高中数学理科的目录-高中数学竞赛红蓝皮书指什么
第1章 空间几何体1
1
.1柱、锥、台、球的结构特征
1. 2空间几何体的三视图和直观图
11
三视图:
正视图:从前往后
侧视图:从左往右
俯视图:从上往下
22 画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
33直观图:斜二测画法
44斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2 圆柱的表面积
S?2
?
rl?2
?
r
2
3
圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
22
4
圆台的表面积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R
2
5 球的表面积
S?4
?
R
(二)空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S
底
?h
1
2锥体的体积
V?S
底
?h
3
1
3台体的体积
V?(S
上
?S
上
S
下
?S
下
)?h
3
4
4球体的体积
V?
?
R
3
3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
- 1 -
2
2.1.1
1 平面含义:平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,
D C
锐角画成45
0
,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面
α
β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或
A
者相对
B
的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α
α
·
L
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
A B
·
α
·
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
C
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
β
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
P
α
·
L
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1
空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O
一般取在两直线中的一条上;
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0
2
,
);
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤
计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
- 2 -
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 ——
没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此
平
面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
a β
b β
a∩b = P
β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
a β
a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
- 3
-
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,
记作L
⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯<
br>一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
- 4 -
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准,
x轴正向与直线l向上方
向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时
, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α
(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,
也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知,
一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两
点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜
率相
等,那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这
个前提,结论并
不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率
,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜
率互为负倒数,那么它们互相垂
直,即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线<
br>l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
),且斜率为
k
y?y
0
?k(x?x
0
)
- 5
-
2、、直线的斜截式方程:已知直线
l
的斜率为
k
,且与
y
轴的交点为
(0,b)
y?kx?b
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点
P
1<
br>(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1<
br>?y
2
)
y?y
1
x?x
1
?(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
<
br>y
2
?y1x
2
?x
1
2、直线的截距式方程:已知
直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
,与
y
轴的交点为B
(0,b)
,其中
a?0,b?0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于
x,y
的二
元一次方程
Ax?By?C?0
(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1
:3x+4y-2=0
L1:2x+y +2=0
?
3x?4y?2?0
解:解方程组
?
?
2x?2y?2?0
得 x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
3.3.3 点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点
P(x
0
,y
0
)<
br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?
2、两平行线间的距离
公式:
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式
方程为
l
1
:
Ax?By?C
1
?0
,
l
2
:
Ax?By?C
2
?0
,则
l
1<
br>与
l
2
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
C
1
?C
2
A?B
- 6 -
22
第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的
标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y<
br>0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法:
(1)
(x
0
?a)
2<
br>?(y
0
?b)
2
>
r
2
,点在圆外 (2)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
,点在圆上
(3)
(x
0
?
a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就
确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准
方程
则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线
l
:
a
x?by?c?0
,圆
C
:
x
2
?y
2
?
Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
(?
直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;
(2)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1
)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;
- 7 -
圆与方程
DE
,?)
到
22
(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
外切;
(3)
当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆<
br>C
2
内切;
(5)当
l?|r
1
?r
2<
br>|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标
系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何
问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
R
M
O
P
Q
M'
y
x
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
,
x
、
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的
坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间
中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点M在此空间直角<
br>坐标系中的坐标,记M
(x,y,z)
,
x
叫做点M的横坐标,
y
叫做点M的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐
标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x<
br>1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
- 8 -
z
P
1
O
M
1
N
1
x
M
P
2
M
2
H
N
2
y
N
P
1
P
2
?(x
1<
br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2
?(z
1
?z
2
)
2
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