2019年江苏省高中数学优质课-高中数学必修难易排行
第六章 数列
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比
数列的定义，通项公式和前
n
项和公式及运用，等差数列、等比数
列的有关性质。注重
提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求
和法、错位相减求
和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络
数列与正整数集关系
通项公式
递推公式
等差数列
数列
定义
通项公式
中项
前n项的和
等比数列
特殊数列求和方法
公式法
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法
第一课时 数列
四、数列通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系
1．
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
?
?
a
i?1
n
i
?
S
1
2．
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
n?1
n?2
课前热身
3．数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?3n?28n
,则数列各项中最小项是( B )
2
A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项
4．已知数列
?
a
n
?
是递增数列，其通项公式为
a
n
?n?<
br>?
n
,则实数
?
的取值范围是
(?3,??)
2
?
?2
5．数列
?
a
n
?
的前n
项和
S
n
?n?4n?1
,，则
a
n
?
?
?
2n?5
2
n?1
n?2
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：⑴将数列变形为
7777
?(10?1),
(10
2
?1),
(10
3
?1)
，
?,
(10
n
?1)
999
9
⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+
0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为
1?(?1)
n
a
n
?n?
2
点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项
数的一般规律，从而求得通项。
?
S
1
题型二 应用
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?1)
求数列通项
(n?2)
例2．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，分别求其通项公式.
⑴
S
n
?3?2
解析：⑴当
n?1时,a
1
?S
1
?3?2?1
，
当
n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1
?(
3?2)?(3
nn?1
n
1
?2)
?2?3
n?1
又
a
1
?1
不适合上式
，故
a
n
?
1
?
?
n?1
?
2?
3
(n?1)
(n?2)
三、利用递推关系求数列的通项
【例
3】根据下列各个数列
?
a
n
?
的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
a
1
4n
2
?1
1
解析：⑴因为
a
n?1
?a
n
?
，所以
4n
2
?1
1111
a
n?1
?a
n
?
2
?(?)<
br>
4n?1
22n?12n?1
111
所以
a
2?a
1
?(?)
213
111
a
3
?a
2
?(?)
235
111
a
4
?a
3
?(?)
257
?
1
,
2
a
n?1
?a
n?
1
…，…，
111
a
n
?a
n?1
?(?)
22n?32n?1
以上
(n?1)
个式相加得
11
(1?)
22n?1
14n?3
即：
a
n
?1?
?
4n?24n?2
a
n
?a
1
?点拨：在递推关系中若
a
n?1
?a
n
?f(n),
求
a
n
用累加法，若
a
n?1
?f(n),
求
a
n
用累乘法，若
a
n
a
n?1
?pa
n
?q
，求
a
n
用待定系数法或迭代法。
课外练习
3设
a
n
?
111
?
，(n?N
)，则
a
n?1
与a
n
的大小关系是( C
)
????
n?1n?22n?1
A．
a
n?1
?an
B．
a
n?1
?a
n
C．
a
n?1
?a
n
D．不能确定
解：因为
111
??
2n?22n?3n?1
11
???0
2n?32n?2
a
n?1
?a
n
?
所以
an?1
?a
n
，选Ｃ．
二、填空题
2
5．已知数
列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n?n?4n?1，
则
a
n
7．已知数列
?
a
n
?
的通项
?
?2,(n?1)
?
?<
br>?
2n?5,(n?2)
n?98
n?99
?1?
（
n?N
），则数列
?
a
n
?
的前30项中最大项和最小项分
别是
a
10
，a
9
?
解：构造函数
y?
x?98
x?99
99?98
x?99
由函数性质可知，函数在
(??，99)
上递减，且
y?1
函数在
(99，＋?）
上递增且
y?1
又
99?(9，10）
?a
10
?a
11
?a
12
?
??a
30
?1?a
1
?a
2
??
