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人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 08:42
tags:高中数学必修二

对数高中数学-对高中数学的期望


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1.设

?,?为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且l
?
?,m
?
?
,有如下的
两个命题:①若??∥?,则l∥m;②若l⊥m, 则??⊥?.那么( ).
A.①是真命题,②是假命题
C.①②都是真命题


B.①是假命题,②是真命题
D.①②都是假命题
2.如图 ,ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体 ,下面结论错误的是( ).
..
A.BD∥平面CB
1
D
1
B.AC
1
⊥BD
C.AC
1
⊥平面CB
1
D
1
D.异面直线AD与CB
1
角为60°
3.关于直线m,n与平面??,?,有下列四个命题:
①m∥?,n∥??且??∥?,则m∥n;
③m⊥?,n∥??且??∥?,则m⊥n;
其中真命题的序号是( ).
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
(第2题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则m⊥n;
④m∥?,n⊥??且??⊥?,则m∥n


4.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若 直线l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则l
1
,l2
互相平行
④若直线l
1
,l
2
是异面直线,则与l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列命题中正确的个数是( ).
①若直线l上有无数个点不在平面???内,则l∥?
②若直线l与平面???平行,则l与平面???内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行
第 1 页 共 9 页


④若直线l与平面???平行,则l与平面???内的任意一条直线都没有公共点
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6. 两直线l
1
与l
2
异面,过l
1
作平面与l
2
平行,这样的 平面( ).
A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个 D.只有两个 < br>7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最
大时, 直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ).
A.90° B.60° C.45° D.30°
8.下列说法中不正确的是( ).
....
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9.给出以下四个命题:
①如果 一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条
直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
10.异面直线a,b所成的角60°,直线a⊥c,则直线b与c所成的角的范围为( ).
A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°]
二、填空题
11.已知三棱锥P

ABC的三条 侧棱PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分
别为S
1
,S
2< br>,S
3
,则这个三棱锥的体积为 .
12.P是△ABC 所在平面???外一点,过P作PO⊥平面??,垂足是O,连PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC 的 心;
(2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则O是△ABC 的 心;
(3)若点P到三边AB,BC,CA的距离相等,则O是△ABC 的 心;
D.[30°,120°]
第 2 页 共 9 页


(4)若PA=PB=PC,∠C=90?,则O是AB边的 点;
(5)若PA=PB=PC,AB=AC,则点O在△ABC的 线上.
13.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边
的中点,G,H,I,J分 别为AF,AD,BE,DE的中点,将
△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成 角
的度数为 .


14.直线l与平面

??所成角为30°,l∩?=A,直线m∈?,则m与l所成角的取值范围
是 .
15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d
1,d
2

d
3
,d
4
,则d
1
+d
2
+d
3
+d
4
的值为 . 16.直二面角??-l-??的棱上有一点A,在平面??,??内各有一条射线AB,AC与l成
45°,AB
?
?,AC
?
?,则∠BAC= .
三、解答题
17.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(1)求证:BC⊥AD;
(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A
-BC-D的正弦值;
(3)设二面角A-BC-D的大小为

?,猜想

??为何值
时,四面体A-BCD的体积最大.(不要求证明)







18. 如图,在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=
(第17题)

(第13题)

J
第 3 页 共 9 页

< br>2,BB
1
=BC=1,E为D
1
C
1
的中点,连结 ED,EC,EB和DB.
(1)求证:平面EDB⊥平面EBC;
(2)求二面角E-DB-C的正切值.











19*.如图,在底面是直角梯形的 四棱锥

-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
(1)求四棱锥S—ABCD的体积;?
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是
所求二面角的棱.)








(第19题)
(第18题)

1

2
第 4 页 共 9 页


20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示:在 AA
1

上取一点

P,过

P

作棱柱的截面,使

AA
1

垂直于这个截面.)









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(第20题)


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组
一、选择题
1.D
解析:命题②有反例,如图中平面??∩平面??=直线n,
l
?
?,m
?
?,
且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面???不垂直平面

?,??????????????????
(第1题)

故②是假命题;命题①显然也是假命题,
2.D
解析:异面直线AD与CB
1
角为45°.
3.D
解析:在①、④的条件下,m,n的位置关系不确定.
4.D
解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D.
5.B
解析:学会用长方体模型分析问题,A
1
A有无数点在平
面ABCD外,但AA1
与平面ABCD相交,①不正确;A
1
B
1

平面A BCD,显然A
1
B
1
不平行于BD,②不正确;A
1
B< br>1
∥AB,
A
1
B
1
∥平面ABCD,但AB
?
平面ABCD内,③不正确;l与
平面α平行,则l与???无公共点,l与平面???内 的所有直线
都没有公共点,④正确,应选B.
(第5题)

