?
x
?
的图象( )
25


A. 关于点
?
?
?
?
?
对称
,0
?
对称 B. 关于直线
x?
12
?
12
?
C. 关于点
?
?
?
?
?
,0
?
对称 D. 关于直线
x?
对称
6
?
6
?
【来源】20 18届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考数学文科试卷
【答案】B
【解析】由于 函数最小正周期为
π
,所以
?
?2
,即
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
?
.向左平移
π
得到
3

π
?
π
2ππ
???
π
?
?
sin
?
2x??
?
?
为奇函数 ,故
?
?
?
π,
?
?
,所以
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
.
f
??
?sin?1
,
32
3
?
33
???
12
?
?

x?

π
为函数的对称轴,选B.
12

点睛:本题考查了正弦函数的图象,以及正弦函数的图象及对称性的应用,考 查了整体思想和数形
结合思想的应用,有关
y?Asin
?
?
x?< br>?
?
问题,一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围,一
般先根据图象的最 高点或最低点确定
A
,再根据周期,求出
w
,最后再利用最高点或最低点坐标 满
足解析式,求出满足条件的
?
值,另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点,如 对称轴或曲线
经过的点的坐标,根据题意自己画出图象,再寻求待定的参变量,题型很活,求
w

?
的值或最值
或范围等.
10.函数
f
?< br>x
?
?Asin
?
?
x?
?
?
< br>(A?0,
?
?0,
?
?
函数
f
?
x
?
在区间
?

?
上的零点为__________.
3
π
)
的部分图象如图所示,则
?
?
______ ____;
2
?
π
?
?
?
26



【来源】【全国区级联考】北京市朝阳区2018年高三一模数学(理)试题
【答案】
2

7
π

12
【解析】 由图得

π
?
π
?
π
T
?
?< br>?
?
??
,即最小正周期
T?π
又因为
T?
,且
?
?0
,解得
?
?2
,由
?
3
?
6
?
22
图得
x?
π
2ππ
ππ时,
?
?
?2kπ?
?
k?Z
?
,又因为< br>?
?
,所以
?
??

f
?
x?
的零点即
33226
π
?
π
?
x
f
?
x
?
?2sin2x?
的图象与轴交点的横坐标,则
2x ??kπ,k?Z
,解得
??
6
?
6
?
x?
π
k
π
777
?
π
?
,因为
x?
?

?
,得到
x??,k?Z
π
,所以零点为
π
,故答案为
π
.
122121212
?
3
?< br>sinwx?1wx1
,且
w?

x?R
,若
f< br>?
x
?
的图像在
x?
?
3
?
,4< br>?
?
内与
x
?cos
2
222
12.函数< br>f
?
x
?
?
轴无交点则
w
的取值范围是__ ________.
【来源】【全国校级联考】江西省K12联盟2018届高三教育质量检测--- 数学(理科)试题
【答案】
?
?
711
??
1115?
,
?
?
?
,
?

1216
??
1216
??
【解析】
f
?
x
?
?< br>sinwx?1wx2
?
?
T1
?
?cos
2
?sin
?
wx?
?
,显然

,故
?
ω
?
1
.
22
2224
??
由对称中心可知:
wx?
?
4
?kπ
,可得:
x?
1
?
?
?
kπ?
?

k?Z

?
?
4
??
假设在区间
?3
?
,4
?
?
内存在交点,可知:
k1k1
,当
k?2,3,

4

??
?
??
416312
7711111551
现不属于区间
?
3
?
,4
?
?
,所以以上的并集在全集
?
ω
?
1
?
ω
?,?
ω
?,?
ω
?

2
?
711
??
1115
?
,
?
?
?
,
?

1216
??
1216
??
27
中做补集,得
ω
?
?


故答案为:
?
,
?
?
?
,
?

?
1 216
??
1216
?
点睛:本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为 有交点问题,利用补集思想得到最终的结果,
对于否定性问题经常这样思考.
14.已知函数
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
?
?
(
?
?
(1)求
?
值及图中
x
0
的值;
(2)在
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,已知
c?7,f
?
C
?
??2,

sinB?

2sinA
,求
?
711
??
1115
?
?
2
)
部分图象如图所示.
a
的值.