三、解答题
?a
9
?a
10
最大，a
9
最小
等差数列
知识要点
2．递推关系与通项公式
特征：a
n
?dn
?(a
1
?d),
即：a(n)?kn?m,(k,m为常数）
n
?f
a
n
?kn?m，（k,m为常数)
是数列
?
a
n
?
成
等差数列的充要条件。
３．等差中项：
若a,b,c
成等差数列，则
b
称
a与c
的等差中项，
且
b?
a?c
2
；
a,b,c
成等差数列是
2b?a
?c
的充
要条件。
４．前
n
项和公式
S
(a?
a
n
)n
n(n?1)d
n
?
1
2
；
S
n
?na
1
?
2
特征：S
n
?
d
2
n
2
?(a
d
1
?
2
)n,
即S
2
n
?f(n)?An?Bn
S
2
n
?An?Bn(A,B为常数)
是数列
?
a
n
?
成等差数列的充要条件。
5．等差数列
?
a
n
?
的基本性质
(其中m,n,p,q?N
?
)
⑴
若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a<
br>q
反
之，不成立。
⑵
a
n
?a
m
?(n?m)d
⑶
2a
n
?a
n?m
?a
n?m
⑷
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d(常数）（n?N
?
）
?
?
a
n
?
是等
差数列
②中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
（n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数列
③通项公式法：
a
n
?kn?b(k,b为常数)
??
a
n
?
是等差数
列
④前
n
项和公式法：
S
n
?An
2
?B
n(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是
等差数列
课前热身
2．等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?a
12
?120,
则a?
1
9
3
a
11
的值为(C)
A．14 B．15
C．16 D．17
解
a
11
9
?
3
a11
?a
9
?
3
(a
9
?2d)
?<
br>222
3
(a)?
3
a
120
9
?d
8
?
3
?
5
?16
。
3．等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0，S
9
?S
12
，则前10
或11项的和最大。 <
br>解：
?S
9
?S
12
，S
12
?S
9
?0
?a
10
?a
11?a
12
?0，?3a
11
?0，
?a
11
?0，又a
1
?0
∴
?
a
n
?
为
递减等差数列∴
S
10
?S
11
为最大。
4．已知等差数
列
?
a
n
?
的前10项和为100，前100项和
为10，
则前110项和为－110
解：∵
S
10
，S
20
?S
10
，S
30
?S
20
，?，S
110
?
S
100
，?
成等差数列，公差为D其首项为
S
10<
br>?100
，前10项的和为
S
100
?10
?10
0?10?
10?9
2
?D?10，?D??22
又S
110
?S
100
?S
10
?10D
?S
110?100?10?10（??22）??110
y?50n?98?
?
?
n(n
?
12n?
?1)
2
?4
?
?
?<
br>
??2n
2
?40n?98
??2(n?10)<
br>2
?102
所以当n?10时，y
max
?102
６．设等差
数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
?12，S
12
?0，S
13
?0
①求出公差
d
的范围，
②指出
S
1
，S
2
，?，S
12
中哪一个值最大，并说
明理由。
d
an
?f(n)
n
a
n
S
n
?
a
n
?
n?2
解：①
S
12
?6(a
1
?a
12
)?6(a
3
?a
10
)
?6(2a
3
?7d)?0
?24?7d?0
?d??
24
7
又S
13(a
1
?a
13
)
13
?
2
?
13
2
(a
3
?a
11
)
?
13
2
(2a
3
?8
d)?0
?24?8d?0?d??3
从而?
24
7
?d??3②
?S
12
?6(a
6
?a
7
)?0
S
13
?13a
7
?0
?a
7
?0，a
6
?0?S
6
最大。
课外练习
一、 选择题
1． 已知
?
a
n
?
数列是等差数列，
a
10
?10
，其前10
项的和
S
10
?70
，则其
公差
d
等于( D )
A．?
2
3
B．?
