高中数学必修2主要知识点总结

高中数学必修2主要知识点总结
立体几何：一、直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
α
α
β
l
方法一：用线线平行实现。
符号表示：

n
l
lm
?
?
m ?
?
?
?l
?

l?
?
?
?
2. 线面相交
l
A
α
方法二：用面面平行实现。
符号表示：
α
?

?
?
?
?l
?

l?
?
?

3. 线在面内
l
α
方法三：用平面法向量实现。
符号表示：
β
α
l'
m'
m
l
一．平行关系：
1. 线线平行：
若
n
为平面
?
的一个法向量，
n?l
且
l?
?
,则
l
?
。

l
?
方法一：用线面平行实现。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
m
l
?
m
?
?
l?
?
?
?lm

?
?
?
?m
?
?
α
l
?
β
ll'
mm'

方法二：用面面平行实现。
l
β
γ
α
m
?
?
?
?
?
?

?

l,m?
?< br>且相交
?
l',m'?
?
且相交
?
?
方法二 ：用线面平行实现。
l
?
?

?
?
?
?< br>?
?
?l
?
?lm

?
?
?
?m
?
?
方法三：用线面垂直实现。
若
l?
?
,m?
?
，则
lm
。
方法四：用向量方法：
若向量
l
和向量
m
共线且l、m不重合，则
lm
。
2. 线面平行：
l
α
A
C
B
?
?m
?
?
?
?

?

l,m?
?
且相交
?
?

三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
l?AC
?
?< br>l?AB
?
?
?l?
?
AC?AB?A
?
A C,AB?
?
?
?
β
- 1 -
l
m


α

方法二：用面面垂直实现。 方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
C
θ
A
B
?
?
?
?
?
?
?
?
? m
?
?l?
?

l?m,l?
?
?
?
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
β
l
cos
?
?
AB?AC
AB?AC

(二) 线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO
?
?
于O,连结AO，则AO为斜线PA在面
?
内的射影，
l?
??
?
?
?
?
?

l?
?
?

α
?PAO
(图中
?
)为直线l与面
?
所成的角。
(2)范围：
[0?,90?]

当
?
?0?
时 ，
l?
?
或
l
?

当
?
?90?
时，
l?
?

(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作l的
垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角
?
为 二面角
α
A
θ
P
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l
m
α
O
l?
?
?
?
?l?m

m?
?
?

方法二：三垂线定理及其逆定理。
P
A
O
PO?
?
?
?
l?OA
?
?l?PA

l?
?
?
?

α
l
?
—l—
?
的平面角。
(2)范围：
[0?,180?]

?
?
?
m
n
P
l
方法三：用向量方法：
若向量
l
和向量
m
的数量积为0，则
l?m
。
二．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：
(0?,90?]

(2)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
a
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二 面角的平面角(三垂线
n
α
A
θ
P
O
定理)，并证 明。步骤2：解三角形，
求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
22
cos
?
?
a?b?c

2ab
2< br>c
b
θ
uruur
uruur
n
1
?n2
步骤一：计算
cos?n
1
?n
2
??
ur uur

n
1
?n
2
步骤二：判断
- 2 -
(计算结果可能是其补角)
?
与
θ
n
1
n
2

uruur
?n
1
?n
2
?
的关系，可能相等或者互补。




必修2解析几何 主要
内容归纳：

1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与
x
轴相交的直线，如果把
x
轴绕着交点按逆时针方向旋
转到和直线重合时所转 的最小正角记为
?
叫做直线的倾斜角.
倾斜角
?
?[0,180? )
,
?
?90?
斜率不存在.
（2）直线的斜率：
k?< br>y
2
?y
1
(x
1
?x
2
),k? tan
?
．（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
2．直线方程的五种形式：
（1）点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为
x?x
0
．
（2）斜截式：
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式：
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
，
x
1
?x
2
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
注：① 不能表示与
x
轴和
y
轴垂直的直线；
② 方程形式为：
( x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式：
xy
??1
（
a,b
分别为
x
轴
y
轴上的截距，且
a?0,b?0
）．
ab
注 ：不能表示与
x
轴垂直的直线，也不能表示与
y
轴垂直的直线，特别是不能表 示过原点的直线．
（5）一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)．
ACA
x?
，即，直线的斜率：
k??
．
BBB
注：（1）已知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b
或
x?0
．
已知直线横截距
x
0
，常设其方程为
x?my?x0
(直线斜率k存在时，
m
为k的倒数)或
y?0
．
已知直线过点
(x
0
,y
0
)
，常设其方程为
y? k(x?x
0
)?y
0
或
x?x
0
．
一 般式化为斜截式：
y??
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立 体几何中两条直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1） 直线在两坐标轴上的截距相等
．．．．
?
直线的斜率为
?1
或直线过 原点．
（2）直线两截距互为相反数
．．．．．．．
?
直线的斜率为1或直 线过原点．
（3）直线两截距绝对值相等
．．．．．．．
?
直线的斜率为< br>?1
或直线过原点．
4．两条直线的平行和垂直：
（1）若
l1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y? k
2
x?b
2