【来源】【全国市级联考】吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试数学理试题
【答案】 (1)
?
?
?
6
,
x
0
?
7?
(2)
a?1

6
【解析】试题分析:(1)根据图象可得< br>f
?
0
?
?1
,从而求得
?
得值,再根据< br>f
?
x
0
?
?2
,可得
2x
0?
?
6
?2k
?
?
?
2
(2)根据( 1)的结论及
f
?
C
?
??2
,可得
C

,k?Z
,结合图象可得
x
0
的值;
值,将
sin B?

2sinA
根据正弦定理角化边得
b?2a
,再根据余弦定理 即可解得
a
的值.
试题解析:(1)由图象可以知道:
f
?
0
?
?1
.

sin
?< br>?
又∵
?
?

?
?
1

2
?
2

?
6


f
?
x
0
?
?2


sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
?< br>?1

2x
0
??2k
?
?,k?Z
, 从而
x
0
?k
?
?,k?Z
.
6
?626
??
?
由图象可以知道
k?1
, 所以
x
0
?
7
?

6

28


【高考地位】
三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三 角函数中的热点问题之一,所涉及的知识
广泛,综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性 ,如三角函数值正负号的选取、角
的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函 数的最值常用方法有:配方
法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有 出现如选择题、填空
题和解答题,其试题难度属中档题.
【方法点评】
方法一 化一法
使用情景:函数表达式形如
f(x)?asinx?bcosx?csinxcosx ?d
类型
解题模板:第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如< br>22
y?asinx?bcosx?c
形式;
第二步 利用辅助角公式< br>asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
化为只含有一个函数
名的形式;
第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.
?
??
?
??
?
??
例1 已知函数
f
?
x
?
?3sin2x?2sin
?
?x
?
cos
?
?x
?
,则
f
?
x
?

x?
?
0,
?
上的最大值与最
2
??
4
??
4
??
小值之差为 .
【答案】
3


第三步,利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值:

x?
?
0,
?
?
?
7
?
?
?
?
1
??
?
?
2x??,sin(2x?)?
?
?,1?
, 时,,故
??
?
6666
2
???
2< br>?
??
即函数
f
?
x
?
的值域为
?
?1,2
?
,故答案为
3

考点:二倍角公式,两角和公式,正弦函数的值域.
【点评】本题中主要考察了学生三角化简 能力,涉及有二倍角公式和两角和公式,
?
?
?
?
?
?f(x)?3sin2x?sin
?
?2x
?
?3sin2x?cos2 x?2sin(2x?)
,进而利用
x?
?
的范
0,
?2
?
6
??
?
2
?
围得到
2x??
?
?
?
7
?
?
?
?
,,即为换元思想,把看作一个整体,利用
y?sinx
的单调性即可
2x?
?
6
?
66
?
6
得出最值,这是解决
y?asi nx?bsinx
的常用做法.学#科网
29


【变式演 练1】设当
x?
?
时,函数
f(x)?2sinx?cosx
取得最 大值,则
cos
?
?
__________.
【答案】
?
5

5
【变式演练2】【山东省枣庄高三一模】已知向量
a?
?
sin x,cos
?
?
?x
?
?
,b?
?
2co sx,2cosx
?
,函数
f
?
x
?
?a?b?1
.
(1)求
f
?
x
?
的对称中心;
( 2)求函数
f
?
x
?
在区间
?
0,
??
?
上的最大值和最小值,并求出
x
相应的值.
?
2
??
【答案】(1)
?
?
kx
?
?
?,0
?
?
k?Z
?
;(2)最大值为
2
,最小值为?1
.
?
28
?
【变式演练3】【雅安市2018届高三诊断 】函数
f
?
x
?
?3sinx?3cosx
的最小值是__ ________.
【答案】
-23
.
【解析】因为
f
?
x
?
?3sinx?3cosx
,所以
f
?
x< br>?
?23sin
?
x?
的最小值为
-23
. 故填
-23
.
【变式演练4】已知
f(x)?
(1)求
f(x)
的最小值. ?
(2)
?ABC
中,
A?45
,
b?32
, 边
a
的长为函数
3?3f(x)
的最大值,求角
B
大小及< br>?ABC
的面
?
?
?
?
?
,由于x∈R,所 以函数f(x)
6
?
3(cos
2
x?sin
2
x )?2cos
2
(x?
?
4
)?1
的定义域为[
0 ,
?
2
].
积.
【答案】(1)函数
f(x)
的最小值
?3
;(2)
?ABC
的面积
S?9(3?1)
.
【解析】
考点:1、三角恒等变形;2、解三角形.
【变式演练5】【上海崇明区2018届高三一模 】已知
f
?
x
?
?23sinxcosx?2cosx?1

