高中数学导数与定积分知识点

高中数学知识点—导数、定积分
一．课标要求：
1．导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历 由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，
了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数 的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x
2
，y=x
3
， y=1x，y=x 的导数；
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函
数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；
③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了 解函数的单调性与导数的关系；能利
用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 ；
② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会
用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次
的多项式函数最大值、最小值；体会导数 方法在研究函数性质中的一般性和有效
性。
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际
问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题 情境中了解定积
分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了
解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积
高中数学

分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中数学文化
的要求。
二．命题走向
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在
高考中考察形式多种 多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、
运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其 它数学知识结合起来，综合考察利
用导数研究函数的单调性、极值、最值.
三．要点精讲
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x
0
处有增量
?x
，那么函数y相应地有增量
?y
=f
（x
0
+
?x
）－f（x
0
），比值
化率，即
?y
叫做函数y=f（ x）在x
0
到x
0
+
?x
之间的平均变
?x
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
=。
?x
?x
如果当
?x?0
时，
?y
有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x
0
处可导，并
?x
把这个极限叫做f（x）在点 x
0
处的导数，记作f’（x
0
）或y’|
x?x
0
。
即f（x
0
）=
lim
说明：
（1）函数f（x） 在点x
0
处可导，是指
?x?0
时，
存在极限，就说函数在点x0
处不可导，或说无导数。
（2）
?x
是自变量x在x
0处的改变量，
?x?0
时，而
?y
是函数值的改变量，
可以是零 。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x
0
处的导数的步骤（可由学生来
归纳）：
（1）求函数的增量
?y
=f（x
0
+
?x
）－f（x
0
）；
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
=
lim
。
?x
?x
?x? 0?x?0
?y?y
有极限。如果不
?x?x
高中数学

（2）求平均变化率
?y
f(x
0
??x )?f(x
0
)
=；
?x
?x
（3）取极限，得导数f’ (x
0
)=
lim
2．导数的几何意义
?y
。
?x?0
?x
函数y=f（x）在点x
0
处的导数的几何意义是 曲线y=f（x）在点p（x
0
，f
（x
0
）） 处的切线的斜率 。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x
0
，f（x
0
））
处的切 线的斜率是f’（x
0
）。相应地，切线方程为y－y
0
=f

（x
0
）（x－x
0
）。
3．常见函数的导出公式．
（１）
(C)
?
?0
（C为常数） （２）
(x
n
)
?
?n?x
n?1

（３）
(sinx)
?
?cosx
（４）
(cosx)
?
??sinx

4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
u?v)
'
?u
'
?v
'
.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上
第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.

若C为常数,则
(Cu)
'
?C
'
u?Cu
'
?0?Cu
'
?Cu
'
.即常数与函数的积的 导数等
于常数乘以函数的导数：
(Cu)
'
?Cu
'
.

法则3两个函数的商的导 数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数
u'v?uv'
?
u
?与分子的积，再除以分母的平方：
??
‘=（v
?
0）。
2< br>v
?
v
?
形如y=f
?
?
(x)
?
的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导
——回代。法则：y＇|
X< br>= y＇|
U
·u＇|
X