1
3
C．
1
3
D．
2
3
2． 已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
7<
br>?a
9
??16，a
4
?1，则a
12
等于（ A
）
A．15 B．30 C．31 D．64
解：?a
7
?
a
9
?a
4
?a
12
?a
12
?15
二、填空题
3． 设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
4?14，S
10
?S
7
?30，则S
9
=54
4． 已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
为
S
n
，若
S
12
?21，则a
2
?a<
br>5
?a
8
?a
11
?
5．
设F是椭圆
x
2
y
2
7
?
6
?1
的右焦点，且椭圆上至
少有21个不同点
P
i
(i?1,2,?)使
P
1
F，P
2
F，P
3
F,?
组成公
差为
d
的等差数列，则
d
的取值范围为
?
?
??
1
10
，0
?
?
?
?
?
?
?
0，
1
?
10
?
?
解：椭圆
的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别
为
(7?1)和（7?1）
，由题意得：
（7?1）?（n?1)d?7?1
?d?
2
n?1
?n?1?20
?d?
1
10
，又d?0
??
1
10<
br>?d?0或0?d?
1
10
三、解答题
6． 等差数列
?<
br>a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
?30，a
20
?50
①求通项
a
n
；②若
S
n
=242，求
n
解：
a
n
?a
1
?(n?1)d
a10
?30，a
20
?50
解方程组
?
?
a<
br>1
?9d?30
?
a
1
?19d?50
?
?
?
a
1
?12
?
d?2
?a
n
?2n?10
由
S
n(n?1)d
n
?na
1?
2
，
S
n
=242
?12n?
n(n?1)
2
?2?242
解得n?11或n??22(舍去）
7． 甲、乙两物体分别从相距70
m
的
两处同时相向运
动，甲第一分钟走2
m
，以后每分钟比前一分钟多
走1
m
，乙每分钟走5
m
，①甲、乙开始运动后几
分钟相遇？②如果甲乙到对方
起点后立即折返，甲
继续每分钟比前一分钟多走1
m
，乙继续每分钟走
5m
，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？
解：①设
n
分钟后第一次相遇，依题意有：
2n?
n(n?1)
2
?5n?70
解得n?7，n??20(舍去）
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设
n
分钟后第二次相遇，则：
2n?
n(n?1)
2
?5n?3?70
解得n?15，n??28(舍去）
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10．已
知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
前
n
和
S
n
?
1
2
(n?1)(a
n
?1)?1
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
③设数列
?
?
1
?
?
的前
n
项和为
T
n<
br>，是否存在实
?
a
n
a
n?1
?
数
M
，使得
T
n
?M
对一切正整数
n
都成立？若存<
br>在，求
M
的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵
S
1
n
?
2
(n?1)(a
n
?1)?1
?
S
n?1
?
1
2
(n?2)(a
n?1
?1)?1
?a
n?1
?S
n?1
?S
n
?
1
2
?
(n?2)(a
n?1
?1)?(n?1)(a
n
?
1)
?
整理得，na
n?1
?(n?1)a
n
?
1
?(n?1)a
n?2
?(n?2)a
n?1
?1
?(n
?1)a
n?2
?na
n?1
?(n?2)a
n?1
?(n
?1)a
n
?2(n?1)a
n?1
?(n?1)(a
n?2
?a
n
)
?2a
n?1
?a
n?2
?
a
n
∴数列
?
a
n
?
为等差数列。
②
a
1
?3，na
n?1
?(n?1)a
n?1
?a
2
?2a
1
?1?5
?a
2
?a
1
?2
即等差数列
?
a
n
?
的公差为2
?a
n
?a
1
?(n?1)d?3?(n?1)?2<
br>?2n?1
③
?
11
?
a
n<
br>a
n?1
(2n?1)(2n?3)
1
?
11
??
??
2
?
2n?12n?3
?
1111111
?T
n
?(???????)
235572n?12n?3
11
1
?(?)
232n?3
1
又当n?N
?
时，T
n
?
6
?
