高中数学必修2易错题精选(含部分答案)

必修2易错填空题集锦
2011-10-26
1. 下列四个命题：
① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线；
③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变；
④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。
其中错误的说法有 ①、② 、④。
2. 有下列四个命题：
① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行；
③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。
其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号）
3. 以下四个命题：
① PA、PB是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等；
② 平面α内的两条直线 l
1
、l
2
，若l
1
、l
2
均与平面β平 行，则αβ；
③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβ；
④ α、β为两斜 相交平面，面
?
内有一定直线
a
，则在平面β内有无数条直线与
a< br>垂直.
其中正确命题的序号是 ④
4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是：
①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。
上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号）
5. 直线
l ,m
与平面
?
,
?
满足
l?
?
,m??
，有下列命题：
①
?

?
?l?m
；②
?
?
?
?lm;
； ③
lm?
?
?
?
.

其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号）
6. 已知
m、n
是不重合的直线，
?
、
?
是不重合的平面，有下列命题：
（1）若
?
?
?
?n,mn
，则
m
?
,m
?
； （2）若
m?
?
,m?
?
，则
?

?
；
（3）若
m
?
,m?n
，则
n?
?
； （4）若
m?
?
,n?
?
，则
m?n.

其中所有正确命题的序号是 （2）（4）
7. 已知直线
a
、
b
、
c
，平面α、β、γ，并给出以下命题：
①若α∥β，β∥γ，则α∥γ，
②若
a
∥
b< br>∥
c
，且α⊥
a
，β⊥
b
，γ⊥
c
，则α∥β∥γ，
③若
a
∥
b
∥
c
，且
a
∥α，
b
∥β，
c
∥γ，则α∥β∥γ；
④若
a
⊥α，
b
⊥β，
c
⊥γ，且α∥β∥γ，则
a
∥
b
∥
c
．
其中正确的命题有 . ①②④
8. 已知
?
,
?
,
?
是三个互不 重合的平面，
l
是一条直线，给出下列四个命题：
①若
?
?
?
,l?
?
，则
l
?
； ②若
l?
?
,l
?
，则
?
?
?
；
③若
l
上有两个点到
?
的距离相等，则
l
?
； ④若
?
?
?
,
?

?
，则?
?
?
。
其中正确命题的序号是 ②④

1

9. 如图，
M
是正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
的棱
DD
1
的中点，
给出下列命题中，其中真命题是①②④
① 过M点有且只有一条直线与直线
AB
、
② 过M点有且只有一条直线与直线
AB
、
③ 过M点有且只有一个平面与直线
AB
、
④ 过M点有且只有一个平面与直线
A B
、
A
D
B
1
C
1
都相交；
B
1
C
1
都垂直；
B
1
C
1
都相交；
B
1
C
1
都平行.
B
A
1
B
1
C
? M
D
1
C
1
10. 若∠ABC和∠A′B′C′的两边分别对应平行，且∠ABC=45°，则∠A′B′C′= 。45°或135°
11. 若
m,l
是两条异面直线，则过
m
且与
l
平行的平面有1 个。
12.
13.
14.
15.
16.
若点P是两条异面直线a，b外一点，则过P且与a，b都平行的平面个数是 0,1 个
若直线
l
与平面
?
不垂直，那么在平面
?
内与直线
l
垂直的直线有 无数 条。
四面体中，是直角三角形的面最多 4 个
与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有 7 个。
已知点A、B到平 面
?
的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面
?
的距离是 。
5cm或1cm
17. 平面
?
上有不共线的三点到平面
?的距离相等，则
?
与
?
的位置关系是 平行、相交
18. 正三角形ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使得∠BDC=90°，则B到AC的距离为 。
7a

4
19. 自二面角的一个面上一点分别引另一个平面和公共棱的垂 线度。它们的长分别为
53
和10，则二面
角的大小为
60

20. 已知正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，则异面直线A D与BF所
成角的余弦值为 .
?
2

