高中数学选修2 2第二章-高中数学老师在家长会上的说话
初高中数学衔接读本
数学是一门重要的课程,其地位不容置疑,同学们在初中
已经学
过很多数学知识,这是远远不够的,而且现有初高中数学知识存在以
下“脱节”:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于
二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”
的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不
作要求,但高中教材许多
化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、
分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是
高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初
中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。配方、作简
图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、
求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必
须掌握的基本题型与
常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关
系(韦达定理)
在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高
中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安
排专门的讲授。
目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3二次根式
1.1.4分式
1.2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
2.2
二次函数
2.2.1 二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
2.2.2
二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3
方程与不等式
2.3.1 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝
对值是它的相反数,零的绝对值
仍是零.即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
2.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的
点到原点的距离.
3.两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴上,
数
a
和数
b
之间的距离.
4.两个重要绝对值不等式:
x<a(a>0)??a<x<a,x>a(a>0)?x<?a或x>a
问题导入:
问题1:化简:(1):
问题2:解含有绝对值的方程
(1)
问题3:至少用两种方法解不等式
知识讲解
例1:化简下列函数,并分别画出它们的图象:
2x?1
(2) :
x?1?x?3
2x?4?6
;
(2)
3?2x?2?5
x?1>4
y?x
;
(2)
y??2x?3
.
例2:解不等式:
x?1?x?3>4
练 习
1、若等式
a??a
, 则成立的条件是----------
2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B之间的距离为--------
3、已知数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a,1,-1,那么
a?1
表示( )
A、 A,B两点间的距离 B、 A,C两点间的距离
C、 A,B两点到原点的距离之和 D、 A,C两点到原点的距离之和
2
22
?
x?1
?
?x?2y?1?0
x?y?
______
4、如果有理数x,y满足
,则
5、若
x?5
,则x=_________;
若
x??4
,则x=_________.
6、如果
a?b?5
,
且
a??1
,则b=________;若
1?c?2
,则c=______
__.
7、下列叙述正确的是 (
)
(A)若
a?b
,则
a?b
(B)若
a?b
a?b
,则
a?b
,则
a??b
(C)若
a?b
,则
a?b
(D)若
8.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5).
1、2
二次根式与分式
知识清单
二次根式
二次根式的定义
:形如a
(a≥0)的式子叫二次根式,其中a叫被开方数,只有当a是一
个非负数时,
a
才有意义,
a(a?0)
的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不
能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
,
a
2
?b
2
等是无理式,而
2x
2
?
<
br>2
x?1
,
x
2
?2xy?y
2
,
a
2
等是有理式.
2
二次根式的性质:
①
?
a
?
?a(a?0)
;
2
②
③
?
a(a?0)
?
a?
2
?
0(a?0)
a?
?
?a(a?0)
?
ab?a?b
(a≥0,b≥0)
④
aa
?
a?0,b>0
?
?
b
b
a与a
;
a?b与a?b
;
分母有理化:一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①
②
③
a?b与a?b
;
④
ma?nb与ma?nb
分式:
AA
分式的意义:形如
B
的式子,若B中含有字母,且B
≠0,则称
B
为分式
AA?MAA?M
?,?
BB?MBB?M
分式的通分与约分:当M≠0时,
综合练习:
例1
将下列式子化为最简二次根式:
(1)
12b
;
(2)
a
2
b(a?0)
;
(3)
4x
6
y(x?0)
.
(4)
x
2
?
1?3
1
(5
)
??
?20<x<1
x
2
1?3
例2 计算:
3?(3?3)
.
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
22
(a?b)(a?b)?a?b
(1)平方差公式 ;
222
(a?b)?a?2ab?b
(2)完全平方公式 .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
2233
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(1)立方和公式
;
2233
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(2)立方差公式
;
2222
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
;
(3)三数和平方公式
33223
(a?b)?a?3ab?3ab?b
(4)两数和立方公式
;
33223
(a?b)?a?3ab?3ab?b
(5)两数差立方公式
.
应用:
平方差公式
下列各式:①
(a?1)(?a?
1)
;②
(a?1)(1?a)
;③
(?a?1)(a?1)
;④<
br>(?a?1)(?a?1)
能利用平方差公式计算的是
完全平方公式
a?
若
1
1
(a?)
2
?3
a
的值
a
,求
问题3:立方和(差)公式
练 习
1.填空:
(1)
1
2
1
2
11
;
a?b?(b?a)
(
)
9423
22
(2)
(4m?
