高中数学学业水平考试知识点[1]

（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程 度越高。
（3）计算公式：


s?
标准差：
方差：
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)2
?
n
?(x
n
?x)
2
]
s
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2?x)
2
?
n
?(x
n
?x)
2
]< br>?
，截距为
a
?
x+
a
?
，即回归方程为< br>y
?
（此直线必过点（
x
，
y
）
?
=
b
直线回归方程的斜率为
b
）。
6、频率分布直方图：在频率分 布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，
各组频数之和等于样 本容量，频率之和等于1。
三，、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件
A
发生的频率 总接近于某个常 数，在它附近摆动，这时就把
这个常数叫做事件
A
的概率,记作
P
（
A
）。由定义可知0≤
P
（
A
）≤1，显然必然事件的概率 是1，不可能事件的概率
是0。
1、事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、概率的加法公式：
（1）当
A
和
B
互斥时，事件
A
+
B
的概率满足加法公式：
P
（
A
+
B
）=
P
（
A
）+
P
（
B
）（
A
、
B
互斥）（2）若事 件A与
B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、古典概型：
（1）正确理解古典概型 的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能
性相等；（ 2）掌握古典概型的概率计算公式：
P(A)?
【必修四】
一、 三角函数
事件A包含的基本事件个数
实验中基本事件的总数
?
m

n
80
1、弧度制：（1）、
1
?
?
?
弧度，1弧度
?(
180
?
)
?
?57
?
18
'
；弧长公式：
l?|
?
|r
（
l
为
?
所对的弧长，
r
为半径，
正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。
2、三角函数：
（1）、定义：
sin
?
?
yxy x
r?
　　cos
?
?
　
　tan
?
?　 　cot
?
?　　
rrxy
x
2
?y
2

3、特殊角的三角函数值：
?
的角度
0?

?
的弧度
sin
?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

0

?

6
1

2
3

2
?

4
2

2
2

2
1

?

3
3

2
?

2
1

2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?
2

2
?1

5
?

6
?

0

?1

3
?

2
?1

2
?

0

1

1

2
?
3

2
0

1

cos
?

tan
?

1

2
3

0

—
?
1

2
?3

0

—
0

3

3
?
3

3
0

0


6

4、同 角三角函数基本关系式：
sin
?
?cos
?
?1

tan
?
?
22
sin
?

tan
?
cot
?
?1

cos
?
3、诱
5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 一全正二正弦三正切四余弦。
1、 诱导公式一：
导公式三：
2、 诱导公式二：
sin
?
?
?2k
?
?
?sin< br>?
,sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,sin
?
?
?
?
??sin
?
,cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.ta n
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式 四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六：
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?

cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
,

?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
tan
?
?
?
?
?
??ta n
?
.
?
2
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切： ?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos?
,
?
2
?

?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2< br>?
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos< br>?
?cos
?
sin
?

C
(
?< br>?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan
?
?tan
?
tan
?
?t an
?

T

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
?
?
?
)?
(
?
?
?
)
：
tan(
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
t an
?
tan
?
+tan
?
= tan(
?
+
?
)(
1?
tan
?
tan
?
) tan
?
-tan
?
= tan(
?
-
?
)(
1?
tan
?
tan
?
)
7、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
??< br>ab
?
sinx?cosx
?

2222
a?b?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
?b
2
?sin(x?
?
)

2222
8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

C
2
?
：
cos2
?
? cos
?
?sin
?
?1?2sin
?
?2cos
?
?1

T
2
?
：
tan2
?
?

2tan
?

1?tan
2
?
（2）、降次公式：（多用于研究性质）
11?c os2
?
111?cos2
?
11
sin2
?

sin
2
?
???cos2
?
?

cos
2
?
??cos2
?
?

2222 222
9、在
y?sin
?
,y?cos
?
,y?tan< br>?
,y?cot
?
四个三角函数中只有
y?cos
?
是偶函数，其它三个是寄函数。（指数
sin
?
cos
?
?
函数、对数函数是非寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求 单调性（单调递增区间、单调递减区间）；求对称轴；
求对称中心点都要将原函数化成标准型；
如：
y?Asin(
?
x?
?
)?b
y?Acos(?
x?
?
)?b
y?Atan(
?
x?
?)?b
y?Acot(
?
x?
?
)?b
函数
再求解。
三角函数的图象与性质：
y=sinx y=cosx y=tanx
图象




7

定义域
值域
奇偶性
周期性
在
[2k
?
?
R

R

{x|x?k
?
?
?
2
,k?Z}

R

[?1,1]

奇函数
[?1,1]

偶函数 奇函数
2
?

?
22
上是增函数 ?
3
?
在
[2k
?
?,2k
?
?]< br>(k?Z)

22
上是减函数
当
x?
2
?

?
]
(k?Z)

在
[2k
?
?
?
,2k
?
]
(k ?Z)

上是增函数
在
[2k
?
,2k
?
?
?
]
(k?Z)

上是减函数
?

