高中数学概率知识点总结和典例

事件与概率
（一）基础知识梳理：


1.事件的概念：
（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A，B，C，?
表示。
（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。
（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2.随机事件的概率：
（1）频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
n
验中事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例
f
n
(A)?
A
为事件A
n
出现的频率。
（2 ）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会在某个
常数附近摆动，即随机 事件A发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A的
概率，记作
P(A)
。
3.概率的性质：必然事件的概率为
1
，不可能事件的概率为
0
，随机事件的概率为
0?P(A)?1
，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
4.事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B，表示事件A和事件B至少有一个发生。
5.互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
当A 、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成
的， 因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）.
一般地：如果事件
A
1
,A
2
,,A
n
中 的任何两个都是互斥的，那么就说事件
A
1
,A
2
,,A
n
彼
此互斥如果事件
A
1
,A
2
,,A
n< br>彼此互斥，那么
P(A
1
?A
2
??A
n
)
＝
P(A
1
)?P(A
2
)??P(A
n
)
。
6．对立事件: 事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立，即事件A、B
不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即
P(A+
A
)=P(A)+P(
A
)=1
当计算事件A 的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件
A
的概率则要容
易些，为此有P（ A）=1－P（
A
）
7. 事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则 表示A、B这两个事件所含结
果组成的集合的交集是空集. 事件A的对立事件
A
所含 结果的集合正是全集U中由事件
A所含结果组成集合的补集，即A∪
A
=U，A∩A
=
?
对立事件一定是互斥事件，但互斥
事件不一定是对立事件
（二）典型例题分析：
例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
例3．甲、 乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和
1

棋的概率为59％，则乙胜的概率为_____________．
例4．如 果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心（事件A）的概
率为________ ，取到方片（事件B）的概率是 _______．取到红色牌（事件C）的概率是
_______,取 到黑色牌（事件D）的概率是________.
（三）基础训练：
1．下列说法正确的是 ( )
A．任一事件的概率总在(0，1)内 B．不可能事件概率不一定为0
C．必然事件的概率一定是1 D．以上均不对
2．某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（ ）
A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 B.明天本地下雨的机会是80%
C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 D.以上说法均不正确
3．下面事件: ①若a、b∈R，则a·b=b·a； ②某人买彩票中奖； ③6+3>10；
④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( )
A．① B．② C．③④ D．①②
4．盒中有9个小球，分别标有1，2，3，? ，9，从中任取一球，则此球的号码为偶数的
概率是_______．
5．箱子中有2000 个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有
________个
坏灯泡。
6．对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：
抽取台数 50 100 200 300 500 1000
优等品数 46 92 192 285 479 950
则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为
7.把红、黑 、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件
“甲分得红牌”与事件“乙 分得红牌”是( )
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件 (D)以上答案都不对
8.从1,2,?,9中任取2个数,其中
①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数;②至少有1个是奇数和2个都是奇数;③至少有1
个是奇 数和2个都是偶数;④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是( )
(A)① (B)②④ (C)③ (D)①③
9.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有 3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,
则恰好取到两个同色球的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示 “小于5的点
数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
（四）巩固练习：
1．把红、黑、蓝、白4张 纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事
件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 （ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
2．下列四个命题中错误命题的个数是（ ）
2

（1）对立事件一定是互斥事件 （2）若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）<1
（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1
（4）事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件
A．0 B．1 C．2 D．3
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是 1、2”，事件B表示“所得点数
大于4”，则P（A+B）=____________.
4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，则
这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率_______ ___.
5．在10件产品中有8件1级品，2件2级品，从中任取3件，记“3件都是1级品”为事 件A，
则A的对立事件是___________________________________ __ .
6．袋中有12个小球，分别为红球，黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率< br>15
是，得到黑球或黄球的概率是,则得到绿球的概率是__________.
312
第02讲 古典概型
（一）基础知识梳理：
1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本
事件的和。
2．等可能性事件：如果一次 试验中可能出现的结果有
n
个，而且所有结果都是等可能
的，这种事件叫等可能性事件
3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事
m< br>件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率定义为
P(A)?
。
n
（二）典型例题分析：
例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B ，C，D四个选项中选择一个正确
答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设 考生不会做，他
随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.
例2.在6瓶 饮料中，有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率
是_______.
例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，观察落地后的情形
（1）写出这个试验的所有的基本事件；
（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件？
（3）求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。
例4.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（三）基础训练：
1．下列试验中，是古典概型的是（ ）
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为（2500.6）mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶
3

?