2
(1)求
f
?
x
?
的最大值及该函数取得最 大值时
x
的值;
(2)在
?ABC
中,
a,b,c
分别是角
A,B,C
所对的边,若
a?

c
的值.
30

?
A
?
7,b?3
,且
f
??
?3
,求
?
2
?


【答案】(1)
x?k
?
?
?
6

2
;(2)
2
.
方法二 配方法
使用情景:函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子
解题模板:第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子,通常采取换元法将其变为
多项式
函数;
第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.
第三步 得出结论.
例2 函数
f(x)?cos2x?2sinx
的最小值为 .
【答案】
【解析】
第一步,先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子,通常采取换元法将其变为多项式函数:

f(x)?cos2x?2sinx
?1?2sin
2
x?2si nx


sinx?t?
?
?1,1
?
,所以y??2t?2t?1

2
第二步,利用函数单调性求解三角函数的最值:
1
上为减函数 所以
y??2t?2t?1

?
?1,?
上为增函数,在
?

22
?
?
第三步,得出 结论:
所以
y
min
??3
,故填.
2
??
1
??
1
?
??
考点:1.二倍角公式;2.一元二 次函数的值域.
【点评】本题解题的关键有两点:一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子 ;二是采用
换元法即令
t?sinx
,将其转化为关于
t
的二次函数 求最值问题.
【变式演练5】【云南保山市2018届第二次市级统测】函数
f
?< br>x
?
?cosx?3sinx?2

?
x?
?
0,
2
?
?
?
?
?
?
?
?2
?
?
?
的最大值是__________.
【答案】
?

【变式演练6】函数
f
?
x
?
?sinx?cosx?2sinxcosx
?
x?
?
?
1

4
?
?
?
??
?
?
,
?
?
的最小值是__________.
?
44
?
?
31


【答案】
?1

【解析】f(x)=sinx+cosx+2 sinxcosx,x∈
?
?
化简f(x)=(sinx+cosx)
2+sinx+cosx﹣1
设sinx+cosx=t,则t=

sin(x) x+
?
??
?
,
?

?
44
?
?

4
?
??
?
,
?

?
44
?
那么函数化简为:g(t)=t
2
+t﹣1.∵x∈
?
?
∴x+
??
∈[0, ],所以:
0?t?1
.∵函数g(t)=t
2
+t﹣1.
42

开口向上,对称轴t=-,∴
0?t?1
是单调递增.

当t=0时,g(t)取得最小值为-1.
求函数
y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx
的最大值与最小值.
24
【高考再现】
1.【2018年全国I卷】已知函数
f
?x
?
?2cosx?sinx?2
,则
22
A.
f
?
x
?
的最小正周期为π,最大值为3
B.
f
?
x
?
的最小正周期为π,最大值为4
C.
f
?
x
?
的最小正周期为

,最大值为3
D.
f
?
x
?
的最小正周期为

,最大值为4
【答案】B
2.【2016高考新课标1卷】已知函数
f(x)?sin(
?
x+
?
)(
?
?0,
?
?
点,
x?
?
2
),x??
?
4

f(x)
的 零
?
4

y?f(x)
图像的对称轴,且
f(x)

?
?
?
5
?
?

?
单调,则< br>?
的最大值为( )
?
1836
?
(A)11
(B)9
(C)7
(D)5
【答案】B

考点:三角函数的性质
32


3. 【201 5高考安徽,理10】已知函数
f
?
x
?
??sin
??
x?
?
?

?

?

