关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 08:53
tags:高中数学必修二

高中数学立体图形体积公式-高中数学必修2的课时安排


第一章 立体几何初步
一、知识结构
空间几何体
简单的空间几何体 基本元素(点、线、面)关系
多面体(棱柱、
棱锥、棱台)
旋转体(圆柱、
圆锥、圆台)
直线与
直线
直线与
平面
平面与
平面
结构特征,图形表示,侧面积,体积
平行、垂直、夹角、距离
三视图,直观图,展开图
综合应用
判定、性质

二、重点难点
重点:空间直线,平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,< br>判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言,图形语言和符号语言的转化 。平行,垂直判定
与性质定理证明与应用。
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
【学习导航】

知识网络



棱柱、棱锥、棱台



棱柱的结构特征
自学评价
1. 棱柱的定义:


表示法:
思考:棱柱的特点:.
【答】


2. 棱锥的定义:


表示法:
思考:棱锥的特点:.
【答】
3.棱台的定义:
表示法:
思考:棱台的特点:.
【答】
棱锥的结构特征
棱台的结构特征
学习要求

1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用
名称的含义。
3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何
体简单作图方法
4.了解多面体的概念和分类.
【课堂互动】


(2).灵活理解柱、锥、台的特点:
4.多面体的定义:
例如:棱锥的特点是:⑴两个底面是全等的多边

5.多面体的分类:
⑴棱柱的分类
⑵棱锥的分类
⑶棱台的分类


【精典范例】
例1:设有三个命题:
甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边
形所围体一定是棱柱;
乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形
所围成的几何体是棱锥;
丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱
锥,得到的几何体叫棱台。
以上各命题中,真命题的个数是 (A)
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
例2:画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法:
⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形;
⑵画侧棱----- 从四边形的每一个顶点画平
行且相等的线段;
⑶画下底面------ 顺次连结这些线段的另
一个端点
互助参考7页例1






⑷画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一
点,从这点开始,顺 次在各个侧面画出与底
面平行的线段,将多余的线段檫去.
互助参考7页例1





点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由
锥截得
思维点拔:
解柱、锥、台概念性问题和画图需要:
(1).准确地理解柱、锥、台的定义
形; ⑵多边形的对应边互相平行;⑶棱柱的侧面
都是平行四边形。反过来,若一个几何体,具有
上面 三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能
作为棱柱的定义吗?
答:不能.
点评:就棱柱来验证这三条性质,无一例外,能
不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

自主训练一
1. 如图,四棱柱的六个面都是平行四边形。这
个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平
移得到?

D
1

C
1



A
1

B
1



D
C


A
B
答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到.
2.右图中的几何体是不是棱台?为什么?





答:不是,因为四条侧棱延长不交于一点.
3.
多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的
几何体。
答:4个面,四面体.

第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球

【学习导航】

知识网络

圆柱的结构特征
圆锥的结构特征
圆柱、圆锥、圆台、球
球的结构特征
圆台的结构特征







学习要求

1.初步理解圆柱、圆锥、圆台和球





【精典范例】
例 1 :给出下列命题:
的概念。掌握它们的生成规律。
2.了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些
常用名称的含义。
3.了解一些复杂几何体的组成情况,
学会分析并掌握它们由哪些简单
几何体组合而成。 4.结合日常生活中的一些具体实例,
体会客观世界中事物与事物之间内在
联系的辨证唯物 主义观点,初步学会
用类比的思想分析问题和解决问题.
【课堂互动】
自学评价
1. 圆柱的定义:

母线
底面

2.圆锥的定义:

3.圆台的定义:

4.球的定义:
5.旋转面的定义:
6.旋转体的定义:
7.圆柱、圆锥、圆台和球的画法。














甲:圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的
母线
乙:圆台的任意两条母线必相交
丙:球面作为旋转面,只有一条旋转轴,没
有母线。
其中正确的命题的有 ( A )
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
例2:如图,将直角梯形ABCD绕AB边所在的直
线旋转一周,由此 形成的几何体是由哪些简单几
何体构成的?。

D C



A B

【解】互助参考9页例1




例3:指出图中的几何体是由哪些简单几何体构
成的?。




甲 乙
【解】互助参考9页例2



思维点拨:
如何解答一 个复杂几何体的组成情况,主
要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解
答。
如:以正六边行的一边所在直线为轴旋转一
周,所得几何体由哪些简单几何体组成的?
解:是由一个圆柱,两个圆台挖去两个圆锥
所得几何体。


自主训练
1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何
体构成?













第三课时 中心投影和平行投影

答:略
2. 如图,将平行四 边形ABCD绕AB边所在
的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪
些简单几何体构成的?
D C

A B

答:圆锥和圆柱
3.
充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋
转生成?
答:圆


【师生互动】














【学习导航】

知识网络


中心投影和平行投影


空间几何体的三视图





柱、锥、台、
简单组合体

球的三视图
的三视图

学习要求

1.初步理解投影的概念。掌握中心投
影和平行投影的区别和联系。
2.了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体
的三视图。
3.初步理解由三视图还原成实物图的思维
方法.
【课堂互动】
自学评价
1.投影的定义:

.
2.中心投影的定义:

平行投影的定义:

平行投影的分类:
3.主视图(或正视图)的定义:

俯视图的定义:
左视图的定义:
【精典范例】
一、如何画一个实物的三视图?


例1:画出下列几何体的三视图。































解答:互助参考12页例1






点评:1.画三视图的方法和步骤
(1)选择确定正前方,确定投影面,正前方
应垂 直于投影面,然后画出这时的正投影面
------主视图
(2)自左到右的方向垂直于投影面,画出这
时的正投影------左视图
⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下
方确定一个水平面作为投影-----俯视图
2.作图规律:长对正,宽相等,高平齐
例2:设所给的方向为物体的正前方,试画出它
的三视图。




解答:互助参考13页例2






二、如何由三视图还原成实物图。
例3.根据下面的三视图, 画出相应空间图形的
直观图.



主视图 左视图


俯视图
解略.







点评:解决这类问题,需要充分发挥空间想象能
力。一般的从主视图出发,然后是左视图、俯视
图,画图后检验。
自主训练一
根据下列的主视图和俯视图,找出对应的物体,
填在下列横线上。
(1) B (2) D
(3) A (4) C

主视图


俯视图



(1)
(2)



第四课时
A
直观图画法
B

【学习导航】

知识网络


空间几何体的直观图


斜二测画法

学习要求

1.初步了解中心投影和平行投影的
区别。
2.初步掌握水平放置的平面图形的
直观图的画法和空间几何体的直
观图的画法
3.初步了解斜二测画法
【课堂互动】
自学评价
1.消点的定义:
.
2.斜二测画法步骤⑴







【精典范例】
一、
怎样画水平放置的正三角形的直观图

例1:画水平放置的正三角形的直观图。





解答:互助参考14页例1




(3) (4)






C D









点评:在条件“平行于x 轴的线段,在直观图
中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为
原来的一半”之下,正三角形 的直观图为斜三
角形。
自主训练一
画水平放置的正五边形的直观图。








解答:略






例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.
解答:互助参考15页例2










符号表示
5.公里3:
点评:空间图形的直观图的画法。
规则是:已知图形中平行于x轴,y轴和z
轴的线 段,在直观图中保持平行性不变;平
行于x轴,z轴的线段,在直观图中保持原
长度不变;平行 于y轴的线段长度为原来的
一半。
自主训练二
用斜二测画法画长、宽、高分别是< br>4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′
的直观图
仿照例2作图
第五课时 平面的基本性质
【学习导航】

知识网络


平面的概念 平面的表示



平面


平面的基本性质



公里1 公里2 公里3

学习要求

1.初步了解平面的概念.
2.了解平面的基本性质(公理1-3)
3.能正确使用集合符号表示有关点 、
线、面的位置关系.
4.能运用平面的基本性质解决一些简
单的问题
【课堂互动】
自学评价
1.平面的概念:
.
2.平面的表示法
3.公里1:

符号表示
4. 公里2:

符号表示
问题:举出日常生活中不共线的三点确定一个平
面的例子.



【精典范例】
例1:已知E、F、G、H分别为空间四边形(四
个顶点不共面的四边 形)ABCD各边AB、AD、BC、
CD上的点, 且直线EF和GH交于点P, 求证: B、
D、P在同一条直线上.



A

E

F

B
D P

H

G

C
证明:
∵P∈EF,而E∈AB,F∈AD
∴EF
?
平面ABD
∴P∈平面ABD
同理,P∈平面BDC
∴P∈平面ABD∩平面BDC
∴B、D、P在同一条直线上






思维点拔:

证明多点共线,通常利用公 里2,即两相交平面
交线的唯一性;证明点在相交平面的交线上,
必须证明这些点分别在两个平 面内。
自主训练
如图, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为
AB,AA
1
中点,求 证CE,D
1
F,DA三条直线交于一点。

D
1

C
1

A
1

B
1

F
D










证略.









例2.如图, 在长方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
下列命题是否正确? 并说明理由.
①AC
1
在平面CC
1
B
1
B内;
② 若O、O
1
分别为面ABCD、A
1
B
1
C
1D
1
的中
心, 则平面AA
1
C
1
C与平面B
1
BDD
1
的交线为
OO
1
.
③由点A、O、C可以确定平面;
④由点A、C
1
、B
1
确定的平面与由点A、
C
1
、D确定的平面是同一个平面.


D
1


O
1

C
1


A
1

B
1


D

C

A
O
B

解(1)不正确
(2)正确
(3)不正确
(4)正确.



















自主训练
1. 为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚?
2. 用符号表示“点A在直线l上,l在平面α
外”正确的是 ( B )
A.A
?
l,l
?
α
B.A
?
l,l
?
α
C.A
?
l,l
?
α
D.A
?
l,l
?
α
3.下列叙述中,正确的是 ( D )
A.因为P
?
α,Q
?
α,所以PQ
?
α
B.因为P
?
α,Q
?
β,所以α
?
β=PQ < br>C.因为AB
?
α,C
?
AB,D
?
AB,所以CD
?
α
D.因为AB
?
α,AB
?
β,所 以A
?
α
?
β,
且B
?
α
?
β

第六课时 平面的基本性质
【学习导航】

知识网络


公里3



推论1 推论2 推论3

学习要求


1.了解平面基本性质的3个推论, 了解
它们各自的作用.
2.能运用平面的基本性质解决一些简
单的问题.
【课堂互动】
自学评价
1.推论1: .


已知:

求证:

解答:互助参考22页推论1








2.推论2:


已知:

求证:










3.推论3:


符号表示:
仿推论1、推论2的证明方法进行证明。
【精典范例】
一、
如何证明共面问题.

例1:已知: 如图A∈l , B∈l, C∈l, D
?
l,
求证: 直线AD、BD、CD共面.

D
α

A
C

B
l


解答:互助参考22页例1






思维点拔:

简单的点线共面的问题,一般是先由部分点或
线确定一个平面, 然后证明其他的点线也在这
个平面内,这种证明点线共面的方法称为"落
入法"
例2.如图: 在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, P为
棱BB
1
的中点, 画出由A
1
, C
1
, P三点所确定
的平面α与长方体表面的交线.

D
1

C
1



A
1

B
1


P

D
C


A
B

解答:互助参考23页例2

自主训练一
证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一
平面内.
已知:

求证:
证明:
(1)如图,设直线a,b,c相交于点
O,直线d和a,b,c分别交于M,N,P
直线d和点O确定平面α,证法如例1

o
α
M
P
N
d



a
b c



(2)
c
α
R

a
G
d
P

b
M
N

设直线a,b,c, d两两相交,且任意三条不
共线,交点分别为M,N,P,Q,R,G
∵直线a和b确定平面α
∴a∩c=N,b∩c=Q
∵N,Q都在平面α内
∴直线c
?
平面α,同理直线d
?
平面α
∴直线a,b,c, d共面于α













自主训练二
1.空间四点中, 如果任意三点都不共线, 那么
由这四点可确定___1或4____个平面?
2.已知四条不相同的直线, 过其中每两条作平
面, 至多可确定____6____个平面.
3.已知l与三条平行线a,b,c都相交,求证:l
与a,b,c共面.

证明略
【学习延伸】
如图, 已知正方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
中, E、
F分别为D
1
C
1
、B
1
C
1
的中点, AC∩BD=P , A
1
C
1
∩EF=Q , 求证:
(1) D、B、F、E四点共面’
(2)若A
1
C交平面DBFE于R点, 则P、Q、
R三点共线 .








证明略


A
1

D
A
B
D
1

B
1

C
C
1

第7课时 空间两
条直线的位置关系

一、【学习导航】
知识网络



空间两条直线位置关系

相交
判定及性
平行直线
异面直线
判定及性
异面直线



学习要求

1.了解空间两条直线的位置关系
2.掌握平行公理及其应用
3.掌握等角定理,并能解决相关问题.
【课堂互动】
自学评价
1. 空间两直线的位置关系

位置关系 共面情况 公共点个数

相交直线

平行直线

异面直线
2. 公里4:

符号表示:
思考:经过直线外一点,有几条直线和这条直线


平行
答:
3.等角定理



【精典范例】

例1:.如图, 在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 已
知E、F分别是AB、BC的中点, 求证:
EFA
1
C
1

D
1
C
1


A
1

B

1


D
C

A
F
E
B



应用


解答:互助参考25页例1











思维点拔:

证两直线平行的方法:
(1)利用初中所学的知识
(2)利用平行公理.
自主训练
已知:棱长为a的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
M,N分别为CD,AD的中点 ,求证:四边形MNAC
是梯形.
M
N
D
1
C
1


A
1


B
1

D
C



A

B


证明略






点评:要证梯形,必须证明有两边平行且相等,
平行的证明要善于联想平面几何知识.
例2:如图. 已知E、E
1
分别为正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AD、A
1
D
1
的中点, 求证: ∠
C
1
E
1
B
1
=∠CEB .


D
1
C
1


E
1


A
1

B
1


D
C

A
E
B
分析:设法证明E
1
C
1
EC,E
1
B
1
EB
证明:

解答:互助参考26页例2









等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两
边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
等角定理的证明
已知: ∠BAC和∠B
1
A
1
C1
的边ABA
1
B
1
,
ACA
1
C
1
, 并且方向相同.
求证: ∠BAC=∠B
1
A
1
C
1

解答:互助参考25页





















思维点拔:








点评:
平几中的定义,定理等,对于非平面图形,
需要经过证明才能应用。
自主训练
1. 设AA

是正方体的一条棱,这个正方
体中与AA
1
平行的棱共有 ( C )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2.若OAO
1
A
1
, OBO
1
B
1
, 则∠AOB与
∠A
1
O
1
B
1
关系 ( C )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.以上答案都不对
3.如图,已知AA′,BB′,CC′,不共面,
且AA′BB′,AA′=BB′,
BB′CC′, BB′=CC′.
求证:△ABC≌△A′B′C′
A′
A

B′
B
C′
C
用平行四边形性质证明
凡“有且只有”的证明,丢掉“有”
即存在性步骤,或丢掉“只有”即唯一性
的证明都会导致错误发生,即证明不全
面,思 维不严谨所致。
求证:过直线外一点有且只有一条直线和
这条直线平行.
已知:点P
?
直线a
求证:过点P和直线a平行的直线b有且
仅有一条.
证明:∵P
?
a,
∴点P和直线a
确定平面α

在平面α内过点P作直线b直线a平行(由平面
几何知识)

假设过点P还有一条直线c与a平行,则
∵ab,ac

bc,这与b,c共点P矛盾.

∴直线
b唯一
∴过直线外一点有且只有一条直线和这
条直线平行
总结:(1)凡上述两类问题型的 证明应有
两步,即先证明事实存在,再证明它是唯
一的(2)解答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言,然后写出“已知和求
证”需要作图时,要把图形作出来,最后
给出“解 答(证明)”

























第8课时 异面直
线

一、【学习导航】
知识网络




定义
画法



判定(证明)
(2)范围:
6.异面直线的垂直
异面直线所成角的求法

【精典范例】
例1:已知ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体.




异面直线
学习要求

1. 掌握异面直线的定义.
2.理解并掌握异面直线判定方法.
.3.掌握异面直线所成的角的计算方法.
【课堂互动】
自学评价
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC
1
3. 异面直线的定义
是异面直线;


(2)求异面直线AA
1
与BC所成的角;
2.异面直线的特点
(3)求异面直线BC
1
和AC所成的角.


D
1

C
1



3.画法:平面衬托法
A
1

b
B
1



b


a
a
D

C


A B


b
互助参考27理1


a



4.异面直线的判定方法

(1)定义法

(2)判定定理

(3)反证法

5.异面直线所成的角

(1)定义:










思维点拔:

(1) 证两直线异面的方法①定义法②反证
法③判定定理
(2) 求两条异面直线所成的角的方法:①作
②证③求
自主训练
1.指 出下列命题是否正确,并说明理由:
(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直
线成异面直线 ;
(2) 过直线外一点只有一条直线与已知直
线垂直.
答:(1)正确,(2)错

2.在长方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
中,那些棱所在
直线与直线AA
D
1
1
是异面直线且互相垂直.

C
1






A
1

D
B
1


C

A

B 答:CD,C



,BC,B




3.在两个相交平面内各画一条直线,使它
们成为:
(1)平行直线;(2)相交直线;(3)异面直线.


b


a



b

a


b
a



4.在空间四边形ABCD中, E、F分别是AB、CD
中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8. 求AD与BC
所成角的大小.






A


E

D F


H C

B

解析:取BD的中点H,利用中位线性质,有
EHAD,FHBC, ∠EHF或其补角为AD与BC所
成角,可以求得∠EHF=90°

【学习延伸】
已知A是△BCD所在平面一点,
AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是BC的中点,
(1)求证直线AE与BD异面
(2)求直线AE与BD所成角的余弦值



A





B D


C
(1)反证法
(2)取CD的中点F,连接EF,可达到 平移的
目的.
直线AE与BD所成角的余弦值
3
6















第9课时 直线与
平面的位置关系

一、【学习导航】
知识网络



直线和平面的位置关系
直线和平面相交
直线在平面内
直线



直线和平面平行
求证:


互助参考31页

学习要求


1.掌握直线与平面的位置关系.

直线和平面平行的性质
2.掌握直线和平面平行的判定与性质定


理.

直线和平面平行的判定
.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理

与性质定理的应用

证明两条直线平行等有关问题.

【课堂互动】
证明:
自学评价

4. 直线和平面位置关系



位置关系 符号表示 图形表示



直线a在平面α内



直线a在平面α相交



直线a在平面α相交

2.直线在平面内是指:



3.直线和平面平行的判定定理





符号表示



说明:本章中出现的判定定理的证明不作要
【精典范例】

例1:如图, 已知E、F分别是三棱锥A-BCD的
4.直线和平面平行的性质定理

侧棱AB、AD中点, 求证: EF平面BCD.