5．导数的应用
（1 ）一般地，设函数
y?f(x)
在某个区间可导，如果
f
'
(x)< br>?0
，则
f(x)
为
高中数学

增 函数；如果
f
'
(x)?0
，则
f(x)
为减函数；如果在 某区间内恒有
f
'
(x)?0
，则
f(x)
为常数； （2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值
点左侧切线的斜率为正 ，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧
为正；
（3）一般地，在区间[a， b]上连续的函数f
(x)
在[a，b]上必有最大值与最
小值。①求函数?
(x)
在(a，b)内的极值； ②求函数?
(x)
在区间端点的值?(a)、
?(b)； ③将函数?
(x )
的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，
其中最小的是最小值。
6．定积分
（1）概念
设函数
f
(
x
)在区间 [
a
，
b
]上连续，用分点
a
＝
x
0<
x
1
<…<
x
i
－1
<
x
i
<…
x
n
＝
b
把区
间[
a
，< br>b
]等分成
n
个小区间，在每个小区间[
x
i－1
，
x
i
]上取任一点
ξ
i
（
i
＝1，2，…
n
）作和式
I
n
＝
?
f
(ξ
i< br>)△
x
（其中△
x
为小区间长度），把
n
→∞即△< br>x
→0时，
i＝1
n
和式
I
n
的极限叫做函 数
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的定积分 ，记作：
?
f(x)dx
，即
a
b
?
b
a
f(x)dx
＝
lim
?
f
(ξ
i
)△< br>x
。
n??
i?1
n
这里，
a
与
b
分别叫做积分下限与积分上限，区间[
a
，
b
]叫做积分区间，函
数
f
(
x
)叫做被积函数，
x
叫做积分变量，f
(
x
)
dx
叫做被积式。
基本的积分公式：
?
0dx
＝
C
；
?
x
m
dx
＝
x
x
11
（
m
∈Q，
m
≠－1）；?
dx
x
m?1
＋
C
m?1x
a
x< br>＝ln
x
＋
C
；
?
edx
＝
e＋C；
?
adx
＝＋
C
；
?
cosxdx＝sin
x
＋
C
；
?
sinxdx
＝
lna
x
－cos
x
＋C（表中
C
均为常数）。
（2）定积分的性质
①
?
kf(x)dx?k
?
f(x) dx
（
k
为常数）；
aa
bb
高中数学

②
?
f(x)?g(x)dx?
?
f(x )dx?
?
g(x)dx
；
aaa
bbb
③
?< br>b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)d x
（其中
a
＜
c
＜
ac
cb
b
)
。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线
x
＝
a，
x
＝
b
（
a
<
b
），
x< br>轴及一条曲线
y
＝
f
（
x
）(
f
(
x
)≥0)围成的曲边梯的面积
S?
?
f(x)dx
。 < br>a
b
如果图形由曲线
y
1
＝
f
1
(
x
)，
y
2
＝
f
2
(
x
)（不妨设
f
1
(
x
)
≥
f
2
(
x
)≥0），及直线
x
＝
a
，
x
＝
b
（a<
b
）围成，那么
所求图形的面积
S
＝
S
曲边梯形
AMNB
－
S
曲边梯形
DMNC
＝
?
b
a
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
。
a
b
四．典例解析
题型1：导数的概念
例1．已知s=
1
2
（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….
gt
，
2
各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度 。
解析：（1）
?
3,3.1
?
,?t?3.1?3?0.1,? t指时间改变量；

?s?s(3.1)?s(3)?

v?
11
g3.1
2
?g3
2
?0.30.5
?
9
s
指时间改变量。
22
?s0.3059
??3.059
。
?t1
其余各段 时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的
平均速度后，即用多媒体出示，让学生 思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度
?s< br>?t
?s
随变化而变化，
?t
越小，
?t?t
?s< br>的极限，
?t
越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是
?t?0时，
V=
lim
=
?x?0
?s
lim
?t< br>=
?x?0
11
(3??t)
2
?g3
2
2 g2
s(3??t)?s(3)
?
lim

?x?0
?t< br>?t
1
g
lim
（6+
?t)
=3g=29.4(米 秒)。
2
?x?0
高中数学

例2．求函数y=
解析：
?y?
4
的导数。
x
2
444?x(2x??x)
???
，
(x??x)< br>2
x
2
x
2
(x??x)
2
?y2x??x
??4?
2
，
2
?x
x(x??x)
?
lim
?y
?lim
?x?0
?x
?x?0
?
2x ??x
?
8
=-。
?4?
?
3
22
?< br>x(x??x)
?
x
?
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数
的定义奠定基础。
题型2：导数的基本运算
例3．（1）求
y?x(x
2
?
（2）求
y?(x?1)(
1
x
11
?
3
)
的导数；
x
x
?1)
的导数；
xx
（3）求
y?x?sincos
的导数；
22
x
2
（4）求y=的导数；
sinx
（5）求y＝< br>3x
2
?xx?5x?9
x
的导数。
解析：（1）
?y?x
3
?1?
（2）先化简,
y?x?
13
12
'2
,
?y?3x?.