在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)(k?Z)

22
上是增函数


,2k
?
?
单调性
?
2
?2k
?
,k?Z
时，
y
max
?1

当
x?2k
?
,k?Z
时，
y
max
?1

当
x?(2k?1)
?
,k?Z
时，

无


最值
当
x??
?
2
?2k
?
,k?Z
时，
y
min
??1

对称中心
(k
?
,0)
，
k?Z

对称性
对称轴：
x?k
?
?
y
min
??1
< br>?
2
对称中心
(k
?
?
?
(k?Z)

2
对称轴：
x?k
?
(k?Z)

,0)
，
k?Z

对称中心
(k
?
,0)
，
k?Z

对称轴：无
12．函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象：
（1）用“图象变换法”作图
由函数
y?sinx< br>的图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图 象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩
向左(< br>?
?0)或向右(
?
?0)
平移|
?
|个单位
平移|
?
|个单位
A倍
?
纵坐标变为原来的
?????? ??y?Asin(
?
x?
?
)
横坐标不变
y?sinx? ????????y?sin(x?
?
)

(
?
?0)或向 右(
?
?0)
y?sinx?
向左
????????y?sin(x ?
?
)
，
?
?????????y?sin（
?
x ?
?
）

纵坐标不变
1
横坐标变为原来的倍


法二：先伸缩后平移
(
?
?0)或向右(
?
? 0)
?
??y?sinx???????
y?sin
?
x?
向左
????????y?sin(
?
x?
?
)
纵坐标不变
1
横坐标变为原来的倍



A倍
?
纵坐标变为原来的
????????y?Asin(
?
x?
?< br>)
横坐标不变
平移|
?
|个单位
?

当函数
y?Asin(
?
x?
?
)
（A>0，
?< br>?0
，
x?[0，??)
）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡
位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间
T?
间内 往复振动的次数
f?
二、平面向量
1、平面向量的概念：
2
?
?
，它叫做振动的周期；单位时
12
?
?
，它叫做振动的 频率；
?
x?
?
叫做相位，
?
叫做初相（即当x＝0时的相 位）。
T
?
?
1
?
在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头 所指的方向表示向量的方向．

8

，记作
??
．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模（或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相 反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
?
?
?
?
???
?
?
(1) 结合律：λ (μ
a
)=(λμ)
a
;(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;(3)第二分配律：λ(
a?b
)=λa
+λ
b
.
?
??
?
3、向量的数量积的运算律：(1)
a
·
b
=
b
·
a
（交换律）; ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
(2)（
?
a
）·
b
=
?
（
a
·
b
）=
?
a
·
b
=
a
（·
b
?
）;(3)（
a?b
）·
c
=


a
·
c
+
b
·
c
.
4、平面向量基本定理：
如果
e< br>1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得
a

=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
． < br>??
?
??
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5、坐标运算：（1）设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

数与向量的积：λ< br>a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

（2）、设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.（终点减起点）
6、平面两点间的距离公式：（1）
d
A,B
=
|AB|?
（2）向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a?a< br>?x
2
?y
2
；
（3）、平面向量的数量积：
a?b?a?bcos
?
， 注意：
0?a?0
，
0?a?0
，
a?(?a)?0
（4）、向量
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角
?
， 则，
x

2

?

y

2

x

2

?

y

2
7、重要结论：（1）、两个向量平行：
ab?a?
?
b

(
?
?R)
，
ab?

x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0

（2）、两个非零向量垂直
a?b?x
1
x
2
?y1
y
2
?0

（3）、P分有向线段
P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，

?

?

?

x

x
12
x?
?
则定比分点坐标公式
?
中点坐标公式
1?

?
?

?
y?
y< br>1
?
?
y
2
?
1?
?
?

．
【必修五】：
一、解三角形：（1）三角形的面积公式：
S
?
?
（2）正弦定理：
??
????
????
??
? ?
??
???
?
AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
< br>????
??
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
1
??
122
x
1< br>?x
2
?
x?
?
?
2
?
?
y?
y
1
?y
2
?
?2
111
absin C?acsinB?bcsinA
：
222
abc
???2R,边用角表示 ：a?2RsinA,　b?2RsinB，c?2RsinC

sinAsinBsinC< br>a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
（3）、余弦定理：
b
2
?a
2
?c
2
?2 ac?cosB
（4）求角：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
b
2< br>?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b2
a
2
?b
2
?c
2

cosA?< br>　　　　
cosB?
　　　　
cosC?
2bc2ac2ab


9

二. 数列
1 、数列的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； 数列前n项和与通项的关系：

2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
(a
n
?a
n?1
?d)
；
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
（其中首项是
a
1
，公差是
d
；）

na
1
(d?0)
（3）、前n项和：
S
n
?

n(a
1
?a
n
)
2
n(n?1)
（d≠0） < br>?na
1
?d
2
?
a
1
?S
1(n?1)
a
n
?
?
?
S
n
?Sn?1
(n?2)


a?b
A?
（4）、等差中项：
A
是
a
与
b
的等差中项： 或
2A ?a?b
，三个数成等差常设：
a-d
，
a
，
a+d

2

10

3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
(
a
n
?q)
（< br>q?0
）。
a
n?1

（2）、通项公式：
an
?a
1
q
n?1
（其中：首项是
a
1
，公比是
q
）
na
1
,(q?1)

?
（3）、前n项和：
S

n
?
?
?a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
,(q?1)

?
1?q
?
1?q
?

