高中数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题
班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
2．过点
P(?1,3)
且垂直于直线
x?2y?3?0
的直线方程为（ ）
A．
2x?y?1?0
B．
2x?y?5?0

C．
x?2y?5?0
D．
x?2y?7?0

3
．圆(x－1)＋y＝1的圆心到直线y＝
22
3
3
x的距离是( )
13
A．
2
B．
2
C．1 D．3
x
2
y
2
4．
已知
F
1
,F
2
是椭圆
?

?

1
的左右焦点，P为椭圆上一个点，且
PF
则
1
:PF< br>2
?1:2
，
95
cos?F
1
PF
2等于
( )
1
2
11
A．
2
B．
C．
D．
2
34
5
．
已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面
?
,
?
,则下列命题中正确的是( )
A
．
若
m
?
,n?
?
,则mn
B
．
若
?
?
?
?m,m?n,则n?
?

C
．
若
m
?
,n
?
,则mn
D
．
若
m
?
,m?
?
,
??
?n ,则mn

6．圆x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0截直 线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是( )
A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－68
7．已知
ab?0,bc?0
，则直线
ax?by?c
通过（ ）
A．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限
B．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限

8．
正方体AB CD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别 是AA
1
与CC
1
的中点，则直线ED与D
1
F所成角的< br>大小是（ ）
__________________________________ __________________________________________________ ________
第 1 页 共 7 页

A．
1

5
B．
11
3
C． D．
2
3

2
9. 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点
D
是侧面
BB
1
C< br>1
C
的
中心，则
AD
与平面
BB
1
C
1
C
所成角的大小是 ( )
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90


10．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角
是60°.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A'
P
B '
C'
11．如图:直三棱柱ABC
—
A
1
B
1< br>C
1
的体积为V，点P
、
Q分别在侧棱AA
1
和
CC
1
上，AP=C
1
Q，则四棱锥B
—
APQC的体积为( )
A．
Q
C
A
VVVV
B． C． D． （11题）
B
2345
12．如图 ，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的 棱长为1，线段B
1
D
1
上有两个动点
1
E、F， 且EF＝，则下列结论错误的是( )
2
A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD （12题）
C．三棱锥A—BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm
2






22
5
5


8
正(主)视图


5



8
侧(左)视图

5




第14题

8
俯视图



2
14.两圆
x?y?1
和
(x?4)?(y?a)?25
相切， 则实数
a
的值为
2
PF
1
?PQ
且
PF
15．已知
F1
,F
2
是椭圆的两个焦点，过
F
2
的直线交椭圆于P 、Q两点，
1
?PQ
,
则椭圆的离心率为
1 6.过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)
2
＋y
2
＝1有公共点，则直 线l斜率的取值范围为
三、解答题
17．如图，在三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
中，△ABC与△A
1
B
1
C
1
都为正三角形且AA
1
⊥面ABC，F、F
1
_____________________________________________ _______________________________________________
第 2 页 共 7 页

分别是AC，A
1
C
1
的中点．
求证：(1)平面AB
1
F
1
∥平面C
1
BF；
(2)平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
.



（17题）


18．已知点
P(x,y)
在圆
x
2
?(y?1)
2
?1
上运动.
（1）求










19． 如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，
P，Q分别为AE，AB的中点．
（1）证明：PQ∥平面ACD；
（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值



（19题）








y?1
的最大值与最小值；（2）求
2x?y
的最大值与最小值.
x?2
___________________________________________ _________________________________________________
第 3 页 共 7 页

20．已知圆C
1
：x
2
+y
2－2x－4y+m=0，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。







21．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC＝22，
M为BC的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P－AM－D的大小．




（21题）




22．如图，△ABC中，AC＝BC＝ AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，
若G，F分别是EC，BD的中点．
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC； （22题）
（3）求几何体ADEBC的体积V.








2
2
________________ __________________________________________________ __________________________
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高二数学必修二综合测试题
参考答案
一、
选择题
：1-5 BAACD 6-10 BCACC 11-12 BD
二、填空题
13 . 80 14.
?25
或0 15
.
6?3
16.
?
?
?
?
33
?
,
?

33
?
三、解答题
17 .证明:(1)在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，
∵F、F
1
分别是AC、A
1
C
1
的中点， ∴B
1
F
1
∥BF，AF
1
∥C
1
F .
又∵B
1
F
1
∩AF
1
＝F
1
，C
1
F∩BF＝F，
∴平面AB
1
F
1
∥平面C
1
BF.
( 2)在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1< br>⊥平面A
1
B
1
C
1
，∴B
1
F< br>1
⊥AA
1
.
又B
1
F
1
⊥A< br>1
C
1
，A
1
C
1
∩AA
1
＝A
1
，
∴B
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
，而B
1
F
1
?平面AB
1
F
1
，
∴平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
.
18 .解：（1）设
y?1
?k
，则
k
表示点
P(x,y)
与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切
x?2
时，
k
取得最大值与最小值.由
2k
k
2
?1
?1
，解得
k??
3
y?1
3
，∴的最大值为 ，
3
3
x?2
最小值为
?
3
.
3
（2）设
2x?y?m
，则
m
表示直线
2x?y?m
在< br>y
轴上的截距. 当该直线与圆相切时，
m
取得最大值与最小值.由
1 ?m
5
?1
，解得
m?1?5
，∴
2x?y
的最大 值为
1?5
，最小
值为
1?5
.
19.（1）证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ?平面ACD，
从而PQ∥平面ACD.
（2）如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
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因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝ EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，
因此DP⊥平面ABE，
∠DAP为AD和平面ABE所成的角，
在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，
sin∠DAP＝ ，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为

22
1
2
5
5
5
5
20.解：（1）配方得(x－1)+(y －2)=5－m，所以5－m>0，即m<5，
（2）设M(x
1
，y
1
)、N(x
2
，y
2
)，∵ OM⊥ON，所以x
1x
2
+y
1
y
2
=0，
x?2y?4?0
?
2
由
?
2
得5x－16x+m+8=0，
2
?
x?y?2x?4y?m?0
因为直线与圆相交于M、N两点， 所以△ =16－20(m+8)>0，即m<
所以x
1
+x
2
=
2
24
，
5
16m?8
4m?16
，x
1
x
2
=， y
1
y
2
=(4－2x
1
)(4－2x
2
)=16－8(x
1
+x
2
)+4x
1
x
2
=，
55
5
8248
代入解得m=满足m<5且m<，所以m=.
555
21.(1)证明：如图所示，取CD的中点E，
连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，
∴EM＋AM＝AE.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
PE3
∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°.
EM
3
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
222
_____ __________________________________________________ _____________________________________
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22.(1)证明：连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝
22
2
AB，
2
2
∴CA＋CB＝AB，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝
22
AB＝，
22
1
∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC
2
111
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.
326










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