2020年高中数学必修二全册精品教案(全套完整版)

2020年高中数学必修二全册精品教案（全
套完整版）
课题：柱、锥体的结构特征
教学目标：
通过实物模型，观察大量的空间图形，认识 柱体、锥体的结构特征，
并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体的结构特
征.
教学难点：柱、锥的结构特征的概括.
教学过程：
一、新课导入：
在现 实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的
几何形状。由这些物体抽象出来的空间图 形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？
学生观察思考，最后归类总结。
上图中的物体大体可分为两大类：
（一）由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面 体。围成多面体的
各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与
棱的 公共点叫做多面体的顶点。
（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的
封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。
二、讲授新课：
1. 棱柱的结构特征：

请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中( 2)(5)(7)(9)中的几何
体，并寻找它们的共同特征。（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其 相
关概念）
（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个
四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱柱中，两个互相平行的面叫 做棱柱的底面（简称底），其余各面叫
做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的 公共顶
点叫做棱柱的顶点。







（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱
柱等。
（4）棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱
ABC DEF?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
F
'
”
思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？
答：不是棱柱。据反 例。如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行
四边形，但它不是棱柱。
2．棱锥的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(14)(15 )中的物体，

并寻找它们的共同特征。
（1）定义：有一个面是多 边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由
这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的 有关概念：棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有
公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各 侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
（3）棱锥的分类：
按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
（4）棱锥的表示:用底面各顶点 的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱
锥
S?ABCD
”
讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？
棱柱：两底面是对应边平 行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；
侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多 边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似
比等于顶点到截 面距离与高的比的平方.
3．圆柱、圆锥的结构特征：
（1）观察图1.1-1中的（1） （3）（6）（8）的物体，并思考：圆柱、圆锥
如何形成？
（2） 定义：以矩形的一边所 在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面
所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转 轴,其余两边旋
转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
（3）圆柱、圆锥的有关概念：（ 参照课本图1.1-7和1.1-8的模型，边对
照模型边介绍）
在圆柱中，旋转的轴叫做 圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 ，无论旋转
到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总
结。
（4）圆柱、圆锥的表示方法：
圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-7中 的圆柱表示为
圆柱O’O，图1.1-8中的圆锥表示为圆锥SO.
(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？
圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底
面半径.
3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.
四、归纳小结：
棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。
五、作业布置：
教材P8 习题1.1，第1题
课后记：



课题：台、球体及简单几何体的结构特征
教学目标：
通过实物模型，观察大量的空 间图形，认识台体、球体及简单组合体
的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几
何体的结构特征。

教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.
教学过程：
一、复习准备：
1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。
2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性
质？
二、讲授新课：
1. 棱台与圆台的结构特征：
（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何
特征？
（2 ）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的
部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥，截面和底面之间
的部分叫做圆台.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？
（3）结合课本图1.1-6认识：棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点。
结合课本图认识：圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。
（4）棱台的分类及表示：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、
五棱台等；
棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱台
ABCD-A ’B’C’D’.
(5) 圆台的表示:
圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.
（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行； 两底面是对应边互相平行的相似多边
形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.

圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线< br>的延长线交于一点；母线长都相等.
棱台与圆台统称为台体。
2．球体的结构特征：
（1） 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几
何体，叫球体，简称球.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？
（2）结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.
在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆
的直径叫做球的直径。
（3） 球的表示：
球常用表示球心的字母表示，例如图1.1-10中的球表示为球O。
（4） 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
3. 简单组合体的结构特征：
（1）讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体 、台体、球
体等简单几何体外，还有哪些物体存在？
例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
（2） 定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫
简单组合体.
列举生活中的实例。
（3）简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体
表示的几何体；
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中
（3）（4）物体表示的几何体 。

三、巩固练习：
1. 练习：课本P8 A组 2～5题.
2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、
宽、高分别为多少？
3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥
的高
4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.
四、归纳小结：
本节课学 习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的
性质及分类，重点要把握它们的结构特征。
五、作业布置：
习题1.1 B组 第1- 2题
课后记：

课题：中心投影与平行投影
及简单几何体的三视图
教学目标：
1、了解中心投影和平行投影的原理；
2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几
何体。
教学重点：投影的概念及三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、新课导入：
1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图
纸？

2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不
同。不识庐山真面 目，只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三
视图和直观图来画在纸上.
三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图
形；
直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.
用途：工程建设、机械制造、日常生活.
二、讲授新课：
1. 中心投影与平行投影： < br>我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影
子，这是一种自然现象。投影 就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，
是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射， 并在该面上得
到图形的方法。生活中许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映 原来的物体，主要应用于绘
画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，< br>投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在
另外的一些领域，比如工 程制图或技术图样，一般不采用中心投影。
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。 平行投影
按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）





我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三

视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映
物体。所以我们在现实生活中， 也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子
摸象。
2. 柱、锥、台、球的三视图：
（1）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）讨论：三视图与平面图形的关系？
画出长方体的三视图（教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三
视图）
注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。
讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？“长对正”，“高平齐”，
“宽相等”
（3） 结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、
上面（自上而 下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.
即正视图、侧视图、俯视图：

（4）试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （学生自己动手画图）
（5）讨论：
三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量
（长、宽、高）？

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长
度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽
度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（6） 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.
（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）
三、巩固练习：
（1） 画出正四棱锥的三视图.
（2）画出右图所示几何体的三视图.
右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.



四、归纳小结：
今天我们学习了中心投影和平行投影，三视图的画法以及由三视图说
实物。三视图画法里面要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。
五、作业布置：
1、画出右图三棱柱的三视图。


2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是
_______________.

正视图 侧视图 俯视图




课后记：



课题：简单组合体的三视图
教学目标：
能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出
该几何体由哪些简单几何体构 成。
教学重点：简单组合体三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、复习回顾：
1．中心投影与平行投影的概念：
中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
2．三视图的概念：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
在三视图中要注意：
（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；
（2）要注意三视图的主视图反 映上下、左右关系，俯视图反映前后、左
右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。
二、讲授新课：
1．简单组合体的三视图：
例1：画出下列几何体的三视图。
分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。



例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：
cm）。
（与学生一起观察物体，给于必要的阐述）

主视图
左视图

现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是
什么物体吗？
俯视图
正前方
例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。
(1)
(2)
(3)

解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
主视图
左视图


俯视图

三、巩固练习：
课本第15页练习 第1—4题。
四、归纳小结：

今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视
图识别所表示的几何体。
五、作业布置：
课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。
课后记：



课题：空间几何体的直观图
教学目标：
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）对比方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形
两种方法的各自特点。
教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。
教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。
教学过程：
一、新课导入：
1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：
自上而下）
2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？
3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观
察几何体，画出的图形.
把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要
部分的位置关系和度量关系的图形
二、讲授新课：
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：

（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。（师生共练，注意
取点、变与不变 → 小结：画法步骤）画法：
① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线 为x
轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画
''< br>相应的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，使
?X
'
OY
=450
。
② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x’轴上取A’D’=AD，在 y’
轴上取M’N’=MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x’轴，并且等于BC；
再以 M’为中点，画E’F’平行于x’轴，并且等于EF。
③连接A’B’，C’D’,D’E’,F’ A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正
六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’ E’F’（图1.2-10(3)）。
（2）给出斜二测画法的基本步骤：
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，
OY，建立直角坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O
’
X
’
,O
’
Y
’
,
''
使
?X
'
OY
=45
0
（或135
0
），它们确定的平面表示水平平面；
1
2
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行
于X
‘
轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中
画成平行于Y
‘
轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线
（虚线）。
(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.
(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）
2. 空间图形的斜二测画法：
(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’

的直观图.
（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤）
画法：
① 画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy= 45
0
,
∠xOz=90
0
.
② 画底面。以点O为中点 ，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取
线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴 的平行线，过点P和Q作
x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
③ 画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行 线
上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
④ 成图。顺次连接A’,B ’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被
遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。
（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？
例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观
图。
分析：有几何体的 三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的
下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与 圆柱的上底面重合。
我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。
画法：
① 画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90
0
。
② 画圆柱 的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图
中圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板 中适当的椭圆过A,B两点，
使它为圆柱的下底面。
③ 在Oz上截取点O’，使OO’等于 正视图中OO’的长度，过点O’作平
行于轴Ox的轴O’x’，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底 面。
3
2