23
xx
1
x
?x?
1
x
?1??x?x
1
2
?
1
2< br>
1
?
2
1
?
2
?1
?
1
?
?
y??x?x?
?
1?
?
.

22
2x
?
x
?
'
（3）先使用三角公式进行化简.
xx1
y?x?sincos?x?sinx

222
111
??
?y
'
?
?
x?sinx
?
?x
'
?(sinx)
'
?1?cosx.

222
??
'
高中数学

(x
2
)'sinx?x
2
*(sinx)'2xsinx?x
2
cosx
（4）y’==；
sin
2
xsin
2
x
（5）
?
y＝
3x
－x＋５－
9x
3
2
3
2
?
1
2

1
2
31
?
y’＝ ３*（x）＇－x＇＋５＇－９
(x
）＇＝３*
x
2
－１＋０－９* （－）
22
x
?
3
2
1
＝
91
x (1?
2
)?1
。
2
x
点评：（1）求导之前，应利用代 数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然
后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（ 2）有的函数虽然表
面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。
例4．写出由下列函数复合而成的函数：
（1）y=cosu,u=1+
X
2
（2）y=lnu, u=lnx
解析：（1）y=cos(1+
X
2
)；
（2）y=ln(lnx)。
'''
点评：通过对y=（3x-2
)
2
展开求导及按复合关系求导，直观的得到
y
x
=
y
u< br>.
u
x
.
给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。
题型3：导数的几何意义
例5．（1）若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程
为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0
C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

（2）过点（ －1，0）作抛物线
y?x
2
?x?1
的切线，则其中一条切线为（ ）
（A）
2x?y?2?0
（B）
3x?y?3?0
（C）
x?y?1?0
（D）
x?y?1?0

解析：（1） 与直线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
，即
y?x
4
在某
一点的导数为4，而
y
?
?4x
3
，所以
y?x
4
在(1，1)处导数为4，此点的切线为
4x?y?3?0
，故选A；
高中数学

（2）
y
?
?2x?1
，设切点坐标为
(x
0
,y
0)
，则切线的斜率为2
x
0
?1
，且
2
y0
?x
2
1
，于是切线方程为
y?x
0
?x< br>0
?1?(2x
0
?1)(x?x
0
)
，因为点（－ 1，0）
0
?x
0
?
在切线上，可解得
x
0
＝0或－4，代入可验正D正确，选D。
点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例 6．（1）半径为r的圆的面积S(r)＝
?
r
2
,周长C(r)=2
?
r，若将r看作(0，
＋∞)上的变量，则(
?
r
2
) `＝2
?
r
○
1，
○
1式可以用语言叙述为：圆的面积 函
数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变
量，请你写 出类似于
○
1的式子：
○
2；
○
2式可
以用语言叙述为： 。
（2）曲线
y?
1
和
y?x
2
在它们交点处的 两条切线与
x
轴所围成的三角形面
x
积是 。
44
4
?
＝4
?
R
2
故
○?
＝4
?
R
2
，解析：（1）
V
球
＝
?
R
3
，又2式可填
（
?
R
3
） （
?
R
3
）
33
3
用语言叙述为“球的体积函数的 导数等于球的表面积函数。”；
（2）曲线
y?
1
和
y?x
2
在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是
x
3
。
4
y=－x+2和y=2x－1，它们与
x
轴所围成的三角形的面积是
点评： 导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问
题有很好的效果。
题型4：借助导数处理单调性、极值和最值
例7．（1）对于R上可导的任意函数
f
（x），若满足（x－1）
f
?
（x）
?0，则
必有（ ）
A．f（0）＋f（2）?2f（1） B. f（0）＋f（2）?2f（1）
C．f（0）＋f（2）?2f（1） D. f（0）＋f（2）?2f（1）
（2）函数
f(x)
的定义域为开区间(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图
所示，则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值 点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
高中数学

