高中数学常用的初中数学知识

平方根、算数平方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“
?a
”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“
a
”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a
（
a
?
0）
a?0

a
2
?a?
；注意
a
的双重非负性：
-
a
（
a
<0）
a
?
0
方程（组）
一元一次方程的概念
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方 程，其中方程
ax?b?（0x为未知数，a?0）
叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数 x的系数，b是常
数项。
一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
， 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边
是零，其中
ax
2
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常
数项。
一元二次方程的解法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适
用于解形如
(x?a)
2< br>?b
的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
x?a
是b的平方根，当
b?0
时，
x?a??b
，
x??a?b
，当b<0时，方程没有 实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用， 而且在数学的其他领域
也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
a
2?2ab?b
2
?(a?b)
2
，把公式中的
a看做未知数x， 并用x代替，则有
x
2
?2bx?b
2
?(x?b)
2。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的求根公式： x?
?b?b
2
?4ac
2a
(b
2
?4ac ?0)

4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法 ，这种方法简单易行，是解一元二
次方程最常用的方法。
一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
中，
b
2
?4ac
叫做一元二次方程
ax
2
?b x?c?0(a?0)
的根的判别式，通常用“
?
”来表示，即
??b
2
?4ac

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
c
1
，x
2
，那么
x
1
?x
b
2
??
a
，
x
1
x
2
?
a
。也
就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项
系数所得的 商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根： 将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是
原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其 应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，
一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是
（
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组的
解。
5、二元一次方正组的解法
（1）代入法（2）加减法
6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
不等式（组）
不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知 数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的
解。
对于一个含有 未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等
式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：
一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个 未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不
等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
一次函数与反比例函数
平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴 叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为
正方向；两轴的交点O（即公 共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，
叫做坐标平面。
为了便于描述 坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做
第一象限、第二象限、第 三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念 < br>点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标
的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a?b
时，（a，b）和（b，a）是两个 不同
点的坐标。
不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限
?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
?y?0
，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
?x?0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上
?
x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上
?
x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
?
x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称
?
横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称
?
纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称
?
横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
x

（3）点P(x,y)到原点的距离等于
x
2
?y
2

函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在 某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与
它对应，那么就说x 是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以 用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表
示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果< br>y?kx?b
（k，b是常数，k
?
0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数
y?kx?b
中的b为0时，
y?kx
（k为常数，k
?
0）。这时，y叫做x的
正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一 次函数
y?kx?b
的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数
y?kx
的图像是经过原点（0，
0）的直线。
k的符号 b的符号 函数图像 图像特征
y



b>0 0 x
图像经过一、二、三象限，y随x的增大

而增大。


k>0

y



b<0 0 x
图像经过一、三、四象限，y随x的增大

而增大。



y



b>0
图像经过一、二、四象限，y随x的
0 x
增大而减小


K<0


y


b<0
图像经过二、三、四象限，y随x的
0 x
增大而减小。



注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
y?kx
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
y?kx?b
有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
y?kx
（k
?
0）中的 常数k。确定一个一
次函数，需要确定一次函数定义式
y?kx?b
（k
?< br>0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法
是待定系数法。
反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数
y?
k
（k是常数，k
?
0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成
y?kx
?1
x< br>的形式。自变量x的取值范围是x
?
0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一 、三象限，或第二、四
象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x
?
0，函 数y
?
0，所以，它的图像与x轴、
y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐 标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例
函数
y?
k
x
(k?0)

k的符号
k>0 k<0

y y



O x O x
图像




①x的取值范围是x
?
0， ①x的取值范围是x
?
0，
y的取值范围是y
?
0； y的取值范围是y
?
0；
性质 ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 ②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，y 在第二、四象限。在每个象限内，y
随x 的增大而减小。 随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定
确定及诶 是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数
y?
k
x
中，只有一个待定系数 ，因此只
需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数
y?
kx
(k?0)
图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的
矩形PM ON的面积S=PM
?
PN=
y?x?xy
。
?y?
k
x
,?xy?k,S?k
。
二次函数
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果
y?a x
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
，那么y叫做x 的二次函数。 y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
x??
b
2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称
轴
（2）求抛物线
y?ax
2
?bx?c
与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对
称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、
D三点可粗略地画出二 次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、
B，然后顺次连接五点，画出二 次函数的图像。
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1 ）一般式：
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