④ 画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。
⑤ 成图。连接PA’,PB ’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的几何体的直观
图（图1.2-14(2)）
强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。
（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？
空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空
间几何体的结构，根据三视图可以 得到一个精确的空间几何体，得到广泛
应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据
直观图的结构想象实物的形象.
三、巩固练习：
1．探究P19 奖杯的三视图到直观图.
2． 练习：P19 1～5题
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm

四、归纳小结：
让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。

五、作业布置：
课本P21 第4、5题。





课后记：

课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解 ，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体
和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
教学要求：了解柱、锥 、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公
式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式的由来.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计
算公式？
2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面
积公式？
二、讲授新课：

1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图
形，各面面积和）
② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S- ABC的表面
积.(教材P
24
页例1)
2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底
面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母
线）， S
圆柱侧
=2
?
rl
，S
圆柱表
=2
?
r(r?l )
，其中为
r
圆柱底面半径，
l
为母线长。
圆锥：侧面展 开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等
于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为
??
r
?360
0
，
l
S
圆锥侧
=?
rl
， S
圆锥表
=
?
r(r?l)
，其
中为
r
圆锥底面半径，
l
为母线长。
圆台：侧面展开图是 扇环，内弧长等于圆台上底周长，
外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为
?
?
R?r
?360
0
，S
圆台侧
=
?
( r?R)l
，S
圆台表
=
?
(r
2
?rl?Rl? R
2
)
.
l

④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角
为60°，求圆台的表面积.
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）
2. 教学表面积公式的实际应用：
① 例 2P
25
：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆
孔直径 1.5cm，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫
升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？

列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为
80 mm、440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S- ABCD，
求其表面积.
2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分
成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r、R；比为p:q）
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆
2
锥的底面直径为 。
（答案：
3
?
3a
?
m
）

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，求这个圆锥的表面积.
5. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大
值.
6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题
五、作业：P
28
1、2 P30习题 2题
课后记

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体
和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
教学要求：了解柱、锥、台的 体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式
及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式之间的关系.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.
3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
二、讲授新课：

1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的
儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式：
V
柱
?Sh
（S为底面面积，h为柱体的高）→
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、
棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式：
V
锥
?
1
Sh
S为底面面积，h为高）
3
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的
锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式：
V
台
?
1
(S
'
?
3
S
'
S?S)h
（S，
S
'
分别上、下底面积，
h为高）
→
径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台 体上底缩为一点时，台成为锥；
当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和 S’=0
便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以
统一为台体的 体积公式
11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S ?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h
（r、R
33
分别为圆台上底、下底半

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式

又可如何统一？


公式记忆：
V
锥
?
1
Sh

3
1
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

3
11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S) h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

33
2. 教学体积公式计算的运用：
例1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径
10mm ，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8gcm
3
）
讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数
量关系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式




② 练习： 将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面
高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是 正三角形的倒圆锥形容器中，求水
面的高度.



.
三、巩固练习：

1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平 行于三棱锥底面的平
面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的
棱锥的高为35cm，求这个棱 台的体积。 （答案：2325cm
3
）

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求
圆锥的体积.

4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm
2
,体积为2800cm
3，
求它的侧面积。

5. 仓库一角有谷一堆，呈14圆锥形，量得底面弧长2 .8m，母线长
2.2m，这堆谷多重？720kgm
3


四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P
28
2、3题； P30习题 3题.


课后记

课题： 球的体积和表面积
一. 教学目标
1.知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思
想方法：“分割——求和——化 为准确和”，有利于同学们进一步学习微积
分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
通过球的体积和面积 公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4
πR
3
和面积公式Ｓ＝４π R
2
的方法，即“分割求近似值，再由近似和
3
转化为球的体积和面积”的方 法，体现了极限思想。
二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌
握“分割、求近似值的、再由近似值的和转 化为球的体积和面积”的
解题方法和步骤。
２． 教学用具：多媒体课件
四. 教学设计
（一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体 那
样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行
思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球
的 体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆
片”，“小圆片”的体积的体积 之和正好是球的体积，由于“小圆片”
近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积 有
也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和
——化为准确和”的方法 来进行。
步骤：第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等 分点，
用一组平行于底面的平面把半球切割
“小圆片”厚度近似为
R
，底面是 “小
n
成n个“小圆片”，
圆片”的底面。
如图：
R
?
R
3
i?1
2
[1?()]　　(i?1、２??n)
得
V
i
?
?
?r
i
??
nnn
2< br>第二步：求和
1
(1?
1
n
)(2?
n
)
Ｖ
半球
＝v
1
?v
2
?v
3
?? ?v
n
?
?
R[1?]

6
3
第三步：化为准确的和
当n→∞时，
n
→0 （同学们讨论得出）
所以
Ｖ
半球
＝
?
R
3
(1?
1?22
)?
?
R
3

63
Ｖ
球
?
4
?
R
3

3
1
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5 cm,求它的内径(钢的密

度是7.9gcm
3
)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球
面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导
球的表面积公式,所以仍然用“ 分割、求近似和，再由近似和转化为准
确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是 它的八个
顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50
元）
（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密
度7.9gcm
3
）
讨论：如何求空心钢球的体积？
→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.
② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一 个正三
器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面
切，然后将球取出，求此时容器中水的深 度.
③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚
线表示的对称轴 旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球
的体积是圆柱体积的
2
，球的表面积也是圆柱全面积的
2
.
33
角形，在容
与球正好相
五、课堂小结：
本节课主要学习了球的 体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决
相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和， 再由近似和转化为

准确和”的解题方法。
六、作业：1、P
28
练习1、2、3


2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比
为 。
（答案：
33:1
；
3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平 行截面，它们的面积分别为49πcm
2
和400πcm
2
，求球的表面积。 （答案：2500πcm
2
）
七、课后记
课题：平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2） 掌握平面的表示法及水平
放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想< br>象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归
纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及
符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读 教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨
论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、 桌面、平静的湖面等等，都给我
们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和
互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 那么，平面的含
义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的
D
A B
C
一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
α
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放
0
β
置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2
β
倍长（如图）




平面通常用希腊字母α、β、γ等 表示，如平面α、平面β等，也可以用
表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母 来表
示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一 个平面遮住时，应画
成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
·B

·A

α
α

α
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B
?
α
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘
就落在了桌面上，用事 实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等
等……
引导学生归纳出公理2
公理
α
·

C
·

2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
·

A B
A
α
·


L
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
β
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线。
α
·

L
P

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系
三、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4
四、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什
么？
五、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系.
课后记：




课题：空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，
培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角
定理；（5）异面 直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳
整理所学知识。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成
本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面 直线的
概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬
托，如下图：

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线互相平行。 在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、 空间四边形ABCD，E
、
F
、
H
、
G分别是边AB
、
BC
、
CD
、
DA的
中点，求证：四边形EFGH是平行四边形

3 让学生观察、思考右图：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行， 这两组角的大
小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或
互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、
b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角
（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角 的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无
?
关，为了简便，点O一般取在两直线中的 一条上；
2

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂
直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例2（教材P47页例3）
（三）课堂练习
练习1、2
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（2）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________
条。
课后记：

课题：空间直线与平面、平面与平面之间的
位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面
难点：用图形表达直线与平面
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课
的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学过程：
（一）复习引入：
1 空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：
ab,bc?ac
．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相
同，那么这两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两
线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或< br>等.
5.空间两条异面直线的画法
条相交直
直角)相
a
b
b
a
a
b
A
1
A
D
1
B
1
D
B
C
1
C

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不

经过此点的直线是异面直线
推理模式：
A?
?
,B?
?< br>,l?
?
,B?l?
AB
与
l
是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
把
a
?
,b
?
所成的锐角（或
a
?
a,b
?
b
，
a
?
,b
?
所成的角的大 小与点
O
的选择无关，
直角）叫异面直线
a,b
所成的角（或夹角） ．为了简便，点
O
通常取在异面
直线的一条上
8．异面直线垂直：如果两 条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直
线垂直．两条异面直线
a,b
垂直，记作
a?b
．
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平
面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来
表示

a α a∩α=A a∥α
例1下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面?内，则L∥?
(2)若直线L与平面?平行，则L与平面?内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个

平面平行
（4）若直线L与平面?平行，则L与平面?内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
教学平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例
找面面关系.
② 讨论得出：相交、平行。
→定义：平行：没有公共点；
相交：有一条公共直线。

→符号表示：α∥β、 α∩β＝b

→举实例：…

③ 画法：相交：……
平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面
和两个平行平面相交
探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？


B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？

C. 三个平面可以将空间分成多少部分？
D. 若
?

?
，
?< br>
?
，则
?