)?16m?4m?(
)
;
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(
)
.
2.选择题:
(1)若
x?
2222
1<
br>mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 ( )
2
1
2
1
2
1
2
2
(A)
m
(B)
m
(C)
m
(D)
m
416
3
2
22
(2)不论
a
,
b
为何实数,
a?b?2a?4b?8
的值
( )
(A)总是正数
(B)总是负数
(C)可以是零
(D)可以是正数也可以是负数
1.
1.2 分解因式
<
br>因式分解的定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这
个多项式因式
分解(也叫作分解因式)
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2; (2)x
2
+4x-12;
(3)2x
2
-x+6
(4)2x
2
-(a+2)x+a
(5)
x
2
?3x?2
(6)
6x
2
?7x?2
2.提取公因式法
例2
分解因式:
(1)x
2
-5x;
(2)
2a
2
b?4ab
2
(2)
a
2
(b?5)?a(5?b)
3. 公式法分解因式
(1)
x
2
?x?
(2)x
2
-4
2.1 一元二次方程
1
4
知识清单
1、一元二次方程式是指只含有一个未知
数,并且未知数的最高次数是二次的整式方程,该
方程式的一般形式是:ax2+bx+c=0(a≠0
),其中,
ax
2
是二次项,
bx
是一次项,
c
是
常数项,
a、b是常数。其中a≠0
是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。
2、一元二次方程最常规的解法是公式法,其次有因式分解和配方等方法。
3、能使一元二次
方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解
也称为一元二次方程的根(只含
有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根)
(1)
当b
2
-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
=
;
2a
(2)当b
2
-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x
1
=x
2
=-
(3)当b
2
-4ac<0时,方程
①的右端是一个负数,而方程①的左边
(x?
等于零,因此,原方程没有实数根.
b
;
2a
b
2
)
一定大于或
2a
由此可知,一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由
b
2
-4ac来判定,我
们把b
2
-4ac叫做一元二次方程ax<
br>2
+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表
示.
综上所述,对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),有
(1)
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
=
;
2a
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=-
b
;
2a
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
知识讲解
例1:用适当的方法解方程:
(1)2(x+2)
2
-8=0
(2)x(x-3)=x
例2:判定下列关于x
的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方
程的实数根。
(1)x
2
-3x+3=0;
(2)x
2
-ax-1=0
1.选择题:
(1)方程x
2
-2
3
kx+3k
2
=0的根的情况是(
)
A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
(2)若关于x的方程mx
2<
br>+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范
围是( )
11
B、m>-
44
11
C、m<
,且m
?
0
D、m>,且m
?
0
44
A.m<
2.填空:
(1)若
a为方程x
2
+x-5=0的解,则a
2
+a+1的值为_____。 (2)方程mx
2
+x-2m=0(m
?
0)的根的情况是_____。
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2
-(2m
+1)x+1=0有两个不相等的
实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
4.用适当的方法解下列一元二次方程;
(1)x
2
-5x+1=0;
(2)3(x-2)
2
=x(x-2);
(3)2x
2
-2
2
x-5=0;
(4)(y+2)
2
=(3y-1)
2
2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
,
x
2
?
,
2a2a
如果ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x
1
,x
2
,那么x
1
+x
2
=
?
一
关系也被称为韦达定理.
例 已知方程
5x
练 习
1.选择题:
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是
( )
(A)有一个实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 <
br>(2)若关于x的方程mx
2
+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数
m的取值范围
是 (
)
(A)m<
(C)m<
2.填空:
(1)方程mx
2
+x-2m=0(m≠0)的根的情况是
.
(2)以-3和1为根的一元二次方程是
.
22
bc
,x
1
·x
2
=
.这
aa
2
?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
11
(B)m>-
44
11
,且m≠0 (D)m>-,且m≠0
44
习题2.1
A 组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x
2
+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是(
)
(A)-3 (B)3 (C)-2
(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2
+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x
2
-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3
x
2
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
7
;
3
④方程3 x
2
+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 (
)
(A)1个
(B)2个 (C)3个 (D)4个(3)关于x
的一元二次方程ax
2
-5x+a
2
+a=0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx
2
+4x-1=0的两根之和为-2,则k=
.
(2)方程2x
2
-x-4=0的两根为α,β,则α
2
+β<
br>2
= .
(3)已知关于x的方程x
2
-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是
.
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2
-(2m+1)
x+1=0有两个不相等的
实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
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