2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）
112
A． B． C． D．1
233
3.某 学生通过计算初级水平测试的概率为
1
,他连续测试两次,则恰有1次获得通过的概
2
率为____.
4．甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）。则平局的概率为 ________，甲赢的概
率为_________。
5. 一个盒子里装有标号为1 ,2,3,4,5的5个小球，随即的选取两个小球，根据下列条件
求两个小球上的数字之和为偶数的概 率。
（1）小球的选取是无放回的； （2）小球的选取是有放回的。


6.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品.
(1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率;
(2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.




7．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1个，有放回地抽取3次。求：
（1）3次全是红球的概率 （2）3次颜色全相同的概率 （3）3次颜色不全相同的概
率




（四）巩固练习：
1．袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽 取两次，则第二
次取到红球的概率是（ ）
3313
A． B． C． D．
54210
2．在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选 一个）不会做，他随意选
了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（ ）
1111
A． B． C． D．
24816
3．甲, 乙两人随意入住2间空房, 则甲乙两人各住1间房的概率是（ ）
111
A． B． C． D．无法确定
342
4. 4本不同的语文书, 3本不同的数学书, 从中任意取出2本,能取出数学书的概率是
________.
5．若以连续掷两次骰子分别 得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆
x
2
?y
2?16
内的概率是_______________.
6．高一（1）班数学兴趣小组有 男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，
则恰有一名参赛学生是男生的概率是____ ____；至少有一名参赛学生是男生的概率是
________。
7．有A，B两个口袋， A袋中有6张卡片，其中1张写有0；2张写有1；3张写有2；B袋中有
5张卡片，其中2张写有0； 1张写有1；2张写有2.。从A，B两个袋中各取1张卡片，求：
4

（1）取出的2张卡片都写有0的概率； （2）取出的2张卡片数字之和为2的概率。





第03讲 随机数与几何概型
（一）基础知识梳理：
1. 几何概型的 概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则
称这样的概率模型 为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果 有无限多个；
（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：
P(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）

实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（二）典型例题分析：
例1. 如 图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心
圆，半径分别为2cm ，4cm，6cm，某人在在3m外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投
中木板时都不算，可重投，问 ：
（1）投中小圆内的概率是多少？
（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？






例2.在游乐场，有一种游戏是向一 个画满均匀方格的大桌面上投
硬币，若硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与方格线重叠），
便可获奖。如果硬币的直径为2cm，
而方格的边长为5cm，随机投掷一个硬币，获奖的概率有多大？









（三）基础训练：
1．在500mL的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察, 则发
现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．有一半径为4的圆, 现将一枚直径为2的硬币投向其中(硬币与圆面有公共点就算 是
有效试验，硬币完全落在圆外的不计),则硬币完全落入圆内的概率为（ ）
5

4949
B． C． D．
9162525
3．一轮船停靠在某港口, 只有在该港口涨潮时才能出港, 已知该港口每天涨潮的时间
是早晨5:00到7:00和下午5:00到7:00, 则该船在一昼夜内可以出港的概率
为 .
4.一海豚在水池中自由游弋, 水池是半径为20m的圆,海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率
是______.
5．取一个边 长为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆
子落入圆内概率是_____ _________。
6．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中
随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。





（三）巩固练习：
1．如下图, 设M是半径为R的圆周上一定点, 在圆周上等可能地任
取一点N, 连接MN, 则弦MN的长超过
2
R的概率为（ ）
1111
A． B． C． D．
5432

2. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他
等待的时间不多于10分 钟的概率是_________ 。
3.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边 作正方形，试求正方形面积介
于
36cm
2
到81
cm
2< br>之间的概率是_____________。
4．如图所示，取一根长度为3m的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子
的长度都不小于1m的概率是___________.
3cm
1
5． 在△ABC内任取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于时的概率为
2
6．设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A，B除外），将线段AB分成三条线段，
(1)若分成三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
A．








概率练习卷
1．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字
1, 2,3,4,5,6
），设甲、乙所抛
掷骰子朝上的面的点数分别为
x
、y
，则满足复数
x?yi
的实部大于虚部的概率是（）
A．
1
57
1
B． C． D．
6
1212
3
2.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一 个数是另一个的两倍的概率为____
3.在面积为
S
的
△ABC
的边
AB
上任取一点
P
，则
△PBC
的面积不小于
A．
S
的概率是（）
3
2131
B． C． D．
3344
6

4.设不等式组
?
?
0?x?2,
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到 坐标原点的距
?
0?y?2
离大于2的概率是( )
（A）
?
?
?2
?
4?
?
（B） （C） （D）
4264

4321
(B) （C） (D)
5555
5.从{1,2,3,4, 5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
（A）
6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑 球，从袋中任取两
球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
（A）
1234
（B） （C） （D）
5555
7.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以1，2，3，4，5，6)．连续抛掷2次 ，则2次向上的数之和
不小于10的概率为
8.从长度分别为2、3、4、5的四 条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概
率是________。
9 .甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为
a
，再由乙猜甲刚才所想的数字,把 乙猜的
数字记为
b
,其中
a,b?
?
1,2,3,4,5, 6
?
,若
a?b?1
，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这
个 游戏,则他们“心有灵犀”的概率为（ ）．

A．
124
7

B．

C．

D．

99 9
18
10.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间 的距离为
2
2
的概率是___________。
11.某饮料公司对一名 员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全
相同，并且其中的3杯 为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料
中选出3杯A饮料。若该员工 3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合
格。假设此人对A和B两种饮料没有 鉴别能力
（1）求此人被评为优秀的概率
（2）求此人被评为良好及以上的概率








12. 11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。
13. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点， 取到的点到O
的距离大于1的概率为( )
（A）
?

4
（B）
1?
?

4
（C）
?

8
（D）
1?
?

8
7

14.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在椭
圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.
A
．
7.68

B．
16.32

C．
17.32

D．
8.68

15.下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机 地撒300 颗黄豆，数得落在
阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为__ ______．
16已知圆
C:x
2
?y
2
?12,直线
l:4x?3y?25.

（1）圆
C
的圆心到直线
l
的距离为 ．
（2）圆
C
上任意一点
A
到直线
l
的距离小于2的概率
为 ．


17. 某商场举行抽奖活动，从装有编号为0 ,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两
个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中 二等奖，等于3中三等奖.
（Ⅰ）求中三等奖的概率； （Ⅱ）求中奖的概率.








2.现有编号分别为
1,2,3,4,5
的五个不同的物理题和编号分别为
6 ,7,8,9
的四个不同的
化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概 率是相等的，用符
号
(x,y)
表示事件“抽到的两题的编号分别为
x
、
y
，且
x?y
”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．








3．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4）玩游戏，他们将扑克
牌 洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）．设
( i,j)
分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（2）．若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）．甲乙 约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为
此游戏是否公平，说明你的理由 ．





8

4.设方程
x
2
?bx?c?0
的 系数
b
和
c
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
(Ⅰ)求方程
x
2
?bx?c?0
有两个不等实根的概率； (Ⅱ)求方程
x
2
?bx?c?0
没有实根的
概率；










5 ．同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，两
颗骰子向上 的点数之和记为
?
.
（Ⅰ）求
?
?5
的概率
P< br>?
?
?5
?
; （Ⅱ）求
?
?5的概率
P
?
?
?5
?
.










6．在甲、乙 两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中
各取出1个球，每个小球被 取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．













9