?

三、巩固练习

1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a∥b，b??，则a∥? ②若a∥?，b∥?，则a∥b
③若a∥b，b∥?，则a∥? ④若a∥?，b??，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥?，b∥?，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有
（A）2个 （B）3个
（ ）
（C）4个 （D）5个
（3） 如果平面?外有两点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB
和平面?的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB??
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面?，n∥平面?，?∩?=l，则l



（ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
教材P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导
（四）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（五）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P51 习题2.1 A组第5题
课后记

课题：直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定
理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面
所在平面具有什么样的位置关系 ？如何去确定这种关系呢？这就是我们
本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1. 教学线面平行的判定定理：
① 探究:有平面
?
和平面外一条直线a,什么条件可以得到a
?
？

分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。
判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此
平面平行.
a?
?
?
?
符号语言:
b?
?
?
?a
?

ab
?
?例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平
面.
→改写： 已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求
证：EF平面BCD.
→ 分析思路 → 学生试板演
例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位
置关系，并说明理由.
→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法
→ 变式训练：还可证哪些线面平行
练习：
Ⅰ、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ ）
直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （ ）
直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b． （ ）
Ⅱ 在长方体ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解略）
练习：教材第56页 1、2题，让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳小结整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？

课题：平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法：让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，
得出两平面平行的判 定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位
置关系？一个平面内有 两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置
关系？
② 将讨论的结论用符号语言表示： a
?
β，b
?
β，a∩b＝P，a∥α，b∥
α，则β∥α。
③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况.
④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那
么这两个平面平行。
☆ 图形语言、文字语言、符号语言
☆ 思想：线面平行→面面平行.
⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。
a?
?
,b?
?
,a
I
b?
a∥
?
，b∥
?
A
?
?< br>?
?

?
；
?

⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。
分析结果→以后待证→结论好处 → 变问：垂直于同一条直线的两个
平面呢？
⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的
两条相交直线，那么这两个平面是否平行？
B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的
离相等，则α与β的位置关系是怎样的？试 证明你的
论。
2. 教学例题：
① 例1：在长方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
, 求证：平面AB
1
D
1
∥平面C
1
BD.
分析：如何找线线平行→线面平行→面面平行？
师生共练，强调证明格式
小结：证明思想.
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行。
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置：第62页习题2.2 A组第7题。
课题：直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
距
结

（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2 ）掌握两个平面平行
的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
1. 教学线面平行的性质定理：
① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面
相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？
② 给出线面性质定理及符号语言：
l
?
,l?
?
,
?
I
?
?m?lm
．
a
β
b
③ 讨论性质定理的证明：
∵
l
?
，∴
l
和
?
没有公共点，
又∵
m?
?
，∴
l
和
m
没有公共点； < br>即
l
和
m
都在
?
内，且没有公共点，∴
lm
．
α
c
④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那
么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一
行于一个平面，那么另一条与平面有何位置关系？
教学例题：
例1：已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,b
?
α， 求
b
c< br>a
?
?
d
?
?
条平
证：b

< br>
∥平面α
分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？
→ 师生共练 → 小结：作辅助平面；
转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”
② 练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线
平行。（改写成数学符 号语言→试证）
已知直线
a
∥平面
?
，直线
a
∥ 平面
?
，平面
?
I
平面
?
=
b
， 求证
a
b

例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A
′
C
′
．要
经过木料表面A
′
B
′
C
′< br>D′ 内的一点P和棱BC将木料
锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？
例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平
面，求证：另一条也平行于这个平面。
讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画线？
如何证明所画就是所求？
变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、
面A′C′都有怎样的位 置关系．为什么？
面面平行性质定理：
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与 另一个平面有什么位
置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行
平面 都相交，两条交线有什么关系？为什么？
② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
∥
?
③ 用符号语言表示性质定理：
?
?
I
?＝a，
?
I
?
＝b
?
?

?
?
A
B
D
④ 讨论性质定理的证明思路.
教学例题：
例4已知平面
?
,
?
,
?
满 足
?

?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b,求证：ab

C

例5：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面
也相交.
讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？
→ 如何作辅助平面？ → 师生共同完成
例6：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：
?

?
，< br>AB,CD
是夹在两个平行平面
?
,
?
间的平行线段，求证：
AB?CD
.
→ 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三
个相交平面
② 练习：若
?

?
，?

?
，求证：
?

?
．
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
在平面
?
内取两条相交直线
a,b
，
分别过
a, b
作平面
?
,
?
，使它们分别与平面
?
交于两相交 直线
a
?
,b
?
，
∵
?

?，∴
aa
?
,bb
?
，
又∵
?
?
，同理在平面
?
内存在两相交直线
a
??
,b
??
，使得
a
?
a
??
,b
?
b
??
，
∴
aa
??
,bb
??
， ∴
?

?
.
三、巩固练习：
1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应
成比例.
2. 已知
l,m
是两条异面直线，
l
平面
?
，
l
平 面
?
，
m
面
?
，
m
平面
?
，
求证：
?

?
．
*3. 设
P,Q
是 单位正方体
AC
1
的面
AA
1
D
1
D、面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中 心，
如图：（1）证明：
PQ
平面
AA
1
B
1< br>B
； （2）
长。
求线段
PQ
的

4. 课堂作业：书P69 B组2、3题。
5. 如图，b∥c，求证：a∥b∥c
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
6. 设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且ab. 求证：
a∥b∥c.
四. 小结：线面平行的性质定理，转化思想；面面平行的性质定理及其它
性质（
?< br>
?
,a?
?
?a
?
）；转化思想四、
五. 作业：P62 4、5、6题.
课后记：





课题：直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上
学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过
程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
二、教学重点、难点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与 平
面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，
你能举出一些类似 的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生
的活动给予评价。
2、接着教师指出： 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过
分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平
面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线
L的垂面。如图2.3-1，直 线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
L

p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题： 虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实
际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断 直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如
图2 .3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸
片竖起放置在桌面上（BD 、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD
与桌面所在平面垂直？

B D
C
图
2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线
确 定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的
数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
例1：如图，已知
ab,a?
?
，求证：
b?
?

（分析：线面垂直
?
线线垂直
?
线面垂直）
例2在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，求直线
A'B
和平面
A'B'C' D'
所成的角.
（讨论
?
老师引导
?
学生版书）

巩固练习： 1. 平行四边形ABCD所在平面?外有一点P，
且PA=PB=P C=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O
的连线PO垂直于AB、AD
2. 如图， 已知AP
?eO
所在平面，AB为
eO
的直径，C是圆周上的任意，
过点A作
AE?PC
于点E. 求证：
AE?
平面PBC.
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面

垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P69练习
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这
条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这
个平面垂直，这个结论对吗？ 为什么？
课后记：





课题：直线和平面垂直
一、教学目标：1．进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；
2．熟练应用定理解决有关问题．
二、教学重、难点：定理应用．
三、教学过程：
?
?
A
B
a
P
（一）复习：1．直线与平面垂直的 定义；2．直线与平面垂直的判定定理；
3．练习：平行四边形
ABCD
所在平面< br>?
外有一点
P
，且
PA?PB?PC?PD
，
求证 ：点
P
和平行四边形对角线交点
O
的连线
PO
垂直于
BC
和
AB
．
（二）新课讲解：
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条．
?
P
B
?
a
A
已知：平面
?
和一点
P
求证：过点
P
与
?
垂直的直线只有一条．
证明：不论
P< br>在平面
?
内或外，设直线
PA?
?
，垂足为
A
（或
P
）若另一
直线
PB?
?
，设
PA,PB< br>确定的平面为
?
，且
?
I
?
?a
∴
PA?a,PB?a

又∵
PA,PB
在平面?
内，与平面几何中的定理矛盾，所以过点
P
与
?
垂直
的直线只有一条。
例2．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（线
面垂直的性质定理）
已知：如图，
a?
?
,b?
?
求证：
ab

证明：（反证法）假定
b
不平行于
a
，则
b
与
a
相交或异面；
?
a
b
b'< br>O
（1）若
a
与
b
相交，设
aIb?A
，∵
a?
?
,b?
?