6.B
解析:设平面 ??过l
1
,且 l
2
∥?,则 l
1
上一定点 P 与 l
2
确定一平面 ??,??与 ??的交
线l
3
∥l
2
,且 l
3
过点 P. 又过点 P 与 l
2
平行的直线只有一条,即 l
3
有唯一性,所以经过
l
1
和 l
3
的平面是唯一的,即过 l
1
且平行于 l
2
的平面是唯一的.
7.C
解析:当三棱锥D-ABC体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,则△DBO
第 6 页 共 9 页


是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.
8.D < br>解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;
C.这些 直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
9.B
解析:因为①②④正确,故选B.
10.A
解析:异面直线
a

b
所成的角为60°,直线
c

a
,过空间任一点 P,作直线 a’∥a,
b’∥b, c’∥c. 若a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则
b



为(30°,90°],所以直线b与c所成角的范围为[30°,90°] .
二、填空题
11.
c


所成的角的范围
1
3
2S< br>1
S
2
S
3

解析:设三条侧棱长为 a,b,c.


111
ab=S
1
,bc=S
2
,ca=S
3
三式相乘:
222
1
222
a b c=S
1
S
2
S
3

8
∴ abc

2
2S
1
S
2
S
3

∵ 三侧棱两两垂直,
1
11
∴ V

abc·=
2
33
2S
1
S
2
S
3

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分.
解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心;
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心;
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心;
(4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点;
(5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上.
13.60°.
解析:将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为60°.
14.[30°,90°].
解析:直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的 最小值,当m在???内适当旋转
第 7 页 共 9 页


就可以得到l⊥m,即m与l所成角的的最大值为90°.
15.
6

3
1
?
3
×(d
1
+d
2
+d
3
+d
4
)=
1
?< br>3
·h,而h=
6

34343
解析:作等积变换:
16.60°或120°.
解析:不妨固定AB,则AC有两种可能.
三、解答题
17.证明:(1)取BC中点O,连结AO,DO.
∵△ABC,△BCD都是边长为4的正三角形,
∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO=O


∴BC⊥平面AOD.又AD
?
平面AOD,
∴BC⊥AD.
(第17题)

解:(2)由(1)知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角,设∠ AOD=?,则过点D作
DE⊥AD,垂足为E.
∵BC⊥平面ADO,且BC
?
平面ABC,
∴平面ADO⊥平面ABC.又平面ADO∩平面ABC=AO,
∴DE⊥平面ABC.
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离,即DE=3.
又DO=
3
BD=2
3

2
3
DE
=,
2
DO
3

2
在Rt△DEO中,sin?=
故二面角A-BC-D的正弦值为
(3)当 ?=90°时,四面体ABCD的体积最大.
18.证明:(1)在长方体ABCD-A
1< br>B
1
C
1
D
1
中,AB=2,BB
1
=BC=1,E为D
1
C
1
的中点.∴
△DD
1
E为等腰直角三角形,∠D
1
ED=45°.同理∠C
1
EC=45°.∴< br>?DEC?90?
,即DE⊥EC.
在长方体ABC
D

A
1
B
1
C
1
D
1
中,BC⊥平面
D
1
DCC
1
,又DE
?
平面
D
1
DCC
1

∴BC⊥DE.又
EC?BC?C
,∴DE⊥平面E BC.∵平面DEB过DE,∴平面DEB⊥
平面EBC.
(2)解:如图,过E在平面< br>D
1
DCC
1
中作EO⊥DC
第 8 页 共 9 页


于O.在长方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,∵面ABCD⊥面
D
1
DCC
1
,∴EO⊥面ABCD.过O在
平面DBC中作OF⊥DB于F,连结EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角
E
-D
B
-C的平面角.利
用平面几何知识可得OF=1

(第18题)

5
又OE=1,所以,tan
?
EFO=
5

1
1
2
?
1=
3
, 19*.解:(1)直角梯形 ABCD的面积是M
底面

(BC+AD)?AB

24
2
1+
11
31
∴四棱锥S—ABCD的体积是V=·SA·M
底面< br>=×1×=.
44
33
(2)如图,延长BA,CD相交于点E,连结SE, 则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA

AB

SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB
上的射影,?
∴CS⊥SE,∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=
SA
2
+AB
2

2
,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC=
BC2


SB2

(第19题)

即所求二面角的正切值为
2

2
20*.解:如图,设斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧 面BB
1
C
1
C
的面积为10,A
1
A和面BB< br>1
C
1
C的距离为6,在AA
1
上取一点P
作截面P QR,使AA
1
⊥截面PQR,AA
1
∥CC
1
,∴截面P QR⊥侧
面BB
1
C
1
C,过P作PO⊥QR于O,则PO⊥侧面B B
1
C
1
C,且
PO=6.
∴V

=S

PQR
·AA
1



1
·QR·PO·AA
1
2

(第20题)

1
·PO·QR·BB
1
2
1
×10×6
2
=30.
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