人教A版高中数学必修2知识点

必修2知识点归纳
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有：棱 柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合
体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示
的几何体 。





简单组合体




⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面与截面之间的部分，这样的多面体叫做
棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行
光线照射下的投 影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
2、空间几何体的直观图
（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画
出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系
xOy
（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐 标系
?x
'
O
'
y
'
，使
?xOy
'''
=45（或
0
135
0
），注意它们确定的平面表示水平平 面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X
‘
轴， 且长度保持
不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y
‘
轴，且长 度变为原来的一半；
一般地，原图的面积是其直观图面积的
22
倍，即
S
原图
＝22S
直观

4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l


r


l
l
S
侧
＝
2πr?l


r< br>A
AB=2πr
B
⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l



A
图中：扇形的半径长为l，

l
圆心角为θ，弧AB
的长

V
θ
L θ?l(注：扇形的弧长等于

l
圆心角乘以半径.提醒圆心角
h
l

为弧度角，例如60°
π

r
B
3
弧度，
圆锥的侧面展开图是扇形，
45°
π

4
弧度，90°
π
2
弧度等等)
扇形面积
S
1
扇形

2

弧长

半径
⑶圆台侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l



O
1
r

h
l

O
2
R



R
O
⑷体积公式：
d
r
O
1
d=R
2
-r
2
V?S?h
；
V
1
柱体
锥体
?
3
S? h
；
V
1
台体
?
3
h
?
S上
?S
上
?S
下
?S
下
?

⑸球的表面积和体积：
S
2
，V
4
球
?4
?
R
球
?
3
?
R
3
.一般地，面积比等 于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
α
A
B
l

?
?
A?l,B?l
A?
?
,B?
?
?l?
?

?
公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

A
C
α
B


若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面
?


推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

A

α
l
?



若
A?l
，则点A 和
l
确定平面
推论2：过两条相交直线有且只有一个平面
A
l


α
m


若
mn?A
，则
m,n
确定平面
?

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面
m


α
n

若
mn
，则
m,n
确定平面
?

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点

β
的公共直线。
α
P


·

L


P?
?
,P?
?
?
??
?l且P?l


公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.
ab,cb?ac

公理4作用：证明两直线平行。
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
a

1
b

b
a1
a
'
a
'
aa
?
,bb< br>?
且?1与?2方向相同??1＝?2


2
2
b
'

方向相同则
b
'
方向相反则

∠1＝∠2
∠1+∠2＝180°
a

a
?
,bb
?
且?1与?2方向相反??1??2＝180?


作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
ab,ab?A,a,b异面

（1）没有任何公共点的两条直线平行
a
（2）有一个公共点的两条直线相交
（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
?
A
b

7、线面位置关系：
a
a
?
?
A
(2)

(3)

?
(1)
a

（2）两平面平行的性质：
性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；
（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；
a?
?

（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；
a
?

（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；
a
?
?A

8、面面位置关系：平行、相交。




?
?

??
?a
?
?ab

??
?b
?
?


性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；
??

??
?

?
?
??

??
?


性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；
9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点
）
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
a?
?
?

b?
?
?
?
?a
?


ab
?
?
证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；
②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；
③线面平行的性质：如果一条直线平行 于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，
那么这条直线和它们的交线平行；
a
?
?


a?
?
?
?
?ab

??
?b
?
?
④平行线的传递性：
ab,cb?ac

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；
??
?

??
?a
?
?
?ab

??
?b
?
?


⑥垂直于同一平面的两直线平行；
a?
?
?

b?
?
?
?
?ab

⑵直线与平面平行的性质： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相
交，那么这条直线和它们的交线平行； （上面的③）
10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
a?
?
,b?
?
?

ab?A
?
?
?
??

a
?
,b
?
?
?


判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两
平面平行
a,b?
?
?


ab?A
?
?
aa
?
,bb
?
?
?
??

?
a
?
,b
?
??
?
?
??
?
A,C?
?
?
?
B,D?
?
?
?AC?BD

?

ABCD
?
?
性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

??
?
??
a?
?
?
?
?a
?
或
?
a?
?
?
?
?a
?

11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
l?m
?

l?n
?
?


mn?A
?
?l?
?
?
m,n?
?
?
?
⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条 直线平行。

a?
?
?

b?
?
?
?
?ab

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
?
?l
?
?
?l
?
?
?
??