4
21. 沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成角的大小是 60° 。
22. 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是 菱形 。
23. 二面角内的一点到两个半平面的距离分别为
22
、4，到 棱的距离为
42
，则该二面角的大小为
75
。
24. 有一山坡， 倾斜角是30
0
，山坡上有条小路和斜坡底线成角60
0
。沿这条小路向上走 80m时，地面相
对升高
203
m。
25. 已知二面角?
?l?
?
的大小为60
0
，m，n为异面直线，且
m ?
?
,n?
?
,
则m，n所成角的大小为 60
0
。
26. 在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中 ，若AB=
2
BB
1
，则AB
1
与C
1
B 所成角的大小为
90

27. 以一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的对角线

2
?
?

长为
26,66
cm.
28. 四面体S- ABC的三组对棱分别相等，且长度依次为
25,13,5
，则该四面体外接球的表面积
29
?
。
29. 如图，已知棱锥P- ABC的侧面是全等的等腰直角三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA=
90
,
PA=PB=PC=a，M是AB的中点。一只小虫从点M沿侧面爬到C点，则小虫爬行的最短路程
?
10

a
。
2

C
1
P

A
1
B
1


C
A


C
M

B
A

B
30. 如图，在斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AA
1
=AC=BC=a，∠A
1
AC=∠C
1< br>CB=60°，二面角A-CC
1
-B的大
小为90°，此斜棱柱的侧面积为
1
(6?23)a
2
。
2
31. （20 10高考）过正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
的顶点A作直线L，使L与棱
AB,AD,AA
1
, 所成的角都
相等，这样的直线L可以作 4 条。
32. （2010 高考）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能
够焊接成一 个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 （0,
6?2
）
33. 若圆锥的表 面积为
a
平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆
锥的底面的直径为
23
?
a
.
3
?
34. 如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面
ABCD
是边长为6的正方形，
EFAB
,
EF?3
,且
EF
与平面
ABCD
的距离为4，则该多面 体的体
积为 60 .
35. 如图，在长方形
ABCD
中 ，
AB?2
，
BC?1
，
E
为
DC
的中点 ，
F
为线段
EC
（端点除外）上一
动点．现将
?AFD沿
AF
折起，使平面
ABD?
平面
ABC
．在平面ABD
内过点
D
作
DK?AB
，
K
为垂足．设
AK?t
，则
t
的取值范围是
?





36. 直线
?
2t?3
?x?2y?t?0
不经过第二象限，则
t
的取值范围是
0?t?

3
?
1
?
,1
?
．
2
??
3
．
2

37. 直线
kx?y?1?3k
，当
k
变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是 （3,1） 。
38. 当m= -1 时，直线
l
1
:mx?y?(m?1)? 0
与
l
2
:x?my?2m?0
互相平行。
39. 过点
?
?2,4
?
且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有３ 条
40. 过点
A
?
5,2
?
，且在两坐标轴上截距互为相反 数的直线
l
的方程为
x?y?3?0
或
2x?5y?0
．
41. 直线xcosα+ysinα+1=0,α
?(0,
?
2
)
的倾斜角为
?
+α
2
00
42. 已知
?< br>?R
，则直线
x|sin
?
|?3y?1?0
的倾斜角的取值 范围是
?
?
0,30
?
?
.
43. 已 知
2x
1
?3y
1
?4,2x
2
?3y
2
?4
，则过点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的直线
l< br>的方程是
2x?3y?4
．
44. 已知直线l过点P（-1,0），且与以 A（2,3），B（3,0）为端点的线段AB有公共点，则直线l的斜率的
取值范围是 [0,1] 。
45. 若平行于直线
2x?5y?1?0
的直线l与坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为 。
2x?5y?10?0

46. 直线
x?2y?b?0
与两坐标 轴所围成的三角形的面积不大于１，那么
b
的取值范围是
?
?2,0
?
?
?
0,2
?