A
已知:

E
F
B D
直线










互助参考31页例2


互助参考31页例1








自主训练一
已 知正方形ABCD所在的平面和正方形
ABEF所在的平面相交与AB,M、N分别
是AC、B F上的点且AM=FN
求证:MN平面BCE


F E

N


A
B

M

C

D
证明:作NPAB交BE于点P
作NQAB交BC于点Q
MQ
AB
=
MC
AC
,
NPNB
EF
=< br>BF

而AC=BF,AM=FN,
∴MC=NB,有AB=EF
∴MQNP,有MQ=NP
∴四边形MQNP是平行四边形.
∴MNPQ,而PQ
?
平面BCE
∴MN平面BCE

例2.一个长方体木块如图所示, 要经
过平面A
1
C
1
内一点P和棱BC将木块锯开, 应
怎样画线?
D
1

C
1


P
·
A
1

D
B
1

C
A
B
例3.求证: 如果三个平面两两相交于直线, 并
且其中两条直线平行, 那么第三条直线也和它
们平行.
已知:

求证:
互助参考31页例3












[思考]: 如果三个平面两两相交于三条直
线, 并且其中的两条直线相交, 那么第三条直
线和这两条直线有怎样的位置关系?





















自主训练二
1.指出下列命题是否正确,并说明理
由:
(1).如果一条直线不在平面内,那么这
条直线就与这个平面平行;错
(2).过直线外一点有无数个平面与这
条直线平行;正确
(3).过平面外一点有无数个直线与这
条平面平行。正确
2.已知直线a,b和平面α,下列命题正
确的是 (D )
A.若aα,b
?
α则ab
B. 若aα,bα则ab
C. 若ab,b
?
α则aα
D. 若ab,b
?
α则aα或b
?
α

3.在长方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
的面中:
(1)与直线AB平行的平面是:面A
1
C
1
, 面
DC
1

(2)与直线A A
1
平行的平面是:面BC
1
, 面
DC
1

(3)与直线AD平行的平面是:面BC
1
, 面
A
1
C
1


C
1

D
1




A
1

B
1

D

C

A
B
第10课时 直线与
平面垂直

一、【学习导航】
知识网络


直线和平面垂直


直线和平面垂直的定义
直线和平面垂直的判定
直线和平面垂直的性质
(2)过一点有几条平面与已知直线垂直?
直线和平面垂直的判定
答:

与性质定理的应用
2.定理:过一点有且只有一条直线与已知平面

垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
3.点到平面的距离:
学习要求


1.掌握直线与平面的位置关系.

2.掌握直线和平面平行的判定与性质定
4.直线与平面垂直的判定定理:
理.

.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理

符号表示
证明两条直线平行等有关问题.

【课堂互动】
5.直线和平面垂直的性质定理:
自学评价
5. 直线和平面垂直的定义:




符号表示:

垂线:

垂面:

垂足:

思考:在平面中,过一点有且仅有一条直线
已知:
与已知直线垂直,那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?
求证:
答:


证明:互助参考34






6.直线和平面的距离:


【精典范例】
例1:.求证: 如果两条平行直线中的一
条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂
直于这个平面.
证明:互助参考34例1






思维点拔:
要证线面垂直,只要证明直线与平面内的两
条相交直线垂直,或利用定义进行证明。
Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC
(1)求证:点S在斜边中点D的连线SD⊥面
ABC
(2)若直角边BA=BC,求证:BD⊥面SAC










自主训练

如图, 已知PA⊥α, PB⊥β, 垂足分别为A、B,
且α∩β= l , 求证: AB⊥l .


α
P


A
β

l
B


证明:略








例2.已知直线l 平面α , 求证: 直线l各
点到平面α的距离相等.
证明:互助参考34例2














例3.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1D
1
.
(1)求证: A
1
C⊥B
1
D
1

(2)若M、N分别为B
1
D
1
与C
1
D上的点, 且MN
⊥B
1
D
1
, MN⊥C
1
D , 求证: MNA
1
C .

A
D


B
C

A
1
N

D
1
M
B
1
C
1






分析:(1)可先证B
1
D
1
⊥面 A
1
CC
1,
从而证出结
论.
(2)可证MN和A
1
C都垂直于面BDC
1
, 从而利
用性质证出结论















点评:要证线线平行均可利用线面垂
直的性质。
自主训练

1.已知直线l,m,n与平面α,指出下列
命题是否正确,并说明理由:
(1)若l

α,则l与α相交;
(2)若m
?
α,n< br>?
α,l

m,l
⊥n
,则l

α;
(3)若lm,m

α,n

α,则lm
2.某空间图形的三视图如图所示,试画
出它的直观图,并指出其中的线面垂直
关系.








学习要求

1.了解直线和平面所成角的概念和范围;











3.在
△ABC 中,∠B=90°,SA⊥面ABC,AM⊥
SC,AN⊥SB垂足分别为N、M,
求证:AN⊥BC,MN⊥SC



S

M



A
N
C



B

略证:BC⊥面SAB
?
BC⊥AN
再证AN⊥面SBC
?
AN⊥SC
AM⊥SC
?
SC⊥面ANM
?
MN⊥SC

第11课时 直线与
平面垂直(2)

一、【学习导航】
知识网络
斜线在平面内射影的定义


直线和平面所成角
直线和平面所成角的定义


直线和平面所成角的求法
2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和
性质定理.
【课堂互动】
自学评价
6. 斜线的定义:
斜足定义:


斜线段定义:
的射影在∠BAC的平分线上.
2.直线和平面所成角的定义:


P

线面角的范围:
【精典范例】
例1:.如图,已知AC,AB分别是平面
α的垂线和斜线,C,B分 别是垂足和斜足,
a
?
α,求证:a⊥BC
A
a
α
C
B

证明:互助参考36例3




例2.求证: 如果平面内的一条直线与
这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直
线就和这条直线在这个平面内的射影垂
直.
已知:

求证:
证明:
证明:略




点评:
上述两题是三垂线定理及其逆定理,今后在
证明其它问题时可直接使用。
例3.如图, ∠BAC在平面α内, 点P
?
α, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P在平面α上

B

E

A
O

α
F C
证明:互助参考36例4









思考:你能设计一个四个面都是直角的四面体
吗?
思维点拨:
要证线面垂 直,通常是从线线垂直来证明,而要
证明线面垂直,通常又是从线线垂直来证明,即
线线垂直和 线面垂直互相转化.
自主训练
1.如图,

BCA=90°,PC

面ABC,则在
三角形ABC,三角形PAC的边所在的直线
中:
(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC
(2)与AP垂直的直线有BC




P
C
B
A


2.若直线a与平面
α
不垂直,那么在平
面内
α
与直线a 垂直的直线 (B )
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面
α
内的所有直线
D.不存在
3.从平面外一点向平面 引斜线段,如果
斜线段长相等,那么它们在平面内的射
影相等吗?
答:相等
4.在
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为DD

的中
点,O为底面ABCD的中心,
求证:B

O⊥平面PAC
点拨:使B

O垂直与平面ABC内的两条相交
直线.
















【学习延伸】
Rt△ABC的斜边BC在平面M 内,两直角边
和平面M所成的角分别是45°和30°,
求斜边的高AD和平面M所成的角


A


B
O

M
C


答:AD和平面M所成的角60°





















总结:要求斜线AD与平面M所成的角,找出斜
线AD在平面M内的射影是关键.
解题步骤:①作,②证,③求。

自主训练

正方体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中,
① 求AD

与平面ABCD所成的角,

求AD

与平面A
1
D
1
CB所成的角


(1) 45°
(2) 30°

第12课时 平面与
平面位置关系

一、【学习导航】
知识网络



平面与平面的位置关系

两平面
两平面平行
两平面
两平



两平面相交
学习要求

1.理解并掌握两平面平行, 两平面相交的定义.


2.会画平行或相交平面的空间图形, 并会
5.两个平行平面间的距离
用符号表示.
3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定
理, 并能运用其解决一些具体问题.
【课堂互动】
自学评价
7. 两个平面的位置关系

位置关系 两平面平行 两平面相交

公共点
符号表示


图形表示

2.两个平面平行的判定定理:

符号表示:
3.两个平面平行的性质定理:

已知:

求证:
证明:














4.思考:
(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平

(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否
平行?


6.直线和平面的距离:


【精典范例】
例1:如图, 在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
求证: 平面C
1
DB平面AB
1
D
1
.

DC


A
B


D
C

A

B
证明:互助参考40例1






例2.求证: 如果一条直线垂直于两个平行平面
中的一个平面, 那么它也垂直于另一个平面.
证明:互助参考40例2







例3.求证: 如果一条直线垂直于两个平面, 那
么这两个平面平行..
已知

求证:
证明:仿例2证









思维点拨:
两个平面平行的判定定理 和性质定理体现
了在一定条件下,线线平行,线面平行,面
面平行之间可以互相转化.
自主训练

3.如图,设E,F,E
1
,F
1
分 别是长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AB,CD,A
1
B
1
,
C
1
D
1
的中点,
求证:平面ED
1
平面BF
1







证明:略

A
A
1

E
1

D
E
F
B
B
1

C
D
1

F
1
C
1

1.判断下列命题是否正确,并说明理
由:
(1).若平面α内的两条直线分别与平
面β平行,则α与β平行;
(2) 若平面α内的有无数条直线与平
面β平行,则α与β平行;
(3)平行于同一条直线的两个平面平
行;
(4)过已知平面外一点,有且仅有一个
平面与已知平面平行;
(5) 过已知平面外一条直线,必能作出
与已知平面平行的平面。
2.六棱柱的表面中,互相平行的面最多
有多少对?




4.求证:夹在两个平行平面间的平行线段
相等。

证明:略


第13课时 二面角

一、【学习导航】
知识网络



二面角

定义
定义



二面角的平面角
学习要求

1.理解二面角及其平面角的概念
2.会在具体图形中作出二面角的平面角,并
求出其大小.
【课堂互动】
自学评价
8. 二面角的有关概念
(1).半平面:
(2).二面角:
(3).二面角的平面角:

确定方法
(4).二面角的平面角的表示方法:

(5).直二面角:
(6).二面角的范围:
2.二面角的作法:
(1)定义法
(2)垂面法
(3)三垂线定理
【精典范例】
例1:下列说法中正确的是 (D )
A.二面角是两个平面相交所组成的图形


B.二面角是指角的两边分别在两个平
面内的角
C.角的两边分别在二面角的两个面内,
则这个角就是二面角的平面角
D.二面角的平面角所在的平面垂直于
二面角的棱.
例2如图, 在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中:
(1)求二面角D
1
-AB-D的大小;
(2)求二面角A
1
-AB-D的大小






D
1

C
1


A
1

B
1



D
C

A
B
互助参考43例1
(1) 45°
(2) 90













思维点拨
要求二面角的平面角,关键 是根据图形自身
特点找出二面角的平面角,主要方法有:定
义法,垂面法,三垂线定理法.步骤 为作,证,
求.


例3在正方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
中,求平面A
1
BD与
平 面C
1
BD的夹角的正弦值.
点拨:本题可以根据二面角的平面角的定义作出
二面角的平面角.


D
1

C
1



A
1

B
1


D
C


A
B
分析:取BD的中点O,连接A
1
O ,C
1
O,则∠A
1
O C
1
为平面A
1
BD与平面C
1
BD的二面角的平面角.
答:平面A
1
1
BD与平面C
1
BD的夹角的正弦值
3










自主训练
1.从一直线出发的三个半平面,两两所成
的二面角均等于θ,则θ=60
°

2.矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA
⊥面
ABCD,
且PA=< br>4
5
3
,则二面角A-BD-P的度
数为 30
°

3.点A为正三角形BCD所在平面外一点,
且A到三角形三个顶点的距离都等于
正三 角形的边长,求二面角A-BC-D
的余弦值.


1
答:
3
面与平面垂直

一、【学习导航】
知识网络








α⊥
α⊥β的判定
第14课时 平

α⊥
α⊥β的判定和性质
证明:互助参考44例2




学习要求

1.掌握两平面垂直的定义
2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理,并
会用这两个定理证明一些问题.
【课堂互动】
自学评价
1.两个平面互相垂直的定义:

2.两个平面互相垂直的判定定理:

符号表示:
3.两个平面互相垂直的性质定理:

已知:

求证:
证明:





【精典范例】
例1 :在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 求证: 平
面A
1
C
1
CA⊥面B
1
D1
DB .

D
1

C
1



A
1

B
1


D
C

A
B


α⊥β的性质













思维点拨


证明面面垂直的方法:



(1).利用两平面垂直的定义,作出两相交平
面所成二面角的平面角,并求其大小为90°
(2).利用判定定理,在一个平面内找一条直线垂
直于另一个平面.
例2.求证: 如果两个平面互相垂直, 那么经过
第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线
必在第一个平面内.
已知:

求证:
证明:互助参考45例3
















例3:如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平
面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F< br>




为PD中点,
求证:(1)平面PED⊥平面PAB
(2)求二面角F-AB-D的正切值.

P


F

D


A
C

E
B

证明:(1)略.
(2)
3
3



















自主训练
1.
判断下列命题是否正确,并说明理由:
①若α⊥γ, β⊥γ, 则αβ;错
②若α⊥β, β⊥γ, 则α⊥γ;错
③若αα
1
, ββ
1
, α⊥β, 则α
1
⊥β
1,


2. 已知PA⊥平面ABC, AB是⊙O的直径, C是
⊙O上的任一点. 求证: 平面PAC⊥平面PBC .

P


C


A
O
B

证明:略.








第15课时 平面与
平面的位置关系习题课

一、【学习导航】
知识网络


两平面的判定与性质


两平面的位置关系
二面角的求法
面面垂直的判定与性质






学习要求

1. 掌握面面平行与垂直的判定与性质定理
及其应用;
2.掌握求二面角的方法;
3.能够进行线线、线面、面面之间的平行(或
垂直)的相互转化。
【课堂互动】


【精典范例】
例1:如果三个平面两两垂直, 求证:它们
的交线也两两垂直。
已知:

求证:
证明:略




















例2.如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, E,F分
别是BB
1
,CD的中点
求证: 平面A
1
C
1
CA⊥面B
1
D
1
DB .
(1).求证:AD⊥D
1
F
(2).求AE与D
1
F所成的角
(3).求证:面AED⊥面A
1
F D
1



D
1
C
1


A
1

B
1


D
F
E

C

A
B

证明:(1)略
(2)90°
(3)略.










思维点拨
解立体几何综合题,要灵活掌握线线,线面,面
面平 行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的
相互转化;求线面角,面面角关键是利用线面垂
直、 面面垂直的性质作出所求角。
【学习延伸】
1.如果直角三角形的斜边与平面α平行, 两条
直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ
1

θ
2
, 则 ( D )
A. sin
2
θ
2
1
+sinθ
2
≥1
B. sin
2
θ
2
1
+sinθ
2
≤1
C. sin
2
θ
1
+sin
2
θ
2
>1


D. sin
2
θ
2
1
+sinθ
2
<1
2. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD
是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC, E
是PC中点.
(1)证明: PA平面EDB
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切
值;
(3).求二面角E-BD- C的正切值。


P

E

C B


D
A

(1)略证:连AC交BD于O,证OEPA
(2)
15
5

(3)
2















































自主训练
1.给出四个命题:
①AB为平面α外线段, 若A、B到平面α的
距离相等, 则ABα;
②若一个角的的两边分别平行于另一个角
的两边, 则这两个角相等;
③若直线a 直线b , 则a平行于过b的
所有平面;
④若直线a 平面α, 直线b 平面α,
则a b ,


其中正确的个数是 (A )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. a , b是异面直线, P为空间一点, 下
列命题:
①过P总可以作一条直线与a、b都垂
直;
②过P总可以作一条直线与a、b都垂
直相交;
③过P总可以作一条直线与a、b之一
垂直与另一条平行;
④过P总可以作一平面与a、b同时垂
直;.
其中正确的个数是 ( A )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.如图,PA⊥平面AB CD,ABCD,BC⊥AB,且
AB=BC=PD=
1
2
CD ,
(1)求PB与CD所成的角
(2)求E在PB上,当E在什么位置时,PD
平面ACE;
(3).求二面角E- AC- B的正切值。
解答:(1)45°
(2)
EB1
EP
=
2
,即E为BP的三等份点.
(3)
2
2





学习要求

1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单多面体的表面积.
【课堂互动】
自学评价
1.侧面展开图:互助参考中(以下同).

2.直棱柱:

3.直棱柱侧面积公式:


P



C
B



D
A










第16课时 空间几
何体的表面积(1)

一、【学习导航】
知识网络

直棱柱 定义及侧面积公式



空间多面体
正棱锥
定义及侧面积公式

4.正棱柱:
正棱台
定义及侧面积公式

5.正棱锥:

6.正棱锥侧面积公式:

7.正棱台:

8.正棱台侧面积公式:

9.三个公式之间的关系:


【精典范例】

例1:一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面
边长为a,求它的表面积.
【解】
侧面积=
6a
2

底面积=
2?6?
3
a
2
?33a
2
4

所以表面积为
(6?33)a
2






例2:设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶, 高
是0.85m , 底面的边长是1.5m , 制造这种
塔顶需要多少平方米铁板? (保留两位有效
数字)
【解】


互助参考中.









思维点拨
记清记准各种侧面积公式,然后结合几何
体性质解题.
自主训练
1.下列图形中,不是正方体的展开图的是
( C )




A B




C D
2.如图,E,F分别为正方形ABCD的边B
C,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能 围成
怎样的几何体?












答案:三棱锥(其中有一条侧棱垂直于底面).



3.已知正 四棱柱的底面边长为3,侧面的对角
线长为
35
,则这个正四棱柱的侧面积为
72 .










4.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面
边长为


a ,

求它的表面积

.
略解:

侧面积=
1
2
ch
'?
3
2
3
2
4
a
,底面积=
4
a



所以表面积为
3?3
4
a
2
.



5.一个正六棱台的两个底面的边长分别等
于8cm和18cm , 侧棱长等于13cm , 求
它的侧面积.

略解:
侧面积
=< br>118?
2
(6?8?6?18)?13
2
?(
8
2
2
)


学习要求

1. 理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推
导。
2.会求一些简单旋转体的表面积.
【课堂互动】
自学评价
1. 圆柱侧面积公式:互助参考中(以下同).

2. 圆锥侧面积公式:

3. 圆台侧面积公式:

4. 三个公式之间的关系:


【精典范例】

例1:有一根长为5cm , 底面半径为1cm
的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕4
圈, 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一
母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少厘
米? (精确到0.1cm)
【解】



互助参考.
=936
cm
2





第17课时 空间几
何体的表面积(2)

一、【学习导航】
知识网络

圆柱 定义及侧面积公式


空间旋转体
圆锥
定义及侧面积公式


圆台
定义及侧面积公式









例2:(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆
柱的表面积为
24
?

(2) 等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表
面积为
12
?

(3) 圆台上、下底面的半径分别为1和3,圆台
高为2,则其圆台的表面积为
(10?82)
?



例3. 已知一个圆锥的底面半径为R , 高为h ,
在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时, 圆柱的侧面积最大? 并求
出最大值.
解:(1)设圆锥底面半径为r,则


r
R
?
h?xh?x
h

r?
h
R

所以侧面积=
2
?
?x?
h?x
h
R


2
?
R
(hx?x
2
h
)

( 2)由(1)知,当
x?
h
2
时,侧面
积最大,为
?
Rh
2




思维点拨
1.空间问题平面化,会用侧面展开图解题.
2.记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式.
自主训练
1. △ABC的三边长分别为AC=3 , BC=4 ,
AB=5 , 以AB所在直线为轴, 将此三角形旋
转一周, 求所得旋转体的表面积.