12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。






⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

l?
?
?
l?
?
?
?
?
?
?
?
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

?
??
?m
?
?

?
?l?
?

l?
?
?
?
l?m
?
证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；
④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）
P
如图：PO?
?
?OA是PA在平面
?
上的射影
?

α
A
斜
影
O
a
线
?
?
?
如图：O为P在平面
?
上的射影，
线段OP的长度为点P到平面
?
的距离
求法通常有：定义法和等体积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。如图在三棱锥
V
中有：
V
S?ABC
?ABC

?V
A?SBC
?V
B?SAC
?V
C?SAB


第三章 直线与方程
1.直线方程的概念：
一条直线
l
与一个二元一次方程
F(x,y)?Ax?By?C?0
有如下两个对应：
①直线
l
上任意一点的坐标
(x,y)
都满足方程
F(x,y)?Ax?By?C?0
；
②以方程
F(x,y) ?Ax?By?C?0
的解为坐标的点
(x,y)
都在直线
l
上。
又直线a?
?
,且a?OA
?
?a?PA

?



即：线影垂直?线斜垂直，反之也成立。
则称方程
F(x,y) ?Ax?By?C?0
为直线
l
的方程，直线
l
为方程的直线。

2.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与
x
轴的正方向形成的最小正角 叫直线
④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
的倾斜角。
空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交 形成的夹角
，通常在在两异面直线中的一
条上取一点，过该点作另一条直线平行线，
b异面，bb
?
，直线a与直线b
?
的夹角为两异 如图：直线a与

3.直线倾斜角的范围：
0??
?
?180?，当直线与
x
轴平行或者是重合时，倾斜角为
0?

4.直线斜 率的定义
：倾斜角不为
90?
直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率。

记作
k?tan
?
(
?
?90?)

面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（ 0?，90?]



当倾斜角为
90?
时直线的斜率不存在。
2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角
。如图：PA是平面
?
的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面
?
上射影，
?PAO
为线面角。





(x
1
,y< br>1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，则直 线的斜率为：
k?
5、直线
l
过点
P
1
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(x
1
?x
2
)

6、直线方程的表示形式：
⑴点斜式：
y?y0
?k
?
x?x
0
?
，
当斜率不存在时，直线与
x
轴垂直，倾斜角为
90?
，
此时直线方程为：
x?x
0
，如右图，特别地
y
轴所在
直线方程为
x?0
。
当直线斜率
k
直线方程为 ：
⑵斜截式：
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，
如图为二面角< br>?
?l?
?
，二
面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平 面角分别在两个半平面内且角的两边与
二面角的棱垂直

如图：在二面角
?
-l-
?
中，O棱上一点，OA?
?
，OB?
?
，


用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：
①明确构成二面角两个半平面和棱；
②明确二面角的平面角是哪个？
而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

且OA?l,OB?l,则? AOB为二面角
?
-l-
?
的平面角。
?0
时，直线与x
轴平行或者是重合
y?y
0
，
x
轴所在的直线方程为
y?0
。
y?kx?b
（
b
为直线在
y
轴上的截距）
当直线过
y
轴上一定点
(0,b)
时，通常设直线方程为：
y?kx ?b
，例如直线
l
过定点
(0,2)
，设
l:y?kx?2
。
当直线过
x
轴上一定点（
a,0
）时，，通 常设直线方程为：
x?my?a
，例如直线
l
过定
点
(2, 0)
，设
l:x?my?2

⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1
x
a
?
y
b
4.异面 直线间的距离：指夹在两异面直线之间的
公垂线段的长度
。如图
PQ
是两异面直线间的距离
（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）
5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的
射影的连线段的长度。
?
x?x
1
x
2
?x
1


⑷截距式：
?1(a?0,b?0)
，
一般地，问题中出现两个 截距时，通常设直线方程为
方程中
a,b
分别表示直线的横截距和纵截距，
xy
??1(a?0,b?0)
。
ab
一般地，在直线 方程中，令
y?0
可求得横截距
a
，令
x?0
可求得纵截距
b

⑸一般式：
Ax?By?C?0
(A
2
?B
2
?0)
，所有直线方程都可化为一般式。

当
B?0
，直线的斜率
k??
A
，当
?
C

B
B?0
时，直线斜率不存在，方程可化为
x?

