高中数学圆锥曲线知识点汇总

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高中数学知识点—圆锥曲线部分
一、平面解析几何的知识结构：


二、考点（限考）概要：
1、椭圆：
（1）轨迹定义：
①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨 迹是椭
圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：
；
②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是
个常 数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
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用集合表示为：
；

e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
（2）标准方程和性质：
x
2
y
2
①范围：由标准方程
2
?
2
?1
知
|x|?a
，
|y|?b
，说明椭圆位于直线
x??a
，
ab
y??b
所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以
? y
代替
y
方程不变，所以若点
(x,y)
在曲线上时，点
( x,?y)
也在曲线上，所以曲线关于
x
轴对称，同理，以
?x
代替
x
方程不变，则曲线关于
y
轴对称。若同时以
?x
代替x
，
?y
代替
y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于
x
轴、
y
轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点 是对称中
心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求 出曲线与
x
轴、
y
轴的交点坐标。在椭
圆的标准方程中，令
x?0
，得
y??b
，则
B
1
(0,?b)
，B
2
(0,b)
是椭圆与
y
轴的两个交点。
同理令y?0
得
x??a
，即
A
1
(?a,0)
，< br>A
2
(a,0)
是椭圆与
x
轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段
A1
A
2
、
B
1
B
2
分别叫做椭圆的长 轴和短轴，它们的长分别为
2a
和
2b
，
a
和
b< br>分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a
；在
Rt?OB
2
F
2
中，
|OB
2
|?b
，
|OF
2
|?c
，
|B
2F
2
|?a
，且
|OF
2
|
2
?|B
2
F
2
|
2
?|OB
2
|
2，即
c
2
?a
2
?b
2
；
④离心率 ：椭圆的焦距与长轴的比
e?
c
叫椭圆的离心率。∵
a?c?0
，∴
0?e?1
，
a
椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成 为极限位置的圆，则认为圆是椭
圆在e=0时的特例。当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的 线段
为是椭圆在e=1时的特例。
，此时也可认
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⑤、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个< br>焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形
圆的各性质（除切线 外）均可在这个图中找到。

。则椭

⑥利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、
B两点的坐标分 别为，则弦长

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。


⑦若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为
；
AB，则


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注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：

（θ为参数）；
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2、双曲线：
（1）轨迹定义：
①定义 一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点
的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离 是焦距。用集合表示为：

②定义二：到定点的距离和它到一条定直 线的距离之比是个常数
e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离 心率。
用集合表示为：

e
越大，双曲线的开口越阔

（2）标准方程和性质：


x
2
y
2
①范围：从标准方程
2
?
2?1
，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线
ab
x??a
的外 侧。即
x
2
?a
2
，
x?a
即双曲线在两条直线< br>x??a
的外侧。
x
2
y
2
②对称性：双曲线2
?
2
?1
关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双
ab
x
2
y
2
曲线的对称轴，原点是双曲线
2
?
2
?1
的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中
ab
心。 < br>x
2
y
2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
2
?
2
?1
的方程里，
ab
对称轴是
x, y
轴，所以令
y?0
得
x??a
，因此双曲线和
x
轴有两个交点
x
2
y
2
A(?a,0)A
2
(a, 0)
，他们是双曲线
2
?
2
?1
的顶点。
ab
令
x?0
，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意 ：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶
点分别是实轴的两个端点 。
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2）实轴：线段
AA
2
叫做双曲线的实轴，它的长等于
2a,a
叫做双曲线的实半轴 长。虚
轴：线段
BB
2
叫做双曲线的虚轴，它的长等于
2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条 直线即称为
x
2
y
2
双曲线的渐近线。从图上看，双曲线
2
?
2
?1
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接
ab
近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：
a?b
；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
y??x
；（2）渐近线互相垂直 ⑶离心率
e?2
.。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其 一，即可推知双曲线为
等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a?b
，则等轴双曲线可以设为：
x?y?
?
(
?
?0 )
，
当
?
?0
时交点在
x
轴，当
??0
时焦点在
y
轴上。
22
x
2
y
2
y
2
x
2
??1
与
??1
的区别：三个 量
a,b,c
中
a,b
不同（互换）
c
相同，⑥注意
169916
还有焦点所在的坐标轴也变了。
4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴 ，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线
x
2
y
2
x
2y
2
?
2
?
?
?
2
??
?< br>2
2
ab
ab
的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近 线：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
. 区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换）c相同,它们共用一对渐近线。双
曲 线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

x
2
?
y
2
b
2
5）共渐近线的双曲线系方程：< br>a
2
?
?
(
?
?0)
x
2
的渐近线方程为
a
2
?
y
2
b
2
?0如果双曲
x
2
y
2
x
y
?
2
?
?
(
?
?0)
??0
2
ab
ab
线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
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6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：
实 轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形。



7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近
线的斜率的绝对值就 越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的
离心率越大，它的开口就越阔。
8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
10、过双曲线
一个公共点的情况如下：
外一点P（x,y）的直线与双曲线只有
（1）P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行
的直线和分别与双曲线两支 相切的两条切线，共四条；
（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有 两条与渐近线平行
的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直
线，一条是切线；
（4）P为原点时不存在这样的直线；