?< br>均为正的常数)的最小
正周期为
?
,当
x?
2
?时,函数
f
?
x
?
取得最小值,则下列结论正确的是( )
3
(A)
f
?
2
?
?f
?
?2< br>?
?f
?
0
?
(B)
f
?
0
?
?f
?
2
?
?f
?
?2
?

(C)
f
?
?2
?
?f
?
0
?
?f
?
2
?

(D)
f
?
2
?
?f
?
0
??f
?
?2
?

【答案】A
5.

2018
年全国卷
II
】若
A

B

C


【答案】A
【解析】分析:先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定的最大值

D


在是减函数,则的最大值是


点睛:函数
(1). (2)
周期
的性质:

(3)


求对称轴,
(4)

求增区间
;
由求减区间
.
6.【2015高考湖南,理9】将函数
f(x)?sin2 x
的图像向右平移
?
(0?
?
?
的图像,若对满足
f(x
1
)?g(x
2
)?2

x
1
,< br>x
2
,有
x
1
?x
2
A.
?
2
)
个单位后得到函数
g(x)
min
?
?
3< br>,则
?
?
( )
5
?
???
B. C. D.
12
346
【答案】D. < br>7.

2017
全国
II
文,
13
】函数< br>f(x)?2cosx?sinx
的最大值为
.
【答案】
5

33


8.

2018
年全国卷Ⅲ】函数
【答案】

【解析】分析:求出
详解:


由题可知
解得
,


,或
在的零点个数为
________


的范围,再由函数值为零,得到的取值可得零点个数。


故有3个零点。
点睛:本题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于基础题。
源%库
9. 【2 016高考江苏卷】在锐角三角形
ABC
中,若
sinA?2sinBsinC
,则
tanAtanBtanC
的最小
值是 .
【答案】8.
考点:三角恒等变换,切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中 数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突
破口,斜三角形
ABC
中恒有
tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC
,这类同于正余弦定理, 是一个
关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识 < br>10.【2017全国II理,14】函数
f
?
x
?
?sin
2
x?3cosx?

x?
?
0,
【答案】1 < br>11.

2018
年北京卷】设函数
f

x

=
34

3
4
?
?
?
)的最大值是 。
?
?
2
?
,若对任意的实数
x
都成立,则
ω


的最小值为
__________


【答案】

【解析】分析:根据题意
详解:因为
取最大值,根据余弦函数取最大值条件解得
ω
,进而确定其最小值
.
对任意的实数
x
都成立,所以
,因为
点睛:函数
(1)
(2)
周期
(3)


满足
(4)


求对称轴,最大值对应自变量满足


求增区间
;
由求减区间
.
,最小值对应自变量
.
,所以当
取最大值,所以
时,
ω
取最小值为
.
的性质

12.【2017浙江,18】已知函数f(x)=sin
2
x–cos
2
x–
23
sin x cos x(x
?
R).
(Ⅰ)求
f(
2
?
)
的值.
3
(Ⅱ)求
f(x)
的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(Ⅰ )2;(Ⅱ)最小正周期为
?
,单调递增区间为
[
【解析】
?2
?
?k
?
,?k
?
]k?Z

63

(Ⅱ)由
cos2x?cosx?sinx

sin 2x?2sinxcosx

22
f(x)??cos2x?3sin2x??2si n(2x?
?
)

6
35


所以
f(x)
的最小正周期是
?

由正弦函 数的性质得
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
3
?
?2k
?
,k?Z

2
解得
?
6
?k
?
?x?
2
?
?k
?
, k?Z

3
所以
f(x)
的单调递增区间是
[
?< br>2
?
?k
?
,?k
?
]k?Z

63
【考点】三角函数求值、三角函数的性质
【名师点睛】本题主要考查了三角函数 的化简,以及函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的性 质,属于基础题,
强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及到周期, 单调性,单
调区间以及最值等都属于三角函数的性质,首先都应把它化为三角函数的基本形式即
y?Asin
?
?
x?
?
?
,然后利用三角函数
y ?Asinu
的性质求解.
13.