∴过点
A
有两条直线与平面
?
垂直，
此与“过一点有且只 有一条直线垂直于已知平面”矛盾，∴
a
与
b
不相交；
（2）若< br>a
与
b
异面，设
bI
?
?O
，过
O
作
b
?
a
，
∵
a?
?
∴
b
?
?
?
又∵
b?
?
且
bIb
?
?O
，
∴过点< br>O
有直线
b
?
和
b
垂直于
?
与过一 点有且只有一条直线一已知平面垂
直矛盾，
∴
b
与
a
不异面，综上假设不成立， ∴
ab
．
说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中．
lP
例3．已知直线
l?
平面
?
，垂足为
A
，直 线
AP?l
，求证：
AP
在平面
?
内．
M

A
?
?
证明：设
AP
与
l
确定的平面为< br>?
，
如果
AP
不在
?
内，则可设
?
I
?
?AM
，∵
l?
?
，∴
l?AM
， 又∵
AP?l
，
于是在平面
?
内过点
A
有两条直线垂直于
l
， < br>这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以
AP
一定在平面
?内．
点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间线段的长，
叫做点 到平面的距离。

四、课堂小结：直线与平面垂直的判定定理和性质定理．
五、作业：补充：如图，
AB
是圆
O
的直径，
C
是 圆周上的一点，
PA
垂直
P
于
eO
所在的平面，
A F?PC
，求证：
FA?
平面
PBC
．
F
C
O
P73 5、6
课后记



A
B
课题：平面与平面垂直的判定
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角 的平面角”及“直二面
角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定
定理。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。2、教学用具：二面角模型（两
块硬纸板）
四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、 “直线和平面所成的
角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角
A
图形
边
顶点 O 边 B
二面角
A
梭 l β
B
α
从平面内一点出发的两从空间一直线出发的两个半
定义 条射线（半直线）所组成的平面所组成的图形
图形
构成
表示
射线 — 点（顶点）一 射
线
∠AOB
半平面 一 线（棱）一 半平
面
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面 相交的位置关系，如我们常说“把门开
大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢 ？师生
活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位
取一点为顶点， 在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操
作，研探二面角大小的度量方法——二面角 的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；

（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（三）应用举例，强化所学
例1：如图，
AB
是
eO的直径，
PA
垂直于
eO
所在的平面，
C
是圆周上不同
于
A,B
的任意一点，求证：平面
PAC?平面PBC
.
（讨论
?
师生共析
?
学生试写证明步骤
?
归纳：线线垂直< br>?
线面垂直
?
面
面垂直）
练习：教材P69页探究题 例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求
平面ACD和平面BCD所在二面角的 大小. (分析
?
学生自练)
练习：如图，已知三棱锥
D?ABC
的三个侧面与底面全等，
且
AB?AC?3,BC?2
，求以
BC
为 棱，以面
BCD
与面
BCA
为面的二面角的大
小？
（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定
定理有何关系？
（五）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们 所
成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB
⊥L”？为什么
∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

课题：直线与平面垂直、平面与平面
垂直的性质
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互
联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质
定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证 明”，培养学生空间概念、空间
想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）、复习准备：

1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.
2.练习：对于直线
m ,n
和平面
?
,
?
，能得出
?
?
?
的一个条件是（ ）①
m?n,m
?
,n
?
②
m?n,< br>?
?
?
?m,n?
?
③
mn,n?
?
,m?
?
④
mn,m?
?
,n?
?
.
3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地
面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么 位置关系？
（二）、讲授新课：
1. 教学直线与平面垂直的性质定理：
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直
?
线线平行）
② 练习：
a,b,c
表示直线，
M
表示平面，则
ab
的充分条 件是（ ）A、
a?c且b?c

B、
aM且bM
C、
a?M且b?M
D、
a,b与c
所在的角相等
例1：设直 线
a,b
分别在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中两个不同的平面内，欲 使
ab
，
a,b
应满足什么条件？（分组讨论
?
师生共析< br>?
总结归纳）
（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等 、
同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）
2.教学平面与平面垂直的性质定理： < br>①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
直.（面面垂直
?
线面垂直）
探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅
有一条.
②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）
A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

例2、如图，已知平面
?
,
?
,
?
?
?< br>，直线
a
满
试判断直线
a
与平面
?
的位置关 系.






足
a?
?
,a?
?
，
④练习：如图，已知平面
?
?
平面?
，平面
?
?
平面
?
，求证：
a?
?
.

?
?
?
?a
，




(三)、巩固练习：
1、下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外 一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有
一个平面和一条定直线垂直C、若
a ,b
异
定可作一个平面与
b
垂直D、
a,b
异面，
上的点
M
，一定可以作一个平面和
a,b
都
面，过
a
一
过不在
a,b
垂直.
2、如图，
P
是
?A BC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?平面PAB,M是PC
的中点，
N 是AB
上的点，
AN?3NB.
求证：
MN?AB.

3、教材P71、72页
（四）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平 面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂
线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）

思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直
线a与平面α具有什么位置关系？
五、归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
六、作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
课后记：







课题：三垂线定理（1）
一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理
解决有关线线垂直问题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各
条直线之间的关系．
四、教学过程：
AB
B
（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：
B
B
A
A


A
A
0
A
0
A
(A
0
)
B
0
A
A
0
A
B
A
0
(B
0
)
A
0
B
0
A
0
B
0
B
0

（二）新课讲解：
1．射影的有关概念：
（1）点的射影：自一点
P
向平面
?
引垂线，垂足
P
?
叫做
P
在平面
?
内
的正射影（简称射影）。
（2）图形的射影：如果图形
F
上所有点在一个平面内的射影构成图形
F
?
，则
F
?
叫做
F
在
这个平面内的射影．
2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做
平面的斜线；
（2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．由 此，斜线段
AB
A
在平面内的射影仍为线段，即为线段
A
0
B
．
3．三垂线定理：
?
A
0
B
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
已知：
PO,PA
分别是平面
?
的垂线和斜线，
OA
是
PA
在平面
?
内的射影，
a?
?
，且< br>a?OA

求证：
a?PA
；
证明：∵
PO?
?
∴
PO?a
，又∵
a?OA,POIOA?O

∴
a?
平面
POA
， ∴
a?PA
．
?
P
a
O
A

说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直
关系；
P O?
?
,O?
?
?
（2）推理模式：
PA
I
?
?A
?
?
?a?PA
．
a?
?
,a?OA
?
?
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜
线的射影垂直。（证明
略）
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PA
I
?
?A
?
?a?AO
．
a?
?
,a?AP
?
?
练习：
Rt?ABC< br>在平面
?
内，
?C?90
o
,PC?
?
,C D?AB
于点
D
，请指出图形
P
中的直角三角形。
C?
Rt?ABC,Rt?ADC,Rt?BDC
?
??
?
Rt? PDA,Rt?PDB
?

?
Rt?PCA,Rt?PCB,Rt?PCD< br>?
??
?
A
D
B
P
A
O
B
D
C
三．例题分析：
例1．已知：点
O
是
?AB C
的垂心，
PO?平面ABC
，垂足为
O
，求证：
PA?B C
．
证明：∵点
O
是
?ABC
的垂心，∴
AD?BC

又∵
PO?平面ABC
，垂足为
O
，
PAI平面ABC?A
所以，由三垂线定理知，
PA?BC
．
例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在
平面内的射影在这个角的角平分线上．
已知：
?BAC
在平面
?
内，点
P?
?
, PE?AB,PF?AC,PO?
?
，垂足分别为
P
E
B
O
F
C
E,F,O,PE?PF
，
A
?

