高中数学矩阵教学视频-人教版高中数学必修4说课稿
平面解析几何
1.直线的倾斜角与斜率:
(1)直线的倾斜角:
在平面直角坐标系中,对于一条与
x
轴相交的直线,如果把
x
轴绕着交点按逆
时针
方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为
?
叫做直线的倾斜角.
倾
斜角
?
?[0,180?)
,
?
?90?
斜率不存在. <
br>(2)直线的斜率:
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
),k?tan
?
.(
P
1
(x<
br>1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
x
2
?x
1
2.直线方程的五种形式:
(1)点斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直
线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)<
br>,且斜率为
k
).
注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为
x?x
0
.
(2)斜截式:
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
(3)两点式:
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
,
x
1
?x
2
).
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
注:①
不能表示与
x
轴和
y
轴垂直的直线;
② 方程形式为:
(
x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
时,方程可以表示任意直线.
(4)截距式:
xy
??1
(
a,b
分别为
x
轴
y
轴上的截距,且
a?0,b?0
).
ab
注
:不能表示与
x
轴垂直的直线,也不能表示与
y
轴垂直的直线,特别是不能表
示过原点的直线.
(5)一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
A
AC
x?
,即,直线的斜率:
k??
.
BBB
注:(1)已知直线纵截距
b
,常设其方程为
y?kx?b
或
x?0
.
已知直线横截距
x
0
,常设其方程为
x?my?x
0
(直线斜率k存在时,
m
为k的倒数)或
y?0.
一般式化为斜截式:
y??
已知直线过点
(x
0
,
y
0
)
,常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
或
x?x
0
.
(2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合.
3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.
(1)直线在两坐标轴上的截距相等....
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点.
(2)直线两截
距互为相反数
.......
?
直线的斜率为1或直线过原点.
(3)直线
两截距绝对值相等
.......
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点
.
4.两条直线的平行和垂直:
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b2
①
l
1
l
2
?k
1
?
k
2
,b
1
?b
2
; ②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2<
br>y?C
2
?0
,有
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
且A1
C
2
?A
2
C
1
.②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B<
br>2
?0
.
5.平面两点距离公式:
PP?
(
P<
br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
),
12
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
.
x
轴上两点间距离:
AB?x
B
?x
A
.
x
1
?x
2
?
x?
?
?
0<
br>2
线段
P
的中点是,则 .
P
M(x,y)
?12
00
y?y
2
?
y?
1
0
?2
?
6.点到直线的距离公式:
点
P(x<
br>0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离:
d?
7.两平行直线间的距离:
两条平行直线
l
1
:Ax
?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
距离:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
2
.
C
1
?C
2
A?B
22
.
8.直线系方程:
(1)平行直线系方程:
① 直线
y?kx?b
中当斜率
k
一定而
b
变动时,表示平行直线系方程..
② 与直
线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
?
0
.
③ 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为:
A(x?x
0
)?B
(y?y
0
)?0
.
(2)垂直直线系方程:
① 与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
.
② 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为:
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0
.
(3)定点直线系方程:
①
经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数.
② 经过定点
P0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的
系数.
(4)共点直线系方程:经过两直线
l
1
:A
1
x
?B
1
y?C
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线系方
程为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x
?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),其中λ是待定的系数.
9.曲线
C
1
:f(x,y)?0
与
C
2
:g(x,y)?0
的交点坐标
?
方程组
10.圆的方程:
(1)圆的标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(
r?0
).
(2)圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
.
(3)圆的直径式方程:
若
A(x
1
,y
1
),
B(x
2
,y
2
)
,以线段
AB
为直径的圆的方程
是:
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(
y?y
2
)?0
.
注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是
(?
(2)一般方程的特点:
①
x
和
y
2
的系数相同且不为零;②
没有
xy
项; ③
D?E?4F?0
(3)二元二次方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
表示圆的等价条件是:
①
A?C?0
; ②
B?0
;
③
D?E?4AF?0
.