2018
年北京卷】已知函 数
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若
的最小正周期;

在区间上的最大值为,求的最小值
.
.
【答案】(Ⅰ)
.
(Ⅱ)
.
【解析】
分析:(
1
)将

化简整理成的形式,利用公式可求最小正周期;(
2
)根
,可求的范围,结合函数图像 的性质,可得参数的取值范围
.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
因为
要使得
所以

,即
,所以
.
.
在上的最大值为
1.
上的最大值为,即
.
36


所以的最小值为
.
点睛:本题主要考查三角函数的有关知识,解题时 要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简,
化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性,及公式 中符号的正负.
【反馈练习】
1
.将函数

A


在上的最小值为(



B

C

D


的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于轴对称,则函
【来源】 新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学理科卷
【答案】B

2
.已知函数
的值为(



A

B

C

D


,,且在区间上有最小值,无最大值,则
【来源】【全国市级联考】 辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学(文)试卷
【答案】C
【解析】 分析:首先根据,且在区间内只有最小值,没有最大值,确定函数取
最小值时自变量所满足的条件,之后 确定的表达式,进而求出的值,得到结果
.
详解:如图所示,


因为
又在区间

,且,

内只有最小值,没有最大值,

所以在处取得最小值,

所以,所以,

37




时,
,故选
C.
,此时函数在区间内存在最大值,

点睛:该题考查的是有关三角函数型的函数解析式 中的参数求解问题,在解题的过程中,需要把握
题中的条件,两个自变量对应函数值相等的等价条件是什 么,从而找出对应的等量关系式,再结合
题中的条件在相应区间上没有最大值,对的值进一步确定,求得 结果
.
3
.已知函数
的值为(



A

B

C

D


,,且在区间上有最小值,无最大值,则
【来源】【全国市级联考】 辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题
【答案】D
4.函数
f
?
x
?
?2sin
?
x?
2
?
?
?
?
4
?
?

?2sin
?< br>?
?
??
?
?
?
?
3
?
?
?x
?
cos
?
?x
?
在区间
?
,
?
上的最小值是( )
?
4
??
4
??
24
?
[来源:Z*xx*]
A.
1?2
B. 0 C. 1 D. 2
【来源】【全国省级联考】四川省2018届高三“联测促改”活动数学(文科)试题
【答案】A

5.已知函数
f
?
x
?
?2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
?
?
?
?0,
??
?
,过点
A
?
,0
?

B
?
,2
?
,则且当
2
??
3
??
?12
?
?
?
3
?
?
?
5
?< br>?
x?
?
,
?
,且
g
?
x
?
?2mf
?
x
?
?sin
?
4x?
?< br>的最大值为,则
m
的值为( )
6
?
2
?
?
1212
?

A.
515151
B. C. 和 D. 和
?

828282
【来源】【全国校级联考】河南省中原名校2018届高三上学期第五次联考数学(理) 试题
【答案】B
【解析】由图可知,
1
???
2
?< br>T???
,解得
T?π
,于是
T
??
π
,得
?
?2
.
43124
?
38


因为
f
?
所以
?
2
?
?
?
?
??
2
?
?
,即
sin?
?
?2si n?
?
?2
??
?1
.
???
?
3?
?
3
??
3
?
2
?
π
?< br>?
?
?
??2kπ,k?Z
,又
?
?
,故< br>?
??
.
3226
?
?
所以
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
?
?
?
.
6
?
[来源学*科*网Z*X*X*K]

?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
g
?
x
?
?2mf
?
x
?
?sin
?
4x?
?
?4m?sin
?
2x?
?
?cos
?
?4x
?
?4m?sin
?
2x?
?
?1?2si n
2
?
2x?
?
6
?
6
?
6?
6
????
3
???

?
??
?? 2[sin
?
2x?
?
?m]
2
?2m
2
?1
.
6
??
因为
x?
?
?
?
2
?
?
?
??
?
?
5
?
?
sin2x?
,所以
,
?
,于是
2x??
?
0,
??
?
?
0,1
?
.
?
636
1212
????
??
?
?
①当
m?0
时,当且仅 当
sin
?
2x?
?
?
?
?0
时,
g
?
x
?
取得最大值1,与已知不符;
6
?②当
0?m?1
时,当且仅当
sin
?
2x?
由已知得
2m
2
?1?
?
?
?
?
2
??1
时,
g
?
x
?
取得最大值
2m?1

6
?
31
,解得
m?
.
22
?
?
③当
m?1
时,当且仅当
sin
?
2x?
由已知 得
4m?1?
?
?
?
?1
时,
g
?
x
?
取得最大值
4m?1
.
6
?
35
,解得
m?
,矛盾.
28
1
综上所述:
m?
.
2
故选B. 点睛:已知函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
? B(A?0,
?
?0)
的图象求解析式
y
max
?y
min
y?y
min
.
, B?
max
22
2
?
(2)由函数的周期
T
?
,T?.