答案:表面积=
84
5
?



2.圆锥形烟囱帽的底半径是40cm ,
高是30cm , 已知每平方米需要油漆150g ,
油漆50个这种烟囱帽(两面都漆), 共需油
漆多少千克?(精确到1kg)

简答:一个圆锥侧面积=
2000
?
cm
2

50个双面的面积为
20
?
(m
2
)

共用油漆=
20
?
?150g?9.42kg

答共需10kg.

3.圆台的侧面积为S,其上底面、下
底面的半径分别为r和R, 求证:截得这个
圆 台的圆锥的侧面积为
R
2
S
R
2
-r
2


法基本量证略.











【学习延伸】
侧面积综合题选讲
四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形,
PA⊥平面ABCD,侧面 PBC、侧面PDC与底面所成
的角分别是60°和30°,求四棱锥的全面积。

思路::先证后算.把四个侧面三角形的面积求
出后再与底面积相加即可.
答案:全面积=
18?93





思维点拨
在综合题中,遇到的不一定就是能直接套用
公式的几何体.于是要利用几何 体的性质与线面
关系来解决问题.这就要求我们不但要发展定势
思维,而且还要发展发散思维. 本题中所用方法
就是比较原始的方法,即把几何体各个面的面积
求出后相加来求出几何体的表面 积.
自主训练
正三棱台上、下底面边长分别为1,3,
侧面积为
43,求它的侧面与下底面所成二面
角的大小.
答案;
60
?




第18课时 空
间几何体的体积(1)

知识网络


空间几何体


锥体
台体
棱锥及圆锥体积公式
棱台及圆台体积公式
一、【学习导航】

柱体

球体

学习要求

1.理解柱体锥体台体的体积公式的推导.
2.会求一些简单几何体的体积.

【课堂互动】
自学评价
1.长方体的体积公式:互助参考中(以下
同).


2.柱体体积公式


3.锥体体积公式


4.台体体积公式


5.柱体,锥体,台体体积公式之间的关系:


6.球体体积公式






(祖暅原理:两等高的几何体若在所有等高
处的水平截面的面积相等,则这两个几何 体
的体积相等)
【精典范例】

例1:有一堆相同规格的六角螺帽毛坏
共重5.8kg , 已知底面六边形长是12mm ,
高是10mm , 内孔直径是10mm, 那么约有毛
坯多少个? (铁的比重是7.8gcm
3
)
【解】
棱柱及圆柱体积公式

球体积公式




互助参考.(251个)









例2:例2.(P
56
例2.)如图(互助参考中)
是一个奖杯的三视图( 单位:cm),试画出它的
直观图,并计算这个奖杯的体积(精确到
0.01cm
3< br>)
【解】



互助参考.(1826.76 cm
3
)














自主训练
1.正三棱锥底面边长为2,侧面均为直角
三角形,此三棱锥的体积为 ( C )

2
3
2

2


2
3

33






2.已知正三棱台的两个底面的边长分别等
于1和3 , 侧面积为
63
, 求它的体
积.。
解:设棱台斜高为
h
'
, 棱台高为
h


63

1
(3?9)h
'
2


h
'

3


(h
'
)
2
?h
2
?[
3
(3?1)]
2
6

h

26
3

所以
V?
1
3
?
26
3
?
3
4
(1?3?9)

13
6
2




学习要求

1.理解球的表面积公式的推导。
2.会求一些球的组合体中的面积与体积的
问题.
【课堂互动】
自学评价








3.三个球的半径的比是1 : 2 : 3 , 求证: 其
中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和
的3倍.

证明:设三个球半径分别为
r,2r,3r

则最大球体积=
36
?
?r
3

中等球体积=
32
3
?
?r
3

最小球体积=
4
3
?
?r
3

于是知:
最大球体积=3(中等球体积+最小球体积)
第19课时 空间几
何体的体积(2)

一、【学习导航】
知识网络

球 表面积、体积公式



空间几何体
多面体
体积公式


旋转体
体积公式
球的表面积公式:
S?4
?
R
2







【精典范例】

例1:已知一个正四面体内接在一个表
面积为36π的球内, 求这个四面体的表面
积和体积.
【解】

设球半径为R,正四面体棱长为
a

则R=3,且
R
2< br>?(
3
3
a)
2
?(
6
3
a?R)
2


a?
26
3
R?26

所以表面积=4
?
3
4
a
2
?243
< br>体积=
13
2
6
3
?
4
a?
3a?83







注:棱长 为a的正四面体的外接球的半
径R=
6
4
a
,内切球的半径r=6
4
a
.


例2:已知上、下底半径分别为r、R
的圆台有一内切球,
(1) 求这圆台的侧面积S
1

(2) 求这圆台的体积V .
(3) 求球的表面积与体积.
【解】
(1) S
1
=
?
(r?R)
2

(2)由于圆台高
h?(R?r)
2
?(R?r)
2
?2Rr

所以 体积=
2
?
2
3
Rr(R
2
?Rr?r)

(3)球的表面积=
4
?
Rr

球的体积=
4
3
?
RrRr









思维点拨
一些重要结论要 是能记住那将是非常好的
事情.如正四面体外接球半径、内切球半径与正
四面体棱长的关系式。






自主训练
1. P、A、B、C为球面上的四个点, 若PA、
PB、PC两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm、
PC=6cm , 求这个球的表面积.


答案:球半径R=
61
2
?

所以球的表面积为
61
?
cm
2








球的表面积=
3
36
?
?
3
V
2








2.正方体, 等边圆柱(底面直径和高相
等的圆柱), 球的体积相等, 则哪一个表面
积最小?

思路:设三种几何体的体积为V.
则正方体棱长a=
3
V

所以正方体的表面积=6
a
2
=
3
216?
3
V
2

等边圆柱的底面半径
r?
3
V
2
?
.
等 边圆柱的表面积=
3
54
?
?
3
V
2

球半径R=
r?
3
3V
4
?


学习要求

1.温故本章内容,使知识系统化,条理化.分
清重点,明确难 点,再现注意点,达到巩固
与知新的效果。
2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角
与距离以及简单几何体的面积与体积的问
题.< br>
【课堂互动】
自学评价
1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念:

2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) :
.
3.空间两直线的位置关系(3种关系):

4. 直线和平面的位置关系(3种关系):
所以:
正方体的表面积
?
等边圆 柱的表面积
?
球的表
面积.



第20课时 立体几
何体复习

一、【学习导航】
知识网络

侧面积与体积



多面体 旋转体(包括球)


空间几何体


基本元素(点,线,面)


直线与直线 直线与平面 平面与平面

5.平面和平面的位置关系(2种关系) :

6.空间几何体的表面积和体积公式.

7.三种角与六种距离的简单计算方法:

8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫
视图 .光线自物体的前面向后投射
所得的投影称为 主视图 ,自上向
下的称为 俯视图 .自左向右的
称为 左视图 .

【精典范例】

例1: 已知平面外两平行直线中的一条平行
于这个平面,求证另一条直线也平行于这个平
面.


略证.先写已知,求证,再进行证明.突
出使用线面平行的性质与判定定理.








例2:已知直 线AC,DF被三个平行平面
α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求
证:
AB
BC
=
DE
EF



证明:连AF交β于K.连BK,KE,
CF,AD.
由β∥γ得BK∥CF.
因α∥β得AD∥KE.
所以 AB/BC=AK/KF.
AK/KF=DE/EF
所以 AB/BC=DE/EF.



例3.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,O为AC和BD的
交点,G为CC
1
中点,求证:A
1O⊥面GBD.
略证:连OG.易证:
A
1
O?BD

又易证
?A
1
OG
为直角三角形.
所以
A
1
O?OG

所以
A
1
O?
面GBD.

例4.四面体ABCD中, AB,BC,BD两两垂直,
且AB=BC=2, E是AC的中 点,异面直线AD
与BE所成角的余弦值为
10
10
,求四面体
AB CD的体积.


思路:用作证求角法或建空间直角坐标系的方法
可求出BD=4,
所以四面体ABCD的体积=
1
?2?4?
8
33



例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点, PA、PB、
PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为
3
2
?
, 球的表面积为
3
?
.

例6.平面四边形ABCD中,AB=BC=C
D=a,∠B=90°,∠DCB= 135°,沿对角
线AC将四边形折成直二面角,求证:
(1)求证:AB⊥面BCD
(2)求面ABD与面ACD成的角.

略证:(1)易证略
(2)作C H⊥DB于H,作CE⊥DA于E,
连HE,可证得∠CEH为所求二面角的平面
角.在直角三 角形CEH中可求得sin∠CEH
=
3
2
,所以∠CEH=
60< br>?

所以所求二面角的大小为
60
?
.
自主训练
1.已知ab,且c与a,b都相交,求证:a,b,c
共面.

易证略



2.空间四边形ABCD中, AB=CD , 且AB与CD成
60°角, E、F分别为AC、BD的中点, 则EF与
AB所成角的度数为
30
?
或60
?
.

3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有
棱长的和为24,一条对角线长为5,体 积为2,则
1
a
?
1
b
?
1
c
?
( A )
A
11
4
B
4
11


C
112
D
211
A 3π B 4π
C 5π D 6π
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为
5:2:8,体积为14, 则棱台的高为
( B )
A 3 B 2 C 5 D 4

5. 一个正四面体的所有棱长都为2
,四个
顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积


( A )



第二章 平面解析几何初步

斜率.
【解】设
l
1
,l
2
,l
3的斜率分别为
k
1
,k
2
,k
3

第1课 直线的斜率(1)
【学习导航】

知识网络


直线的斜率

概念
计算公式

学习要求

1.理解直线的斜率的概念;
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
?1?23?2?22?2
?,k
2
???4,k
3
??0

?2?354?3?3?3
由图可知,
(1)当直线的斜率为正时,直线从左下 方向右
上方倾斜(
l
1
),此时直线倾斜角为锐角;
(2)当直线 的斜率为负时,直线从左上方向右
下方倾斜(
l
2
),此时直线倾斜角为钝角 ;

k
1
?
(3)当直线的斜率为0时,直线与
x
轴平行或
重合(
l
3
),此时直线倾斜角为
0

例2:已知直线
l
经过点
A(m,2)

B(1,m?2)

求直线
l
的斜率.
【解】当
m?1
时,直线
l
的斜率不存在,此时
倾斜角为
90


m?1
时,
2
【课堂互动】
自学评价
1.直线的斜 率:已知两点
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y< br>2
)

如果
x
1
?x
2
,那么,直 线
PQ
的斜率为
k?
y
2
?y
1
;此时, 斜率也可看成是
x
2
?x
1
?
?y

?x
纵坐标的增量
横坐标的增量
m
2
?2?2m
2
?
直线
l
的斜率
k?

1?m1?m
点评:运用 斜率公式求直线斜率时,一定要注意
公式中
x
1
?x
2
的条 件.
例3:经过点
(3,2)
画直线,使直线的斜率分别
为:(1)

【精典范例】
例1:如图,直线
l
1
,l
2
,l
3
都经过点
P(3,2)


l
1
,l< br>2
,l
3
分别经过点
Q
1
(?2,?1),Q
2
(4,?2)

34
;(2)
?

45Q
3
(?3,2)
,试计
算直线
l
1
,l2
,l
3

分析:根据两点确定一
条直线,只需再确定直
线上另一个点的位置.
【解】(1)根据斜率


?y3
,斜率为表示 直线上的任一点沿
x
4
?x
轴方向向右平移4个单位,再沿
y
轴方向向
?
上平移3个单位后仍在此直线上,将点
1.
?ABC
的 三个顶点
A(3,2B),?(

4,
C(0,?1)
,写出
?ABC
三边所在直线的斜率:
(3,2)
沿
x
轴方向向右平移4 个单位,再沿
y

轴方向向上平移3个
单位后得点
(7,5)
,即
可确定直线. (2)∵
?
k
AB
?
11

k
BC< br>?
?

k
AC
?
1

72
2. 求证:
A(1,5),B(0,2),C(2,8)
三点共线.
提示:∵
k
AB
?k
AC
?3
,∴三点共线. < br>3.已知过点
(?1,2m)

(?m,m?3)
的直线
l< br>的斜率为
3
,则实数
m
的值为
?3
.
4?4
?

55
∴将点
(3,2)
沿
x

方向向右平移5个单位,再沿
y
轴方向向下
平移4个单位后得点< br>(8,?2)
,即可确定直
线.





【学习延伸】
一、直线斜率与三点共线
例4:已知三点
A(a,2),B (3,7),C(?2,?9a)
在一条直线上,求实数
a
的值.
【解】由题意,
k
AB
?k
BC



点评:共线三点中任意两点确定的直线斜率
相等.

第2课 直线的斜率(2)
【学习导航】

知识网络



直线的倾斜角


概念
范围
倾斜角和斜率的关系
7?2?9a?72
?
,∴
a?2
或.
3?a?2?39
学习要求

1.掌握直线的倾斜角的概念,了解直线倾斜角
的范围;
2.理解直线的斜率与倾斜角之间的关系,能根
据直线的倾斜角求出直线的斜率;
3.通过操作体会直线的倾斜角变化时,直线斜
率的变化规律.
思维点拔:
任何直线都有倾斜角和斜率吗?
根据直线倾斜角和斜率的概念,任何直
线都有倾斜角 .特别地,当直线与
x
轴平行
或重合时,倾斜角为
0
;当直线与x
轴垂直
时,倾斜角为
90
,此时直线斜率不存在.因
此,除倾 斜角为
90
的直线外,其他直线都
有斜率.

【课堂互动】
自学评价
1.直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于
一条与
x
轴相交的直线,把 绕着交
点按 逆 (顺、逆)时针旋转到和直线重
合时所转过的 最小正角 称为这条直
线的倾斜角,并规定:与
x
轴平行或重合的直
线的倾斜角为
0

自主训练


2.倾斜角的范围:
[0,180)

3.直线的倾斜角与斜率的关系:当直线的倾
斜角不等于
90
时,直线的斜率
k
与倾
斜角
?
之间满足关系
k?tan
?
.

【精典范例】
例1:直线l
1
,l
2
,l
3
如图所示,则
l
1
,l
2
,l
3
的斜

k
1
,k< br>2
,k
3
的大小关系为 ,倾斜

?1
,
?
2
,
?
3
的大小关系为 .

l
1


l


2



l
3


答案:
l
1
?l
2
?l
3

?
3
?< br>?
1
?
?
2

点评: 当
0?
?
?90
时,倾斜角越大,斜
率越大,反之,斜率越大,倾斜角也越大;

90?
?
?180
时,上述结论仍成立.

例2:(1)经过两点
A(2,3),B(1,4)
的直线
的斜率为 ,倾斜角
为 ;
(2)经过两点
A(4,2y?1),B( 2,?3)
的直线
的倾斜角为
120
,则
y?

答案:(1)
?1

135
;(2)
?2?3


例3:已知直线
l
1
的倾斜角
?
1
?1 5
,直线
l
1

l
2
的交点
A
, 直线
l
1
绕点
A
按顺时针方向
旋转到与直线
l2
重合时所转的最小正角为
60
,求直线
l
2
的斜率< br>k

分析:由几何图形可得直线
l
2
倾斜角为
13 5
,∴斜率为
?1

点评:本题的关键在于弄清倾斜角的定义.

例4:已知
M(2m?3,m),N(m?2,1)

(1)当
m
为何值时,直线
MN
的倾斜角为
锐角?
(2)当
m
为何值时,直线
MN
的倾斜角为钝
角?
(3)当
m
为何值时,直线
MN
的倾斜角为直
角?
分析:当斜率大于0时,倾斜角为锐角;当斜率
小于0时,倾斜角为钝角;当直线垂直于
x< br>轴时
直线倾斜角为直角.
答案:(1)
m?1

m??5< br>;(2)
?5?m?1

(3)
m??5

自主训练一
1. 直线
2x?2y?3?0
的倾斜角为
135

2.已知直线
l
1
的倾斜角为
?
,直线
l
2

l1
关于
x
轴对称,则直线
l
2
的倾斜角为
18 0?
?

3. 已知直线
l
的倾斜角的变化范围为
??[
?
6
,
?
3
)
,则该直线斜率的变化范围 是
[
3
3
,3)

【学习延伸】
一、直线与已知线段相交,求直线斜率的
取值范围

例5: 若过原点
O
的直线
l
与连结
P(2,2),Q(6,23)
的线段相交,求 直线
l
的倾
斜角和斜率的取值范围.
分析:结合图形可知,直线
l
介于直线
OP,OQ
之间,即可得倾斜角范围;再根据倾斜角变化时,
斜率变 化规律可得斜率范围.
答案:倾斜角范围
[30,45]
,斜率范围
[3
3
,1]

自主训练二

1.已知
A(? 1,3),B(3,?3)
,则直线
AB

倾斜角
?
和斜率
k
分别为(
B

(A)
?
?30,k?3

(B)
?
?120,k??3

(C)
?
?150,k??3


(D)
?
?60,k?3

2.设点
A(2 ,?3),B?(3,?2)
,直线
l
过点
P(1,2)
,且与线段
AB
相交,求直线
l
的斜
率的取值范围.
答案:由直线< br>l
过点
P(1,2)
,且与线段
AB

交可得:直线
l
的斜率的变化可以看作是以
P
为旋转中心,直线
BP
逆时 针旋转到直线
AP
的过程中斜率的变化,又∵
k
AP
??5

k
BP
?1
,结合图形(图略)可得:直线
l

斜率的取值范围是
k??5

k?1









































第3课 直线的方程(1)
【学习导航】

知识网络
点斜式方程


斜截式方程


直线的方程
两点式方程


截距式方程

一般式方程
学习要求

1. 掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握
直线的点斜式方程;了解直线方程的斜截式是
点斜 式的特例;
2.能通过待定系数(直线上的一个点的坐标
(x
1
,y
1
)
及斜率
k
,或者直线的斜率
k
及在
y

上的截距
b
)求直线方程;
3.掌握斜率不存在时的直线方程,即
x?x
1

【课堂互动】
自学评价
1.求直线的方程,其实就是研究直线上任意一

P(x,y)
的 坐标
x

y
之间的关系.
2.直线
l
经 过点
P
1
(x
1
,y
1
)
,当直线斜率不 存在
时,直线方程为
x?x
1
;当斜率为
k
时,
直线方程为
y?y
1
?k(x?x
1
)
,该 方程叫做直线的
点斜式方程.
3.方程
y?kx?b
叫做直线的斜截式方
程,其中
b
叫做直线在
y
轴 上的截
距.


【精典范例】
例1:已知一条直线经过点
P< br>1
(?2,3)
,斜率

2
,求这条直线的方程.
【解】∵直线经过点
P

1
(?2,3)
,且斜率为
2

1. 写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点
A(2,?1)
,斜率为
2

(2)经过点
B(?2,2)
,倾斜角为
30

代入点斜式,得:
y?3?2(x?2)


x?y?7?0

点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜
率,可直接利用斜截式写出直线方程.
例2 :直线
l
斜率为
k
,与
y
轴的交点是
P(0,b)
,求直线
l
的方程.
【解】代入直线的点斜式,得:
y?b?k( x?0)
,即
y?kx?b

点评:
(1)直线
l
x
轴交点
(a,0)
,与
y
轴交点
(0,b )
,称
a
为直线
l

x
轴上的截距,称
b
为直线
l

y
轴上的截距(截距可以大于
0
也可以等于或小于
0
);
(2)方程由直线
l
斜率
k
和它在
y
轴上的截

b
确定,叫做直线方程的斜截式.