11.圆的弦长的求法:
(1)几何法:当直
线和圆相交时,设弦长为
l
,弦心距为
d
,半径为
r
, <
br>l
222
则:“半弦长+弦心距=半径”——
()
2
?d2
?r
2
;
2
(2)代数法:设
l
的斜率为
k
,
l
与圆交点分别为
A(x
1
,y
1<
br>),B(x
2
,y
2
)
,则
22
222?
f(x,y)?0
g(x,y)?0
的解.
2222
DE1
,?)
,
r?D
2
?E
2
?4F
.
222
22
1
|y
A
?y
B
|
2
k
(其中
|x
1
?x
2
|,|y
1
?y
2
|
的求法是将直线和圆的方程联立消去
y
或x
,利用韦达定理求解)
|AB|?1?k
2
|x
A
?x
B
|?1?
12.点与圆的位置关系:点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
①
P
在在圆外
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y<
br>0
?b)
2
?r
2
.
②
P
在在圆
内
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)2
?r
2
.
③
P
在在圆上
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
. 【
P
到圆心距离
d?
222
(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
】
13.直线与圆的位置关系:
直线
Ax?By?C?0<
br>与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的
位置关系有三种(
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
):
圆
心到直线距离为
d
,由直线和圆联立方程组消去
x
(或
y
)
后,所得一元二次方程的判别式为
?
.
d?r?相离???0
;
d
?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
14.两圆位置关系:设两
圆圆心分别为
O
1
,O
2
,半径分别为
r
1
,r
2
,
O
1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
;
d?r1
?r
2
?外切?3条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
r
1
?r
2
?
d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
.
15.圆系方程:
x
2
?y
2?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
(
1)过直线
l:Ax?By?C?0
与圆
C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数
.
(2)过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C<
br>2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y
?F
2
)?0
,λ是待定的系数.
22
特别地,当
???1
时,
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E<
br>2
y?F
2
)?0
就是
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.
16.圆的切线方程:
(1)过圆
x
2
?y
2
?
r
2
上的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程
为:
x
0
x?y
0
y?r
2
.
(2)过
圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点P(x
0
,y
0
)
的切线方程为:
(x?a)(x0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?r
2
.
(3
)当点
P(x
0
,y
0
)
在圆外时,可设切方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,利用圆心到直线距离等于半径, 即
d?r
,求出
k
;或利用
??0
,求出
k<
br>.若求得
k
只有一值,则还有一条斜率不存在的直线
x?x
0
.
17.把两圆
x
2
?y
2
?D
1
x?
E
1
y?F
1
?0
与
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
方程相减
即得相交弦所在直线方程:
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.
18.对称问题:
(1)中心对称:
① 点关于点对称:点
A(x
1
,y
1
)
关于
M(x
0
,y
0
)
的对称点
A(2x
0
?x
1
,2y
0<
br>?y
1
)
.
② 直线关于点对称:
法1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程. <
br>法2:求出一个对称点,在利用
l
1
l
2
由点斜式得出直线方
程.
(2)轴对称:
①
点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上.
⊥l<
br>?
k
AA
?
·
?
AA
?
k
l
??1
?
点
A、A
关于直线
l
对称
?
?
.
?
?
?
?
AA 中点在l上
AA
中点坐标满足l方程
?
?
②
直线关于直线对称:(设
a,b
关于
l
对称)
法1:若
a
,b
相交,求出交点坐标,并在直线
a
上任取一点,求该点关于直线
l
的对称点.
若
al
,则
bl
,且
a,b
与l
的距离相等.
法2:求出
a
上两个点
A,B
关于<
br>l
的对称点,在由两点式求出直线的方程.
(3)点(a,
b)关于x轴对称:(a,- b)、关于y轴对称:(-a, b)、关于原点对称:(-a,- b)、
点(a, b)关于直线y=x对称:(b, a)、关于y=- x对称:(-b,- a)、
关于y = x +m对称:(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称:(-b+m、-
a+m) .
19.若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
,则△
ABC的重心G的坐标是
?
?
x
1
?x
2
?x3
y
1
?y
2
?y
3
?
,
?
.
33
??
20.各种角的范围:
?
两条相交直线的夹角
0??
?
?90?
直线的倾斜角
0??
?
?180
两条异面线所成的角
0??
?
?90?
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