（3）已知函数
f
?x
?
?
1?x
?ax
（Ⅰ）设
a?0
，讨论< br>y?f
?
x
?
的单调性；（Ⅱ）
e
。
1?x
若对任意
x?
?
0,1
?
恒有
f
?
x
?
?1
，求
a
的取值范围。
解析：（1）依题意，当 x?1时，f?（x）?0，函数f（x）在（1，＋?）上是
增函数；当x?1时，f?（x）?0， f（x）在（－?，1）上是减函数，故f（x）当
x＝1时取得最小值，即有f（0）?f（1），f （2）?f（1），故选C；
（2）函数
f(x)
的定义域为开区间
(a, b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如 图
所示，函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值的点即函数由 减函数变为增函数的点，
其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。
（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)=
ax
2
+2－a
－ax
e。
(1－x)
2
2x
2
－2x
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= , f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)
2
e
(1－x)
均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数；
(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.；
a－2
<1, 令f '(x)=0 ,解得x
1
= －
a
a－2
, x
2
=
a
(ⅲ)当a>2时, 0<
a－2
；
a
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
x (－∞, －
a－2
)
a
f
'(x)
＋
(－
(
a－2
,
a
－
a－2
)
a
a－2
,
a
1)
＋ ＋
(1,+∞)
高中数学

f(x) ↗ ↘
a－2
), (
a
↗ ↗
f(x)在(－∞, －
a－2
,
a
a－2
,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－
a
a－2
)为减函数。
a
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1；
1
(ⅱ)当a>2时, 取x
0
=
2
a－2
∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x
0
)a
1+x
>1且e
－ax
≥1，
1－x
(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有
得：f(x)=
1+x
－ax
1+x
e≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈
1－x1－x
(0,1)恒有f(x)>1。
点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负
对应原函数增减。
例8．（1）
f(x)?x
3
?3x
2
?2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值是（ ）
(A)－2 (B)0 (C)2
(D)4
（2）设函数f(x)=
2x
3
?3(a?1)x
2
?1 ,其中a?1.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
解析： （1）
f
?
(x)?3x
2
?6x?3x(x?2)
，令< br>f
?
(x)?0
可得x＝0或2（2舍去），
当－1?x?0时，f
?
(x)
?0，当0?x?1时，
f
?
(x)
?0，所以当x＝0时，
f
（x）取得
最大值为2。选C；
（2）由已知 得
f
'
(x)?6x
?
x?(a?1)
?
，令f
'
(x)?0
，解得
x
1
?0,x
2
?a?1
。
（Ⅰ）当
a ?1
时，
f
'
(x)?6x
2
，
f(x)
在
(??,??)
上单调递增；
高中数学

'
f(x),f(x)
随
x
的变化情况如下表： 当
a? 1
时，
f
'
(x)?6x
?
，
x?a?1
?
??
??
x

f
'
(x)

f(x)

(??,0)

0
0
极大值
(0,a?1)

a?1

0
极小值
(a?1,??)

+

?


?


从上表可知，函数
f(x)
在
(??,0)
上单调递增；在
(0,a?1)
上单调递减；在
(a?1,??)
上 单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
a?1
时，函数
f(x)
没有极 值；当
a?1
时，函数
f(x)
在
x?0
处取得极大值，在
x?a?1
处取得极小值
1?(a?1)
3
。
点评：本小 题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以
及运用数学知识解决实际问题的能力。
题型5：导数综合题
例9．设函数
f(x)??x
3
?3x?2< br>分别在
x
1
、x
2
处取得极小值、极大值.
xoy< br>平面
上点
A、B
的坐标分别为、，该平面上动点
P
满足
PA?PB?4
,
（x
1
,f(x
1
)）（x
2
,f(x
2
)）
点
Q
是点
P
关于直线y?2(x?4)
的对称点.求
(I)求点
A、B
的坐标；
(II)求动点
Q
的轨迹方程.
解析： (Ⅰ)令
f
?< br>(x)?(?x
3
?3x?2)
?
??3x
2
?3? 0
解得
x?1或x??1
；
当
x??1
时,
f
?
(x)?0
， 当
? 1?x?1
时,
f
?
(x)?0
，当
x?1
时，< br>f
?
(x)?0
。
所以,函数在
x??1
处取得极 小值,在
x?1
取得极大值,故
x
1
??1,x
2
?1
,
f(?1)?0,f(1)?4
。
所以, 点A、B的坐标为
A(?1,0),B(1,4)
。
（Ⅱ） 设
p(m,n)
，
Q(x,y)
，
PA?PB?
?
?1?m,?n
?
?
?
1?m,4?n
?
?m
2
?1?n
2
?4n?4
，
高中数学