(1)
A?
?
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求
?

6. 已知函数
f
?
x
?
?sinx?acosx
?
a? R
?
对任意
x?R
都满足
f
?
?
?
??
?
?
?x
?
?f
?
?x
?
,则函数
?
4
??
4
?
39

< br>g
?
x
?
?sinx?f
?
x
?
的 最大值为
A. 5 B. 3 C.
5
D.
3

【来源】【全国市级联考】吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试数学理试题
【答案】C

7
.函数的最大值是
__________


【来源】【全国市级联考】重庆市2018届高三下学期第三次诊断性考试数学(理)试卷
【答案】

【解析】分析:先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数,再 根据三角函数有界性求
最值
.
详解:因为
所以
即最大值是
.



点 睛:三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为
的形式再 借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特
征.

8
.函数的值域为
__________


【来源】【全 国市级联考】内蒙古鄂伦春自治旗2018届高三下学期二模(420模拟)数学(文)试

【答案】
【解析】∵


∴函数


的值域为



9.设
f
?
x
?
?sinx?3cosx
x?
?
0,
?
?
),则
f
?
x
?
的最大值为__________,此时自变量
x
的值
为_______ ___.
【来源】【全国百强校】浙江省余姚中学2017-2018学年高一4月质量检测数学试题
40


【答案】 2

π
6
10.若函数
f
?
x
?
?msin
?
x?

m
的取值范围为_______.
?
?
?
?
4
?
?

?2sinx
在开区间
?
0,
?
?
7
?
6
?< br>?
内,既有最大值又有最小值,则正实
?
【来源】【全国市级联考】山东省聊城 市2018届高三一模数学(文)试题
【答案】
2?m?3?3

【解析】
f
?
x
?
?
2
2
?
m?2
?
2
?m
2
sin
?
x?
?
?
,
其中
tan
?
?
m7π7π
ππ
,
0 ?x?

?
?x?
?
?

,解得
?
?
?
,故
?
?
,故
{
7π3π
m?26 632
?
?
?
62
?
?
π
2
ta n
?
?
m
π
?tan
,解得
2?m?3?3
.
m?23
?
?
11.函数
f
?
x
?
?2cosxsin
?
x?
为__________.
?
??
??
?
2
?3sinx?sinxcosxx??,
?
时的最大值与最小值之和在
?
?
3
??
46
?
【来 源】【全国百强校】河北省沧州市普通高中高三上学期教学质量监测(联考)数学(文)试题
【答案】1

12.函数
f
?
x
?
? 2cosx
?
3cosx?3sinx?3
的最大值是__________.
?
[来源学科网ZXXK]

【来源】【 全国校级联考】江西省莲塘一中、临川二中2018届高三上学期第一次联考数学(文)试

【答案】
23

【解析】
整理函数的解析式:

f
?
x
?
?23cos
2
x?6sinxcosx?3
1?cos2x
?23??3sin2x?3
2

?3?3cos2x?3 sin2x?3
?
??
??23sin
?
2x?
?
,
6
??
41



13.已知函数
f
?
x
?
?23sinxcosx?1?2cos
2
x< br>。
(1)求
f
?
x
?
的最小正周期:
( 2)求
f
?
x
?
在区间
?
?
?
? ?
?
,
?
上的最大值和最小值。
64
??
【来源】【全国区间联考】2018年北京市门头沟一模文科数学试题
【答案】(1)
T?
?
(2)见解析.

14. 已知函数
f
?
x
?
?2cos
2
x?23sinx cosx?1
.
(1)求函数
f
?
x
?
的最小正周期;
(2)求 函数
f
?
x
?
在区间
?