（2）顶点式：
y?a(x?h)
2
?k(a,h,k是常数，a?0)
< br>（3）当抛物线
y?ax
2
?bx?c
与x轴有交点时，即对应二次好 方程
ax
2
?bx?c?0
有实根
x
1
和
x
2
2
存在时，根据二次三项式的分解因式
ax?bx?c?a(x?x1
)(x?x
2
)
，二次函数
y?ax
2
?b x?c
可转化为两根式
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)< br>。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的最值
如果自变 量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
x??
时，
y
最值
?
4ac?b
4a
2
（3）在对称轴的左侧，即当 x<
?
b
2a
时，y随x的（3）在对称轴的左侧，即当x<
?b
2a
时，y随x
b
2a
增大而减小；在对称轴的右侧，即当x >
?
随x的增大而增大，简记左减右增；
b
2a
时，y的增大而增 大；在对称轴的右侧，即当x>
?
时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
b
2a
。
b
2a
如果自变量的取值范围是
x1
?x?x
2
，那么，首先要看
?
内，若在此范围内，则当x=
?
b
是否在自变量取值范围
x
1
?x?x
2
（4）抛物线有最低点，当x=
?
b
2a
时，y有最小值，（4）抛物线有 最高点，当x=
?
值，
y
最大值
?
b
2a
时，y有最大
；若不在此范围内，则需要考虑函数在
4a
x
1
?x? x
2
范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
x?x
2
时，
2a
y
最大
?ax
2
?bx
2
?c
，当
x?x
1
时，
y
最小
?ax
1
?bx
1
?c
；如果在此范围内，y随x的增大
22
时，< br>y
最值
?
4ac?b
2
y
最小值
?
4ac?b
4a
2

4ac?b
4a
2

2、二次函数
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
中，a、b、c
的含义：
a
表示开口方向：
a
>0时，抛物线开口向上

a
<0时，抛物线开口向下
b
与对称轴有关：对称轴为x=
?b
2a
22
而减小，则当
x?x
1
时，
y最大
?ax
1
?bx
1
?c
，当
x?x
2
时，
y
最小
?ax
2
?bx
2
?c< br>。

二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
a>0

y











O
x


（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=
?
性质
二次函数
（0，
c
）
c
表示抛物线与y轴的交点坐标：
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
a<0
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)



y











O x
因此一元二次方程中的
??b
2
?4ac
，在二次函数中表示图 像与x轴是否有交点。
当
?
>0时，图像与x轴有两个交点；
当
?
=0时，图像与x轴有一个交点；
当
?
<0时，图像与x轴没有交点。
补充
：函数平移规律（中考试 题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮
助，可以大大节省做题的时间）
左加右减、上加下减
图像
锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA ，即
sinA?
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，
?A的邻 边b
?
即
cosA?
斜边c
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记为tanA，
?A的对边a
?
即
tanA?
?A的邻边b
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，
?A的邻边b
?
即
cotA?
?A的对边a
?A的对边
斜边
?
a
c

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
，（2）对称轴是x=
?b
2a
，顶点坐标是（
?
b
2a
b
2a
，顶点坐标是（
?
b
2a
，
4ac?b
4a
2< br>）；
4ac?b
4a
2
）；

2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα
0
1
2

3

1
2

22
cosα
1
3

2

1

0
22
2
tanα
0
3

1
3
3

不存在
cotα
不存在
3

1
3

0
3
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
sin
2
A?cos
2
A?1

（3）倒数关系
tanA
?
tan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=
sinA
cosA

5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
l?
n
?r
180

2、扇形面积公式
S
扇
?
n360
?
R
2
?
1
2
lR

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
S?
1
2
l?2
?
r?
?
rl

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

坐标系中对称点的特征
（3分）
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即 点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，
-y）
2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对
称 点为P’（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中 ，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对
称点为P’（-x，y）