例3:(1)求直线
y??3(x?2)
的倾斜角;
(2)求直 线
y??3(x?2)
绕点
(2,0)
按顺
时针方向旋转
3 0
所得的直线方程.

【解】(1)设直线
y??3(x?2)
的倾 斜角

?
,则
tan
?
??3
,又∵
?< br>?[0,180)


?
?120

(2)∴所求 的直线的倾斜角为
120?30?90
,且经过点
(2,0)

所以,所求的直线方程为
x?2


例4:在同一坐标作出下列两组直线 ,分别
说出这两组直线有什么共同特征?
(1 )
y?2

y?x?2

y??x?2

y?3x ?2

y??3x?2

(2)
y?2x

y? 2x?1

y?2x?1

y?2x?4

y?2x?4< br>
【解】图略;(1)这些直线在
y
轴上的截距
都为
2
,它们的图象经过同一点
(0,2)

(2)这些直线的斜率都为
2
,它们的图象
平行.

自主训练
(3)经过点
C(0,3)
,倾斜角是
0

(4)经过点
D(?4,?2)
,倾斜角是
120

答案:(1)
y?1?2(x?2)

(2)
y?2?
3
3
(x?2)

(3)
y?3?0

(4)
y?2??3(x?4)

2.写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率是
5
2
,在
y
轴上的截距是
?3

(2)斜率是
?3
,与
x
轴交点坐标为
(2,0)

答案:(1)
y?
5
2
x?3

(2)
y??3x?6

3. 方程
y?k(x?2)
表示( C )
(A)
通过点
(?2,0)
的所有直线
(B)
通过点
(2,0)
的所有直线
(C)
通过点
(2,0)
且不垂直于
x
轴的直线
(D)
通过点
(2,0)
且除去
x
轴的直线

















的交点
(0,b)
,其中
a?0,b?0
,求直线
l
的方程.
【解】∵
l
经过两点
(a,0)

(0,b)
,代入两点式
得:
y?0x?axy
?
,即
??1

b?00?aab
点评:
(1)以上方程是由直线在
x
轴与
y
轴上的截距确
定,叫做直线方程的截距式;
(2)截距式方程适用范围是
a?0,b?0













第4课 直线的方程(2)
【学习导航】
学习要求

(1)掌握直线方程的两点式、截距式,了
解截距式是两点式的特殊情况;
(2)能够根据条件熟练地求出直线的方程.
【课堂互动】
自学评价
1 .经过两点
P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
)
的直线的两点式方程为
y?y
1
x?x
y
?
1
x

2
?y
12
?x
1
2. 直线的截距式方程
x
a
?
y
b
?1
(ab?0)< br>中,
a
称为直线在
x
轴 上的截距,
b
称为直线在
y
轴 上的截距.

【精典范例】
例1:已知直线
l

x
轴的交点
( a,0)
,与
y


例2:三角形的顶点是
A(?5,0)

B(3,?3)

C(0,2)
,求这个三角形三边所在直线方程 .
【解】∵直线
AB

A(?5,0)

B(3,?3)
两点,
由两点式得:
y?0x?(?5)
?3?0
?
3?(?5)

整理得直线
AB
的方程:
3x?8y?15?0

∵直线
BC

C(0,2)
,斜率
k?
2?(?3)
0? 3
??
5
3

由点斜式得:
y?2??
5
3
(x?0)

整理得直线
BC
的方程:
5x?3y?6?0

∵直线< br>AC

A(?5,0)

C(0,2)
两点,
由截距式得:
x
?5
?
y
2
?1

整理得直线
AC
的方程:
2x?5y?10?0


自主训练一
1.直线
3x?2y?4
的截距式方程为( C )
(A)
3x
4
?
y
2
?1

(B)
x
1
?
y
1
?1

32< br>(C)
xy
3x
4
?
?2
?1

(D)
4
?
y
?2
?1

3
2.根据下列条件,求直线的方程:
(1)过点
A(3,4)

B(3,?2)

(2)在
x
轴上、
y
轴上的截距分别是2,
?3


(3)过点
A(?1,4)
,且在
x
轴上的截距为3 .
答案:(1)
x?3
;(2)
x
2
?
y
3
?1
;(3)
x?y?3?0

3.经过点
(3,?4)
且在两坐标轴上截距相等
的直线方程是(
D

(A)
x?y?1?0
(B)
x?y?1?0

(C)
4x?3y?0

(D)
4x?3y?0

x?y?1?0


【学习延伸】
一、已知直线的横截距和纵截距间的
关系,求直线的方程
< br>例3:求经过点
(4,?3)
且在两坐标轴上的截
距绝对值相等的直线方程.< br>
分析: 涉及直线在坐标轴上的截距时,可
选择直线方程的截距式.
【解】 设直线在
x
轴与
y
轴上的截距分别为
a,b
,①当
a?0,b?0
时,设直线方程为
x
a
?
y
b
?1

∵直线经过点
(4,?3)
,∴
4
a
?
3
b
?1


|a|?|b|
,∴
?
?
a?1
?
a?7
b?1

?
??7
, ∴直线方
?
?
b
程为
x?y?1?0

x?y?7?0

②当
a?b?0
时,则直线经过原点及
(4,?3)

∴直线方程为
3x?4y?0

综上,所求直线方程为
x?y? 1?0

x?y?7?0

3x?4y?0

点评:题设 中涉及到了直线在两坐标轴上的
截距,因此可考虑用截距式,但应注意到截
距能否为零,这是应 用截距式求直线方程最
易出错和疏忽的地方.

例4:直线
l
与两 坐标轴在第一象限围成的
三角形面积为2,两截距之差为3,求直线
l

方程 .
分析:根据题意,直线
l
在两坐标轴上截距都大
于零,因此可以用截距式 方程.
【解】由题意,直线
l
在两坐标轴上截距都大于
零,
故可 设直线方程为
x
a
?
y
b
?1
(a?0,b?0)


?
由已知得:
?
1
?
2
ab?2
?
?
|a?b|?3
解得
?
?
a?1

?
a?4
?
b?4
?

?
b?1
?
?
a??1
(舍)或
?
?
b??4
?
a??4
(舍)
?
b??1
∴直线方程为
x
4
?y?1

x?
y
4
?1


思维点拔:

过两点
P(x
1
,y
1
), Q(x
2
,y
2
)
的直线能写成两点
式的条件是
x
1
?x
2

y
1
?y
2
,如果没 有这个条
件,就必须分类讨论,这点容易被忽略;只有当
直线在坐标轴上的截距都不为零时,才 可以用直
线方程的截距式.


自主训练二
1.求过点
P(2,?1)
,在
x
轴和
y
轴上的截距分
别为
a ,b
,且满足
a?3b
的直线方程.
答案:分截距为零、不为零两种情况讨 论,可得
所求直线方程为
x?3y?1?0

y??
1
2< br>x














第3课 直线的方程(3)
【学习导航】

学习要求

(1)掌握直线方 程的一般式
Ax?By?C?0

A,B
不同时为
0
),
理解直线方程的一般式包含的两方面的含
义:①直线的方程是都是关于
x,y
的二元
一次方程;②关于
x,y
的二元一次方程的
图形是直线;
(2)掌握直线方程的各种形式之间的互相
转化.
【课堂互动】
自学评价
1.直线方程的一般式
Ax?By?C?0
中,
A,B
满足条件 不全为零 ,当
A?0

B?0
时,方程表示垂直于
y
的直线,当
B?0

A?0
时,方程表示垂
直于
x
轴 的直线.

【精典范例】
例1:已知直线过点
A(6,?4)
,斜率为
?
4
3

求该直线的点斜 式和一般式方程及截距式方
程.
【解】经过点
A(6,?4)
且斜率
?
4
3
的直线方
程的点斜式
y?4??
4
3(x?6)
,化成一般
式,得:
4x?3y?12?0
,化成截距式,< br>得:
x
3
?
y
4
?1


例2:求直线
l:3x?5y?15?0
的斜率及
x
轴,
y
轴上的截距,并作图.
【解】直线
l:3x?5y?15?0
的方程可写成
y??
3
5
x?3
,∴直线
l
的斜率
k??3
5

y

上的截距为
3
;当
y?0
时,
x?5


x
轴上的截距为
5
.图略.
例3:设直线
l:(m
2
?2m?3)x?(2m
2
?m?1)y

?2m?6?0(m??1)
根据下列条件分别确定
m
的值:(1)直线
l

x
轴上的截距为
?3
;(2)
直线
l
的斜率为1


【解】(1)令
y?0

x?
2m?6
m
2
?2m?3

由题知,
2m?6
m
2
?2m?3
??3
,解得
m??
5
3

(2)∵直线
l
的斜率为
k??
m
2
?2m?3< br>2m
2
?m?1


?
m
2
?2 m?3
4
2m
2
?m?1
?1
,解得
m?
3


例4: 求斜率为
3
4
,且与两坐标轴围成的三角 形
的面积为
6
的直线方程.
【解】设直线方程为
y?
3
4
x?b


y?0
,得
x??
4
3
b


1
2
|b?(?
4b
3
)|?6
,∴
b ??3

所以,所求直线方程为
3x?4y?12?0

3x?4 y?12?0


自主训练一
1.已知直线
l
的倾斜角 为
60
,在
y
轴上的截距

?4
,求直线
l
的点斜式、截距式、斜截式和
一般式方程.
答案:点斜式方程:
y?4?3(x?0)

斜截式方程:
y?3x?4


截距式方程:< br>x
43
?
y
?4
?1

3
一般式方程:
3x?y?4?0

【学习延伸】
一、直线经过象限问题

例5: 若直线
(2t?3)x?2y?t?0不经过
第二象限,求
t
的取值范围.
分析:可以从直线的斜率和直线在
y
轴上的
截距两方面来考虑.
【解】直线方程可化为:
y?(
3
2
?t)x?
t
2

?
3
?
由题意得:
?
?
?
2
t?0
,解得
0?t?
3

?
?
?
?
t
2< br>2
?0
二、直线过定点问题
例6:求证:不论
m
取什么实数,直线
(2m?1)x?(m?3)y?(m?11)?0
恒过定
点,并求此定点坐标. < br>【解】法1:令
m?
1
2

y?3
;令
m? ?3

x?2
;两直线交点为
P(2,3)
,将点
P(2, 3)
坐标代入原直线方程,得
(2m?1)?2?(m?3)?3?(m?11)?0

成立,因此,直线过定点
P(2,3)

法2:将方程化为
(x?3y?11)?(2x?y?1)m?0


?
?
x?3y?11?0

?
x?2
?
2x?y?1?0
?y?3
时,以上方程恒
?
成立,即定点
P(2,3)
的坐标恒满 足原直线
方程,因此,直线过定点
P(2,3)

例7:在例5中,能证明“直线恒过第三象
限”吗?
提示:直线恒过定点
P (?
1
2
,?
3
4
)
,而
P
点在 第
三象限.

思维点拔:
证明直线过定点问题,要找到一定点,证明其坐
标始终满足直线方程即可,通常采用“例6”中
的两种方法来寻求定点.


自主训练二
1.若
pr?0,qr?0
,则直线
px?qy?r? 0

经过(
C

(A)
第一象限
(B)
第二象限
(C)
第三象限
(D)
第四象限
2.若直线
mx?ny?1?0
经过第一、二、三 象
限,求实数
m,n
满足的条件.
答案:将直线方程化为:
y??
m
n
x?
1
n
(n?0)

?
?
m
?
由已知可得
?
?
0
?
n
1< br>?
?
?
m?0

?
?
?
n?0< br>?
n
?0

n?0
时,直线方程为
mx?1?0,不满足条
件,
∴实数
m,n
满足条件
?
?
m?0
n?0

?
3.证明:不论
m
取什么实数,直线
(m?2)x?

(2m?1)y?3m?4
恒过定点,并求出该定点坐
标.
提示:仿“例6”可证得直线过定点
(?1,?2)




两条直线的平行与垂直(1)
【学习导航】

知识网络
两条直线(斜率都存在):
l
1

y?k< br>1
x?b
1
,
l
2

y?k
2x?b
2
,



平行

两条直线

位置关系

(特殊)



垂直
k
1
k
2
??1


学习要求

1.掌握用斜率判定两条直线平行的方法,
并会根据直线方程判 断两条直线是否平行;
2.通过分类讨论、数形结合等数学思想的
应用,培养学生思维的严谨性 和辨证性.
【课堂互动】
自学评价
判定直线
l
1
与< br>l
2
平行的前提是:
l
1
、l
2

是不重合的两条直线;
如果
l
1

l
2
斜率都存在,则直线平行能得到
斜率相等,反之,斜率相等也能得到直线平
行;
如果
l
1

l
2
斜率都不存在,那么两直线
都垂直于< br>x
轴,故它们 平行 .
【精典范例】
例1:已知直线方程
l1

2x?4y?7?0,
l
2

x?2y?5?0< br>,证明:
l
1

l
2

分析:在两条直线斜率都存在的情况下,若
要证明两直线平行,即证斜率相等.
【证明】把
l
1

l
2
的方程写成斜截式
l
1

y?
1
2
x?
7
4
,< br>l
15
1

y?
2
x?
2

k
1
?k
2

b
1
?b
2
,∴
l
1

l
2

点评:(1)判定两直 线平行的条件是直线的
斜率和截矩,因此,要把方程化为斜截式;
(2)判定两直线平行,首先 判断斜率相等,
若两直线斜率相等,则两直线可能平行也可
能重合,还需再进一步判断截距不相 等;
如果两条直线斜率不存在,两条直线为
x?a
1
,x?a
2< br>,只需
a
1
?a
2
即可.
(3)判定两直线重合, 首先判断两条直线斜率相
等,再判定截距相等.如果两条直线斜率都不存
在,两直线
x ?a
1
,x?a
2
,只需
a
1
?a
2即可.
例2:求证:顺次连结
A(2,?3),B(5,?
7
2
),C(2,3),D(?4,4)
四点所得
的四边形是梯形.
分析:判断一个四边形是梯形,不仅要判断一组
对边平行,还要判断另一组对边不平行. ?
7
?(?3)
【证明】∵
k
1
AB
?
2
5?2
??
6

k?
4?31
CD
?4?2
??
6
,∴
k
AB
?k
CD

从而
ABCD

3?(?
7
又∵
k?
2
)
2?5
??
13
BC
6

k
3?4
DA
?
?
2?(?4)
??
7
6
, ∴
k
BC
?k
DA

从而直线
BC

DA
不平行,
∴四边形
ABCD
是梯形.
点评:在判断哪组对边平行时,不妨先在坐标系
中将各点画出,结合图形作判断,再进行证明.
例3:(1)两直线
2x?y?k?0

4x?2y?1?0
的位置 关系是 平行或重合.
(2)若直线
l
1

ax?3y?1?0< br>与
l
2

2x?(a?1)y?1?0
互相平行,则
a
的值为
a??3

分析:(1)若两直线斜率不等,必定相交;若两
直线斜率相等,则平行或重合;
( 2)在两直线斜率存在的前提下,若两直线平
行,则斜率相等,可以此来求直线方程中的字母
系 数.
【解】(2)①当
a??1
时,
k
a2
l
1
??
3
,k
l
2
??
a?1

?l
1
l
2
,∴
k
l
1
?kl
2
,∴
a(a?1)?6?0


a
2< br>?a?6?0
,解得
a??3

a?2


a??3时
两方程化为
?3x?3y?1?0



2x?2y?1?0
显然平行,

a?2时,
两方程化为
2x?3y?1?0

2x?3y?1?0
两直线重合,

a?2
不符合,
②当
a??1
时,两直线不平行,

a??3

点评: 1.已知两直线的方程,判断它们位
置关系的方法;
2.已知两直线的位置关系,求字母系数 值
的方法(注意:要对直线斜率不存在的情况
进行讨论).
例4:求过点
A (2,?3)
,且与直线
2x?y?5?0
平行的直线方程.
分析:抓住题 目中的有效信息,直线平行则
斜率相等,然后结合点
A(2,?3)
,利用点斜
式便能求出直线方程.
【解】已知直线的斜率
k??2

∵两直线平行,∴所求直线的斜率也为
k??2

所以,所求直线的方程为 :
y?3??2(x?2)
,即
2x?y?1?0

另解:设与直 线
2x?y?5?0
平行的直线
l
的方程为:
2x?y?m?0
?l
过点
A(?2


2?2?(?3)?1?m ?0
,解之得
m??1

所以,所求直线的方程为
2x?y?1?0

点评:(1)一般地与直线
Ax?By?C?0

行的直线方程 可设为
Ax?By?m?0
,其

m
待定;
(2)把上题 改为求与直线
2x?y?5?0

行,且在两坐标轴上的截距之和为
3
2
的直线
l
的方程.(
2x?y?1?0


自主训练一
1.若过两点
P(6,m)

Q(m,3)
的 直线与直
线
x?2y?5?0
平行,则
m
的值为(
B

(A)
5
(B)
4
(C)
9
(D)
0
2. 直线
mx?y?n?0

x?my?1?0
平行的
条件是 (
D

(A)
m?1

(B)
m??1

(C)
?
?
m?1
?< br>m?1
?
?
n??1

(D)
?

?
n??1
?
m??1

?
n?1
3. 平行于直线
3x?8y?25?0
,且在
y
轴上
截距为
?2
的直线方程是
3x?8y?16?0

4. 若直线
y?(a
2
?2a?3)x?1
与直线
y?( a?7)x?
平行,则
4
a
的值为
?1或4

思维点拔:
课本中是在两条直线的斜率都存在的前提下,得
出两直线平行的等价条件 的.在具体解题时,应
注意考虑直线斜率不存在的情形(如例3(2)、自
主训练一第2题). 另外,在判定两直线平行时,
还要注意出现两直线重合的情况.
自主训练二
1.若 直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,
求实数m的取值范围是
m??2
2.与直线
3x?4y?1?0
平行且在两坐标轴上
截距之和为7
3
的直线
l
的方程为
3x?4y??4
.
0
3.求与直线
3x?4y?9?0
平行,并且和两坐
标轴在第一象限所围成 的三角形面积是24的直
线方程.
【解】∵直线
3x?4y?9?0
的斜 率为
?
3
4

∴设所求直线方程为
y??
3
4
x?b

x?0
,得
y?b
;令
y?0
,得
x?
4b< br>3



由题意,
b?0,
4b
3
?0
,∴
b?0


14b
2
?b?
3
?24
, ∴
b?6

故所求直线方程为
y??
3
4
x?6
,即
3x?4y?2?4

0

点评:直线方程为
y??
3
4
x?b
可化为
3x?4y?4b?0
,令
m??4b
,即可得
3x?4y?m?0
.因此,与
3x?4y?9?0< br>平行的直线也可设为
3x?4y?m?0
,但注
意到两直线不重合,所以
m?9










两条直线的平行与垂直(2)
【学习导航】

学习要求

1.掌握两条直线垂直的判定方法,并会根
据直线方程判断两条直线是否垂直; < br>2.理解两条直线垂直条件的推导过程,注
意解几思想的渗透和表述的规范性,培养学
生 的探索和概括能力.
【课堂互动】
自学评价
(1)当两条直线的斜率都存在时,如果它
们 互相垂直 ,那么它们的斜率的乘积等于
?1
,反之,如果它们的斜率的乘积等于
?1

那么它们 互相垂直 .
(2)若两条直线
l
1
,l
2
中的一条斜率不存在,
则另一条斜率为
0
时,
l
1
?l
2
.