求证：
?BAO??CAO
．
证明：∵
PE?AB,PF?AC,PO?
?
，
∴
AB?OE,AC?OF
（三垂线定理逆定理）
∵
PE?PF,PA?PA
，∴
Rt?PAE?Rt?AOF
，
∴
AE?AF
，又∵
AO?AO
， ∴
Rt?AOE?Rt?AOF
∴
?BAO??CAO
．
例3．如 图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔
AB
，高
15m
，只有量角器
和
尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点
C
， 使
BC
与道路边所成的水平角等于
90
o
，
再在道路边取一点
D
，使水平角
?CDB?45
o
，
测得
C,D
的距离等于
20m
，
∵
BC
是
AC
在平面上的射影，且
CD?BC
∴
CD?AC
（三垂线定理）
因此斜线段
AC
的长度就是塔顶与道路的距离，
P
∵
?C DB?45
o
,CD?BC,CD?20m
，∴
BC?20m
， < br>在
Rt?ABC
中得
|AC|?AB
2
?BC
2?15
2
?20
2
?25(m)
，
答：电塔顶与道路距离是
25m
．
四、课堂小结：
1．射影和斜线的有关概念；2．三垂线定理及其逆定理．
五、作业：
1．在正 方体
AC
1
中，求证：正方体的对角线
A
1
C
垂直 于平面
AB
1
D
1
．
2．如图，
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，点
M,N
分别是
AB,PC
的中点，
求证：
AB?MN
．
课题：三垂线定理（2）
A
M
N
D
C
B

课 型：新授课
一、课题：三垂线定理（2）
二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；
2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正
确应用．
三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．三垂线定理及其逆定理的内容；
2．练习：已知：在正方体
AC
1中，求证：（1）
BD
1
?AC
（2）
BD
1
?B
1
C
．
11
；
（二）新课讲解：
例1．点
A
为
?BCD
所在平面外的一点，点
O
为点
A在平面
BCD
内的射影，
A
A
1
D
1
B
1
C
1
D
A
B
C
若
AC?BD ,AD?BC
，求证：
AB?CD
．
B
D
O
C< br>证明：连结
OB,OC,OD
，∵
AO?
平面
BCD
，且
AC?BD

∴
BD?OC
（三垂线定理逆定理）同理
OD?BC
，∴
O
为
?ABC
的垂心，
∴
OB?CD
， 又∵
AO?
平面
BCD
，∴
AB?CD
（三垂线定理） < br>【练习】：
?BCD
所在平面外的一点
A
在平面
BCD
内的射影
O
为
?BCD
的垂
心，
求证：点
B< br>在
?ACD
内的射影
P
是
?ACD
的垂心．
例2．已知：四面体
S?ABC
中，
SA?平面ABC,?ABC
是锐角三 角形，
H
是点
S
A
在面
SBC
上的射影，求证：
H
不可能是
?SBC
的垂心．
A
HC
证明：假设
H
是
?SBC
的垂心，连结
BH
，则
BH?SC
，
∵
BH?
平面
SBC
∴
BH
是
AB
在平面
SBC
内的射影，
∴
SC?AB
（三垂线定理）
又∵
SA?
平面
A BC
，
AC
是
SC
在平面
ABC
内的射影
A
1
D
1
B
C
1
B
1
E
D
F
A
B
G
C

∴
AB?AC
（三垂线定理的逆定理）
∴
?ABC
是直角三角形，此与“
?ABC
是锐角三角形”矛盾
∴假设不成立，所以，
H
不可能是
?SBC
的垂心．
例3 ．已知：如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
CC
1
的中点，
F
是
AC,BD
的交点，求证：
A
1
F?
平面
BE D
．
证明：
AA
1
?
平面
ABCD
，< br>AF
是
A
1
F
在面
ABCD
上的射影 又∵
AC?BD
，∴
A
1
F?BD

取
B C
中点
G
，连结
FG,B
1
G
，
BF
C
∵
A
1
B
1
?
平面
BC C
1
B
1
,FG?
平面
BCC
1
B
1
，∴
B,G
为
A
1
F
在面
BCC1
B
1
上的射影，
A
又∵正方形
BCC
1< br>B
1
中，
E,G
分别为
CC
1
,BC
的中点，∴
BE?B
1
G
，
E
D
∴
A
1
F?BE
（三垂线定理）又∵
EBIBD?B
，∴
A1
F?
平面
BED
．
五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．
六、作业：
1．已知P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA,PB,PC
两两垂直，< br>H
是
?ABC
的垂
心，
求证：
PH?
平面
ABC
．
2．已知
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA,PB,PC
两两垂直，
求证：
P
在平面
ABC
内的射影
O
是
?ABC
的 垂心．
3．如图，
?ABC
是正三角形，
F
是
BC
的中点，
DF?
平面
ABC
，四边形
ACDE
是菱形，
求证：
AD?BE
．
4．如图，过直角三角形
BPC
的直 角顶点
P
作线段
PA?
平面
BPC
，
A
求证：
P
在平面
ABC
内的射影
H
是
?ABC的垂心．
H
P
B
C

本章复习（一）
课 型：复习课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能

力。
2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知 识，化
抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值 < br>学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互
相联系，进一步培养学生的空 间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的
转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图






直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）


平面与平面的位置关系

（二）整合知识，发展思维 < br>1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图
形问题，进行逻辑推理的基础 。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：

直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行




直线与直线垂直
直线与平面垂直 平面与平面垂直
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.73 A组第1题 2、P.74 A组第6、8题
B
P
A
（四）、课堂练习：
1．选择题
D
?
C
（1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面? 垂线AP，
连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数
是 （ ）
（B）6个 （C）7个 （D）8个 （A）4个
（2）直线a与平面?斜交，则在平面?内与直线a垂直的直线（ ）
（A）没有 （B）有一条 （C）有无数条
答案：（1）D (2) C
（D）?内所有直线

2．填空题
（1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面?内， PA⊥?，PA=a，则P到
CD的距离为 ，P到BC的距离为 .
（2）AC是平面?的斜线，且AO=a，AO与?成60?角，
O
A
OC??，AA＇⊥?于A＇，∠A＇OC=45?，则A到直线OC的距离是 ，
∠AOC的余弦值是 .
答案：（1）
2a,
7142
a
; （2）
a,

244
D
1
A
1
B
1
C
1
?
C
A
3．在正方体ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，求证：A
1
C⊥平面
BC
1D.
分析：A
1
C在上底面ABCD的射影AC⊥BD,
A
1
C在右侧面的射影D
1
C⊥C
1
D,
所以A
1
C⊥BD, A
1
C⊥C
1
D,从而有A
1
C⊥平面BC
1
D.
课后作业
A
D
C
B
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想
方法；
2、P.76 B组第2题。






本章复习（二）
课 型：复习课
一、复习目标：
1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性

质定理．
2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性
质定理．
3．掌握直线 与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它
们进行论证和解决有关的问题；
4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题
过程。
二、例题分析：



例1．正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中．
(1)求证：平面A
1
BD∥平面B
1
D
1
C；
A
1
E
A

D
D
1
B
C
1
F
G
C
B
(2)若E、 F分别是AA
1
，CC
1
的中点，求证：平面EB
1
D1
∥平面FBD．
证明：(1)由B
1
B∥DD
1
， 得四边形BB
1
D
1
D是平行四边形，∴B
1
D
1
∥BD，
又BD ?平面B
1
D
1
C，B
1< br>D
1
?
平面B
1
D
1
C，∴BD∥平面B< br>1
D
1
C．同理A
1
D
∥平面B
1
D
1
C．


而A
1
D∩BD＝D，∴平面A< br>1
BD∥平面B
1
CD．
(2)由BD∥B
1
D< br>1
，得BD∥平面EB
1
D
1
．取BB
1
中 点G，∴AE∥B
1
G．从而
得B
1
E∥AG，
同理GF∥AD．∴AG∥DF．


∴B
1
E∥DF． ∴DF∥平面EB
1
D
1
．∴平面EB
1
D
1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
小结：
例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、
A
CD、DA的中点．
M
Q
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分 ；(2)AC∥平面MNP
B
，BD∥平
D

面MNP．
N
C

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝
1
AC．
2
∵P、 Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝
1
CA．∴MN∥QP，MN
2
＝QP，
MNPQ是平行四边形．∴
□
MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然AC?α．否
则，若AC ?α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、
C、D∈α，


与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MN?α，∴AC∥α，又AC ?α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．同
理可证BD∥平面MNP．
例3．四面体
ABCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且< br>EF?


