高中数学选修4-1知识点

高中数学 选修4-1知识点
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 ，那么在其他直线上截得的线段也
相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2.平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比 例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比
（或相似系数）。
由于 从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边
是否分 别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相
似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如 果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似。简述为：两角对应相 等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边 对应成比例，并且夹角
相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相 似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 ，那么
这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截 三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三 角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两
个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4.直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项；两直角边分别是它们在斜边上
射影与斜边的比例中项。
第二讲 直线与圆的位置关系
1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2.圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4.弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

5.与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹< br>角。

6.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

7.三角形的五心
(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。
(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。
(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
(4)垂心：三条高所在直线的交点。
(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 性质：到三边的距离相等。

第三讲 圆锥曲线性质的探究
1.平面与圆柱面的截线：
当平面与圆柱的两底面平行时，截面是个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是个椭圆；
定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆。
定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相交于O点，夹角为α，l’ 围绕l旋转得到以O为 顶点，
l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的夹角为β(当π与l平行时，记β=0)，

则截面不过顶点时：
(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线；
截面过顶点时：
(1)截面和圆锥面只相交于顶点，交线为一个点。
(2)截面和圆锥面相交于两条母线，交线为两条相交曲线。
(3)截面和圆锥面相切，交线为两条重合直线。