要使得
T
n
?M
对一切正整数n
恒成立，只要
M
≥
1
，所以存在实数
M
使得
T
n
?M
对一切正整数
n
6
都成立，
M
的最小值为
1
。
6
等比数列
知识要点
1． 定义：如
果一个数列从第二项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列
，这个常数叫做等比数列的公比，记为
①
若m?n?p?q，则a
m
?
a
n
?a
p
?a
q
反之
不真！
②
q
n?m
q，（q?0)
。
2． 递推关系与通项公式
?
a
n
2
，a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N
?
)
a
m
递推关系：a
n?1
?qa
n
通项公式：a
n
?a
1
?qn?1
推广：a
n
?a
m
?q
n?m
3．
等比中项：若三个数
a,b,c
成等比数列，则称
b
为
③?
a
n
?
为等比数列，则下标成等差数列的对应项
成等比数列。
?
仍 ④
q??1时，S
n
，S
2n
?Sn
，S
3n
?S
2n
，
成等比数列。
6．
等比数列与等比数列的转化
①
?
a
n
?
是等差数列
?
c
等比数列；
②
a与c
的等比中项，且为
b??ac，注：b
2
?ac<
br>是成等比数列的必要而不充分条件。
4． 前
n
项和公式
??a
n
(c?0，c?1)
是
?
a
n
?
是正项等比数列
(q?1)
?
na
1
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?
a
n
q
?
?
1?q
?
1?q
(q?1)<
br>
?
?
log
c
a
n
?
(c?0，
c?1)
是等差数列；
③
?
a
n
?
既是等
差数列又是等比数列
?
?
a
n
?
是各
?
5
． 等比数列的基本性质，
(其中m,n,p,q?N)
项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
①定义法：
a
n?1
a
?q（常数）?
?
a
n
?
为等
比数列；
n
②中项法：
a
2
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n
?<
br>为
等比数列；
③通项公式法：
a
n
n
?k?q(
k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比数列；④前
n
项
和法：
S
n
?k(1?q
n
)（k,q为常数）?
?
a
n
?
为等比数
列。
1．
设f(n)?2
?2
4
?2
7
?2
10
???2
3n?10
(n?N
?
)，则f(n)等于（D）
A．
2
(8<
br>n
?1)B．
2
7
(8
n?1
7
?1)
C．
2
7
(8
n?3
?1)D．
2
7
(8
n?4
?1)
2． 已知数列
?
a
n
?
是等比数列，且
S
m
?10，S
2m
?30，则S3m
?
70 （问题引入）
猜想：
?
b
1
n
?
是等比数列，公比为
2
。
证明如下：∵
ba
111
n?1
?
2n?1
?
4
?
2
a<
br>2n
?
4
?
1
(a
11
2n?1
2
?
4
)?
4
?
1
2
(a
11
2n?1
?
4
)?
2
b
n
即：
b
n?1
b
?
1
2
，∴
?
b
1
n
?
是首项为
a?
，公比
n
4
为
1
2
的等比数列。
二、性质运用
例2：⑴在等
比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
6
?33，a
3
a
4
?32，a
n
?a
n?
1
①求
a
n
，
②若
T
n
?l
ga
1
?lga
2
???lga
n
,求T
n
⑵在等比数列
?
a
n
?
中，若
a
15
?0
，则有等式
a
1
?a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a
29?n
(n?29，
n?N
?
)
成立，类比上述性质，相应的
在等比数列
?
b<
br>n
?
中，若
b
19
?1
则有等式
成
立。
解：⑴①由等比数列的性质可知：
a
1
?a
6
?a
3
?a
4
?32
又a
1
?a
6
?33，a
1
?a
6
解得a
1
?32，a
6
?1
所以
a<
br>6
a
?
1
，即q
5
?
1
，?q?<
br>1
1
32322
所以a(
1
n
?32?)
n
?1
?2
6?n
2
②由等比数列的性质可知，
?
lga
n
?
