人教版高中数学必修2立体几何知识点

高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征(略)
棱柱： 棱锥： 棱台： 圆柱： 圆锥： 圆台： 球：
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2
2
S?
?
r l?
?
r
S?2
?
rl?2
?
r
2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 < br>22
2
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl ?
?
R
4 圆台的表面积 5 球的表面积
S?4
?
R

6扇形的面积公式
S
扇形
n
?
R
2
1
??lr
（其中
l
表 示弧长，
r
表示半径）

3602
（二）空间几何体的体积
1
1柱体的体积
V?S
底
?h
2锥体的体积
V?S
底
?h

3
1
3台体的体积
V?（S
上
?
3
4
3
V?
?
R
SS?S)?h
4球体的体积
下
上
下
3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法 ：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45
0
，且横边画成邻边
的2倍 长
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平
行
四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A?l
?
B?l
?
?
符号表示为
?
?l?
?

A?
?
?
B?
?
?
?
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线
?
有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。

补充3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线。
符号表示为：
p?
??
?
??
?l,且p?l

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
ab
?
符号表示为：设a、b、c是三条直线，
?
?ac

cb
?
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理的推论:如果两条 相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直
角)相等.
4异面直 线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异
面直线
符号表示：
A?
?
,B?
?
,l?
?
, B?l?直线AB与直线l异面
。

5 注意点：
① 异面直线
a
1
与b
1
所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为 简便
一
般取在两直线中的一条上；
0
② 两条异面直线所成的角
:
?
?
?
0,90]

0

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
特别指出：直线与平面相交 或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a?
?
来表示

a α a∩α=A a∥α




2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 < br>1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面
平行。简记为：线线平行，则线面平行。
a?
?
?
?
符号表示：
b?
?
?
?a
?

ab
?
?
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的 判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。
a?
?
?
b?
?
?
?
?
符号表示 ：
ab?A
?
?
?

?
简记为：线线平行，则面 面平行。
a
?
?
?
b
?
?
?
2 、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直 于同一条直线的两个平面平行。符号表示为：
?
?a,
?
?a?
?< br>
?

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 。
?
?
简记为：线面平行，则线线平行。符号表示：
a?
?
?
?ab

??
?b
?
?
a
?
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
?

?
?
?
符号表示：
??
?a
?
?ab
，
简记为：面面平行，则线线平行
??
?b
?
?
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
3、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线
l
与平面α内的任意 一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面α互相垂直，
记作
l?
?< br>，
直线
l
叫做平面α的垂线，平面α叫做直线
l
的垂面。直 线与平面垂直时,它们唯一公
共点P，点P叫做垂足。
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号 表示：
l?a,l?b,a?
?
,b?
?
,a
垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、补充性质：
ab,a?
?
?b?
?

4、直线与平面所成的角的范围为：

[0,90]

00
b?A?l?
?
，
简记为：线线垂直，则线面
2.3.2平面与平面垂直的判 定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α- AB-β,平面之间二面角范围是
[0
0
,180
0
]

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号 表示：
l?
?
,l?
?
,?
?
?
?
，
简记为：线面垂直，则面面垂直。
4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示：
a?
?
,b?
?
,?a?b

补充性质：
(1)a?
?
,b
?
?a?b
，
(2)a?
?
,ba?b?
?
，
(3)a?
?
,a?
?
,?
?

?
，
(4)a?
?
,
?

?
,?a?
?

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：
a?
?
,
?
本章知识结构框图







第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上
方向之
间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜 率,斜率常用小写字母k表示,
也就
是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
?
?l,a?
?
,a?l,?a?
?
，
面面垂直，则线面垂直。

斜率公式: k=y2-y1x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的
斜
率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并
不
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的
斜
率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
，且斜率为
k

y?y
0
?k(x?x
0
)

0
(x0
,y
0
)
2、、直线的斜截式方程：已知直线
l
的斜 率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程： 已知两点
P
其中
(x
1
?x
2
,y
1?y
2
)

1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
y-y1y-y2=x- x1x-x2
2、直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为 A
(a,0)
，与
y
轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：
解：解方程组
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式
3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
?
3x?4y?2?0
?
?
2x?2y?2?0

1．点到直线距离公式：
点
P(x
Ax
0
?By
0
?C
0
,y
0
)
到直线
l:Ax ?By?C?0
的距离为：
d?
A
2
?B
2

2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1?0
，
l
1
?C
2
2
：
Ax?By ?C
2
?0
，则
l
1
与
l
C
2< br>的距离为
d?
A
2
?B
2

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 < br>2、点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
（1 ）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2>
r
2
，点在圆外 （2）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上 < br>（3）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)2
<
r
2
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程
就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标
准方程 则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
D
2
,
到直线的距离为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（ 1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d ?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
?
E
2
)

两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2< br>内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何
问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点 M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、
Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点 < br>3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做点M 在此空间直
角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M 的横坐标，
y
叫做点
M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x< br>1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
z
x
O
P
R
M
Q
M'
y
P1
O
P
2
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1?z
2
)

222

N
1
x
M
1
M
M
2
H
N
2
y
N