47. 过点P(2,1)，作直 线l交x,y正半轴于A,B两点，当|PA|·|PB|取得最小值时，则直线
l
的方程为x +y-3=0
2
48. 若直线
y?x?b
与曲线
x?1?y
恰有一个公共点，则实数b的取值范围是
?
?1,1
?
??2

??
49. 从点
P
（
x
,5）作圆
?
x?2
?
?
?
y?3
?
?1
的切线，则切线长度的最小值为
3
。
2
50. 设圆
?
x?3
?
?
?
y?5< br>?
?R
上有且只有两个点到直线
4x?3y?2?0
的距离等于1，则 半径R的取值
22
22
范围是
?
4,6
?
。
51. 若圆
O
1:x
2
?y
2
?2mx?m
2
?4
与圆
O
2
:x
2
?y
2
?2x?0
相交，则
m
的取值范围是—（-2,0）∪
（2,4） 。
52. 已知半径为1 的动圆与圆
?
x?5
?
?
?
y?7
?
?1 6
相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ：
22
?
x?5
?2
?
?
y?7
?
?9,
?
x?5
?< br>?
?
y?7
?
?25.

222
222
53. 已知点
M(x
0
,y
0)
，圆
C
：
x?y?a(a?0)
，直线
l
：
x
0
x?y
0
y?a
2

（1）若点M
在圆
C
外，则直线
l
与圆
C
的位置关系是 相交 ；
（2）若点
M
在圆
C
上，则直线
l与圆
C
的位置关系是 相切 ；
（3）若点
M在圆
C
内，则直线
l
与圆
C
的位置关系是 相离 。
2
54. 与圆
x?
?
y?2
?
?1
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 。
2

4

55. 已知点
A(1,0)< br>，直线
l
1
：
2x?y?4?0,
，
l
2
：
3x?4y?1?0,
l
:2x?y?2?0
。
①点
A
关于直线
l
的对称点的坐标是 ；
②直线
l
关于点
A
对称的直线的方程是 ；
③直线
l
1
关于直线
l
对称的直线的方程是 ；
④直线
l
2
关于直线
l
对称的直线的方程是 。
22
56. 如果直线
l
将圆
?
x?1
??
?
y?2
?
?5
平分，且不通过第四象限，那么直线
l
的斜率的取值范围是
[0,2]；
57. 已知
A(?1,0)B,
2
?1
上任意一点，则△
PAB
面积的最小值< br>(0,
，
2
点
P
是圆
C:
?
x?1
?
?y
2
是 。
4?5

2
58. 已知点
M(a,b)
在直线
3x?4y?25
上 ，则
a
2
?b
2
的最小值为 5 .
59. 已知以点
C(a,)(a?0)
为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于O、B， O为原点设直线
y??x?1
与圆交于M、N两点，若OM=ON，则圆C的方程为
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
。
60. 已知圆
C
与圆
M:(x?1)
2
?(y?2)
2
?16
有共同的圆心，并且经过点
P(?1,1)
。圆
C
上任意一点
A
到
点
Q(3,2)
距离的最大值为
5?2
,最小值为
5?2
。
61. 直 线
l
与两直线
y?1,x?y?7?0
分别交于
A,B
两点 ，若线段
AB
的中点是
M(1,?1)
，则直线
l
的斜率为
?
22
1
a
2

3
62. 过点P（1，m）作圆C：
x
2
?y
2
?2x?2y?2?0
的切线，有且只有两条，则实数m的取值范围是
m??1

63. 已知点(x
0
,y
0
)在直线
ax?by?0 (a,b为常数) 上,则(x
o
?a)?(y
o
?b)
的最小值
a
2
?b
2
___ .
64. 已知点
P(2,0)
及圆C：
x
2
?y
2
?6x?4y?4?0
，若直线
l过点P且与圆心距离为1，则直线
l
的方
程是 。
x?2,3x?4y?6?0

65. 在坐标平面内，与点
A
（ 1,2）的距离为1，且与点
B
（5,5）的距离为
d
的直线共有4条，则< br>d
的取
值范围是 。
?
0,4
?



22

5