【精典范例】
例1 :(1)已知四点
A(5,3),B(10,6),C(3,?4),D(?6,11)
,求证 :
AB?CD

(2)已知直线
l
3
1
的斜率为
k
1
?
4
,直线
l
2

过点A(3a,?2),B(0,a
2
?1)
,且
l
1
?l
2
,求实

a
的值.
【证明】(1)由斜率公式得:k
6?3311?(?
AB
?
10?5
?
5
, k
4)5
CD
?
?6?3
??
3


k
AB
?k
CD
??1
, ∴
AB?CD

(2)∵
l
1
?l
2
, ∴
k
1
?k
2
??1


3a
2
?1?(?2)
4
?
0?3a
??1

解得
a?1

a?3

∴当
a?1
或< br>a?3
时,
l
1
?l
2

点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.
例2:已知三角形的三个顶点为
A(2, 4),
B(1,?2),
C
4

A
D
C(?2,3 )

?2

BC
边上
?2
2
B
的 高
AD

在的直线方程.
分析:由
BC

AD< br>垂直,求出
AD
的斜率,利用
直线的点斜式便可求出高
AD
所 在的直线方程.
【解】直线
BC
的斜率为
k
3?(?2)
BC
?
?2?1
??
5
3


AD?BC
, ∴
k
3
AD
?
5

根据点斜式,得到所求直线的方程为
y?4?
3
5
(x?2)


3x?5y?14?0
.
点评:一般地,与直线
Ax?By?C?0垂直的
直线的方程可设为
Bx?Ay?m?0
,其中
m

定.
例3:在路边安装路灯,路宽23
m
,灯杆长
2.5m
,且 与灯柱成
120
角,路灯采用锥形灯罩,
灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高
h< br>为多少米时,
灯罩轴线正好通过道路路面的中线?(精确到


0.01m< br>)
【解】记灯柱顶端为
B
,灯罩顶为
A
,灯管
为< br>AB
,灯罩轴线与道路中线交于点
C
.以
灯柱底端
O
为原点,灯柱
OB

y
轴,建立
如图所示的直角坐标系.

B
的坐标为
(0,h)
,点
C
的坐标为
(11. 5,0)


?OBA?120
,∴直线
BA
的倾斜角为
30

则点
A
的坐标为

2.5cos30,h ?2.5sin30
),
即(
1.253,h?1.25
),
CA?BA


k
1
CA
??
k
??
1
??3
,由直线
BA
tan30
的点斜式方程,得
CA
的方程为
y?(h? 1.25?)?x3?(1

.

253
灯罩轴线
CA
过点
C(11.5,0)


?(h?1.25)??3(11.5?1.253)

解得
h?14.92(m)

答:灯柱高
h
约为
14.92
m


点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标
系,构造数学模型是关键.
自主训练一
1. 以
A(?1,1),B(2,?1),C(1,4)
为顶点的三
角形是

B


A
)锐角三角形 (
B
)直角三角形

C
)钝角三角形
2.(2000京皖 春,6)直线(
3?2

x+y=3和直线x+(
2?3
)y=2的 位置关
系是 (
B


A
)相交不垂直 (
B
)垂直

C
)平行 (
D
)重合

3. 过原点作直线
l
的垂线,若垂足为< br>(?2,3)
,则直线
l
的方程是
2x?3y?13?0

4. 已知两直线
l
1
:2x?4y?7?0

l
2
:2x?y?5?0
,求证:
l
1
?l
2

【学习延伸】
例4:(课本第91页 习题 第12题)直线
l
1

l
2
的方程分别是
A
1
x?B
1
y?C
1
?0

A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,其中
A
1
,B
1
不全为0,
A2
,B
2
也不全为0,试探究:
(1)当
l
1
l
2
时,直线方程中的系数应满足什
么关系?
(2)当
l
1
?l
2
时,直线方程中的系数应满足什
么关系?
分析:由于< br>l
1

l
2
的斜率可能不存在,因此分类
讨论

【解】(1)①当两直线方程中
x,y
的系数有一个
为0时,
不妨设
B
1
?0
,则必有
A
1
?0
,此 时直线
l
1
垂直

x
轴,其方程为
A
1< br>x?C
1
?0
,由
l
1
l
2
l
2

垂直于
x
轴,其方程可以为
A
2
x?C
2
?0

此时满足
A
1
B
2< br>?A
2
B
1
;反之也成立.
②当两直线方程中
x,y
的系数均不为0时,
直线
l
AA
1

l
2
的斜率分别为
?
1
B

?
2
,由
l
1
l
2
1
B
2

?
A
1
??
A
2
B
1
B
2

A
1
B
2
?A
2< br>B
1
.反之也成立.
综合①②可知:当
l
1
l2
时,
A
1
B
2
?A
2
B
1

(2)①当两直线方程中
x,y
的系数有一个为0
时,
不妨设
B
1
?0
,则必有
A
1
?0
,此 时直线
l
1
垂直

x
轴,其方程为
A
1< br>x?C
1
?0
,由
l
1
?l
2
知, 直
线
l
2
平行于
x
轴,故其方程为
B
2< br>y?C
2
?0

满足,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
;反之也成立.
②当两直线方程中
x,y
的系数均不为0时,
直线
l
A< br>1
1

l
2
的斜率分别为
?
B
,< br>?
A
2

1
B
2
)



l
1
?l
2
知,
(?
A
1
A
) (?
2
)??1
,∴
B
1
B
2
的直线方程 是
2x?y?5?0


4.分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条 直线互相
平行,当它们之间的距离达到最大时,求这两条
直线的方程.
答案:经过< br>A,B
的直线分别是
x?y?1?0

x?2y?10?0












A
1
A
2
?B
1
B?
2
0
.反之也成立.
综合①②可知:当
l
1
?l
2
时,
A
1
A
2
?B
1
?B0
2

点评:斜率是否存在的讨论是本题的难点所
在.另外,分类讨论的数学思想也得到了充分的体现.
思维点拔:
1.求直线方程时,与
y?kx?b

Ax?By?C?0
平行的直线可分别设为
(其中
b
1
,C
1
y?kx?b
1

Ax?By?C
1
?0
为待 定系数);与
y?kx?b

两直线的交点
【学习导航】

知识网络
两条直线的方程分别是
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

Ax?By?C?0
垂 直的直线可分别设为
y??
1
x?b
1
?
k?0
?

Bx?Ay?C
1
?0
k
l
1
:A2
x?B
2
y?C
2
?0

(其中
b
1
,C
1
为待定系数).
2.在解有关两直线平行或垂直问题时,应注
意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论. ?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
构成方 程组
?
.(*)
Ax?By?C?0
?
222



*的解



一组
无数组
无解
两直线相交
两直线重合
两直线平行
自主训练二
1.
若直线
(a?2)x?(1?a)y?3?0

(a?1)x?(2a?3)y?2? 0
互相垂直,则
实数
a
的值为
a?1或?1

2.由四条直线:
x?2y?1?0

学习要求

1.知 道两条直线的相交、平行和重合三种位置
关系,对应于相应的二元一次方程组有唯一解、
无解和 无穷多组解;
2x?y?1?0

2x?4y?1?0

2.当两 条直线相交时,会求交点坐标;
3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加
4x?2y?1?0
围成的四边形是
深对解析法的理解,培养转化能力.
(
D
)
(A)
等腰梯形
(B)
梯形
(C)
长方形
(D)

方形
3.过点
(2,1)
的所有直线中,距离原点最远
【课堂互动】
自学评价
(1)求两直线的交点坐标只需将这两条直线的
方程联立成方程组, 方程组的解 即为交点坐
标.
(2)在解由两直线的方程组成的方程组的时候
可能出现的三种结果是:


①方程组有一组解,该解为 交点坐标 ;
②方程组有无数组解,此时两直线的位置关
系为 重合 ,交点个数为 无数个 ;
③方程组无解,此时两直线的位置关系是
平行 ,交点个数为 0个.
【精典范例】
例1:分别判断下列直线是否相交,若相交,
求出它们的交点: < br>(1)
l
1
:
2x?y?7

l
2
:
3x?2y?7?0

(2)
l
1
:
2x?6y?4?0

l
2
:
4x?12y?8?0

(3)
l
1
:
4x?2y?4?0

l
2
:
y??2x? 3

【解】(1)因为方程组
?
?
2x?y?7?0
?< br>3x?2y?7?0

?
?
x?3
解为
?
y ??1
,
因此直线
l
1
和l
2
相交,交点坐标为
?
3,?1
?

(2)方程组
?
?
2x ?6y?4?0
y?8?0
有无数组解,
?
4x?12
这表明直线
l
1
和l
2
重合.
(3)方程组
?
?< br>4x?2y?4?0
2x?y?3?0
无解,
?
这表明直线
l
1
和l
2
没有公共点,故
l
1

l2

点评: 研究两条直线
l
1
,l
2
的位 置关系(相
交、重合、平行)可以转化为两条直线方程
所得的方程组
?
?A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?B
的解 的个数
?
A
2
x
2
y?C
2
?0
问题.
例2:直线
l
经过原点,且经过另外两条直
线
2x?3y? 8?0

x?y?1?0
的交点,
求直线
l
的方程.
分析:法一 由两直线方程组成方程组
?
?
2x?3y?8?0
,求 出交点
?
x?y?1?0
?
?1,?2
?
,再过原

?
0,0
?
,由两点求直线方程.
法二 设经过两条直线
2x?3y?8?0

x?y?1?0
交点的直线方程为
?
2x? 3y?8
?
?
?
?
x?y?1
?
?0
,又 过原点,

?
0,0
?
代入可求
?
的值.
点评:已知直线
l
1
:
A
1
x?B
1
y ?C
1
?0

l
2
:
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交,那么过两直
线的交点的直线方程可设 为
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?< br>?0

?
?
?R
?

例3:某商品的市场需 求
y
1
(万件)、市场供求

y
2
(万件)、市场 价格
x
(元件)分别近似
地满足下列关系:
y??x?70,y?2x?20
.当
y
1
?y
2
时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.
(1)求市场平衡价格和平衡需求量;
(2)若要使平衡需求量增加4万件,政府对每
件商品应给予多少元补贴?
分析:市 场平衡价格和平衡需求量实际上就是两
直线
y??x?70,y?2x?20
交点的横 坐标和
纵坐标,即方程组
?
?
y??x?70
?
y?2x? 20
的解.
【解】(1)解方程组
?
?
y??x?70
?
x
?2x?20

?
?30

?
y
?
y?40
故平衡价格为30元件,平衡需求量为40元
件.
(2 )设政府给予
t
元件补贴,此时的市场平衡
价格(即消费者支付价格)
x元件,则供货者
实际每件得到
(x?t)
元.依题意得方程组
?
?
?x?70?44
,解得
x?26,t?6

?
2(x?t)?20?44
因此,政府对每件商品应给予6元补贴.
点评 :这是一道关于两直线交点的实际应用题,
关键要读懂题目意思,而后通过解方程组解决问
题.
自主训练一
1. 若一条直线过点(2,1),且与另一条直线
y?kx?b
相交于点(1,2),则该直线的方程为
x?y?3?0

2. 若三条直线
2x?y3??8

x?y?1?0,x?ky?0
相交于一点,则
k
的值
等于 (
B

(A)
?2

(B)
?
11
2

(C)
2

(D)
2

3. 三条直线
x?y?1?0

2x ?y?8?0

ax?3y?5?0
有且只有两个交点,则
a?

3或-6.
【学习延伸】
两直线的交点的其他应用
例4: 已知三条直 线
l
1

4x?y?4?0

l
2
xm?y?0

l
3

2x?3my?4?0
,求分别 满
足下列条件的
m
的值:
(1)使这三条直线交于同一点;(2)使这三条
直线不能构成三角形.
分析:三条 直线交于同一点的条件是两直线交点
在第三条直线上;三条直线不能构成三角形的条
件是三条直 线交于一点或其中有两条直线平行.


【解】要使三直线交于一点,则
l
1

l
2
不平
行,∴
m?4

?∴由
?
?
4x?y?4?0
x?
4

?
?
?
4?m
,即
?
xm?y?0
l
?
1

l
2
?
y?
?4m
?
4?m
交 点为
(
4?
4?m
,
4m
4?m
)
, < br>代入
l
8
3
方程得
4?m
?3m?
?4m< br>4?m
?4?0

解得
m??1

2
3
(2)若
l

l
2
1

l
23
交于一点,则
m??1

3


l
1
l
2
,则
m?4


l
m??
1
1
l
3
,则
6
;若
l
2
l< br>3
,则
m
无解,
综上可得:
m??1

2< br>3

4

?
1
6

点评:三条直线要能构成三角形,只需两两
不平行即可.
例5:求证:不论
m
为何实数,直线
l

(m?1)x?(2m?1)y?m?5
恒过 一定点,
并求出此定点的坐标.
分析:证明直线过定点即证定点坐标始终满
足直线方程.
【解】(法一)将直线l
方程
(m?1x)?(m2?y1?)m
整理为
?

(x?2y?1)m?x?y?5?0
,该方程表示
过直线
x?2y?1?0

?x?y?5?0
交点
的直线,

?
?
x?2 y?1?0
x?y?5?0
得交点
(9,?4)
,∴直线
l
?
?
过定点
(9,?4)

(法二)令
m?1

y??4

m?
1
2

x?9
,两直线< br>y??4

x?9
交点为
(9,?4

)


(9,?4)
代入直线方程得
9m?9?m8?4m?
恒成立,所 以,直
?
线
l
过定点
(9,?4)

点评:以上两种方法是处理直线过定点问题
的常用方法.
思维点拔:
因为 直线上点的坐标就是对应方程的解,所
以两直线是否有交点,取决于它们对应方程
组成的方程组 是否有唯一解.体验“形”的
问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到
解析几何的本质( 即用代数的方法来研究或解决
几何问题).
自主训练二
1.已知两直线
a
1
x?b
1
y?3?0

a
2
x?b2
y?3?0
的交点是
(2,3)
,则过两点
P(a
1
,b
1
),Q(a
2
,b
2
)
的直线方程 是 (
C


(A)
3x?2y?0

(B)
2x?3y?3?0

(C)
3x?2y?3?0

(D)
2x?3y?5?0

2.(2002北京文,6)若直线l:y=k x
?3

直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直
线l的倾斜角的 取值范围是 (
B

(A)
[
?
,
?
)

(B)
(
?
6
,
?
632
)

(C)
(
?
,
?
32
)

(D)
[
?
6
,
?
2
]

解法一:求出交点坐标,再由交点在第一象限求
得倾斜角的范围
?
3(2< br>?
?
?
y?kx?3
?
?
x?
?3)
2?3k
?
?
?
2x?3y?6?0
?

?6k?23
?
?
y?
2?3k
∵交点在第一象限,
?
3(2?3)
?0

?
?
x?0
?

?
2?3k
?
y?0
?

?
6k?2 3
?
?
2?3k
?0
∴k∈(
3
3
,+∞ )
∴倾斜角范围为(
?
,
?
62










解法二:如图,直线2x +3y-6=0过点A(3,0),
B(0,2),直线l必过点(0,-
3
),当直 线
过A点时,两直线的交点在x轴,当直线l绕C
点逆时针旋转时,交点进入第一象限,从而得 出
结果.
点评:解法一利用曲线与方程的思想,利用点在
象限的特征求得,而解法二 利用数形结合的思


想,结合平面几何中角的求法,可迅速、准
确求得结果.

3 .设
m?n?k

k
为非零常数),则直线
例1:(1)求A(-1 ,3)、B(2,5)两点之间的距
离;
(2)已知A(0,10),B(a,-5)两点之间的
距离为17,求实数a的值.
【解】(1)由两点间距离公式得
22
AB=
[2?(?1)]?(5?3)?13

11
mx?ny?1?0
恒过点
(?,?)

kk
4.求证:不论
m
为何实数,直线
l

(2m?1)x ?(m?3)y?(m?11)?0
恒过一定
点,并求出此定点的坐标.
答案:定点坐标为
(2,3)






(2) 由两点间距离公式得
(a?0)
2
?(?5?10)2
?17
,解得 a=
?8

故所求实数a的值为8或-8.
例2:已知三角形
ABC
的三个顶点
平面上两点间的距离
【学习导航】

知识网络



PP(x< br>2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1)
2

12
?
13
A(?1,0),B(1,0),C (,)
,试判断
?ABC

22
形状.
分析:计算三边的长,可得直角三角形.
【解】
AB?(1?(?1))
2
?0
2
?2,

P(x
1
,y
1
),
1

P
2

(x
2
,y
2
)



(x
2
?x
1
)?(y
2
? y
1
)
2
(y
2
?
2
y
1
)(x
2
?x
1
)?
22
13
BC?(?1)< br>2
?(?0)
2
?1,
22
13
AC?(?(?1) )
2
?(?0)
2
?3
,
22

AC?BC?AB


?ABC
为直角三角形.
点评:本题方法多样,也可利用
BC< br>、
AC
斜率
乘积为-1,得到两直线垂直.
例3:已知
?A BC
的顶点坐标为
222
1
?x
2
y
1
? y
2
中点坐标
(
x
,)
22
学习要求

1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐
标公式;
2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一
些简单的问题.
【课堂互动】
自学评价
(1)平面上两点
P
1
(x
1
,y1
),P
2
(x
2
,y
2
)
之间的距离公式为
22
PP
12
?