?BDC?90
o
，求证：
BD?
平面
ACD

2
AC
，
2
证明：取
CD
的中点
G，连结
EG,FG
，∵
E,F
分别为
AD,BC
的中点 ，∴

1
AC

EG
?
2


1
BDFG
?
2
，又
AC?BD,
∴
FG?AC
，∴在
?EFG
中，
1
AC
2
?EF
2< br>
2
1
2
EG
2
?FG
2
?


∴
EG?FG
，∴
BD?AC
，又
?BDC?9 0
o
，即
BD?CD
，
ACICD?C

∴
BD?
平面
ACD

例2．如图
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?
平面
PAB
，
M
是
PC
的
中点，
N
是
AB
上 的点，
AN?3NB

M
P
（1）求证：
MN?AB
；（2）当
?APB?90
o
，
AB?2BC?4
时，求
MN
的长。
C
N
A
B

（1）证 明：取
PA
的中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M是
PC
的中点
∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB

∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
D
，连结
PD
，∵
PA?PB,∴
PD?AB
，又
AN?3NB
，∴
BN?ND

∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

（2）∵
?APB?90
o
，
PA?PB,
∴
P D?AB?2
，∴
QN?1
，∵
MQ?
平面
PAB
.
∴
MQ?NQ
，且
MQ?BC?1
，∴
MN?2

课后作业：
1．在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，经过其对角线
BD
1
的平面分别与棱< br>AA
1
、
CC
1
相交于
E,F
两点，则四边 形
EBFD
1
的形状为 ．（平行四边形）
2 ．如图，A，B，C，D四点都在平面?，?外，它们在?内的射影A
1
，B
1
，
C
1
，D
1
是平行四边形的四个顶点，在?内的射影A
2
，B
2
，C
2
，D
2
在一条直
线上，求 证：ABCD是平行四边形．










B

C

B
1


D

1
2
1
2
A
3．已知直线a、b和平面M、N，且
a?M
，那么（ ）


（A）
b
∥M
?
b⊥a
（C）N⊥M
?
a∥N
（B）b⊥a
?
b∥M
（D）
a?N?M?N?
?






4．如图，
PA?
矩形
ABCD
所在的平面，
M ,N
分别是
AB,PC
的中点，
（1）求证：
MN
平面
PAD
；
（2）求证：
MN?CD

（3）若
?PDA?
，求证：
MN?
平面
PCD

4
M
P
S
A
N
D
A
BC
?
B
C

5．如图，已知< br>SA,SB,SC
是由一点
S
引出的不共面的三条射线，
?ASC?? ASB?45
0
,?BSC?60
o
,
?SAB?90
o< br>，求证：
AB?SC





课题：直线的倾斜角和斜率(1)
课 型：新授课
教学目标:
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
1. 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，
培养学生观察、探索能力，运用数学 语言表达能力，数学交流与评价能
力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生 进一步理解数形结合
思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求
简 的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：

1.直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P
的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无
数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线
有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎
样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方
向之间所成的角α叫做 直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重
．．．
合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条
直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜
角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一
个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾
．．．
P
．．．．．
斜角α.
．．．
2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线 的斜率,斜率
常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
O
Y
a
b
c
P
X

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= -
1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
3.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如 何用两点的坐标来表示直
线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作
辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直
线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以
同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与
x
轴平行或
重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
4．例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并
判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
略解: 直线AB的斜率k1=17>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3
的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐
标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以
原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作
45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),
可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
5．练习: P86 1. 2. 3. 4.
课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4
课后记:
课题：直线的倾斜角和斜率(2)
课 型：习题课
教学目标：
1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义

王新敞
2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

王新敞
3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

王新敞
4.培养学生分析探究和解决问题的能力.
教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用
教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用
教学过程

1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？
2) 斜率的计算公式是什么？
2.巩固练习：
1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：
(1)
?
＝0°；（2）
?
＝60°；(3)
?
＝90°；（４）150°
2).直线
l
经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是
3).过点
P
(－2,
m
)和
Q
(
m,4)的直线的斜率等于1，则
m
的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4).已知
A< br>(2，3)、
B
(－1，4)，则直线
AB
的斜率是 .
5).已知
M
(
a,b
)、
N
(
a, c
)(
b≠c
),则直线
MN
的倾斜角是 .
6).已知
O
(0，0)、
P
(
a,b
)(< br>a
≠0)，直线
OP
的斜率是 .
7).已知
P
1
(x
1
,y
1
),P
2< br>(x
2
,y
2
)
，当
x
1
?x2
时，直线
P
1
P
2
的斜率
k
= ；当
x
1
?x
2
且
y
1
?y
2< br>时，直线
P
1
P
2
的斜率为
3．例题分析：
例1.若三点
A(2,3)
，
B(3,?2)，
C(,m)
共线，求
m
的值

1
2
王新敞
说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学
习打基础 例2．如果直线
l
经过
A
(－1,2m)、
B
(2，< br>m
2
)二点，求直线
l
的斜率K的取
值范围。
例3．若直线
l
的斜率为函

f(a)?a
2
?4 a?3(a?R)的最小值，判定直线的倾斜角是锐角还是钝角？
例4.已知两点
A
( －3,4)、
B
(3，2)，过点
P
(2，－1)的直线
l
与线段
AB
有
公共点.求直线
l
的斜率
k
的取值范 围.(
k
≤－1或
k
≥3)
4．提高练习
1.若直线
l
过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线
l
的斜率为 ,倾斜角

为
2.已知直线
l
1< br>的倾斜角为
?
1
，则
l
1
关于
x
轴 对称的直线
l
2
的倾斜角
?
2
为
________
.
1
2
3已知两点
A
(
x
,－2),< br>B
(3,0),并且直线
AB
的斜率为，则
x
= 4斜率为2的直线经过(3，5)、(
a
,7)、(－1,
b
)三点，则
a、b
的值是( )
A.
a
=4,
b
=0 B.
a
=－4,
b
=－3 C.
a
=4,
b
=－3 D.
a
=－4,
b
=3
5已知两点
M
(2，－3 )、
N
(－3，－2)，直线
l
过点
P
(1，1)且与线段
MN
相交，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是( )

王新敞
A.
k
≥或
k
≤－4 B.－4≤
k
≤ C. ≤
k
≤4 D.－≤
k
≤4
归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用.
作业布置：完成全优设置相关练习.
课后记:


课题：两条直线的平行与垂直
课 型：新授课
教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直
线是否平行或垂直.
教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并
灵活运用．
教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两
条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提
醒学生注意解决好这个问题．
教学过程：
3
4
3
4
3
4
3
4

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,
可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜
率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断
两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存
在时，两直线的倾斜角都为90° ，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜
率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角 为0°，两直
线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行
或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾
斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂
直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合 )的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那
么它们的倾斜角相等：
α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tg
α1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tg
α1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α
2．
又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相
等；反之，如果它们 的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且 斜率存在的前提下才成立的，缺
．．．．．．．．
少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k 2, 那么一定有L1∥L2; 反之则
不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的 特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图
的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与 L2的交点在x
轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．


，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒
．．．． ．．．．
数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之
则不一定.
例题分析：
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ
的位置关系, 并证明你的结论.

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),
D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.

例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的
位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)(3-(-6))=23,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-32,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形,
其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)

课堂练习
P89 练习 1. 2.
归纳小结：
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；
(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线.
作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；
课后记:

课题：直线的点斜式、斜截式方程
课 型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标 系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和
直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点 斜式方程；学生通
过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过 让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学
生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在 相互联系、相互转化等观点，使

学生能用联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
教学过程：
问 题
1、在直线坐标系内确定一条
直线，应知道哪些条件？
设计意图
使学生在已有
师生活动
学生回顾，并回
知识和经验的基答。然后教师指出，
础上，探索新知。 直线的方程，就是直
线上任意一点的坐
标
(x,y)
满足的关系
式。
2、直线
l
过
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率
y
P
P
0
培养学生自主学生根据斜率公
探索的能力，并式，可以得到，当
O
x
为
k
。设点
P(x,y)
是直线
l
上的任意一点，请建
立
x,y
与k,x
0
,y
0
之间的关系。

体会直线的方
程，就是直线上
任意一点的坐标
(x,y)
满足的关
x?x
0时，
k?
y?y
0
，即
x?x
0
y?y
0
?k(x?x
0
)

系式，从而掌握
根据条件求直线
方程的方法。
（1）
教师对基础薄弱
的学生给予关注、引
导，使每个学生都能
推导出这个方程。
3、（1）过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，斜 率
使学生了解方
是
k
的直线
l
上的点，其坐标
须满两个条件。
学生验证，教师引
程为直线方程必导。