是等差数
列，因为
lga
n
?lg2
6?n
?(6?n)lg2，lga
1<
br>?5lg2
所以T
(lga
1
?lga
n
)n
n(11?n)
n
?
2
?
2
lg2
⑵
由题设可知，如果
a
m
?0
在等差数列中有
a
1
?
a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a<
br>2m?1?n
(n?2m?1，n?N
?
)
成立，我们知道
，如果
若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?
a
q
，而对于
等比数列
?
b
n
?
，则有<
br>若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
所以可以得
出结论，若
b
m
?1，则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
2m
?1?n
(n?2m?1，n?N
?
)
成立，在本题中
则有b
1
b
2
?b
n
?b
1
b
2
?b
37?n
(n?37，n?N
?
)
点拨
：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积
性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。
典例精析
一、 错位相减法求和
例1：求和：
S
123n
n
?
a
?
a
2
?
a
3
???<
br>a
n
解：⑴
a?1时，S?3??n?
n(n?1)
n
?1?2
2
⑵
a?1时，因为a?0
S
123n
n<
br>?
a
?
a
2
?
a
3
???
a
n
①
112
a
S
n?1
n
n
?
a
2
?
a
3
???
an
?
a
n?1
②
由①－②得：
(1?<
br>1
a
)S
111n
n
?
a
?
a2
???
a
n
?
a
n?1
1
(1?<
br>1
?
a
a
n
)
1?
1
?
n
a
n?1
a
所以S
a(a
n
?1)?n(a?1)
n
?
a
n
(a?1)
2
综上所述，?
n(n?1)
(a?1)
S
?
?
?
?
a(a
n
?1)
2
n
?
?n(a?1)
?
?
a
n
(a?1)
2
a?1)
点拨：①若数列
?
a
n
?
是等差数列，
?
b
n
?
是
等比数列，
则求数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项和时，可采用错位
相减法；
②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为
1进行讨论；
③当将
S<
br>n
与
q
S
n
相减合并同类项时，注意错
位及未合并项
的正负号。
二、 裂项相消法求和
例2：数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8，
a
4
?2，且a
n?2<
br>?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
?
）
①求数列
?
a
n
?
的通项公式；
则
d?
a
4
?a
1
4?1
??2
所以，
a
n
=8＋（
n
－1）×（－2）＝―10－2n
b
1
n
?
n(14?a
?
1n
)2n(n?2)
?
1
4
(
1
n
?
1
n?2
)
所以
②
T
n
?b
1<
br>?b
2
???b
n
?
1
?
4<
br>?
?
(
1
1
?
1
3
)?(
1
2
?
111
?
4
)???(
n
?
n?2
)
?
?
?
11
4
(1?
112
?
n?1
?
n?2
)
?
311m
8
?
4(n?1)
?
4(n?2)
?
32
对一切
n?N
?
恒成立。
?m?12?
8
?
8<
br>?2
对一切n?N
?
n?1n
恒成立。
对n?N
?<
br>，（12?
88
n?1
?
n?2
)
min
?
12?
8816
故
1?1
?
1?2
?
3<
br>所以m?
16
3
m
的最大整数值为5。
点拨：①若数列?
a
n
?
的通项能转化为
f(n?1)?f(n)
的形
式，常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，
消去了哪些项，保留了哪些项。
三、
奇偶分析法求和
例3：设二次函数
f(x)?x
2
?x，当x?
?
n，n?1
?
1． 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
=1，前
n
项和
S
n
满足
S
2n
4n?2
?，n?1，2，?
S
n
n?1
①求数列
?
a
n
?
的通项公式
②记
b
n
?a
n
p
项和
T
n
。
解：①设数列
a
n
(1?p)T
n
?p?p
2???p
n
?np
n?1
p(1?p
n
)
??
np
n?1
1?p
p(1?p
n
)np
n?1
所以
T
n
??
2
1?p
(1?p)
n(n?1)
??
?
2
即：T
n
?
?
n
p(1?p)
np
n?1
?