(x< br>2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)

A(?1,5),
B(?2,?1),C(4,7)
,求
BC
边上的 中线
AM
的长和
AM
所在的直线方程.
分析:由中点公式可求出< br>BC
中点坐标,分别用
距离公式、两点式就可求出
AM
的长和
AM

在的直线方程.
【解】如图,设点
(x,y)

∵点
M
是线段
BC

(2)中点坐标公式:对于平面上两点
P)PP
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x< br>2
,y
2
,线段
12
的中点是
x
1
?x
2
?
x?
?
?
0
2

M( x
0
,y
0
)
,则
?
y?y
2
?
y?
1
0
?
?2
中点,

x?
【精典范例】
?2?4
?1,

2
?1?7
y??3

2



M
的坐标为
(1,3)

由 两点间的距离公式得
AM?[1?(?1)]
2
?(3?5)
2
?2 2

因此,
BC
边上的中线
AM
的长为
22

由两点式得中线
AM
所在的直线方程为
y?3
5?3
?< br>x?1
?1?1
,即
x?y?4?0

点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简
单应用.
例4.已知
?ABC< br>是直角三角形,斜边
BC
的中点为
M
,建立适当的直角坐标系,
证明:
AM?
1
2
BC


证:如图,以
Rt?ABC
的直角

AB,AC
所在
直线为坐标轴,建< br>立适当的直角坐
标系,

B,C
两点的坐
标分别为
(b,o),(0,c)


M

BC
的中点,
∴点
M
的坐标为< br>(
0?b
2
,
0?c
2
)
,即
(< br>b
2
,
c
2

)

由两点间的距离 公式得
AM?(
b
2
?
2
0?)
c
?2
1
2
(?0b
2
)?c
2

所以,
AM?
1
2
BC

自主训练一
1.式子
(a?1)
2
?(b?2)
2
可以理解为
(
B
)
(A)
两点(a,b)与(1,-2)间的距离
(B)
两点(a,b)与(-1,2)间的距离
(C)
两点(a,b)与(1,2)间的距离
(D)
两点(a,b)与(-1,-2)间的距离
2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分
线的方程为 (
C
)
(A)
2x+y-5=0
(B)
2x+y+6=0
(C)
x-2y=0
(D)
x-2y-8=0
3. 线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标
是(2,-1),则点B的坐标是
(?6,7)

4.已知点
A( 2,?3),
,若点
P
在直线
x?y?7?0
上,求取最小值. < br>解:设
P
点坐标为
P(x,y)
,∵
P
在直线
x?y?7?0
上,∴
y?x?7

AP
2
?(x?2 )
2
?(x?4)
2
?2x
2
?12x?20?2(x?3 )
2
?2


AP
的最小值为
2

【学习延伸】
对称性问题
例5: 已知直线
l:y?
1< br>2
x?1
,(1)求点
P(3,4)
关于
l
对称的点
Q
;(2)求
l
关于点
(2,3)
对称
的直线方程 .
分析:由直线
l
垂直平分线段,可设,有垂直关
2
系及中点坐标 公式可求出点;而关于点对称的
,
直线必平行,因此可求出对称的直线方程.
【解】 (1)设
Q
(x
o
,y
0
)
,由于
PQ< br>⊥
l
,且
PQ
中点在
l
上,有
?
?
y
0
?4
?
??2
?
?
29
?
x
0
?3
,解得
?
x
0
?
?y
?
5

?
0
?4
?
?2
?
1
2
?
x
0
?3
2
?1
??
y
0
??
8
5

Q
(
29
5
,?
8
5
)


(2)在
l
上任取一点,如
M(0,?1)
,则
M
关于点
(2,3)
对称的点为
N(4,7)

∵所求直线过点
N
且与
l
平行,
∴方程为
y?7 ?
1
2
(x?4)
,即
x?2y?1?0

例6 :一条光线经过点
P(2,3)
,射在直线
x?y?1?0
上,反射后,经过 点
A(1,1)

求光线的入射线和反射线所在的直线方程.
分析:入射光 线和反射光线所在直线都经过
反射点,反射直线所在直线经过点关于直线
x?y?1?0
的对称点.
【解】入射线所在的直线和反射线所在的直
线关于直线
x?y?1?0
对称,设
P
点关于
直线
x?y?1?0
对称点的坐标为Q
(x
0
,y
0
)
,因此
PQ
的中点 在直线
x?y?1?0
上,且
PQ
所在直线与直线
x?y?1?0< br>垂直,
?
?
y
0
?3
所以
?
?< br>x
0
?2
?(?1)??1

?
x
?0
?2
?2
?
y
0
?3
2
?1?0< br>解得
Q(?4,?3)

反射光线经过
A、Q
两点,∴反射 线所在直
线的方程为
4x?5y?1?0


?
?
x?y?1?0,
得反射点
?
4x?5y?1?0,
R(?
23
,?
1
3
)

入射光线经过
P

R
两点,
∴入射线所在直线的方程为
5x?4y?1?0

点评:求点
P< br>关于直线
l
的对称点
Q
,通常都是
根据直线
PQ垂直于直线
l
,以及线段
PQ
的中
点在直线
l
上这两个关系式列出方程组,然后解
方程组得对称点
Q
的坐标.
思维点拔:
平面上两点
P
1
(x
1
,y
1
),P2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式

( x
22
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
,线段
PP
12
中点坐标

(
x
1< br>?x
2
2
,
y
1
?y
2
2
)
.平面上两点间距离公式及
中点坐标公式有着广泛的应用,如:计算图形面
积,判断 图形形状等.同时也要注意掌握利用中
点坐标公式处理对称性问题.
自主训练二
1.点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐
标为
(
A
)
(A)
(1,4)
(B)
(-1,4)
(C)
(1,-4)
(D)
(-1,-4)
2.直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为
3x?y?2?0

3.已知点
A(0,3),B(-1,0),C(3,0)
,试求
D
点的坐标,使四边形
ABCD
为等腰梯形.
答案:
D
点的坐标为< br>(2,3)

(
163
5
,
5
)

4.已知定点
A(2,2)

B(8,4)

x?R
,求
(x?2)
2
?2
2
?(x?8)
2
?4< br>2
的最小值.
(数形结合:将
(x?2)
2
?2
2
?(x?8)
2
?4
2
看成

x
轴上的动 点
(x,0)

A,B
两点的距离和,利
用对称性,得到最小值为< br>62
).

听课随笔
















2.1.6第一节 点到直线的距离(1)
【学习导航】

知识网络
点到直线的距离
点到直线的距离公式
两条平行直线之间的距离公式

学习要求

1.掌握点到直线的距离公式,并能熟练运
用这一公式解决一些简单问题;
2.会通 过方程的思想,根据已知若干点到
直线的距离大小(或关系)求点的坐标或直
线的方程;
3.掌握两条平行直线之间的距离求法.
【课堂互动】
自学评价
1.点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l

A x?By?C?0
的距离:
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2

注意:
(1)公式中的直线方程必须化为一般式;
(2)分子带绝对值,分母是根式
A2
?B
2

思考:当
A?0

B?0
时公式成立吗?
答:___成立___________.
2. 两条平行直线
l
1

Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?By?C
2
?0

C
1
?C
2
)之间的距离为
d


d?
|C
1
?C< br>2
|

A
2
?B
2
注意:两条平行直线< br>l
1

l
2
的形式必须是一般
式,同时
x< br>和
y
前面的系数必须化为一致.
【精典范例】
例1:求点
P(?1,2)
到下列直线的距离:
(1)
2x?y?10?0
;(2)
3x?2

分析:直接利用点到直线的距离公式求解
【解】(1)由点到直线的距离公式,
得 :
d?
|2?(?1)?2?10|
2
2
?1
2
?
10
5
?25

(2)因为直线
3x?2
平行于
y
轴,
所以
d?
2
5
3
?(?1)
=
3

点评:本题(1)直接利用点到直线的距离公式即
可得到相应的距离(2)可以运用公式(
B? 0
),
亦可利用该直线平行于
y
轴的性质求解.
例2:求过点P(?1,2)
,且与原点的距离等于
2
2
的直线方程.
分析 :已知直线经过一个点的情况下通常可以设
点斜式,然后利用点到直线的距离公式求出相应
的斜 率即可得出相应的直线方程.
【解】当直线斜率不存在时,
方程为
x??1
,不合题意;
当直线斜率存在时,
设方程为:
y?2?k(x?1)

即:
kx?y?k?2?0

由题意:
k?2
k
2
?1
?
2
2

解得:
k??1

k??7

所以,所求的直线方程为:
x?y?1?0

7x?y?5?0

点评:本题设直线方程时一 定要先考虑直线的斜
率是否存在,体现数学思维的严密性与分类的思
想.
例3:求两条平行线
x?3y?4?0


2x?6y?9?0
之间的距离.
分析:两条平行直线之间的距离只要在其中一条< br>上任意取一个点,算出该点到另一直线的距离即
可,从而将平行直线之间的距离转化为点到直线< br>的距离.
【解】在直线
x?3y?4?0
上任取一点,
例如取
P(4,0)
,则点
P(4,0)
到直线


2x?6y?9?0
的距离
d
就是两平行线之间的距离,

d?
2?4?6?0?9
2
2
?62
?
1
40
?
10
20

点评:本 题将所学的点到直线的距离进行了
灵活运用,使我们通过点到直线的距离公式
算出了平行直线间 的距离.
通过本题将问题一般化,对于任意两条平行
直线
l
1
:< br>Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?By ?C
2
?0

C
1
?C
2
)之间的距离为
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2
例4:若直线
l
1
与直线
l
2
3x?4y ?20?0

行且距离为
3
,求直线
l
1
的方程.
分析:因为直线
l
1

l
2
平行,所以直线
l
1

l
2
的斜率相等,可以设直线
l
1

3x?4y?m?0

【解】设所求直线方程为
3x?4y?m?0

由题意可得,
|? 20?m|
3
2
?4
2
?3

解得:
m??5
或者
m??35

所以,所求的直线方程为:
3x?4y?5?0

3x?4y?35?0

点评:本题的关键 是怎样设直线
l
1
,充分利用
了两条直线平行的性质,从而减少未知量,简化解题步骤.
自主训练一
1.动点
P
在直线
x?2y?4 ?0
上,
O
为原
点,则
OP
的最小值为
45
5

2. 直线
l
过点
P(5,10)
,且与原点的 距离等

5
,则直线
l
的方程为:
3x?4y?25?0< br>或
x?5

3.
l
1

2x?3y?4 ?0
,
l
2

4x?6y?5?0

之间的距离为
13
2

4.已知平行线
2x?3y?3?0

2x?3y?9?0
,求与它们等距离的平行线
的方程.
【解】设所求直线方程为
2x?3y?m?0

由题意可得,
|? 3?m|
?9?m|
2
2
?3
2
?
|
2< br>2
?3
2
,解得
m??6

所以,所求的直线方程为:
2x?3y?6?0

思维点拔:
1. 点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l

Ax?By?C?0

A

B
不同时为
0
的距离:
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A2
?B
2
.使用该公式时
应该注意:
(1)公式中的直线方程 必须化为一般式;(2)
若点
P(x
0
,y
0
)
在 直线
l
上,则
P
到直线
l
的距离

0,此时公式仍适用;
(3)特别地,点
P(x
0
,y
0
)

x
轴的距离为
|y
0
|
,到
y轴的距离为
|x
0
|

2.两条平行直线
l
1

Ax?By?C
1
?0

l
2
Ax?By?C
2
?0

C
1
?C
2
)之间的距离:
d?
|C
1
?C
2
|
使用该公式时 应该注意:
A
2
?B
2
两条平行直线
l
1

l
2
的形式必须是一般式,同时
x

y
前面的 系数必须化为一致.



2.1.6第二节 点到直线的距离(2)
【学习导航】

知识网络
点到直线的距离公式
两条平行直线之间的距离公式



















值 用

学习要求

1.巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的
距离公式;
2.掌握点、直线关于点成中心对称(或关于直
线成轴对称)的点、直线的求解方法;
3.能运用点到直线的距离公式及两平行直线间
的距离公式灵活解决一些问题.


【课堂互动】
自学评价
1.若
Q
0
(x
0
,y
0
)

Q(x,y)
关于点
P(a ,b)
对称,

x
0
?x
2
?

a
,
y
0
?y
2
?

b

2. 若
Q
0
(x
0
,y
0
)

Q(x,y)
关于直线
Ax?By?C?0
对称,

Q
0
(x
0
,y
0
)

Q(x,y)
的中点落在直线
Ax?By?C ?0
上,

Q
0

Q
的连线与
Ax?B y?C?0
垂直.
【精典范例】
例1:在直线
x?3y?0
上找 一点,使它到原
点和直线
x?3y?2?0
的距离相等.
分析:直线
x?3y?0
与直线
x?3y?2?0
平行,即可算出它们之间的
距离,然后利用两点之间的距离公式算出该
点的坐标.
【解】直线
x?3y?0
x?3y?2?0
之间的
距离为:
|?2?0|10
1
2
?3
2
?
5

设直线
x?3y?0
上的点
P(x
0
,y
0
)
满足题
?
x0
?3y
0
?0
意,则
?
?
?
22< br>10
2

?
x
0
?y
0
?(5
)
?
3
?
3
解得
?
?
x< br>0
??
5

?
?
x
0
?
?
5
?
?

?
?
y
0
?
1
5
?
1

?
?
y
0
??
5
∴所求点的坐标为
(?
3
5
,
1
5
)< br>或
(
3
5
,?
1
5
)

点评:本题主要利用两条平行直线之间的距
离公式解决问题,是对上节课所学内容的一
个复习与 巩固.
例2:求直线
2x?11y?16?0
关于点
P(0,1)
对称的直线方程.
分析:解题的关键是中心对称的两直线互相
平行,并且两直线与对称中心的距离相等.
【解】设所求直线的方程为
2x?11y?C?0

由点到直线的距离公式可得
|0?11?16|
2
2
?11
2
?
|0?11?C|
2
2
?11
2


C?16
(舍去)或
C??38

所以,所求直线的方程为
2x?11y?38?0

点评:本题也可以利用 点与点的对称,设直线
2x?11y?16?0
上任意一点
A
0
(x
0
,y
0
)


A
0
(x
0
,y
0
)
在直线
2x?11y?16?0
上,所以2x
0
?11y
0
?16?0
)与
P(0,1)
对称的点为
A(x,y)

x?x
0
2
?0
,< br>y?y
0
2
?1
解得
x
0
??x

y
0
?2?y
,然后将
x
0

y
0
的值代入
2x
0
?11y
0
?16?0
求出所求 直线,比较而言,
此法注重轨迹的推导过程,而前面的方法比较简
便,为求直线关于点对称的直 线方程的基本方法
(直线关于点对称的问题).
例3:已知直线
l
1

x?y?1?0

l2

2x?y?3?0
,求直线
l
2
关于直线
l
1
对称
的直线
l
的方程.
分析:直线关于直线对称,可 以在
l
2
上任意取两
个点,再分别求出这两个点关于直线
l
1
的对称
点,最后利用两点式求出所要求的方程.这里可
以通过求出交点这个特殊点以 简化计算.
?
2
【解】由
?
?
x?y?1?0
? y?3?0
,解得:
?
?
x??
3
?
2x
?

?
?
y?
5
?
3

l
过点
P(?
2
3
,
5
3
)

又显然
Q(?1,1)
是直线
l
2
上一点,设
Q
关 于直线
l
1
的对称点为
Q'(x
0
,y
0
)

?
?
x
0
?1
?
y
0?1
?1?0

?
?
22
?
y
0?1

?
?
x
?(?1)??1
0
?1解得:
?
?
x
0
?0
?
y
0
?2
,即
Q'(0,2)

因为直线
l
经过点
P

Q'
,所以由两点式得它
的方程为:
x?2y?4?0

点评: 本题为求直线关于第三条直线对称的直
线方程的基本方法(两条直线关于第三条直线对
称的问题).
注意:这里有一种特殊情况:
直线
Ax?By?C?0关于直线
y?x
对称的直
线方程为:
Ay?Bx?C?0
. < br>例4:建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角
形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.









分析:要证明的结论中涉及的都是点到直线
的距离,故可考虑用点到直线的距离公式 计
算距离,因此必须建立直角坐标系.
【证明】设
?ABC
是等腰三角形,以底边
CA

所在直线 为
x
轴,过顶点
B
且垂直与
CA

直线为
y
轴,建立直角坐标系(如图).设
A(a,0)

B(0,b)
(
a?0

b?0
),则
C(?a,0)

直线
AB
的方程:
x
a
?
y
b
?1

即:
bx?ay?ab?0

直线
BC
的方程:
x
?a
?
y
b
?1

即:
bx?ay?ab?0

设底边
AC
上任意一点为
P(x,0)


?a?x?a
),

P

AB
的距离
PE?
|bx?ab|b(a?x)
a
2
?b
2
?
a
2
?b
2

P

BC
的距离
PF?
|bx?ab|b(a?x)
a
2
?b
2
?
a
2

?b
2
A

BC
的距离
h?
|ba?ab|2ab
a
2
?b
2
?
a
2
?b
2

PE?PF?
b(a?x)b(a?x)

a
2
?b
2
?
a
2
?b
2
?
2ab
?b
?h
故原命题得证.
a
22
点评:本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方
法研究几何问题.
自主训练一
1. 点
P

x
轴上,若它到直线
4x?3y?3?0
的距离等 于
1
,则
P
的坐标

(2,0)

(?< br>1
2
,0)

2.直线
y?3x?4
关于点
P(2,?1)
对称的
直线的方程为
3x?y?10?0

3. 光线沿直线
l
1

2x?y?3?0
照射到直线
l
2

x?y?4?0
上后反射,求反射线所在直线
l
3
的方
程.
【解】由
?
?
2x?y?3?0
?
x?7< br>?
x?y?4?0
,解得:
?

?
y??11
l
3
过点
P(7,?11)

又显然
Q( 1,1)
是直线
l
1
上一点,设
Q
关于直线
l2
的对称点为
Q'(x
0
,y
0
)

?
?
x
0
?1
?
y
0
?1
?4 ?0

?
?
22
?
y
0
?1

?
?
x?1
?(?1)??1
0
解得:
?
?
x
0
??5
?
y
0
??5
,即
Q'(?5,?5)

因为直线
l
经过点
P

Q '
,所以由两点式得它
的方程为
x?2y?15?0

4.求证: 等腰三角形底边延长线上任一点到两
腰(所在直线)的距离的差的绝对值等于一腰上
的高. < br>分析:要证明的结论中涉及的都是点到直线的距
离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,< br>因此必须建立直角坐标系.

y



B



E



P


C

O

A


D

x


【证明】设
?ABC
是等腰三角形,以底边
CA

在直线为
x
轴,过顶点
B
且垂直于
CA的直线为
y
轴,建立直角坐标系,如图,

A(a,0)

B(0,b)(a?0,b?0)


C(?a,0)
,直线
AB
方程为:
xy
a< br>?
b
?1
,即:
bx?ay?ab?0

直线BC
方程为:
x
?a
?
y
b
?1

即:
bx?ay?ab?0


P(x,0)
(x?a< br>或
x??a)
是底边延长线上任
意一点,

P

AB
距离为
PD?
|bx?ab||b( x?a)|
a
2
?b
2
?
a
2
?b
2


P

BC
距离为
PE?
|bx?ab||b(x?a)|
a
2
?b
2
?

a
2
?b
2
A

BC
距离为
h ?
|ba?ab|
a
2
?b
2
?
2ab

a
2
?b
2

x?a
时,
|PD?PE |?|
b(x?a)?b(x?a)?2ab
a
2
?b
2
| ?|
a
2
?b
2
|

?
2ab
a
2
?b
2
?h


x??a
时,
|PD?PE|?|
b(a?x)?b(x?a)
a
2
?b
2
|?|
2ab
a
2
? b
2
|

?
2ab
a
2
?b
2
?h

∴当
x?a

x??a
时,
|PD?PE|?h

故原命题得证.
【学习延伸】
一、数列与函数
例5:分别过A(?4,0),B(0,?3)
两点作两条
平行线,求满足下列条件的两条直线方程:< br>(1)两平行线间的距离为
4
;(2)这两条
直线各自绕
A

B
旋转,使它们之间的距离
取最大值.
分析:(1)两条平行直线分别过< br>A(?4,0)