都满足方程（1）吗？
问 题 设计意图 师生活动
学生验证，教师引（2）坐标满足方程（1）的点 使学生了解方
然后教师指出方
都 在经过
P
0
(x
0
,y
0
)
，斜率为k
程为直线方程必导。
的直线
l
上吗？
须满两个条件。 程（ 1）由直线上一
定点及其斜率确定，
所以叫做直线的点
斜式方程，简称点斜
式 （point slope
form）.
4、直线的点斜式方程能否表使学生理解直线 学生分组互相讨
示坐标平面上的所有直线
呢？
5、（1）
x
轴所在 直线的方程
是什么？
y
轴所在直线的方
程是什么？
（2）经过点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
且平行
的点斜 式方程的论，然后说明理由。
适用范围。
进一步使学生 教师学生引导通过
理解直线的点斜画图分析，求得问题
式方程的适用范的解决。
围，掌握特殊直
线方程的表示形
y
P
0
于
x< br>轴（即垂直于
y
轴）的直
式。
线方程是什么？

O
x
（3）经过点
P
0
(x
0
,y0
)
且平行
于
y
轴（即垂直于
x
轴）的直线方程是什么？
6、例1的教学。(教材93页) 学会运用点斜式
y

P

0

O

x

教师引导学生
方程解决问题，分析要用点斜式求

清楚用点斜 式公直线方程应已知那
式求直线方程必些条件？题目那些
须具备的两个条条件已经直接给
件：（1）一个定予，那些条件还有待
点；（2）有斜率。已去求。在坐标平面
同时掌握已知 直内，要画一条直线可
线方程画直线的以怎样去画。
方法。
7、已知直线
l
的斜率为
k
， 引入斜截式方 学生独立求出 直
且与
y
轴的交点为
(0,b)
，求直
程，让学生懂得线< br>l
的方程：
线
l
的方程。
斜截式方程源于
点斜式方程，是
点斜式方程的一
种特殊情形。
y?kx?b
（2）
再此基础上，教
师给出截距的概
念 ，引导学生分析方
程（2）由哪两个条
件确定，让学生理解
斜截式方程概念的
内涵。
8、观察方程
y?kx?b
，它
的形式具有什么特点？
问 题
9、直线
y?kx?b
在
x
轴上的
截距是什么？
深入理解和 学生讨论，教师及
掌握斜截式方程时给予评价。
的特点？
设计意图 师生活动
使学生理解学生思考回答，教师
“截距”与“距评价。
离”两个概念的

区别。
10、你如何从直线方程的角度< br>认识一次函数
y?kx?b
？一
次函数中
k
和
b的几何意义是
什么？你能说出一次函数
y?2x?1,y?3x,y??x?3
图
体会直线的斜学生思考、讨论，教
截式方程与一次师评价、归纳概括。
函数的关系.

象的特点吗？
11、例2的教学。(教材94页) 掌握从直线方 教师引 导学生分
程的角度判断两析：用斜率判断两条
条直线相互平直线平行、垂直结
行，或相 互垂直；
论
l
1
l
2
时。思考（1），
进一步理解斜截
式方程中
k,b
的
几何意义。
系？（2）
l
1
?l
2
时，
k
1
,k
2;b
1
,b
2
有何关
k
1
,k
2;b
1
,b
2
有何关
系？在此由学生得
出结论： l
1
l
2
?k
1
?k
2
,
且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2?k
1
k
2
??1

12、课堂练习第95页练习第巩固本节课所学学生独立完成，教师
1，2，3，4题。 过的知识。 检查反馈。

13、小结 使学生对本节课教师引导学生概所学的知识有一括：（1）本节课我们
个整体性的认学过那些知识点；
识，了解知识的（2 ）直线方程的点
来龙去脉。 斜式、斜截式的形式
特点和适用范围是
什么？（3）求一 条
直线的方程，要知道
多少个条件？
14、布置作业：第106页第1巩固深化
题的（1）、（2）、（3）和第3、
5题



例3． 如果直线
l
沿
x
轴负方向平移3个单位，再沿
y
轴正方向平 移1个
单位后，又回到原来的位置，求直线
l
的斜率.( －
1
)
3
学生课后独立完成。
归纳小结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方 程的点斜式、斜
截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多
少个条 件？
作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题
课后记:

课题：直线的两点式和截距式方程
课 型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生 在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识
的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解
教学过程：

问 题 设计意
图
师生活动
1、利用点斜式解
答如下问题：
遵循由 教师引导学生：根据已有的知识，要求
浅及深，直线方程，应知道什么条件？能不能把问
题转化 为已经解决的问题呢？在此基础
上，学生根据已知两点的坐标，先判断是
否存在斜率，然后求出 直线的斜率，从而
（1）已知直线
l
经由特殊
过两点
P
1< br>(1,2),P
2
(3,5)
,求
到一般
的认知
直线
l
的方程.
（2）已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
规律。使可求出直线方程：
学生在
已有的
知识基
础上获
3
（1）
y?2?(x?1)

2
（2）
y?y
1
?
其中
y
2
?y
1
(x?x
1
)

x
2
?x
1
(x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
)
，
得新结
教师指出：当
y
1
?y
2
时，方程可以写成
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
2
?y
1
x
2
?x
1
求通过这两点的
直线方程。
论，达到
温故知
新的目
的。
由于这个直线方程由两点确定，所以我们
把它叫直线的两点式方程，简称两点式
（two- point form）.
2、若点使学生 教师引导学生通过画图、观察和分析，
发现当
x
1
?x
2
时，直线与
x
轴垂直，所以直
线方程为：
x?x
1
；当
y
1
?y
2
时， 直线与
y
轴垂直，直线方程为：
y?y
1
。
P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
, y
2
)
懂得两
中有
x
1
?x
2
， 或
点式的
适用范
y
1
?y
2
，此时这两
围 和当
点的直线方程是
什么？
已知的
两点不
满足两

点式的
条件时
它的方
程形式。
问 题 设计意
图
3、例3 教学
已知直线
l
与
x
轴的交点为
A
(a,0)
，与
y
轴的
交点为B
(0,b)
，其
中
a?0,b?0
，求
直线
l
的方程。
使学生< br>学会用
两点式
求直线
方程；理
解截距
式源于
两点式，
是两点
式的特
殊情形。
4、例4教学
已知三角形的
让学生
学会根
教师给出中点坐标公式，学生根据自己
的 理解，选择恰当方法求出边BC所在的直
线方程和该边上中线所在直线方程。在此
基础上，学生 交流各自的作法，并进行比
的概念。
教师引导学生分析题目中所给的条件有什
么特点 ？可以用多少方法来求直线
l
的方
程？那种方法更为简捷？然后由求出直线
方 程：
师生活动
xy
??1

ab
a,b
的几何意义和截距式方程 教师指出：
三个顶点A（-5，据题 目
0），B（3，-3），C中所给
（0，2），求BC边的条件，较。
所在直线的方程，选择恰
以及该边上中线当的直
所在直线的方程。 线方程
解决问

题。
5、课堂练习
第97页第1、2、
3题。
6、小结
学生独立完成，教师检查、反馈。
增强学
生对直
线方种
四种形
教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之
间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少
式（点斜个条件？
式、斜截
式、两点
式、截距
式）互相
之间的
联系的
理解。
7、布置作业 巩固深
化，培养
学生的
独立解
决问题
的能力。
归纳小结：
学生课后完成

1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间
有什么关系？
2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题
课后记:



















课 型：新授课
课题：直线的一般式方程

教学目标：
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用
教学过程：
问 题 设计意图 师生活动
教师引导学生用分类讨论的方法
思考探究问题（1），即直线存在斜率
和直线不存在斜率时求出的直线方
程是否都为二 元一次方程。对于问题
（2），教师引导学生理解要判断某一
个方程是否表示一条直线，只需看 这
个方程是否可以转化为直线方程的
某种形式。为此要对B分类讨论，即
当
B ?0
时和当B=0时两种情形进行
变形。然后由学生去变形判断，得出
结论：
关于
x,y
的二元一次方程，它都表
示一条直线。
1、（1） 平面直角坐使学生理解
标系中的每一条直
线都可以用一个关
于
x,y
的二元一次
方程表示吗？
（2）每一个关于
直线和二元
一次方程的
关系。
x,y
的 二元一次方
程
Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）
都表示一条直线吗？

教师概括指出：由于任何一条直线
都可以用一个关于
x,y
的二元一次方
程表示；同时，任何一个关于
x,y
的
二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于
x,y
的二元一
次方程
Ax?By?C?0
（A，B不同时
为0）叫做直线的一般式方程，简称
一般式（general form）.
2、直线方程的一般使学生理解
式与其他几种形 式
的直线方程相比，
它有什么优点？
问 题