1y?n1
k
PQ
??
，所以
??
。
2 x?m2
又PQ的中点在
y?2(x?4)
上，所以
y?m
?
x?n
?
?2
?
?4
?
，消去
m,n
得
2
?
2
?
?
x?8
?
2
?
?
y?2
?
2
?9
。
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
例10．已知函数
f(x)?x?si nx
,数列{
a
n
}满足:
0?a
1
?1,an?1
?f(a
n
),n?1,2,3,.
1
证明:(ⅰ)0?a
n?1
?a
n
?1
；(ⅱ)
a
n?1< br>?a
n
3
。
6
证明: （I）．先用数学归纳法证明
0?a
n
?1
，ｎ＝1,2,3,…
(i).当n=1时,由已知显然结论成立。
(ii).假设当n=k时结论成立,即
0?a
k
?1
。
因为0f
'
(x)?1?cosx?0
,所以f(x)在(0, 1)上是增函数。
又f(x)在[0,1]上连续，从而
f(0)?f(a
k
)?f(1),即0?a
k?1
?1?sin1?1
.故
n=k+1时,结 论成立。
由(i)、(ii)可知，
0?a
n
?1
对一切正整数都成立。 < br>又因为
0?a
n
?1
时，
a
n?1
?an
?a
n
?sina
n
?a
n
??sina< br>n
?0
，所以
a
n?1
?a
n
，综上所述
0?a
n?1
?a
n
?1
。
（II）．设 函数
g(x)?sinx?x?x
3
，
0?x?1
，
由（I）知，当
0?x?1
时，
sinx?x
，
x
2
x
2
x
2
x
2
2
x
从而g(x)?cosx?1???2sin???2()??0.
所以g (x)在(0,1)
22222
'
1
6
上是增函数。
又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0，所以当
0?x?1
时，g (x)>0成立。
11
于是
g(a
n
)?0,即sina
n
?an
?a
n
3
?0
．故
a
n?1
?a< br>n
3
。
66
点评：该题是数列知识和导数结合到一块。
题型6：导数实际应用题
高中数学

例11．请您设计一 个帐篷。它下部的形状
是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为
3m的正六棱锥（如右图 所示）。试问当帐篷的顶
点
O
到底面中心
o
1
的距离为多少 时，帐篷的体
积最大？
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及 运用数学
知识解决实际问题的能力。
解析：设OO
1
为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为
。
3
2
?(x?1)
2?8?2x?x
2
（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m
2
）：
3
2
?(x?1)
2
?6
333
( 8?2x?x
2
)
2
?(8?2x?x
2
)
。
42
帐篷的体积为（单位：m
3
）：
V(x)?
333< br>?
1
?
(8?2x?x
2
)
?
(x?1)? 1
?
?(16?12x?x
3
)

2
?
3
?
2
3
(12?3x
2
)
；
2
求导数，得
V
?
(x)?
令
V
?
(x)?0
解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1V
?
(x )?0
,V(x)为增函数；当2V
?
(x)?0
,V (x)为减函
数。
所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO
1
为2m时，帐篷的体积最大。
点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。
例12．已知函数f(x)=x
3
+ x
3
，数列｜x
n< br>｜(x
n
的第一项x
n
＝1，以后各项按如下方式取定：曲线
x=f(x)在
(x
n?1
,f(x
n?1
))
处的切线与 经过（0，0）和
＞0)
高中数学

（x
n
,f (x
n
)）两点的直线平行（如图）求证：当n
?N
*
时，
2
(Ⅰ)x
2
n
?x
n
?3x
n?1
? 2x
n?1
;

11
（Ⅱ）
()
n?1
? x
n
?()
n?2
。
22
证明：（I）因为
f< br>'
(x)?3x
2
?2x,
所以曲线
y?f(x)
在
(x
n?1
,f(x
n?1
))
处的切线
2
斜率
k
n?1
?3x
n
?2x
n?1
.