B(0,?3)
两点,因此可以设出这两条直线的
方 程之间(注意斜率是否存在),再利用两条
平行直线之间的距离公式,列出方程,解出
所要求的 直线的斜率;(2)这两条平行直
线与
AB
垂直时,两直线之间距离最大.
【解】(1)当两直线的斜率不存在时,方程
分别为
x??4,x?0
,满足题意.
当两直线的斜率存在时,设方程分别为
y?k(x?4)

y?kx?3

即:
kx?y?4k?0

kx?y?3?0
,由
题意:
4k?3
4
,解得
k
2
?1
?
k?
7
24

所以,所求的直线方程分别为:
7x?24y?28?0

7x?24y?72?0

综上:所求的直线方程分别为:
7x?24y?28?0

7x?24y?72?0


x??4,x?0

(2)结合图形,当两直线与
AB
垂直时,
两直线之间距离最大,最大值为
|AB|?5

同上可求得两直线的 方程.此时两直线的方
程分别为
4x?3y?16?0

4x?3y?9?0

点评:(1)设直线方程时一定要先考虑直线的
斜率是否存在,利用平行直线之间 的距离公式列
出相应的方程,解出相应的未知数;(2)体现
了数形结合的思想,通过图形,发 现问题的本质.
思维点拔:对称问题
在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对
称情况,这里大致可以分为:点关与点对称,点
关于直线对称,直线关于点对称,直线关于直线
对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后对应本
节课的四种基本方法进行求解.
自主训练二
1.两平行直线
l
1

l
2
分别过
A(1 ,0)

B(0,5)

(1)
l
1

l
2
之间的距离为5,求两直线方
程;
(2)若
l
1

l
2
之间的距离为
d
,求
d
的取值范
围.
【解】(1)当两直线的斜率不存 在时,方程分别

x?1

x?0
,不满足题意.
当两直线的斜率存在时,设方程分别为
y?k(x?1)

y?kx?5

即:
kx?y?k?0

kx?y?5?0

由题意:
?k?5
,解得
k?0

k
2
?1
?5< br>k?
5
12

所以,所求的直线方程分别为:
l
1

y?0

l
2

y?5

l
1

5x?12y?5?0

l
2

5x?12y?60?0

(2)
d?(0,26]

第一节 圆的方程(1)
【学习导航】

知识网络

概念



单位圆


圆的标准方程的简单运用

学习要求

1.认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思
想方法;
2.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心
的坐标和圆的半径;



3.能根据所给条件,通过求半径和圆心的
方法求圆的标准方程.
即点
M(5,?7)
的坐标适合方程,
∴点
M(5,?7)
是这个圆上的点;
把点
N(?5,?1)
的坐标代入方程的左边,
【课堂互动】
自学评价
1. 以
(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的标 准方
程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2(r?0)
.
2. 圆心在原点
(0,0)
,半径为
r
时,圆的方
程则为:
x
2
?y
2
?r
2
(r?0)

3. 单位圆:圆心在原点且半径为1的圆;
其方程为:
x< br>2
?y
2
?1

注意:交代一个圆时要同时交代其圆心与半
径.
(?5?2)
2
?(?1?3)
2
?13?45?25

即点
N(?5,?1)
坐标不适合圆的方程,
∴点
N
不在这个圆上.
(2)法一:∵圆
C
的经过坐标原点,
∴圆
C
的半径为:
r?(2?0)
2
?(?3?0)
2

?2
2
?3
2
?13

因此所求的圆的方程为:
【精典范例】
例1:分别说出下列圆方程所表示圆的圆心
与半径:

(x?2)?(y?3)?7


(x?5)?(y?4)?18


x?(y?1)?3


x?y?144


(x?4)?y?4

【解】(如下表)


22
22
22
22
22
(x?2)
2
?(y?(?3))
2
?13


(x?2)
2
?(y?3)
2
?13

法二:∵圆心为
C(2,?3)

∴设圆的方程为
(x?2)?(y?1)?r

∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程

(0?2)
2
?(0?1 )
2
?r
2
,所以
r?13

∴所求圆的标准方程为:
2
222
(x?2)
2
?(y? 3)
2
?13

点评:本题巩固了对圆的标准方程的认识,第二
小 题的解题关键在于求出半径,这里提供了两种
方法.
例3:(1)求以点
A(1,2)
为圆心,并且和
x

方程 圆心 半径
相切的圆的方程;
22
(x?2)?(y?3)?7

(2,3)

Q(6,3)
,已知两点
P(4,9)
,求以 线段
PQ
7

(2)
(x?5)
2
?(y?4)
2
?18

(?5,?4)

32

为直径的圆的方程.
分析:(1)已知与圆心坐标和该圆与
x
轴相切
(0,?1)

x
2
?(y?1)
2
?3

3

即可求出半径.(2)根据
PQ
为直径可以得到
22
(0,0)

x?y?144

12

相应的圆心与半径.
(4,0)

【解】(1)∵圆与
x
轴相切
2

(x?4)
2
?y
2
?4

∴该圆的半径即为圆心
A(1,2)

x
轴的距离
点评:本题考察了对圆的标准方程的认识 ,
2

根据圆的标准方程,可以写出相应的圆的圆
所以圆的标准方程为:
心与半径.
例2:(1)写出圆心为
A(2,?3)
,半径长为
( x?1)
2
?(y?2)
2
?4

5
的圆的方程 ,并判断点
M(5,?7)

(2)∵
PQ
为直径,

PQ
的中点
M
为该圆的圆心即
M(5,6)

又因为
N(?5,?1)
是否在这个圆上;
(2)求圆心是
C(2,?3)
,且经过原点的圆
的方程.
分析:通过圆心,半径可以写出圆的标准方
程.
【解】(1)∵圆心为
A(2,?3)
,半径长为
5

∴该圆的标准方程为:
|PQ|?(6?4)
2
?(3?9)
2
?4?36

?210
,所以
r?
|PQ|
?10

2
∴圆的标准方程为:
(x?2)?(y?3)?25

把点
M(5,?7)
代入方程的左边,

(5?2)
2< br>?(?7?3)
2
?3
2
?4
2
?25
=右 边,
22
(x?5)
2
?(y?6)
2
?10

点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应
的圆心与半径.对圆的标准方程的有一个加深认
识的作用.
例4:已知隧道的截面是半径为
4
m
的圆的半


圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,车
辆宽度为
3m
,高为
3.5m
的货车能不能驶入
这个隧道?
分析:建立直角坐标系,由图象可以分析,
关键
在于
写出
半圆的方程,
对应求出当
x?3
时的值,
比较得出结论.
【解】以某一截面半圆的
圆心为原点,半圆的直径
AB
所在的直线为
x
轴,
建立 直角坐标系,如图所示,那么半圆的方
程为:
x
2
?y
2
? 16(y?0)


x?3
代入得
y?16?3
2
?7?9?3?3.5

即离中心线
3m
处,隧道的高度低于货车的
高度,因此,该货车不能驶入这个隧道.
点评:本题的解题关键在于建立直角坐标
系,用解析法研究问题.
思考:假设货车的最大的宽度为
am
,那么
货车要驶入高隧道,限高为多少?
解:将
x?a
代入得
y?16?a
2

即限高为
16?a
2
m

自主训练一
1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为
6

(2)经过点
P(6,3)
,圆心为
C(2,?2)

【解】(1)
x
2
?y
2
?36

(2)
(x?2)
2
?(y?2)
2
?41
. < br>2.求以点
C(?1,?5)
为圆心,并且和
y

相切的圆的 方程.
【解】由题意:半径
r?1

所以圆的方程为:
(x?1 )
2
?(y?5)
2
?1

3. 圆的内接正方形相对的 两个顶点为
A(5,6)

C(3,?4)
,求该圆的方程.
【解】由题意可得
AC
为直径,
所以
AC
的中点
M
为该圆的圆心即
M(4,1)

又因为
|AC|?(5?3)
2
?(6?4)
2
?4?100

?226

r?
|AC|
2
?26

∴圆的标准方程为:
(x?4)
2
?(y?1)
2
?26

4.求过两点
A(0,4)

B(4,6)
,且圆心在
直线
x?2y?2?0
上的圆的标准方程.
【解】设圆心坐标为
(a,b)
,圆半径为
r

则圆方程 为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

∵圆心在直线
x?2y?2?0
上,

a?2b?2?0

又∵圆过两点
A(0,4)

B(4,6)


(0?a)
2
?(4?b)
2
?r
2


(4?a)
2
?(6?b)
2
?r
2

由①、②、③得:
a?4,b?1,r?5

∴圆方程为
(x?4)
2
?(y?1)
2
?25

思维点拔:
由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半
径,反之,由圆心坐标及圆 的半径即可写出圆的
标准方程.在解具体的题目时,要灵活运用平面
几何及前面所学直线的有关 知识.

第二节
圆的方程(2)

【学习导航】

知识网络

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


示圆的条件




圆的一般方程的简单运用

学习要求

1.掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆
的标准方程;
2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准
方程解题;
3.解题过程中能分析和运用圆的几何性质.
【课堂互动】
自学评价
1.以
(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的标准方程:
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)

2.将
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
展开得 :
x
2
?y
2
?2ax?2by?a
2
?b2
?r
2
?0

3.形如
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的都表
示圆吗?不是 .
(1)当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程表


示以
(?
D
2
,?
E
2
)为圆心,
D
2
?E
2
?4F
2
为半径的圆;
(2)当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程表示一< br>个点
(?
DE
2
,?
2
)

(3 )当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程无实数
解,即 方程不表示任何图形;
4.圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

(D
2
?E
2
?4F?0)

注意:对于圆的一般方程
(1)
x
2

y
2的系数相等,且都不为
0
(通
常都化为
1
);
(2)没有
xy
这样的二次项;
(3)表示圆的前提条件:
D< br>2
?E
2
?4F?0
,通常情况下先配方配成
(x?a)2
?(y?b)
2
?m
,通过观察
m

0的关
系,观察方程是否为圆的标准方程,而不要
死记条件
D
2
? E
2
?4F?0

【精典范例】
例1:求过三点
O(0 ,0),M
1
(1,1),M
2
(4,2)
的圆的方程.
分析:由于
O(0,0),M
1
(1,1),M
2
(4,2)
不在
同一条直线上,因此经过
O,M
1
,M
2
三点有唯一的圆.
【解】:法一:设圆的方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


O,M
1
,M
2
三点都在圆上,

O ,M
1
,M
2
三点坐标都满足所设方程,把
O(0,0),M
1
(1,1),M
2
(4,2)
代入所设方程,
?
F
得:
?
?0
?
D?E?F?2?0

?
?
4D?2E?F?20?0
?
D?
解得:
?< br>?8
?
E?6

?
?
F?0
所以,所求圆的方程为:
x
2
?y
2
?8x?6y?0

法二:也可以求
OM
1

OM
2
中垂线的交点
即为圆心,圆心到< br>O
的距离就是半径也可以
求的圆的方程:
x
2
?y
2
?8x?6y?0

点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程,
在已知圆三个点时通常用一般方程求解.
例2:已知线段
AB
的端点
B
的坐标是
(4,3)
,端点
A
在圆
(x?1)
2
?y
2
?4
上运动,
求线段
AB
中点
M
的坐标
(x,y)
中< br>x,y
满足的
关系?并说明该关系表示什么曲线?
分析:线段
AB
的端点
B
静止,
A
在圆
(x?1)
2
?y
2
?4
上运动,因此我们可以设出
A的坐标,从而得到中点
M
的坐标.
【解】设点
A
的坐标是(x
0
,y
0
)
,由于点
B
的坐
标是
(4,3

)

M

AB
的中点,所以< br>x?
x
0
?4
2
,y?
y
0
?3< br>2
(*)
于是,有
x
0
?2x?4,y
0
?2y?3
因为点
A
在圆
(x?1)
2
?y
2
?4
上运动,所以点
A
的坐标满足方程
(x?1)
2
?y
2< br>?4

即:
(x
2
0
?1)
2
? y
0
?4
(**),
将(*)式代入(**),得:
(2x?4?1)
2
?(2y?3)
2
?4

整 理得
(x?
3
2
)
2
?(y?
3
2
2
)?1

所以
x,y
满足的关系为:
(x?
3
2
)
2
?(y?
3
2
)
2
?1< br>,
其表示的曲线是以
(
33
2
,
2
)为圆心,1为半径的
圆.
点评: 该圆就是
M
点的运动的轨迹;所求得 的
方程就是
M
点的轨迹方程:点
M
的轨迹方程就
是指点M
的坐标
(x,y)
满足的关系式.本题的
方法为求轨迹方程的一种基本 方法,注意方法的
归纳总结.
例3:某圆拱桥的示意图如右图,该圆拱的跨度
AB< br>是
36
米,拱高
OP

6
米,在建造时,每

3
米需用一个支柱支撑,求支柱
A
2
P
2
的长度
(精确到
0.01
米).
y
P
P
2
A< br>O
A
2
B
x
分析:若能够知道该圆拱所在的圆的方程,问题< br>就变的很简单了,所以,我们联想到建立相应的
直角坐标系,将问题转化为求圆的方程.
【解】以线段
AB
所在直线为
x
轴,线段
AB


中点
O
为坐标原点建立直角坐标系,那么点
A,B,P
的坐标 分别为
(?18,0),(18,0),(0,6)

设圆拱所在的圆的方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

∵点
A,P,B
在所求的圆上,则坐标代入得:
?
?
18
2
?18D?F?0
?
D?0
?
18
2
? 18D?F?0
,解之得
?
?
?
E?48

?< br>6
2
?6E?F?0
?
?
F??324
∴圆拱所在的 圆的方程为:
x
2
?y
2
?48y?324?0
将点
P
2
的横坐标
x?6
代入圆方程,解得
y??24 ?126?5.39
(舍去负值).
答:支柱
A
2
P
2
的长约为
5.39
米.
点评:本题的关键利用图形建立直角坐标
系,求出圆拱所在圆的方程,用代数的方法
研 究几何问题.
自主训练一
1.下列方程各表示什么图形?
(1)
x
2
?y
2
?4x?0

(2)
x
2
?y
2
?4x?2y?5?0

(3)
x?1?1?y
2

【解】(1)圆心为
(2,0)
,半径为2的圆;
(2)一个点
(2,1)

(3)一个圆心为
(1,0)
,半径为
1
的一个半
圆(
1?x?2
)(图略).
2.圆
x
2
?y
2
?6y?8?0
的圆心为:
(0,?3 )
,半径为
17

3. 求过三点
A(4,1),B(?6,3),C(3,0)
的圆
的方程.
【解】设圆的方程为
第二节 圆与方程
第14课时 直线与圆的位置关系
【学习导航】

知识网络

相离

直线与圆的

位置关系
相切


相交
学习要求

1.依据直线和圆的方程,能熟练求出它们
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


A

B

C
三点都在圆上,

A

B

C
三点坐标都满足所设方程,把
A(4,1), B(?6,3),C(3,0)
代入所设方程,
?
4D?E?F?17?0
得:
?
?
?6D?3E?F?45?0

?
?
3 D?F?9?0
?
D?1
解得:
?
?
E??9
,所 以,所求圆的方程为:
?
?
F??12
x
2
?y
2
?x?9y?12?0

4.求圆
x
2
?y
2< br>?2x?2y?1?0
关于直线
x?y?3?0
对称的图形的方程.
【解】
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
可化为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
,圆心
A(?1 ,1

)
于直线
x?y?3?0
的对称点为
B(?2,2)
,所以对称的
图形的方程为:
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1

思维点拔:
在确定圆的方程时,应根据已知条件与圆的标准
方程和圆的一般方程的各自特点,灵活选用圆方
程的形式.在解题时注意运用平面几何知识及数
形结合的思想.


第二章
平面解析几
何初步
的交点坐标;
2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的
大小关系判断直线和圆的位置关系;
3.理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线
和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对
应 关系;
4.会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问
题;
5.灵活处理与圆相交的问题.
【课堂互动】
自学评价
1.直线与圆有一个交点称为 相切,有两个交点
称为相交,没有交点称为相离.
2.设圆心到直线的距离为
d
,圆半径为
r



d?r
时,直线与圆相离,

d?r
时,直线与圆相切,

d?r
时,直线与圆相交.
3.直线
l
与圆
C
的方程联立方程组,若方程
组无解,则直线与圆相离,若方程组仅有
一组解,则直线与 圆相切,若方程组有两
组不同的解,则直线与圆相交.
【精典范例】
例1:求直线
4x?3y?40
和圆
x
2
?y
2
?100
的公共点坐标,并判断它们的
位置关系.
分析:直线方程和圆的方程联立方程组即可 【解】直线
4x?3y?40
和圆
x
2
?y
2
?100
的公共点坐标就是方程组
?
?
4x?3y?40
?
x
2
?y
2
?100
的解.
?
14
解这 个方程组,得
?
x?,
?
x
1
?10,
?
?
2
5
?
y
1
?0,
?

?48
?
?
y
2
?
5
.
所以公共点坐标 为
(10,0),(
1448
5
,
5
)

直线
4x?3y?40
和圆
x
2
?y
2
?100
有两
个公共点,所以直线和圆相交.

例2:自点
A(?1,4)
作圆
(x?2)
2
?(y?3 )
2
?1
的切线
l
,求切线
l
的方
程.
分析:根据点的坐标设出直线方程,再根据
直线和圆相切求解.
【解】法1:当直线
l
垂直于
x
轴时,直线
l:x??1
与圆相离,不满足条件
当直线
l
不垂直于
x
轴时,可设直线
l
的方程
y?4?k(x?1),

kx?y?(k?4)?0

如图,因为直线与圆相切,
所以圆心
(2,3)
到直线
l
的距离等于圆的半
径,
2k?3?(k?4)
解得
k?0

k
2
? 1
?1
k??
3
4

因此,所求直线
l
的方程是
y?4

3x?4y?13?0


法2:当直线
l
垂直于
x
轴时,直线
l:x??1

圆相离,不 满足条件.
当直线
l
不垂直于
x
轴时,可设直线
l
的方程为
y?4?k(x?1),
由于直线
l
与圆相切,所以方程

?
?
y?4?k(x?1),
?
(x?2)
2
? (y?3)
2
?1
仅有一组解.
由方程组消去
y
,得关于
x
的一元二次方程
(1?k2
)x
2
?(2k
2
?2k?4)x?k
2
? 2k?4?0
,因为一元二次方程有两个相等实根,所以判别

??(2k
2
?2k?4)
2
?4(1?k
2
)(k
2
?2k? 4)?0
解得
k?0

k??
3
4
因此,所求直线
l
的方程是
y?4

3x?4y?13?0


点评:该题用待定系数法先设直线方程,应注意
直线的斜率是否存在的问题.本题给出了两种解
法,可以看到用“几何法”来解题运算量要小的
多.

例3:求直线
x?3y?23?0
被圆
x
2
?y
2
?4
截得的 弦长.
分析: 可利用圆心距、半径、弦长的一半构成
直角三角形的性
质解题 【解】法1:如图,
设直线
x?3y??230
与圆
x
2
?y
2
?4
交于
A,B
两点,

AB
的 中点为
M
,则
OM?AB

O
为坐标
原点), < br>所以
OM?
0?0?23
1
2
?(?3)
2
?3,

所以
AB?2AM?2OA
2
?OM
2

?22
2
?(3)
2
?2


法2:直 线
x?3y?23?0
和圆
x
2
?y
2
?4
的公共点坐标就是方程组
?
?
?
x?3y?23?0,
?
?
x
2
?y
2
?4
的解


解得?
?
?
x
1
??3,
?
x
2
?
?
?
y
1
?1,
?
0,
?
y< br>2
?2.