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注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

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3、抛物线：
（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的 距离相等的点的轨迹是抛物
线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合 表示为
：
（2）标准方程和性质：


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注意;
①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；
②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；
③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
说明：
（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点 ：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称
中心，没有渐近线；
注意强调
p
的几何意义：是焦点到准线的距离。
p
⑶设抛物线的标 准方程为
y
=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为
2
，顶点 到准
2
p
线的距离
2
，焦点到准线的距离为p.
⑷抛物线
y
=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
2
MF?x< br>0
?
p
2
y
2
；抛物线=-2px(p>0)
MF?
上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
p
?x
0
2

⑸、抛物线
则有如下结论：
的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且 ，

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⑹、结合图形熟 记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：
准线、焦点弦；梯形：直角梯 形ABCD。

⑺、对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算；
⑻、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于
对称轴的直线；
4、圆

⑴、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆
心
，定长r为半径.
⑵、方程：①标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2 ②一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方 程，
(?
圆心为
DE
,?)
22
半径是
D
2
?E
2
?4F
2
。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为
D
E
D
2
(x+
2
)2+(y+
2< br>)2=
?E
2
-4F
4

D
E
②当 D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-
2
,-
2
);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
⑶点与圆的位置关系 已知圆心C( a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r
?
点
M在圆C内 ，｜MC｜=r
?
点M在圆C上，｜MC｜＞r
?
点M在圆C内，其中｜MC ｜
=
(x
0
-a)
2
?(y
0
-b)2
。
⑷直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相 交
?
有两个公共点；直线与圆相切
?
有一个公共点；直线与圆相离
?
没有公共点。
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. . ⑸直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0 的距离
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
与半径r的 大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：
为点P到定直线的l 距离，
，其中F为定点，d
， e为常数，其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，
正常数e称为离心率。(平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点
的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。)如图。

当0＜e＜1时，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的
轨迹是抛物线。


四、椭圆、双曲线、抛物线
椭圆
1． 到两定点F
1
,F
2
的距离之
和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
（0双曲线
1．到两定点F
1
,F
2
的距离之差的
绝对值为定值2a( 0<2a<|F
1
F
2
|)
的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（e>1）
抛物线
定义
与定点和直线的距离相等的
点的轨迹.
轨迹条件
点集：({M｜｜MF
1
+｜MF
2
｜
=2a,｜F
1
F
2
｜＜2a}.
点集：{M｜｜MF
1
｜-｜MF
2
｜.
=±2a,｜F
2
F
2
｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点M到直
线l的距离}.
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图形

方
标准

方程

程
x
2
y
2
??1
(
a?b
>0)
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
(a >0,b>0)
a
2
b
2
y
2
?2px


参数
方程
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
范围
中心
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
x?0

顶点 (a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
(0,0)
对称轴 x轴
焦点 F
1
(c,0), F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2
准 线
a
2
x=±
c
准线垂直于长轴，且在椭圆
外.
a
2
x=±
c
准线垂直于实轴，且在两顶点的
内侧.
2c （c=
a?b
）
22
x=-
p

2
准线与焦点位于顶点两侧，
且到顶点的距离相等.

焦距
2c （c=
a?b
）
22
离心率
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
e=1
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五、圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因 为位置的改变而
改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上
ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；
ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称；
ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
②定量：


六、圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）
以焦点在x轴上的方程为例：
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七、问题处理
Ⅰ 中点弦:处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设
为曲线上不同的两点，
间关系：
是的中点，则可得到弦中点与两点

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方
程， 消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后
把交点坐标代入曲 线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件△
＞0是否成立。
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Ⅱ直线与圆锥曲线的位置关系
?
?
几何角度(主要适用于直线与圆的位置关 系)
关系
?
?
直线与圆锥曲线的位置
直线与圆锥曲线位置关系）??
代数角度（适用于所有
1.直线与圆锥曲线
?
?
利用一般弦 长公式（容易）
?
直线与圆锥曲线相交的弦长问题
?
?
繁琐）
?
利用两点间距离公式（
?
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何 角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线
只有一个交点；当直线 与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程 与圆锥曲线的方程联立得到
ax
2
?bx?c?0
。
①. 若
a
=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若
a?0
，设。
a
.
??0
时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.
??0
时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.
??0
时，直线和圆 锥曲线没有公共点，
相离。
Ⅲ弦长问题：
??b
2
?4ac

直线与圆锥曲线相交时的 弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根
据根与系数的关系，进行整体代入。即当直 线
斜率为k
与圆锥曲线交于点
A
?
x
1
,y
1
?
，
??
B
?
x
2
,y
2< br>?
时，则
AB
=
1?k
2
x
1
? x
2
=
1?k
2
1?
=

















?
x
1
?x
2
?
2
?4x
1
x
2


11
1?
k
2
y
1
?y
2
=
k
2
?
y
1
?y
2
?
2
?4y
1
y< br>2
6、曲线与方程：
（1）轨迹法求曲线方程的程序：
①建立适当的坐标系；
②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)；
③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；
④化简方程f(x,y)=0为最简形式；
⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）曲线的交点：
由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有
几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就 没有公共点。
欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您 宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑 ，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜 者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑 暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。
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