?
2
?
1?p
(1?p)
?
(p?0)
，求数列
?
b
n
?
的前n
(p?1)
(p?1)
?
a
n
?
的公差为<
br>d
，由
S
2n
S
?
4n?2
，n?1，2，
?
n
n?1
得
a
1
?a
2
a<
br>?3，所以a
2
?2
1
即d?a
2
?a
1<
br>?1
又
4n?2
S
2n
n?1
?
S
n
(a
n
?nd?a
1
)2n
?
2(a
n
?a
1
)n
2
?
2(a
n?n?1)
a
n
?1
所以
a
n
=
n<
br>
②由
b
a
n
n
?a
n
p(p?0
)
，有
b
n
?np
n
所以
T?2p<
br>2
?3p
3
???np
n
n
?p
①
当p?1时，T
n(n?1)
n
?
2
当p?1时，
pT
n
?p
2
?2p
3
???(n?
1)p
n
?np
n?1
②
①－②得
课外练习
１． 数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
n
?
n(n?1)
，则S
5
等于（ B ）
A．1B．
5
6
C．
1<
br>6
D．
1
30
解：因为a
111
n
?
n(n?1)
?
n
?
n?1
所以S
11
12)?(
1
2
?
1
3
)???(
11
5
?(?
5
?
6
)
?
5
6
４．
f(x)
的定义域为
R
，且
f(x)
是以2为周期的
周期函数，数列
?
a
n
?
是首项为
a(a?N?
)
，公差为
1的等差数列，那么
f(a
1
)?f(a
2
)???f(a
10
)
的
值为（ C ）
A．－1 B．1 C．0 D．10
a
解：因为函数
f(x)
的定义域为
R
，且
f(x)
是
以2为周期
的周期函数，
所以
f(0）?0，且f(x?2)?f(x)
又数列?
a
n
?
是首项为
a
，公差为1的等差数列
所以a
n
?a?n?1，又a?N
?
f(a
?
f(a)（n为奇数）
n
)?
?
?
f(a?1)（n为偶数）所以f(a
1
)?f(a
2
)???f(a
10
)?5f(a)?5f(a?1)
?5
?
f(0)?f(1)
?
?5f(1)
又f(?1)f(?1?2)?f(1)
所以?f(1)?f(1)即f
(1)?0
故原式=0，选C。
二、填空题
５．设等比数列
?
a
n
?
的公比与前
n
项和分别为
q
和
Sn
，且
q
≠1，
S
10
?8，则
S
2
0
1?q
10
?8
方法一、
a
1
(1?
q
10
)
1?2
?8
?
S
20
a
1
(1?q
20
)
1?q
10
?
(1?q
10
）(1?q)
?8
方法二、S
20
?S
10
?
a
11
?a
12
???a
20
?S
10
?q
10
S
10
?S
10
(1?q
10<
br>)
所以
S
20
1?q
10
?S
10
?8
6．数列
?
a
n
?
满足
a
n
?
12n
n?1
?
n?2
?
L
?
n?1<
br>，
又b
2
n
?
，则数列
?
ab
n
?
的前
n
项和为
8n
n
a
n?1
n?1
解：
a
n
?
1
n?1<
br>(1?2?
L
?n)?
n
2
b?
28
n
a
?
n(n?1)
=
11<
br>n
a
n?1
8(
n
?
n?1
）
所
以b
1
?b
?8
?
1
2
?
L
?b
11
n
111
?
?
(
1
?
2)?(
2
?
3
)?
L
?(
?
n
?
n?1
)
?
?8
?
1
?
?
1
?
?
8n
?
n?1
?
?
?
n?1
数列
1，
1
2
，
1
2
，
1
3，
1
3
，
1
3
，
1
4
，111
4
，
4
，
4
，?
的前100项
13
9
14
。（
n?N
?
）
７．
的和为
典例精析
一、 函数与数列的综合问题
例1：已知f(x)?log
a
x(a?0且a?1)，
设f(a
1
)，f(a
2
)，?，f(a
n
)(n?N
?