Gb
即
G
2
?ab
（或
G??ab
，等比 中项有两个） （4）、等比中项：
G
是
a
与
b
的等比中项：，
?
aG
三：不等式
1.一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)

(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项 前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

22
2 2
a?b
2、重要不等式：（1）
a,b?R
?
a?b?2ab 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．
ab?
2

3、均值不等式：（2）
a,b?R
?
?

a?b
a?b
2
?ab
或
ab?()
2
2
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
一正、二定、三相等
注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；

3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知
p?q
，那么就说：
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件；
若
p?q
，则
p
是
q
的充分必要 条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件
p
与结论
q
之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若
p?q
，则
p
是
q
充分条件，
q
是
p
的 必要条件；
②若
p?q
，但
q

p
，则
p
是
q
充分而不必要条件;
③若
p

q
，但
q?p
，则
p
是
q
必要而不充分条件;
④若
p?q
且
q?p
， 则
p
是
q
的充要条件；
⑤若
p

q
且
q

p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：
p
或
q
（
p?q
）；
p
且
q
（
p?q
）；非
p（
?p
）.
⑵复合命题的真假判断
“
p
或
q
”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“
p
且
q
”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命
题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题，叫做特称
命题.
⑶全称命题与 特称命题的符号表示及否定①全称命题
p
：
?x??,p(x)
，它的否定< br>?p
：
?x
0
??,?p(x
0
).
全称命 题

11

的否定是特称命题．
②特称命题
p：
?x
0
??,p(x
0
),
，它的否定
?p
：
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
第一定义
第二定义
范围
到两定点
F、F
2
的距离之和等于常数2
a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F
1
F
2
|
）
1
与一定点的距 离和到一定直线的距离之比为常数
e
，即
MF
?e(0?e?1)

d
?b?x?b
且
?a?y?a

?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
左焦半径：
MF
1
?a?ex
0

右焦半径：
MF
2
?a?ex
0

离心率
(0?e?1)

a
2
y??

c
准线方程
焦半径
下焦半径：
MF
1
?a?ey
0

上焦半径：
MF
2
?a?ey
0

M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
2b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a
（焦点）弦长公式
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y
2
)
，
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2




焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
12

图形

标准方程

x
2y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
第一定义
第二定义
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
图形
到两定点
F
1
、

F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|?| MF
2
|?2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
，即
MF?e(e?1)

d
y??a
或
y?a
，
x?R

x??a
或
x?a
，
y?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)


离心率
标准方程
y
2
?2px

cca?bb
e????1?(e?1)

2
22
y
2
?px
a
?2
aa
2
x?2
a< br>py
2

222


x
2
??2py

2
p?0
?

p?0
?

aa
2
?
p?0
?

??
准线方程
x??

y??

cc
定义
与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线(定点
F
不在定直线
l
上)
ba
y??x

y??x

渐近线方程
0,0
?

顶点
?
ab
?
p?0
?

离心率
焦半径
对称轴
范围
M(x
0,
y
0
)
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦：
M
在 右支
?

MF
2
?ex
0
?a
?
?
右焦：
x
轴
?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦：
M
x
在左支
?0

?
x?0


MF
2
??ex
0
?a
?
?
右焦：
?
2
?
e?1

?MF
1
?ey
0
?a
?
左焦：
M
在上支
?

MF?ey
0
?a
?
?
右焦：
y
轴
2

?MF
1
??ey
0
?a?
左焦：
M
在下支

y?0
?
y?0

右焦：MF??ey?a
?
20
?
?
?F
1
p
?
2
)

(
?
MF
F
?
0,
??

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
y?
p

2
焦点三角形面积
F
?
p
,0
?

焦点
??
通径
准线方程
焦半径
?
2
?
S
?
p
?
?bcot
2
F
?
?
MF
1
,
F
0
?

2
2
??
x??
p

2
2b
2
HH
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
p
?
?
p
y??

x?

a
2
2
MF??x
0
?
p

2
MF?y
0
?
p

2
M(x
0,
y
0
)

通径
焦点弦长
公式
参数
p
的几

MF?x
0
?
p

2
MF??y
0
?
p

2
过抛物线的焦点 且垂直于对称轴的弦称为通径：
HH
?
?2p

AB?x
1
?x
2
?p

p
越大，开口越阔 参数
p
表示焦点到准线的距离，
13
何意义

关于抛物线焦点弦的几个结论：
设
AB
为 过抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦点的弦，
A(x
1,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，直线
AB
的倾斜角为
?
，则
2p
p
2
;
⑶ 以
AB
为直径的圆与准线相切；
,y
1
y
2
??p
2
;
⑵
AB?
⑴
x
1
x
2
?
2
s in
?
4
⑷ 焦点
F
对
A、B
在准线上射影的张角 为
?
112
；
⑸
??.
1
2
|FA||FB|P

14