?
上 的最小值和最大值.
2
【来源】【全国区级联考】石景山区2018年高三理科数学统一测试(一模)
【 答案】(1)
?
;(2)
f
?
x
?
max
?1

f
?
x
?
min
??2

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据三角函数的恒等变换,化简得
f
?
x
??2sin
?
2x?
的最小正周期;
(Ⅱ)由
?
π< br>?
?
?
?
?
π
?
?
,即可求解函数
6
?
π
7ππ13π
,利用正弦型函数的图象与性质,即可求解函数 的最大
?x?
π
,得
?2x??
2666
值与最小值.
试题解析:
2
(1)
f
?
x
?
?2co sx?23sinxcosx?1

?cos2x?3sin2x

?
1
?
π
?
3
?
?2sin2x?

?2
?
cos2x?sin2x
?
??

?2
?
6
?
2
?
??
所以周期为
T?< br>2π
?
π
.
2
42



15.已知
f
?
x
?
?12sin
?
x?
?
?
?
??
?
?
cosx?3,x?0,
?
.
?
?
6
??
4
?
(1)求
f
?
x
?
的最大值、最小值;
(2)
CD
?ABC
的内角平分线,已知
AC?f
?
x
?
max< br>,BC?f
?
x
?
min

CD?22
,求
?C

【来源】【全国校级联考】湖北省荆州中学 、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018
届高三2月联考数学(文)试题
【答案】(1) 见解析 (2)
C?
?
2

【解析】 试题分析:(1)先根据两角和正弦公式展开,再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为
基本三角函数 形式,最后根据正弦函数性质求最值(2)根据角平分线性质得
AD?2BD
,再根据
余弦定理得4(
17?122cos
C2
cC

?44?242co s
,解得
cos?
,即得
?C

22
22
试题解析:(1)
f
?
x
?
?6sin
?
2x?
?
?
?
?
?

6
?
?
??
?
?
?
?
f
?
x
?
?
0,
?
上↑,
?
,
?
上↓
?64
?
?
6
?
?f
?
x
?
m ax
?6,f
?
x
?
min
?3

ADAC

?
c
sin?ADC
sin
2
BDBC

BDC


?
C
sin?BDC
sin
2

ADC
中,
sin?ADC?sin?BDC,AC?6,BC?3

AD?2BD


BCD
中,
BD
2
?17?122cos

c
,

2
43



ACD
中,
AD
2
?44?242cos
CC
?68?482cos

22
?cos
C2
?
?

C?

22
2
?
?
16.已知函数
f
?
x
?< br>?Asin
?
?
x?
?
?
?
?
A? 0,
?
?0
?
的部分图象如图所示.
6
?
(1) 求
A,
?
的值及
f
?
x
?
的单调增区间;
(2)求
f
?
x
?
在区间
?
?
?
??
?
,
?
上的最大值和最小值.
64
??

【来源】【全国校级联考】安徽省宣城市三校(郎溪中学、宣城二 中、广德中学)2017-2018学年高
一1月联考数学试题
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
[来源:学.科.网Z.X.X.K]

(1)根据图象 求得
A?1,T?
?
,可得
?
?2
,故
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
?
?
?
6
?
?
,把
2x?
?
6
看作一个整体,
并根据正弦函数的单调增区间可得函数
f
?
x
?
的单调增区 间。(2)由
?
?
6
?x?
?
4
可得
?< br>?
6
?2x?
?
?
?
2
?
?
?
,根据正弦函数的性质可得
?1?2sin
?
2x?
?
?2
,从而可得函数的最大值和
6
?
63
?
最小值。

(2)∵
?
?
64
??
2
?

??2x??
,
663

?
?x?
?

1
?
??
?sin
?
2x?
?
?1
,
26
??