)
是首项为4，公差为2的等差数列。
①设
a
是常数，求证：
?
a
n
?
成等差数列；
②若
b
n
?an
f(a
n
)
，
?
b
n
?
的
前
n
项和是
S
n
，当
a?
解：①
f(a<
br>n
)?4?(n?1)?2?2n?2
，
2
时，求
S
n
即log
a
a
n
?2n?2，所以a
n
?a
2n?2
2n?2
a
n
a
所以?
2n
?a
2
(n?2)为定值
a
n?1
a
所以
?
a
n
?
为等比数列。
②
b
n
?a
n
f(a
n
)
?a
2n?2
log
a
a
2n?2
?(2n?2)a
2
n?2
当a?2时，
b
n
?(2n?2)?(2)
2n?2
?(n?1)?2
n?2
S
n
?2?2
3
?3?2
4
?4?2
5
???(n?1)?2
n?2
两式相减得
?S
n
?2?2
3
?2
4
?2
5
???2n?2
?(n?1)?2
n?3
2
4
(1?2
n?1<
br>)
?16??(n?1)?2
n?3
1?2
所以S
n
?n?2
n?3
征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公
式，从而问题得到求解。
１． 已知正项数列
?
a
n
?
的
前
n
项和为
S
n
，
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列；
2S
n?2?2
4
?3?2
5
???n?2
n?2
?(n?1
)?2
n?3
点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特
1
S
n
是与(a
n
?1)
2
的等比中项，
4
②若
b
n
?
a
n
，数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求<
br>T
n
2
n
③在②的条件下，是否存在常数
?
，使得数列
?
?
T
n
?
?
?
<
br>?
为等比数列？若存在，试求出
?
；若不存在，说明理由。
?
a
n?2
?
解：①
1
S
n
是与(a
n?1)
2
的等比中项，
4
1
(a
n<
br>?1)
2
4
1
当n?1时，a
1
?(a
1<
br>?1)
2
，?a
1
?1
4
1
2
当n?2时，S
n?1
?(a
n?1
?1)
4<
br>所以a
n
?S
n
?S
n?1
所以S
n
?
1
22
(a
n
?a
n?1
?2a
n<
br>?2a
n?1
)
4
即(a
n
?a
n?1)(a
n
?a
n?1
?2)?0
?
因
为a
n
?0，所以a
n
?a
n?1
?2?0
即：a
n
?a
n?1
?2
所以数列
?
a
n
?
是等差数列。
②
T
n
?3?
2n?3
n
2
<
br>T
n
?
?
2n?31
?(3??
?
)?
n
a
n?2
2n?3
2
?
3?
?
1
?
n
2n?3
2<
br>?
T
n
?
?
?
所以当且仅当3+
?
=0，即
?
=－3时，数列
??
为等比数列。
a
?
n?2
?
２． 已知在正项数列
?
a
n
?
中，
a
1
=2，且
22
在双曲线
y?x?1
上，
A
n
(a
n
，a
n?1
）
数列
?
b
n
?
中
，
点（
b
n
，
T
n
）在直线
1
y??x?1
上，其中
T
n
是数列
?
b
n
?
的前
n
项和，①求数列
?
a
n
?
的通项
公式；②求证：数列
?
b
n
?
是
2
等比数列。③若
C
n
?a
n
?b
n
，求证：C
n?1?C
n
。
解：①由已知带点
A
n
(
22在
y?x?1
上知，
a
n
，a
n?1
）
a
n?1
－
a
n
＝１，所以数列
?
a
n
?
是以2为首
项，以1为公差的等差数列。
所以
a
n
?a
1
?(n?1)d?n?1
②因为点（
b
n
,
T
n
）在直线
y??