①
l
1
l
2< br>?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
； ②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
?? 1
.
（2）若
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
，有
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
且A
1
C
2
?A
2
C
1
．②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1< br>B
2
?0
．
5．平面两点距离公式：
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
)，
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y2
)
2
．
x
轴上两点间距离：
AB?x
B?x
A
．
- 3 -

x
1
?x
2
?
x?
?
?
0
2
线段
P
1
P
2
的中点是
M(x
0
,y
0
)
，则
?
．
y?y
2
?
y?
1
0
?
2
?

6．点到直线的距离公式：
点< br>P(x
0
,y
0
)
到直线
l：Ax?By?C?0< br>的距离：
d?
7．两平行直线间的距离：
两条平行直线
l
1
：Ax?By?C
1
?0，l
2
：Ax?By?C
2
?0
距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A ?B
22
．
C
1
?C
2
A?B
22
．
8．直线系方程：
（1）平行直线系方程：
① 直线
y?kx?b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线系方程．．
② 与直 线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
? 0
．
③ 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为：
A(x?x
0
)?B (y?y
0
)?0
．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
．
② 过点
P(x
0
,y
0
)
与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为：
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0
．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点
P< br>0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y< br>0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
), 其中
k
是待定的系数．
② 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y ?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
（4）共点直 线系方程：经过两直线
l
1
：A
1
x?B
1
y?C
1
?0，l
2
：A
2
x?B
2
y?C2
?0
交点的直线系方程为
A
1
x?B
1
y? C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
9．曲线
C
1
:f(x,y)?0
与
C
2
:g(x,y)? 0
的交点坐标
?
方程组
10．圆的方程：
（1）圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
（
r?0
）．
（2）圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
．
（3）圆的直径式方程：
若
A(x
1
,y
1
)， B(x
2
,y
2
)
，以线段
AB
为直径的圆的方程 是：
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)( y?y
2
)?0
．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是
(?
（2）一般方程的特点：
①
x
和
y
的系数相同且不为零；② 没有
xy
项； ③
D?E?4F?0

（3）二元二次方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
表示圆的等价条件是：
①
A?C?0
； ②
B?0
； ③
D?E?4AF?0
．
11．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直 线和圆相交时，设弦长为
l
，弦心距为
d
，半径为
r
， < br>l
222
则：“半弦长+弦心距=半径”——
()
2
?d2
?r
2
；
2
（2）代数法：设
l
的斜率为
k
，
l
与圆交点分别为
A(x
1
,y
1< br>)，B(x
2
,y
2
)
，则
22
22
2222
222
?
f(x,y)?0
的解．
g(x,y)?0< br>DE1
,?)
，
r?D
2
?E
2
?4F．
222
222
2
1
|y
A
?y
B
|

2
k
（其中
|x
1
?x
2< br>|,|y
1
?y
2
|
的求法是将直线和圆的方程联立消去y
或
x
，利用韦达定理求解）
|AB|?1?k
2
| x
A
?x
B
|?1?
- 4 -

12．点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
①P
在在圆外
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
．
②
P
在在圆内?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
．
③
P
在在圆上
?d?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2< br>． 【
P
到圆心距离
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
】

13．直线与圆的位置关系：
直线
Ax?B y?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种(
d?
222
222
22
Aa?Bb?C
A?B
22
): 圆心到直线距离为
d
，由直线和圆联立方程组消去
x
（或
y）后，所得一元二次方程的判别式为
?
．
d?r?相离???0
；d?r?相切???0
；
d?r?相交???0
．
14．两圆位置关系 :设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
，半径分别为
r
1
,r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；
d?r1
?r
2
?外切?3条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
r
1
?r
2
? d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
．





15．圆系方程：
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)

（1 ）过直线
l：Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F ?0
的交点的圆系方程：
22
2222
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
（2）过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程：
222 2
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y ?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
2 222
特别地，当
?
??1
时，
x?y?D
1
x? E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
就是
(D
1
?D2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F2
)?0
表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．
16．圆的切线方程：
2
222
（1）过圆
x?y?r
上 的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为:
x
0
x?y
0
y?r
．
（2）过圆
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
上的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为:
(x?a)(x
0
?a)?(y?b) (y
0
?b)?r
2
．
（3）当点
P(x
0< br>,y
0
)
在圆外时，可设切方程为
y?y
0
?k(x ?x
0
)
，利用圆心到直线距离等于半径，
即
d?r
，求 出
k
；或利用
??0
，求出
k
．若求得
k
只有一值，则还有一条斜率不存在的直线
x?x
0
．
17．把两圆
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
x ?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
方程相减 即得相交弦所在直线方程:
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
．

2222
- 5 -