?1?2sin
?
2x?
??
?
?
?
?2
.
三角函数、解三角形中的实际应用问题
6
?
44


【例 】 (2013·江苏卷)如图 ,游客从某旅游景区的景点A处下山至C
两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道 乘缆车到B,
从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,
处有
然后
速度
为50 mmin.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.
123
假设缆车匀速直线运行的速度为130 mmin,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.
135
(1)求索道AB的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
123
解 (1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,
135
54
所以sin A=,sin C=.
135
从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
5312463
=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
13513565
ABAC
由正弦定理=,得
sin Csin B
AC1 2604
AB=·sin C=×=1 040(m).
sin B635
65
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得
12
d
2
=(100+50t)
2+(130t)
2
-2×130t×(100+50t)×
13
=200(37t
2
-70t+50),
1 040
因0≤t≤,即0≤t≤8,
130
35
故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
37
BCAC
(3)由正弦定理=,
sin Asin B
AC1 2605
得BC=·sin A=×=500(m).
sin B6313
65
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v mmin,
45


5007101 250625
由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
v504314
1 250625
?
所以为使两位游客在C处互相等待的时间 不超过3分钟,乙步行的速度应控制在
?
?
43

14
?< br>(单位:mmin)范围内.
探究提高 与解三角形有关的应用题常见两种情形:一是实际问题 经抽象概括后,已知量与未
知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;二是实际问题 经抽象概括后,已知
量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需要作出这些三角形,然后逐步求解其 他三角形,有
时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.
【训练1】 如图,现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲︵︵︵︵
在AB上取不同于A,B的点C,用渔网沿着AC(AC在扇形AOB的AB上)、半径O C和线段CD(其中
CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若O A=1 km,∠AOB=
π
,∠AOC=θ.
3

(1)用θ表示CD的长度;

(2)求所需渔网长度(即图中AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.
π
解 (1)由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ,
3
2ππ
得∠OCD=θ,∠ODC=,∠COD=-θ.
33
在△OCD中,由正弦定理,
π
23
?
π
?
0,
?
. 得CD=sin
?
3
-θ
?
,θ∈
?
?
3
?3
(2)设渔网的长度为f (θ).
23
?
π
?
由(1)可知,f (θ)=θ+1+sin
?
3
-θ
?

3
23
?
π
?
所以f ′(θ)=1-cos
?
3
-θ
?

3
πππ
0,
?
,所以-θ∈
?
0,
?
. 因为θ∈
?
?
3
??
3
?
3
π
?
3
-θ
=, 令f ′(θ)=0,得cos
?
?
3
?2
πππ
所以-θ=,即θ=.
366
46


列表如下:

θ
f ′(θ)
f (θ)
大值
π
?
π+6+23
?
π
?

π
+1, 且f (0)=2,f
?
=,f
?
6
??
3
?
36
?
0,
π
?

?
6
?


π

6
0

?
π

π
?

?
63
?


?
π+6+23
?
. 所以f (θ)∈
?
2,
?
6
??
?
π+6+23
?
(单位:km). 故所需渔网长度的取值范围是
?
2,
?
6
??
【训练2】 (2017·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中∠ABC=∠BAD
=90 °,AD=DC=2 km,BC=1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分
成面积相等的两部分.

(1)如图1,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;
(2)如图2,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.
解 (1)因为AD=DC=2,BC=1,∠ABC=∠BAD=90°,
所以AB=3.
3
如图1,取AB的中点G,连接EG,则EG=,
2

则四边形BCEF的面积为
1
S=S
梯形
BCEG
+S

EFG

2
梯形
ABCD
47


1113
?
3
?
133
1+
+×即××3×(1+2)=××GF×,解得G F=,
2222
?
2
?
226
所以EF=EG+GF=< br>21
(km).
3
21
km.
3
22
?
3
?

?
3
?

?
2
?
?
6
?
22

答:灌溉水 管EF的长度为
(2)如图2,连接AC,设DE=a,DF=b,

图2
在△ABC中,CA=1
2
+(3)
2
=2,所以在△ADC中,
AD=DC=CA=2,
所以∠ADC=60°,
所以△DEF的面积为S

DEF

13
=absin 60°=ab,
24
133
又S
梯形
ABCD
=×3×(1+2)=, < br>22
1333
所以S

DEF
=S
梯形
AB CD
,即ab=,即ab=3.
244
在△DEF中,由余弦定理,
得EF=a
2
+b
2
-ab≥ab=3,
当且仅当a=b=3时,取等号.
故灌溉水管EF的最短长度为3 km.
答:灌溉水管EF的最短长度为3 km.






48



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