1
x?1
上，
2
1
所以T
n
??
b
n
?1
2
1
所以T
n?1
??b
n?1
?1
2
两式相减得：
11
b
n
?Tn
?T
n?1
??b
n
?b
n?1
22
1
所以b
n
?b
n?1
，
3
12
令n?
1得b
1
??b
1
?1，所以b
1
?
23
2
所以
?
b
n
?
是一个以为首项，
3<
br>1
以为公比的等比数列。
3
212
所以b
n
??()
n?1
?
n
333
③
C
n
?a
n
?b
n
?(n?1)?
2
n
3
所以C
n?1
?C
n
?(n?2)?
2
3
n?1
?(n?1)
2
3
n
?
2
3
n?1
?(?2n?1)?0
所以C
n?1
?C
n
一、选择题
1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.
【解析】由得，，则， ，选C.
答案 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =
A. 2 B. C.
【解析】设公比为q
,则＝1＋q3＝3 q3＝2
于是
【答案】B <
br>14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_______
___。
答案 4 5 32
解析 （1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，
故得m=4。
（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 .
解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .
答案：1
22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得
=
23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于.
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴.
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵，
∴，
从而，
∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知.
，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列.
25（2009江苏卷）对于
正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对
于随机选
取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。
（1）求和；
（2）求证：对任意正整数≥2，有.
【解析】
[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
（1）当时，求通项
（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
解：（1）由得
将代入化简得
所以
故数列为等比数列，从而
即
可验证，满足题设条件.
(2) 由题设的值仅与有关,记为则
考察函数
,则在定义域上有
故对， 恒成立.
又 ,
注意到,解上式得
取,即有 .
30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
解（I）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(II)由（I）得，所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时
所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知
，对一切的正整数，都有
证法2：当时
综上所述，当，当时
31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？
若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（I）当时，
又
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，
…………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知
∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分
（III）由得
又，
当时，，
当时，
32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有
,
则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：
A组：①数列是B-数列,
②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-
数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是
==
所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，
.
由n的任意性知，数列不是B-数列。
命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-
数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有
.
因为
.
记，则有
.
因此.
故数列是B-数列.
33.
(2009陕西卷理) 已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：。
证明（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知
35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1
）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n
若== 1，d=2，q=3，求
的值；
若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；
(Ⅲ)
若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。
本小题主要考查等差数列的通项公式、
等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能
力及综合分析和解决问题的
能力的能力，满分14分。
（Ⅰ）解：由题设，可得
所以，
（Ⅱ）证明：由题设可得则
①
②
式减去②式，得
式加上②式，得
③
式两边同乘q，得
所以，
(Ⅲ)证明：
因为所以
若，取i=n
若，取i满足且
由（1）,(2)及题设知，且
当时，得
即，…，
又所以
因此
当同理可得，因此
综上，
37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
若，是否存在，有说明理由；
找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立。
．．．．．．5分
（2）若，即， （*）
（ⅰ）若则。
当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。
．．．．．．7分
（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只
有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分
【解法二】设
则
若d=0，则
若（常数）即，则d=0，矛盾
综上所述，有， 10分
（3）
设.
，
. 13分
取 15分
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,
故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数
故此等式不成立，所以，p一定为奇数。
当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，
而3k=(4-1)k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立
1分
当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分
当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立.
2分
三、解答题
10.（2008全国I）设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
（Ⅰ）证明：，
故函数在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可
若存在某满足，则由⑵知：
若对任意都有，则
，即成立.
11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9
a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.
Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n
≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行
起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表
中第k(k≥
3)行所有项和的和.
12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增
解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …… ①
于是．
……②
由②－①得． …… ③
于是． …… ④
由④－③得， …… ⑤
所以，即数列是常数数列．
（II）由①有，所以．由③有，，所以，．
而
⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且
．
即所求的取值集合是．
（III）解法一：弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数．
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即弦的斜率随单调递增．
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，
所以，．
故，即弦的斜率随单调递增．
5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）
数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值 （ ）
A．10 B．9 C．8
D．7
答案：A.