?1
2
?x
n
,
所以因为过
(0,0
和< br>(x
n
,f(x
n
))
两点的直线斜率是
x
n
2
x
n
?x
n
?3x
n?1
2
?2x
n?1
.
2
?x
n
?3x
n?1
2
?2x
n?1
（II）因为函数
h(x)?x
2
?x< br>当
x?0
时单调递增，而
x
n
?4x
n?1
2
?2x
n?1
?(2x
n?1
)
2
?2x
n?1
，
所以
x
n
?2x
n?1
，即
x
n?1
1
xx
x
1
?,
因此
x
n
?
n
?
n?1
?????
2
?()
n? 1
.

x
n
2x
n?1
x
n?2
x
1
2
y
n?1
1
?.

y
n< br>2
22
2
y?x?x
n
,
则又因为
x
n
令
?x
n
?2(x
n
?x),
nn
n ?1
?1
11
因为
y
1
?x
1
2
?x
1
?2,
所以
y
n
?()
n?1
?y
1
?()
n?2
.

22
111
2
因此
x
n
?x
n
?x
n
?()
n?2< br>,
故
()
n?1
?x
n
?()
n?2
.
< br>222
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的
证明， 同时考查逻辑推理能力。
题型7：定积分
例13．计算下列定积分的值
（1）< br>?
(4x?x)dx
；（2）
?
(x?1)dx
；（3）?
(x?sinx)dx
；（4）
?
2
?
cos
2
xdx
；
?11
3
2
2
?
5
?
?
2
0
2
解析：（1）
高中数学

2
111
2
（2）因为
[(x ?1)
6
]
?
?(x?1)
5
，所以
?
( x?1)
5
dx?(x?1)
6
|
1
?
；
1
666
（3）

（4）

例14．（1）一 物体按规律x＝bt
3
作直线运动，式中x为时间t内通过的距
离，媒质的阻力正比于 速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作
的功。
（2）抛物线y=ax2
＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴
所围成的图形的面积记为S ．求使S达到最大值的a、b值，并求S
max
．
解析：（1）物体的速度
V?
dx
?(bt
3
)
?
?3bt
2
。
dt
媒质阻力
F
zu
?kv
2
?k(3bt
2
)
2
?9kb
2
t
4
，其中k为比例常数，k >0。
a
当x=0时，t=0；当x=a时，
t?t
1
?()3
，
b
1
又ds=vdt，故阻力所作的功为：
W
zu
?
?
F
zu
ds?
?
kv?vdt?k
?
vdt?k
?
(3bt
2
)
3
dt?
000
t
1
2
t
1
3
t
1
27< br>3
7
27
3
72
kbt
1
?kab

77
（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x
1
= 0，x
2
=
高中数学

－ba，所以
S?
?
(ax
2
?bx)dx?
0
?
b
a1
3
b
(1)
6a
2
又直线x＋y=4与抛物线y= ax
2
＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
?
x?y?4
由方程组
?

2
?
y?ax ?bx
得ax
2
＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)
2
＋16a=0．
于是
a??
1
(b?1)
2
,
代入（1）式得：
16
128b
3
128b
2
(3?b)
； S(b)?,(b?0)
，
S
?
(b)?
6(b?1)
4
3(b?1)
5
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3 时，S'(b)＞0；当b
＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值 ，即a=－1，b=3
时，S取得最大值，且
S
max
?
9
。
2
点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。
五．思维总结
1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主
主要考查：
（1）函数的极限；
（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；
（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。
2．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，
巩固概念为目标。





高中数学