A
7、
两直线的位置关系的判定
：
当两直线倾斜角相等时，即
?
?
?
时，两直线平行；
当两直线倾斜角满足
|
?
?
?
|?90?
时，两直线垂直；
当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。
对于直线
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2x?b
2
有：
⑴
ll
?
k
1< br>?k
2
1

2
?
?
；⑵；
?
bb
l
1
和
l
2
相交
?k
1?k
2
1
?
2
⑶
l
?
1
和
l
2
重合
?
?
k
1
?k
2
?
；⑷
l
1
?lk
b?b
2
?
1
k
2
??1
.
12
对于直线
l
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有：
⑴
l
1
l
2
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；（2）
l
和
?< br>B
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
；
1
C
2
?B
2
C< br>1
1
⑶
l
?
1
B
2
?A
2
B
1
1
和
l
2
重合
?
?
A
；⑷
?
BB
l?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
1
C
2
?
2
C
1
1

8、交点与距离公式
（1）两直线
l
1
:A
1
x ?B
1
y?C
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点坐标需将两直线方程组成
方程组求解 ，即：
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
①
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
当①有唯一解时，两直线相交；当①无解时，两直线平行；当①有无数个解时，两直线重合。
（2）过 两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线系方程为：

A
1
x?B1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2y?C
2
)?0

将含有一个参数的直线方程化为直线系方程
的样式就可解决直线恒过定点问题。

（3）两点间距离公式：
PP
22
12
?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?

（4）点
P< br>?C
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l: Ax?By?c?0
距离公式：
d?
Ax
0
?By
0

A
2
?B
2
（5）两平行线间的距离公式：对于直线
l:Ax?By?C?0
，
l
|C
2
?C
1
|11
?0,l
2
:Ax?By?C
2
1
与
l< br>2
间的距离为：
d?

A
2
?B
2
?
x?
x
1
?x
（6）线段中点坐标公式：
?
2< br>?
?
2
，
A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
，
M(x,y)
是线段AB的中点。
?
?
y?
y
1
?y
2
?
2
第四章 圆与方程
1、圆的第一定义
：到定点的距离等于定长的点的集合.
P? {M(x,y)|MO|?r}


圆的第二定义
：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。
2、圆的标准方程 ：
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心为
(a,b)
，半径为
r
。

3、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey? F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
。
圆 心为
(?
D
,?
E
)
，半径
r?
1
2
?E
2
?4F
。
22
2
D
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程
x
2
? y
2
?Dx?Ey?F?0
表示点
(?
D
,?
E< br>)

22
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
不表示 任何图形。
4、点
P
0
(x
0
,y
0
)
与圆
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
的位置关系的判定：
（1）当
P
0
(x
0
,y
0
)
满足
?
x
22
2
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
时点P在圆上；
（2）当
P
0
(x
0
,y
0
)
满足
?
x
22
0
? a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2时点P在圆内；
（3）当
P
0
(x
0
,y2
0
)
满足
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
2
?r
2
时点P在 圆外；
5、求圆方程的方法，主要有两种：
（1）待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：

①根据提设，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
（2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；
①三角形外心的定义 ：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；
②垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；
③弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求
得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。
6、直线与圆的位置关系的判定：
几何法（1）相切：圆心到直线的距离
d
＝
r
；
（2）相交：圆心到直线的距离
d?r
；
（3）相离：圆心到直线的距离
d?r
。


l:Ax+By+C=0
l:Ax+By+C=0
l:Ax+By+C=0

d
d
d

r
r
C(a,b)
C(a,b)
r

d=
|Ax
0
+By
0
+C|
A
2
+B
2d=
|Ax
0
+By
0
+C|
C(a,b)
d =
|Ax
0
+By
0
+C|
A
2
+B2

圆C:
（
x-a)
2
+(y-b)
2=r
2
x-a)
2
+(y-b)
2
A
2
=r
+B
2
圆C:
（
2
圆C:
（
x-a )
2
+(y-b)
2
=r
2

相切：d=r

相切：d
相离：d>r
代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组
?
?
y?kx?b
①
?
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（1）若方程①有唯一一个解，直与圆相切；
（2）若方程①有唯两个不等实数个解，直线与圆相交；
（3））若方程①有无解，直线与圆相离。
特别地，当直线
l
与圆
C
相离时，
P
为圆上 的动点，
|PH|
为点
P
到直线
l
的距离，设
d

为圆心到直线
l
的距离，则