高中数学必修2知识点(经典版)

高中数学必修2知识点

第一章

空间几何体

1.1 柱、锥、台、球的结构特征

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：
正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下

2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3 直观图：斜二测画法
4 斜二测画法的步骤：
（ 1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于

x， z 轴的线长度不变；

（ 3） .画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：

（ 1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（
1.3 空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积


1 棱柱、棱锥的表面积：

各个面面积之和

2

圆柱的表面积
S

2 rl

2

r
2

3

圆锥的表面积

S

rl

r
2


4

圆台的表面积

S

rl

r
2

Rl R
2

5

球的表面积

S 4 R
2

（二）空间几何体的体积

1 柱体的体积

V

S
底

h


2 锥体的体积

V
1

S
底
h



3


3 台体的体积
V
1




（ S
上

S
上
S
下

S
下
) h


3


4 球体的体积

V

4

R
3



3


第二章

直线与平面的位置关系

4）成图




































1

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系





2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，

0

















锐角画成 45 ，且横边画成邻边的 2

倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母 α 、 β 、 γ等表示，如平面 α 、平


D

α

面β 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对





























C

A


B

的两个顶点的大写字母来表示，如平面

3

三个公理：

符号表示为

A∈ L




AC、平面 ABCD等。

（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

B∈L => L


α






A


α ·






A∈ α

B∈ α



L







公理 1 作用：判断直线是否在平面内

（2）公理

2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。




A

B

·
C
·


符号表示为： A、 B、C三点不共线 =>

有且只有一个平面

α ，

使 A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。

公理 2 作用：确定一个平面的依据。

直线。

符号表示为： P∈ α∩ β => α∩ β =L，且 P∈ L

公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据


α ·


（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共



β

α

P




·

L



2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系







1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。




2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、 c 是三条直线
a
∥
b


=>a∥c

c∥ b

强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。




3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a' 与 b' 所成的角的大小只由
O 一般取在两直线中的一条上；
a、 b 的相互位置来确定，与

O 的选择无关，为了简便，点



2

2

② 两条异面直线所成的角

θ∈ (0 ， ) ；

a⊥ b；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（ 1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（ 2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（ 3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用

a

α 来表示

a

α

a

∩ α=A

a

∥ α

2
.2.

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
与此平面平 行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α
b β

=> a

∥ α

a∥ b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一 个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。

符号表示：

a

β

b

β

a∩ b = P

β∥ α

a∥ α

b∥ α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（ 1）用定义；
（ 2）判定定理；
（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

3

行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥ α

a β

a

∥ b

α∩ β = b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥ β

α∩ γ = a a

β∩ γ = b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

∥ b

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定


1、定义


如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直， 记作
L⊥ α ，直线 L 叫做平面 α 的垂线， 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图，直线与平面垂直时 , 它
们唯一公共点 P 叫做垂足。




















L

p

α

2、判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：

a)

定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A


梭 l




β

B

4

α

2、二面角的记法：二面角

α-l-

β 或 α-AB- β

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

3、两个平面互相垂直的判定定理：








2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2 性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

平面（公理







1、公理 2、公理 3、公理 4）

空间直线、平面的位置关系











直线与直线的位置关系







直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章 直线与方程












3.1 直线的倾斜角和斜率

3.1 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线

l 与 x 轴相交时 ,

取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线

l 向

上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 α =0°.

2、 倾斜角 α 的取值范围：

3、直线的斜率

:

一条直线的倾斜角 α( α ≠90° ) 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示, 也
就是

k = tan

α

0

°≤ α＜ 180° .

当直线 l 与 x 轴垂直时 ,

α = 90 °.



⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α =0° , k = tan0 ° =0; ⑵当
直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90 ° , k 不存在 .















由此可知 ,

一条直线

l 的倾斜角 α 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .

4、 直线的斜率公式

:

给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1

≠ x2, 用两点的坐标来表示直线

P1P2 的斜率：

5

斜率公式 :


3.1.2 两条直线的平行与垂直






1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们

的斜率相等，那么它们平行，即

注意 :

上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，

缺少这个前提， 结论


并不成立．即如果









k1=k2,

那么一定有

L1∥ L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们

的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1

直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线








l
经过点

P
0

(x
0

, y
0

)

，且斜率为
k

y

y
0

k (x

x
0
)


2、、直线的斜截式方程：已知直线


l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为

(0, b)





y

kx

b


3.2.2

直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点



y
2

P
1
(x
1
, x
2
), P
2
(x
2
, y
2
)
其中
( x
1
x
2
, y
1

y
2
)

x
x
1

( x
1

y y
1

x
2
, y
1
y
2
)


y1

x
2

x
1

2、直线的截距式方程：已知直线

其中
a






l
与

x

轴的交点为


A
(a,0)
，与
y
轴的交点为


B
(0,b)
，

0,b 0

3.2.3

直线的一般式方程













1、直线的一般式方程：关于

2、各种直线方程之间的互化。

x, y
的二元一次方程

Ax By C

0
（

A，

B

不同时为

0）

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ： 3x+4y-2=0

6

L1： 2x+y +2=0

解：解方程组
3x 4y 2

0


2x 2y 2

0

得 x=-2 ， y=2
所以 L1 与 L2 的交点坐标为

M （ -2， 2）

3.3.2

两点间距离

两点间的距离公式

PP
2 2

x

x

y


y

1 2 2

2

2 1
3.3.3

点到直线的距离公式

1．点到直线距离公式：

点
P(x
0
, y
0
)
到直线

l : Ax
0

C


By

C 0
的距离为：

d
Ax
0
By


A
2

B
2



2、两平行线间的距离公式：


已知两条平行线直线

l
1

和
l
2

的一般式方程为

l
1

：
Ax By

C
1

0

，
l
0

，则
l
C
1

C
2


2

：

Ax By C
21

与
l
2

的距离为
d




A
2

B
2




第四章

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程


1、圆的标准方程：

( x

a)
2
( y b)
2

r
2


圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程

2、点
M (x
0

, y
0

)
与圆
( x

a)
2

( y b)
2


r
2

的关系的判断方法：

（1）
( x
0

a)
2

( y
0

b)
2

>
r

2

，点在圆外

（2）
( x
0

a)
2

( y
0

b)
2

=
r

2

，点在圆上

（
3
）
( x
0

a)
2

( y
0

b)
2

<
r

2

，点在圆内

4.1.2

圆的一般方程

1、圆的一般方程：

x
2
y
2
Dx Ey F

0

7

2、圆的一般方程的特点：

(1) ①x2 和 y2 的系数相同，不等于

0．

②没有 xy 这样的二次项．

(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的
方程就确定了．
(3) 、与圆的标准方程相比 较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，
圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特 征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系

1、
用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线 l ： ax by c 0 ，圆 C ： x
2
y
2
Dx Ey F 0 ，圆的半径为
(
D
,

E
)
到直线的距离为

d

，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

2 2
（ 1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；
（ 2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切；
（ 3）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交；
4.2.2

圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为

l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（ 1）当 l

r
1

r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
相离；

（ 2）当 l

r
1

r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
外切；

（ 3）当 | r
1


r
2
|

l r
1
r
2
时，圆 C
1

与圆 C
2
相交；

（ 4）当 l

| r
1

r
2

| 时，圆 C
1
与圆 C
2
内切；

（ 5）当 l

| r
1

r
2

| 时，圆 C
1
与圆 C
2

内含；

4.2.3

直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步： 建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素，

r ，圆心

将平面几

8

何问题转化为代数问题；



第二步：通过代数运算，解决代数问题；


第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．













4.3.1 空间直角坐标系

R

M

O










x

P


Q

M'

y

1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组

轴上的坐标





(x, y, z)
，

x

、
y
、

z

分别是

P、Q、R

在

x

、
y
、

z

2、有序实数组

( x, y, z)
，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组

间直角坐标系中的坐标，记

叫做点 M 的竖坐标。




(x, y, z)
来表示，该数组叫做点

M 在此空

M
( x, y, z)
，
x
叫做点 M 的横坐标，
y
叫做点 M 的纵坐标，
z


4.3.2 空间两点间的距离公式


1、空间中任意一点








P
1
( x
1
, y
1
, z
1
)
到点
P
2
(x
2
, y
2
, z
2
)
之间的距离公式

z

P
2




P
1


O

M
1

M




M
2

H
N
2

y


N




1

N

x

P P




( x

x

)
2

2

( y


y
1



)
2

2

( z

z
)

2

1

2

1


1


2

9