高中数学平面解析几何知识点梳理

平面解析几何
1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角： 在平面直角坐标系中，对于一条与
x
轴相交的直线，如果把
x
轴绕着交点按逆 时针
方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为
?
叫做直线的倾斜角.
倾 斜角
?
?[0,180?)
,
?
?90?
斜率不存在. < br>（2）直线的斜率：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
),k?tan
?
．（
P
1
(x< br>1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
2．直线方程的五种形式：
（1）点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为
x?x
0
．
（2）斜截式：
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式：
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
，
x
1
?x
2
).
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
注：① 不能表示与
x
轴和
y
轴垂直的直线；
② 方程形式为：
( x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式：
xy
??1
（
a,b
分别为
x
轴
y
轴上的截距，且
a?0,b?0
）．
ab
注 ：不能表示与
x
轴垂直的直线，也不能表示与
y
轴垂直的直线，特别是不能表 示过原点的直线．
（5）一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)．
A
AC
x?
，即，直线的斜率：
k??
．
BBB
注：（1）已知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b
或
x?0
．
已知直线横截距
x
0
，常设其方程为
x?my?x
0
(直线斜率k存在时，
m
为k的倒数)或
y?0．
一般式化为斜截式：
y??
已知直线过点
(x
0
, y
0
)
，常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
或
x?x
0
．
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点．
（2）直线两截 距互为相反数
．．．．．．．
?
直线的斜率为1或直线过原点．
（3）直线 两截距绝对值相等
．．．．．．．
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点 ．
4．两条直线的平行和垂直：
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b2

①
l
1
l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
； ②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
（2）若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2< br>y?C
2
?0
，有
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
且A1
C
2
?A
2
C
1
．②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B< br>2
?0
．
5．平面两点距离公式：
PP?
(
P< br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
)，
12
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
．
x
轴上两点间距离：
AB?x
B
?x
A
．
x
1
?x
2
?
x?
?
?
0< br>2
线段
P
的中点是，则 ．
P
M(x,y)
?12
00
y?y
2
?
y?
1
0
?2
?

6．点到直线的距离公式：
点
P(x< br>0
,y
0
)
到直线
l：Ax?By?C?0
的距离：
d?
7．两平行直线间的距离：
两条平行直线
l
1
：Ax ?By?C
1
?0，l
2
：Ax?By?C
2
?0
距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2 2
．
C
1
?C
2
A?B
22
．
8．直线系方程：
（1）平行直线系方程：
① 直线
y?kx?b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线系方程．．
② 与直 线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
? 0
．
③ 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为：
A(x?x
0
)?B (y?y
0
)?0
．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
．
② 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为：
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0
．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点
P

0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数．
② 经过定点
P0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的 系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线
l
1
：A
1
x ?B
1
y?C
1
?0，l
2
：A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线系方
程为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
9．曲线
C
1
:f(x,y)?0
与
C
2
:g(x,y)?0
的交点坐标
?
方程组
10．圆的方程：
（1）圆的标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
（
r?0
）．
（2）圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
．
（3）圆的直径式方程：
若
A(x
1
,y
1
)， B(x
2
,y
2
)
，以线段
AB
为直径的圆的方程 是：
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)( y?y
2
)?0
．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是
(?
（2）一般方程的特点：
①
x
和
y
2
的系数相同且不为零；② 没有
xy
项； ③
D?E?4F?0

（3）二元二次方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
表示圆的等价条件是：
①
A?C?0
； ②
B?0
； ③
D?E?4AF?0
．
11．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直 线和圆相交时，设弦长为
l
，弦心距为
d
，半径为
r
， < br>l
222
则：“半弦长+弦心距=半径”——
()
2
?d2
?r
2
；
2
（2）代数法：设
l
的斜率为
k
，
l
与圆交点分别为
A(x
1
,y
1< br>)，B(x
2
,y
2
)
，则
22
222?
f(x,y)?0
g(x,y)?0
的解．
2222
DE1
,?)
，
r?D
2
?E
2
?4F
．
222
22
1
|y
A
?y
B
|

2
k
（其中
|x
1
?x
2
|,|y
1
?y
2
|
的求法是将直线和圆的方程联立消去
y
或x
，利用韦达定理求解）
|AB|?1?k
2
|x
A
?x
B
|?1?
12．点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
①
P
在在圆外
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?r
2
．
②
P
在在圆 内
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)2
?r
2
．
③
P
在在圆上
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
． 【
P
到圆心距离
d?
222
(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
】

13．直线与圆的位置关系：
直线
Ax?By?C?0< br>与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的 位置关系有三种(
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
):
圆 心到直线距离为
d
，由直线和圆联立方程组消去
x
（或
y
） 后，所得一元二次方程的判别式为
?
．
d?r?相离???0
；
d ?r?相切???0
；
d?r?相交???0
．
14．两圆位置关系:设两 圆圆心分别为
O
1
,O
2
，半径分别为
r
1
,r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；
d?r1
?r
2
?外切?3条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
r
1
?r
2
? d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
．





15．圆系方程：
x
2
?y
2?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)

（ 1）过直线
l：Ax?By?C?0
与圆
C
:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数 ．
（2）过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C< br>2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y ?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
22
特别地，当
???1
时，
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E< br>2
y?F
2
)?0
就是
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．
16．圆的切线方程：
（1）过圆
x
2
?y
2
? r
2
上的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程 为:
x
0
x?y
0
y?r
2
．
（2）过 圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点P(x
0
,y
0
)
的切线方程为:
(x?a)(x0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?r
2
．
（3 ）当点
P(x
0
,y
0
)
在圆外时，可设切方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，利用圆心到直线距离等于半径， 即
d?r
，求出
k
；或利用
??0
，求出
k< br>．若求得
k
只有一值，则还有一条斜率不存在的直线
x?x
0
．
17．把两圆
x
2
?y
2
?D
1
x? E
1
y?F
1
?0
与
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
方程相减
即得相交弦所在直线方程:
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
．
18．对称问题：
（1）中心对称：
① 点关于点对称：点
A(x
1
,y
1
)
关于
M(x
0
,y
0
)
的对称点
A(2x
0
?x
1
,2y
0< br>?y
1
)
．
② 直线关于点对称：
法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． < br>法2：求出一个对称点，在利用
l
1
l
2
由点斜式得出直线方 程．
（2）轴对称：
① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．
⊥l< br>?
k
AA
?
·
?
AA
?


k
l
??1
?
点
A、A
关于直线
l
对称
?
?
．
?
?
?
?
AA 中点在l上
AA 中点坐标满足l方程
?
?
② 直线关于直线对称：（设
a,b
关于
l
对称）
法1：若
a ,b
相交，求出交点坐标，并在直线
a
上任取一点，求该点关于直线
l
的对称点．
若
al
，则
bl
，且
a,b
与l
的距离相等．
法2：求出
a
上两个点
A,B
关于< br>l
的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、
点(a, b)关于直线y=x对称：(b, a)、关于y=- x对称：(-b,- a)、
关于y = x +m对称：(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称：(-b+m、- a+m) ．
19．若
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，C(x
3
,y
3
)
，则△ ABC的重心G的坐标是
?
?
x
1
?x
2
?x3
y
1
?y
2
?y
3
?
，
?
．
33
??
20．各种角的范围：
?
两条相交直线的夹角
0??
?
?90?
直线的倾斜角
0??
?
?180
两条异面线所成的角
0??
?
?90?