所以公共点坐标为
(?3,1),(0,2),

直线
x?3y?23?0
被圆
x
2
?y
2
?4

截得的弦长为
(?3?0)
2
?(1?2)
2
?2


自主训练一
1.求过圆
x
2
?y
2
? 4
上一点
(1,3)
的圆的
切线方程.
答案:
x?3y?4

2. 自点
A(2,2)
作圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
的切线
l
, 求切线
l
的方程.
答案:
y?2

3.从圆
( x?1)
2
?(y?1)
2
?1
外一点
P(2,3)
向圆引切线,求切线长.
答案:
2


【学习延伸】
一、圆、切线、截距
例4: 已知圆
(x?2)
2
?(y? 3)
2
?1
,求该
圆与
x
轴和
y
轴的截距 相等的切线
l
的方
程.
分析:用待定系数法求解.
【解】由题意 设切线
l

x
轴和
y
轴的截距

a

b
,则
a?b


a?0
时,设
l< br>的方程为
x
a
?
y
a
?1
,即
x? y?a?0

因为直线和圆相切,所以圆心
(2,3)
到直线
l< br>的距离等于圆的半径,故
2?3?a
2
?1,
解得
a?5? 2

a?5?2

所以
l
的方程为
x?y?(5? 2)?0

x?y?(5?2)?0


a?0
时,设l
的方程为
y?kx
,即
kx?y?0

所以
2k?3
k
2
?1
?1
,解得
k?
6?23
3

k?
6?23
3

所以
l
的方程为
(6+23)x?3y?0

(6-23)x?3y?0

综上所述 :
l
的方程为
x?y?(5?2)?0

x?y?(5?2)?0< br>或
(6+23)x?3y?0

(6-23)x?3y?0
.

点评:本题较为复杂,要讨论的情况比较多,解
题过程中要注重分析.

例5:若直线
y?x?b

x?4?y
2
恰有一个
公共点,求实数
b
的取值范围.
分析:由题意
x?4?y
2
可化为
x
2
?y
2
?4
(x?0)
表示一个右半 圆,如图所
示,对于
y?x?b

b
变化时所得的直线是互
相平行的,由图可知
l
1
与半圆有一个交点
l
2
与半圆正 好有两个交点,所以位于
l
1

l
2
之间
的直线都 与半圆只有一个交点,另外
l
3
与半圆相
切也符合题意
【解】由题 意
x?4?y
2
可化为
x
2
?y
2
?4< br>(x?0)

表示一个右半圆,如
图所示
直线
l
1
的方程为:
y?x?2

直线
l
2
的方程为:
y?x?2

因为直线
l
3
与半圆相切,
所以
b
2
?2
,解得
b?22

所以直线
l
3
的方程为:
y?x?22

由图可 知位于
l
1

l
2
之间的直线都与半圆只有
一个交 点,且
l
3
与半圆相切,
所以实数
b
的取值范围为:
?2?b?2

b?22

点评:本题应用数形结合的方法去解题.

思维点拔:
在解决直线与圆的 位置关系的问题时,我们通常
采用“几何法”.例如,求与圆相切的直线方程
时,先用待定系数 法设出直线方程,然后根据
d?r
即可求得.这种数形结合的思想贯穿了整
个章节.
自主训练二
1.已知圆
x
2
?y
2
?2
,求该圆与
x
轴和
y
轴的
截距的绝对值相等的切线
l
的方程.


答案:
y?x?2

y??x?2

2.若直线
y?x?b

y?4?x
2
有两个
不同 的交点,求实数
b
的取值范围.
答案:
2?b?22




第二节 圆与方程
第15课时 圆与圆的位置关系
【学习导航】

知识网络
外离


外切


圆与圆的位
相交

置关系

内切


内含
学习要求

1.掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判
别方法;
2.了解用代数法研究圆的关系的优点;
3.了解算法思想.
【课堂互动】
自学评价
1.圆与圆之间有外离,外切,相交,
内切,内含五种位置关系. < br>2.设两圆的半径分别为
r
1
,r
2
,圆心距为
d< br>,

d?r
1
?r
2
时,两圆外离,

d?r
1
?r
2
时,两圆外切,

| r
1
?r
2
|?d?r
1
?r
2
时,两圆 相交,

d?r
1
?r
2
时,两圆内切,

d?r
1
?r
2
时,两圆内含.
3.思考:用 代数方法,通过联立方程组,用
判别式法可以判断两个圆的位置关系吗?
为什么?
【精典范例】
例1:判断下列两圆的位置关系:
(1)(x?2)
2?(y?2)
2
?1与(x?2)
2
?(y?5)
2
? 16

2)x
2
?y
2
?6x?7?0与x
2?y
2
?6y?27?0

【解】(1)根据题意得,两圆的半径分别为


第二章
平面解析几
何初步
r
1
?1和r
2
?4
,两圆的圆心距
d?[2?(?2)]
2
?(5?2)
2
?5.

因为
d?r
1
?r
2
,所以两圆外切.
(2 )将两圆的方程化为标准方程,得
(x?3)
2
?y
2
?16,x< br>2
?(y?3)
2
?36

故两圆的半径分别为
r
1
?4和r
2
?6

两圆的圆心距
d?(0?3)
2
?(3?0)
2
?32

因 为
|r
1
?r
2
|?d?r
1
?r
2,所以两圆相交.

点评:判断两圆的位置关系,不仅仅要判断
d

r
1
?r
2
的大小,有时还需要判断
d

r
1
?r
2
的关系.

例2:求过点
A(0,6)
且与圆
C:x
2
?y
2
?10x?10y?0

切于原点的圆的方程.
分析:如图,所求圆经过原
点和
A(0,6)
,且圆心应在已
知圆的圆心与原点的连线
上.根据这三个条件可确定圆的方程.
【解】将圆
C
化为标准方程,得
(x?5)
2
?(y?5)
2
?50

则圆心为
C(?5,?5)
,半径为
52
.所以经过
此圆心和原点的直线方程 为
x?y?0

设所求圆的方程为
(x?a)
2
?(y? b)
2
?r
2

由题意知,
O(0,0),A(0,6)
在此圆上,且圆心
M(a,b)
在直线
x?y?0
上,则有
?
(0?a)
2
?(0?b)
2
?

?< br>r
2
,
?
a?3,
?
(0?a)
2
?(6?b)
2
?r
2
,?
?
?
b?3,

?
?
a?b?0
?
?
r?32.
于是所求圆的方程 是
(x?3)
2
?(y?3)
2
?18

点评:此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一
性质来解题,由题意,圆心必在直线
y?3
上,


又圆心在直线
x?y?0
,从而圆 心坐标为
(3,3)

r?32
,所以所求圆的方程为
(x?3)< br>2
?(y?3)
2
?18


自主训练一
1.判断下列两个圆的位置关系:
(1)(x?3)
2
?(y?2)
2
?1与(x?7)
2
?(y?1)
2
?36

(2)2x
2
?2y
2
?3x?2y?0与3x
2
?3y
2
?x?y?0

答案:(1)内切,(2)相交.
2. 若圆
x
2
?y
2
?m
与圆
x
2
?y< br>2
?6x?8y

?11?0
相交,求实数
m
的取值范围.
答案:
1?m?121

【学习延伸】
一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程
例3: 已知圆
C
22
1
:x?y?2x?6y?1?0
,圆
C
2
:x
2
?y
2
?4x?2y?11?0
,求两圆的
公共弦所在的直线方程及公共弦 长.
分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆方
程,联立方程组,消去
x
2
项、
y
2
项,即得
两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股
定理可求出两圆公共弦长.
【解】设两圆交点为
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

A、B
两点坐标满足方程组

?
?
?
x
2
?y
2
?2x?6y?1?0,(1)
?
?
x
2< br>?y
2
?4x?2y?11?0,(2)

(1)?(2)

3x?4y?6?0

因为,
A、B
两点坐标都满足此方程,
所以,
3x?4y?6?0
即为两圆公共弦所在
的直线方程.
易知 圆
C
1
的圆心
(?1,3)
,半径
r?3


C
1
到直线的距离为
d?
|?1?3?4?3?6|< br>3
2
?(?4)
2
?
9
5

所以< br>,

AB?2r
2
?d
2
?23
2
?(
9
)
2
24
5
?
5
.即
两圆 的公共弦长为
24
5


点评:本题较为复杂,要讨论的情况比较多,
解题过程中要 注重分析.

例5:求过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0和
< br>x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点,且圆心在直
线
x?y?4?0
上的圆的方程.
分析:所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点,再利用弦心距、弦长、半径之间的关系
求圆半径
【解】
(法一)可求得 两圆连心线所在直线的
方程为
x?y?3?0


?
?< br>x?y?4?0,
x?y?3?0,
得圆心
?
(
1
2
,?
7
2
)

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公
共弦长
d?50
, 所以,圆半径
?
2
|
1
?(?
7
)?
?
r
2
?(
d
2
?
22
4|
?89
2
)?
??
?

?
2
2
?
?
?
所以,所求圆方程为
(x?
1
2
)
2
?(y?
7
2
)
2
?
89
2


x
2
?y
2
?x?7y?32?0

(法二)设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?6x?4
??(
2
x?
2
y6?y2

?8
x
2
?y
2
?
66
?
4?28
?
1?
?
x?
1?
?
y?
1?
?
?0

故此圆的圆心为
(?
3
1?
?
,
?3
?
1?
?
)
,它在直线
x?y?4?0
上, 所以
?
3
1?
?
?
?3
?
1?
?
?4?0

所以
?
??7

所以所求圆方程为
x
2?y
2
?x?7y?32?0

点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的
圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程.

思维点拔:
解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质.
自主训练二
1.一个圆经过圆
C
22
1
:x?y?8x?9?0
和圆< br>C
2
2
:x?y
2
?8y?15?0
的两个交点,且 圆心
在直线
2x?y?1?0
上,求该圆的方程.
答案:
x
2
?y
2
?
10
3
x?
14
3
y?12?0

2.已知一个圆经过直线
2x?y?4?0
与圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
的两个交点,并且有
最小面 积,求此圆的方程.
答案:
(x?
13
5
)
2
? (y?
64
5
)
2
?
5

第三节 空间直角坐标系
)?0


第16课时 空间直角坐标系
【学习导航】

知识网络
坐标原点


坐标轴


空间直角坐坐标平面

标系

点的坐标


右手直角坐

标系
学习要求

1.感受建立空间直角坐标系的必要性;
2.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐
标系刻画点的位置;
3.感受类比思想在探索新知识过程中的作
用.
【课堂互动】
自学评价
1.空间直角坐标系
从空间某一个定点
O
引三条互相垂直且
有相同 的单位长度的数轴,这样就建立了一
个空间直角坐标系
O?xyz
.点
O叫做坐标
原点,
x
轴、
y
轴、
z
轴叫做坐标 轴,这
三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分
别称为
xOy
平面、
yOz
平面和
zOx
平面.
2.空间右手直角坐标系的画法
通 常,将空间直角坐标系画在纸上时,
x


y
轴、
x
轴与
z
轴均成
135
,而
z
轴垂直

y
轴.
y
轴和
z
轴的单位长度相同,
x

上 的单位长度为
y
轴(或
z
轴)的单位长度
的一半 .
3. 空间点的坐标表示
对于空间任意一点
A
,作点
A
在三条坐标轴上的射影,即经过点
A
作三个平面分别垂直

x
轴与
y
轴与
z
轴,它们与
x
轴与
y
轴和
z
轴分别交与
P,Q,R
.点
P,Q,R
在相应数
轴上的坐标依次为
x

y

z
,我们把有序
实数对
(x,y ,z)
叫做点
A
的坐标,记为
A(x,y,z)

【精典范例】
例1:在空间直角坐标系中,作出点
P(5,4,6)

分析:可按下列步骤作出点
P

从原点出发沿x轴正沿与y轴平行的方向< br>O??????
方向移动5个单位
?P
向右移动4个单位
1
? ??????
沿与z轴平行的方向
P
向上移动6个单位

2
???????P

【解】所作图如下左图所示:








例2:如上右图,已知长方体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
的边长为
AB?12,AD?8,AA
?
?5
.以这个长
方体的顶点
A
为坐标原点,射线
AB,AD,AA
?
分别为
x
轴、y
轴、
z
轴的正半轴,建立空间直
角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
【解】因为
AB?12,AD?8,AA
?
?5
,点
A
坐标原点,即
A(0,0,0)
,且
B,D,A
?
分 别在
x
轴、
y
轴、
z
轴上,所以它们的坐标分别为
B(12,0,0),D(0,8,0),A
?
(0,0,5)


C,B
?
,D
?
分别在
xOy
平面、
zOx平面和
yOz
平面内,坐标分别为
C(12,8,0)

B?
(12,0,5),D
?
(0,8,5)


C< br>?
在三条坐标轴上的射影分别是点
B,D,A
?
,故点
C?
的坐标为
(12,8,5)


例3:(1)在空间直角坐 标系
O?xyz
中,画出
不共线的3个点
P,Q,R
,使得这3个点 的坐标
都满足
z?3
,并画出图形;
(2)写出由这三个点确定的平面内的点
的坐标应满足的条件.
z
【解】(1)取三 个点
P(0,0,3)
R(0,4,3)
P(0,0,3),Q(4,0,3),R(0,4,3)

Q(4,0,3)
(2)
P,Q,R
三点 不共
O
y
线,可以确定一个平面,
又因为这三点在
xOy
x
平面的同侧,且到
xOy
平面的距离相等,所以
平面
PQR
平行于
xOy
平面,而且平面
PQR

的每一个点在
z轴上的射影到原点的距离都等
于3,即该平面上的点的坐标都满足
z?3

自主训练一
1.在空间直角坐标系中,画出下列各点:
A(0,0,3),B(1,2,3)

答案略
2. 已知长方体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
的边长为< /p>


AB?6,AD?4,AA
?
?7
.以这个长方体的
顶 点
B
为坐标原点,射线
BA,BC,BB
?
分别

x
轴、
y
轴、
z
轴的正半轴,建立空间直
角坐标系,求长方 体各个顶点的坐标.
答案:
A(6,0,0)

B(0,0,0)

C(0,4,0)

D(6,4,0)

A
?
( 6,0,7)

B
?
(0,0,7)

C
?
(0,4,7)

D
?
(6,4,7)

3.写出坐标平面
yOz
内的点的坐标应满足
的条件.
答案:
yOz
平面上的点的
x
坐标都为
0


【学习延伸】
一、对称点
例4: 求点
A(2,?3,? 1)
关于
xOy
平面,
zOx
平面及原点的对称点.
【解 】
A(2,?3,?1)

xOy
平面上的射影

C(2, ?3,0),

zOx
平面上的射影为
B(2,0,?1)

?
A(2,?3,?1)
关于
xOy
平面
的对称点为
C( 2,?3,1),
关于
zOx
平面及原
点的对称点分别为
B
?
(2,3,?1)

A
?
(?2,3,1)


点评:一般的,点
(x,y,z)
关于
xOy
平面的
对称点 为
(x,y,?z)
,关于
yOz
平面的对称
点为
(?x, y,z)
,关于
zOx
平面的对称点为
第三节 空间直角坐标系
第17课时 空间两点间的距离
【学习导航】

知识网络

平面两点间距离公







空间两点间距离公


空间中点坐标公式

学习要求

1.掌握空间两点间的距离公式及中点坐标
公式;
2.理解推导公式的方法
【课堂互动】
自学评价
1.空间两点间距离公式
(x,?y,z)
,关于原点的对称点
(?x,?y,?z)


自主训练二
1.写出分别在坐标轴、坐标平面上的点
A(x,y,z)
的坐标所满足的条件.
答案:
若点
A

x
轴上,则
y?z?0

若点
A

y
轴上,则
x?z?0

若点
A

z
轴上,则
x?y?0

若点
A

xOy
平面上,则
z?0

若点
A

yOz
平面上,则
x?0

若点
A

zOx
平面上,则
y?0





第二章
平面解析几
何初步
(x
2
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
2
1
)

2. 空间中点坐标公式
连接空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)

P
2
(x
2
,y< br>2
,z
2
)
的线

PP
12
的中点
M
的坐标为
(
x
1
?x
2
y
1< br>?y
2
z
1
?z
2

2
,
2
,
2
)

【精典范例】
例1:求空间两点
P< br>1
(3,?2,5),P
2
(6,0,?1)
间的距

P
1
P
2

【解】利用两点间距离公式,得

P
222
1
P
2
=
(6?3)?[0?(?2)]?(? 1?5)

?9?4?36?7


例2:平面上到坐标原点的距离 为1的点的轨迹
是单位圆,其方程为
x
2
?y
2
?1
.在空间中,
到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么?试
写出它的方程.
【解】 与坐标原点的距离为1的点
P(x,y,z)

轨迹是一个球面,满足
OP? 1
,即
x
2
?y
2
?z
2
?1
. 因此
x
2
?y
2
?z
2
?1

就 是所求的球面方程

例3:已知三点
A(1,3,2)

B(? 2,0,4)


C(?8,?6,8)
,证明:
A,B,C< br>三点在同一直
线上.
分析:只要证明
AB?BC?AC
即可
【解】利用两点间距离公式,得

AB?22

BC?222
AC?322

所以
AB?BC?AC

所以
A,B,C
三点在同一直线上.







自主训练一
1.已知空间中两点
P
1(x,2,3)

P
2
(5,4,7)
的距离为
6,求
x
的值.
答案:
x?1

x?9
2.已知
A(2,5,6)
,在
y
轴上求一点
P
,使< br>



PA?7

答案:
P(0,2,0)

P(0,8,0)

3.已知空 间三点
A(?1,0,1),B(2,4,3)

C(5,8,5)
,求证:
A,B,C
在同一直线上.
答案:
A(?1,0,1),B(2,4,3)

C(5,8,5)

?AB?29,BC?29,AC?229

?AB?BC?AC

?A,B,C
在同一直线
上.
【学习延伸】
一、球面方程
例4: 讨论方程
(x?2)
2
?(y?6)
2
?(z?1)
2

?16
的几何
意义.
分析:类比空间两点的距离公式,构造点
P(x,y,z)

【解】因为(x?2)
2
?(y?6)
2
?(z?1)
2
?16< br>,
222
所以
(x?2)?(y?6)?(z?1)?4

即动点
P(x,y,z)
到定点
M(?2,6,1)
的距离
等于4,
所以
(x?2)?(y?6)?(z?1)?16


222
表示动点
P
的轨迹:一个半径为4,球心为
M(?2,6,1)
的球面
思维点拔:
注意类比方法在解决一些空间问题中的应
用.
自主训练二
1. 试解释方程
(x?12)
2
?(y?3)
2
?(z? 5)
2

?36
的几何意义.
答案:方程表示点
P(x, y,z)
与点
6
,即点
P
在以点
C
C(12?,3
的距离为
,
为球心,半径为
6
的球面上.

高中数学进制转换例题-高中数学知识要点解析


高中数学几种题型分类-哪里有免费高中数学讲课视频


高中数学竞赛 的 博客-概率高中数学经典


福建省高中数学教材-高中数学 椭圆哪个书本


高中数学应用论文范文-李永乐讲义高中数学


高中数学的思考方向-高中数学4-4坐标系讲解


校本研修-备好高中数学课-湖南版高中数学书共有几本


高中数学文科要学那几本书-高中数学课课练答案必修二苏教版



本文更新与2020-09-15 08:53,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/396295.html

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)的相关文章