高中数学知识点总结 第十五章复数

高中数学第十五章 复数
考试内容：
复数的概念．
复数的加法和减法．
复数的乘法和除法．
数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、
除法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
§15. 复 数 知识要点
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i
2
??1
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
a，b?R
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
b?0
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且
b?0
时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c? di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若
z
1
, z
2
为复数，则
1
?
若
z
1
?z
2
?0
，则
z
1
??z
2
.（×）[
z< br>1
,z
2
为复数，而不是实数]
2
?
若
z
1
?z
2
，则
z
1
?z
2
?0< br>.（√）
②若
a,b,c?C
，则
(a?b)
2
? (b?c)
2
?(c?a)
2
?0
是
a?b?c
的 必要不充分条件.（当
(a?b)
2
?i
2
，
(b?c)
2
?1,(c?a)
2
?0
时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：
d?z
1
?z
2
.
其中
z
1
，z
2
是复平面内的两点
z
1< br>和z
2
所对应的复数，
d表示z
1
和z
2
间 的距离.
由上可得：复平面内以
z
0
为圆心，
r
为半径的 圆的复数方程：
z?z
0
?r（r?0）
.
⑵曲线方程的复数形式：
①
z?z
0
?r表示以z
0
为圆心，r为半径的圆的方程.
②
z?z
1
?z?z
2
表示线段
z
1z
2
的垂直平分线的方程.
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③
z?z
1
?z?z
2
?2a（ a?0且2a?z
1
z
2
）表示以Z
1
，Z
2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程
（若
2a?z
1
z
2
，此方程表示线段
Z
1
，Z
2
）.
④
z?z< br>1
?z?z
2
?2a（0?2a?z
1
z
2
），
表示以
Z
1
，Z
2
为焦点，实半轴长为a的双曲线方程
（若
2a?z
1
z
2
，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设
z
1
，z
2
是不等于零的复数，则
①
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.
左边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R，且
?
?0）
，右边取等号 的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R ，
?
?0）
.
②
z
1
?z
2
? z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.
左 边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
??R，
?
?0）
，右边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R，
?
?0）
.
注：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A< br>3
A
4
???A
n?1
A
n
?A
1
A
n
.
3. 共轭复数的性质：
z?z

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z?z?2a
，
z?z?2bi
（
z?
a + bi）
z?z?|z|
2
?|z|
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?
z
1
?
?
z
2
?
?
z1
?
?
（
z
2
?0
）
z
n
?(z)
n

?
z
2
?
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4 ⑴①复数的乘方：
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?
z
n
?
?
z
?
?z
?
?z
?< br>...
?
z(n?N)

n
②对任何
z
，< br>z
1
,z
2
?C
及
m,n?N
?
有
③
z
mn
?z
n
?z
m?n
,(z
m
)
n
?z
m?n
,(z
1
?z
2)
n
?z
n
?z
12

注：①以上结论不 能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如
i
2
??1,i
4< br>?1
若由
i?
2
1
4
2
(i)
1< br>?1
2
?1
就会得到
?1?1
的错误结论.
②在实数集成立的
|x|?x
2
. 当
x
为虚数时，
|x|?x
2
，所以复数集内解方程不能采用两边平
方法.
⑵常用的结论：
i
2
??1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n
?1

i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3< br>?0,(n?Z)

(1?i)
2
??2i,
若
?< br>1?i1?i
?i,??i

1?i1?i
1
1
是的立方虚数根，即
?
???
则
?
.
5. ⑴复数
z
是实数及纯虚数的充要条件：
①
z?R?z?z
.
②若
z?0
，
z
是纯虚数
?z?z?0
.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同
一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：
|z|?|z|
.
6. ⑴复数的三角形式：
z?r(cos
?
?isin
?
)
.
辐角主值：
?
适合于0≤
?
＜
2
?
的值， 记作
argz
.
注：①
z
为零时，
argz
可取
[0,2
?
)
内任意值.
②辐角是多值的，都相差2
?
的整数倍.
③设
a?R
?< br>,
则
arga?0,arg(?a)?
?
,argai?
⑵复 数的代数形式与三角形式的互化：
a?bi?r(cos
?
?isin
?< br>)
，
r?a
2
?b
2
，
cos
?< br>?
ab
,sin
?
?
.
rr
?
3
?1,
?
2
?
?
,
?
?,1?
?
?
?
2
?0,
?
n
?
?
n?1< br>?
?
n?2
?0(n?Z)
1
2
3
i
2
，
?
2
,arg(?ai)?
3
?
.
2
⑶几类三角式的标准形式：
r(cos
?
?isin
?
)?r[cos(?
?
)?isin(?
?
)]

?r(cos
?
?isin
?
)?r[cos(
?
?
?
)?isin(
?
?
?
)]

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r(?c os
?
?isin
?
)?r[cos(
?
?
?)?isin(
?
?
?
)]

r(sin
?< br>?icos
?
)?r[cos(
?
2
?
?
) ?isin(
?
2
?
?
)]

7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于
x
的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
时，应注意下述问题：
①当
a,b,c?R
时，若
?
＞0，则有二不等实数根
x
1,2
?
x< br>1,2
??
?b??
；若
?
=0，则有二相等实数根
2a
?b?|?|i
b
；若
?
＜0，则有二相等复数根
x< br>1,2
?
（
x
1,2
为共轭复数）.
2a
2a
②当
a,b,c
不全为实数时，不能用
?
方程根的情况.
③不论
a,b,c
为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
r
1
(cos
?
1
?isin
?
2
)?r
2
(cos
?
2
? isin
?
2
)?r
1
r
2
[cos(
?
1
?
?
2
)?isin(
?
1
?
?
2
)]

r
1
(cos
?
1
? isin
?
2
)r
1
?[cos(
?
1
?
?
2
)?isin(
?
1
?
?
2
)]

r
2
(cos
?
2
?isin
?< br>2
)r
2
棣莫弗定理：
[r(cos
?


?isin
?
)]
n
?r
n
(cosn
?
?isinn
?
)

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