直线方程的
一般式的与
其他形
设计意图
式的不同
点。
师生活动
直线的一般式方程能够表示平面上
的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与
x
轴垂直的
直线。
3、在方程使学生理解 教师引导学生回顾前面所学过的
与
x
轴平行和重合、与
y
轴平行和重
合的直线方程的形式。然后由学生自
主探索得到问题的答案。
学生通过对比、讨论，发现直线方
程的一般式与其他形式的直线方程
的一个不同点是：
Ax?By?C?0
中，
二元一次方
A，B，C为何值时，
方程表示的直线
（1）平行于
x
轴；
（2）平行于
y
轴；
（3）与
x
轴重合；
程的系数和
常数项对直
线的位置的
影响。

（4）与
y
重合。
4、例5的教学
已知直线经过
使学生体
会把直线方
学生独立完成。然后教师检查、评价、
反馈。指出：对于直线方程的一般式，
一般作如下约定：一般按含
x
项、含
y
点A（6，-4），斜率程的点斜式
4
为
?
，求直线的点
转 化为一般
项、常数项顺序排列；
x
项的系数为
3
式，把握直
斜式和一般式方
正；
x
，
y
的系数和常数项一般不出
线方程 一般
程。
现分数；无特加要时，求直线方程的
式的特点。
结果写成一般式。
5、例6的教学
把直线
l
的一般
式方程
x?2y?6?0
化成
使学生体会
直线方程的
一般式化为< br>斜截式，和
已知直线方
程的一般式
求直线的斜
率和截距的
先由学生思考解答，并让一个学生
上黑板板书。然后教师引导学生归纳
出由直线方程的一般式， 求直线的斜
率和截距的方法：把一般式转化为斜
截式可求出直线的斜率的和直线在
y< br>轴上的截距。求直线与
x
轴的截距，
即求直线与
x
轴交点的横 坐标，为此
可在方程中令
y
=0，解出
x
值，即为
与直线与
x
轴的截距。
在直角坐标系中画直线时，通常
找出直线下两个坐标轴的交点。
斜截式，求出直线
l
的斜率以及它在
x
轴与
y
轴上的截距，
并画出图形。
方法。
6、二元一次方程的使学生进一
每一个解与坐标平
面中点的有什么关
系？直线与二元一
次方程的解之间有
步理解二元
一次方程与
直线的关
系，体会直
学生阅读教材第105页，从中获得
对问题的理解。

什么关系？ 解坐标系把
直线与方程
联系起来。
7、课堂练习 巩固所学知 学生独立完成，教师检查、评价。
第99练习第2题识和方法。
和第3（2）
问 题
8、小结
设计意图
使学生对直
线方程的理
解有一个整
师生活动
（1）请学生写出直线方程常见的
几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特
体的认识。 点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条
件？
（4）学习本节用到了哪些数学思
想方法？
巩固课堂上
所学的知识
和方法。

归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
作业布置：第101页习题3.2第10,11题
课后记:
学生课后独立思考完成。

课题：直线方程综合
课 型：习题课
教学目标：直线方程的各种形式及其在解题中的应用.
教学重点：直线方程的点斜式、斜截式 、两点式、截距式、一般式等形式
的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用.
教学难点：各种形式在解题中的灵活运用；加深对数学思想方法的理解与
应用
教学过程：
一、复习回顾：直线方程的各种形式用适用范围
二．课前练习
1.下列四命题中的真命题是
A、经过定点
P(x
0
,y
0
)
的直线都可以写成
y?y
0
?k(x?x
0
)
；
B.经过任意两个 不同的点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2(x
2
,y
2
)
的直线都可以用
(y?y
1
)(x
2
?x
1
)?(x?x
1
)(y
2
?y
1
)
表示；
C.不经过原点的直线都可以用
?
x
a
y
?1
表示；
b

D.经过定点
A(0,b)
的直线都可以用
y?kx?b
表示； < br>2．若直线(2
t
–3)
x
+
y
+6=0不经过第二 象限，则
t
的取值范围是
（
A
）(, +∞) （
B
）(–∞, ) （
C
）[, +∞] （
D
）(–∞, )
3．过点
M
(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程
是 .
三、例题分析
例1．已知在第一象限的ΔABC中，A（1，1）、B（5，1），
?A?,?B?,
34
3
2
3
2
3
2
3< br>2
??
求：（1）AB边的方程；（2）AC和BC所在的直线方程.
例2．求过点P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；
(2)与x轴y轴分别交于A、B两点，且|AP|:|BP|=3:5.
四、提高练习 < br>1．一条直线
l
被两条直线4
x
+
y
+6=0和3< br>x
–5
y
–6=0截得的线段的中点恰
好是坐标原点，则直线
l
的方程为（
A
）6
x
+
y
=0 （
B
）6
x
–
y
=0 （
C
）
x
+6
y
=0
（
D
）
x
–6
y
=0
2．设
A
(0, 3),
B
(3, 3),
C
(2, 0)，直线
x
=
m
将△
ABC
面积两等分，则
m
的值是
（
A
）
3
+1 （
B
）
3
–1 （
C
）2
3
（
D
）
3

3．若
A
、
B
是x
轴上两点，点
P
的横坐标是2，且|
PA
|=|
PB
|，若直线
PA
的方程为
x
–
y
–1=0，则直线
PB
的方程是
（
A
）2
x
–
y
–1=0 （
B
）
x
+
y
–3=0 （
C
）2
x
+
y
–7=0 （
D
）2
x
–
y
–4=0
4．直线
l< br>过原点，且平分平行四边形
ABCD
的面积，若平行四边形有两个
顶点的坐标是
A
(2, 3),
C
(–4,–1)，则直线
l
的方程
是 .
5．过点
P
(–2, 2)，且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小

时的直线的方程是 .
6．在直线3
x
–
y
+1=0上有一点
A
，它 到点
B
(1,–1)和点
C
(2, 0)等距离，
则
A
点坐标为 .
归纳小结：直线方程的各种形式要根据条件灵活选用；分析问题要突出数
学思想方法的运用。
作业布置：习题3.2第100页7、8、9题，课外完成B组题

课题：两直线的交点坐标
课 型：新授课
教学目标：
知识与技能：1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解
过程和方法：
1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直
线系方程。
教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标
教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系
教学过程：
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位
置关系。
课 堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程
的解的关系，那么如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直线的方程有
何关系？
二．新课讲授

1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）
直线L
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
L：Ax+By+C=0


课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次
方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成
的方程组有何关系？
1．若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
2．若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
3．若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
例题讲解：
例1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0

?
2x?2y?2?0

得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是 否规范，条理是否清楚，表
达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本104页第1，2题。
例2 ：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
(1)L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
(2)L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
(3)L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。


课堂设问：当
?
变化时，方程 3x+4y-2+
?
（2x+y+2 ）=0表示何图形，图
形有何特点？求出图形的交点坐标。
(1)运用信息技术，当
?
取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生
从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
(3)结论：方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。

例3. 已知
a
为实数，两直线
l
1
：
ax?y?1?0
，
l
2
：
x?y?a?0
相交于一点，
求证交点不可能在第一 象限及
x
轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a
2
?1
a?1
解：解方程组若＞0，则
a
＞1.当
a
＞1时 ，－＜0，此时交点在
a?1
a?1
第二象限内.
a
2
? 1
又因为
a
为任意实数时，都有
a?1
?
1＞0，故≠0
a?1
2
因为
a
≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在
x
轴上
，
王新敞

a?1a
2
?1
,
得交点(－)
a?1a?1
例 4．(1)求经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的
直线的方程.
(2) 设正数a, b满足2ab=a+b，直线
??1
总过一定点，求定点的坐标。

课堂练习：
(1)已知三点A(2, –3), B(4, 3), C(5,
m
)在同一直线上，则m的值为
2
x
a
y
b
(2)不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点
（A）(1, －
1
) （B）(－2, 0) （C）(2, 3) （D）(－2, 3)
2
(3)直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范
围是

(4)光线从 M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反
射光线所在的直线方程。
(5)求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的
交点，且 和直线3x-2y+4=0垂直
归纳小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问 题
转化为代数问题来解决，并能进行应用。
作业布置：109页2、3、4、5题
课后记: