高中数学必修2第二章教案(整理版)

2.1.1 平 面

二、教学重点、难点
重点：1.平面的概念及表示；
2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语
言.
难点：平面基本性质的掌握与运用.
观察并思考以下问题：
1.长方体由哪些基本元素构成? 答：点、线、面.
2.观察长方体的面,说说它的特点？答：是平的.
指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活 中常见的如黑板、平整的操场、
桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象.

（二）探究新知
1.平面含义
指出：以上实物都给我们以平面的 印象，几何里所说的平面，就是从这样的一
些物体中抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这 是平面最基本的属性
常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两< br>部分，一条直线把平面分成两部分.
2.平面的画法及表示
①平面的画法：和学生一起,老师边说边画,学生跟着画.
在立体几何中，常用平行四边形表示 平面，当平面水平放置时，通常把平行四
边形的锐角画成
45
，且横边长画成邻边长的 两倍；画两个平面相交时，当一个平
面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 .
②平面的表示方法
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面 β等，也可以用表示平
面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、
平面ABCD等.
3.点与平面的关系及其表示方法
指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.

1
0

点A在平面α内，记作：
A?
?

点B在平面α外，记作：
B?
?

想一想：点和平面的位置关系有几种?
4.平面的基本性质
思考：如果直线与平面有一个公共点P，直线是否在平面内?如果直线与平面
有两个公共点呢? 要让学生充分发表自己的见解.
观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边
缘就落在了桌面上.
得出结论：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A?l
?
B?l
?
?

?
?l?
?

A?
?
?
B?
?< br>?
?
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等
等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面
?

使A∈α、B∈α、C∈α
公理2作用：确定一个平面的依据.
补充3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义.
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3

2

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线.
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据







2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
二、教学重、难点：
1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；
（2）理解并掌握公理4.
2．难点: 理解异面直线的概念、画法.
四、教学过程：
（一）复习引入
1. 前面我们已学习了平面的概念及其基本性质.
回顾一下，怎样确定一个平面呢？（ 公理3及其三个推论 ）
2 .在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？
（二）新课推进
1.空间中两条直线的位置关系
以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题
共 面 直 线 相交：同一平面内，有且只有一个公共点
平行：同一平面内，没有公共点
异 面 直 线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2.异面直线
（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线.

3

（2）判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?
m







m


?

?
l
?
m
m
?
l
?
l
?
?
m
?
m
l
?
l
?
l
让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解 ，又可引出异面直线的画法，
还为下面的辨析作好铺垫.
（3）画法：用一个或两个平面衬托






（4）辨析
①空间中没有公共点的两条直线是异面直线.
②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.
③不同在某一平面内的两条直线是异面直线.
④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线.
⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 .
（5）结合实例小结判断异面直线的关键
?
l
?
m
l
?
m
?
l
m
?
?
l
m
① 例1：在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,哪些棱所在的直线与
BA
1
成异面直线?

4

②合作探究
如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它
还原成正方体，那么AB、 CD、EF、GH这四条线段
所在的直线是异面直线的有几对？
让学生根据异面直线的定义判 断在几何体上的
具有异面直线位置关系的两条直线.培养学生的空间
想象能力,加深对异面直线 概念的理解.
③判断异面直线的关键：既不相交，又不平行.
3．公理4的教学
⑴思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平
行。空间中,如果两条直 线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
(2)观察：如图2.1.2-2,长方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AA
1
∥
BB
1
, AA
1
∥
D D
1
，那么
BB
1
与
DD
1
平行吗?
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
D
1
B
1
C
B
C
1
C
G
A
D
H
E
F
B
D
注：公理4实质上是说平 行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；
A
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.
ab
?
A
1
?
?ac

bc
?
⑶ 讲解例2，让学生掌握公理4的运用
例2：如图在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
考虑到学生第一次接触空间四边形，先结自制模型
简单介绍什么叫空间四边形，再分析如何证明）
分析：如何判定一个四边形是平行四边形？
怎样证明EH∥ FG？证明关键是什么？
B
F
H
E
D
G
C
A

5

提问：有没有其它证明方法呢？（EF∥HG,且EF=HG）
变式练习：
(1)在例2中, 如果再加上条件
AC?BD
,那么四边形
EFGH
是什么图形?
(2) 把条件改为: E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的
点，且
CGCF
则四边形
EFGH
是什么图形?为什么?
?
CDCB
（四）小结
（1）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）
（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平行又不相交）
（3）什么是平行公理?它的作用是什么?
（平行同一条直线的两条直线互相平行, 作用：判断两直线平行它将空间平行
问题转化为平面内的平行问题）
（五）作业
(1) P56习题2.1A组第6题
(2) 在正方体
ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
中,与对角线
DB
1
成异面直线的棱共有几条?











6

§2.1.3 空间中直线与平面
§2.1.4 平面与平面之间的位置关系
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、教学设计
空间中直线与平面有多少种位置关系？
（二）研探新知
1．引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种
位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
例4: 加深了学生对这几种位置关系的理解.
2．引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确 归纳出两个平面之
间有两种位置关系：

7

（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为





α∥β α∩β= L
指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对
应边平行.




β
α β
α
L
2.2.1直线与平面平行的判定
二、教学的重点与难点：
教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。
教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
三、教学过程设计：
（二）温故知新
直线与平面平行的定义是什么？
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行.
这里所说的直线是向两方无限延伸的，平面是向四周无限延展的.
那么，直线与平面的位置关系有几种？
直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；

8

③直线与平面平行——没有公共点.
问： 我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外。今
后凡谈到直线在平面外，则有两 种情况：直线与平面相交，直线与平面平行。直线
与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样 的？
（三）讲解新课
直线
a
在平面
?
外，是不是能够断 定
a
?
呢？
直线与平面平行将如何判定呢？
直线无限延伸，平面 无限延展，如何保证直线与平面有没有公共点呢？请同
学们将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面， 封面边缘AB所在直线与桌面所
在平面具有什么样的位置关系？
如图：直线a与平面平行吗？
若α内有直线b与a平行，那么α与a的位置关系如何？
是否可以保证直线a与平面α平行？
判定定理告诉我们直线与平面平行应具备几个条件？
符号语言表示：
a
?

a?
?
?
?
b?
?
?
?a
?

ab
?
?
这个定理可以简述为：“线线平行， 则线面平行”，不过要注意，前面的线线有什么
区别？
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.
已知:如图,空间四边形ABCD中,
E,F分别是AB,AD的中点.
求证:EF平面BCD.
证明:连接BD，则AE=EB,AF=FB 所以
EFBD
因为 EF
?
平面BCD,BD
?
平面BCD

9

由直线与平面平行的判定定理得 EF平面BCD
















2.2.2 平面与平面平行的判定
二、教学重、难点：
1．重点：平面和平面平行的判定定理的探索过程及应用。
2．难点：平面和平面平行的判定定理的探究发现及其应用。
三、教学过程：
（一）创设情景
1.你知道建筑师是如何检验屋顶平面是与水平面平行的吗？ 2.三角板的一条边所在直线与地面平行，这个三角板所在平面与地面平行吗？
三角板的两条边所在 直线与地面平行，情况又如何呢？
（二）温故知新
线面平行的判定方法有几种？
（1）定义法：若直线与平面无公共点，则直线与平面平行.

10

（2）面面平行定义的推论：若两平面平行，则其中一个平面内的直线与另一
平面平行．
（3）判定定理：证明面外直线与面内直线平行．
（三）探求新知
平面与平面平行的定义是什么？如何判断两平面平行？
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面关系如何？为什
么？
若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面会平行吗？
由此将判定两个平面 平行的问题可以转化为线面平行的问题来解决，可是最少
需要几条线与面平行呢？
平面
?
内有一条直线与平面
?
平行，
?
、
?
平行吗？ 请举例说明.
如右图，借助长方体模型，我们可以看出，
平面
A
'
ADD
'
中直线
AA平面DCCD,


但平面AADD与平面DCCD
相交.
若平面α内有两条直线a、b都平行于平面β，
能保证α∥β吗？
如上图，借助长方 体模型，在平面
AADD
内，有一条与
AA
平行的直线EF，
显然< br>AA
与EF都平行与平面
DCCD
，但这两条平
行直线所在的平面AADD
与平面
DCCD
相交.
如下图，平面
?
内有两条相交直线与平面
?
平行，情况如何？
''''
'
''''
'''
''
'
''

一般地，我们有如下的判定平面平行的定理：
如果一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
以上是两个平面平行的文字语言表述，你能写出定理的符号语言吗？
若
a?
?
,b?
?
,a?b?P，且a
?
,b
?
,则?

?
.

11

利用判定定理证明两个平面平行，必须具备哪些条件？
（1）由两条直线平行与另一个平面，（2）这两条直线必须相交.
从转化的角度认识该定理就是：线线相交，线面相交
?
面面平行.
（四）拓展应用
例1. 已知正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
,求证：平面
AB
1
D
1
平面
C
1
BD
.
证明：因为ABCD-
A1
B
1
C
1
D
1
为正方体，
所以
AB?A
1
B
1
,

D
1
C
1
A
1
B
1

D
1
C
1
?A
1
B
1
，
又
ABA
1
B
1
，
AB?A
1
B
1
,
所以
D
1
C
1
AB
，
D
1
C
1
?AB
，所以
D
1
C
1
BA
为平行四边形.
所以
C
1
B?平面C
1
BD,

D
1
AC
1
B
.
又
D
1
A?平面C
1
BD
,
C
1
B?平面C
1
BD
,
由直线与平面的判定定理得
D
1
A平面C
1
BD
，同理
D
1
B
1
平面C
1
BD，又
D
1
A?D
1
B
1
?D
1
，所以平面
AB
1
D
1
平面C
1
BD
.
拓展1.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D< br>1
M、N分别为A
1
A、CC
1
的中点 .
，
求证：平面NBD∥平面MB
1
D
1
.
拓展2 .已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
P、Q、R分别为A
1
A、AB、AD的中点 .
，
求证：平面PQR∥平面CB
1
D
1.

例2. 点P是△ABC所在平面外一点，M、N、G分别是△PBC、△PCA、△PAB的
重心. 求证:平面MNG平面ABC
分析：连结PM,PN,PG则PM:PD=PN:PE=PG:PF故MN∥DE,MG∥EF











12

2.2.3平面与平面平行的判定
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；掌 握两平行平面间的距
离的概念，会求两个平行平面间的距离．
2．教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用．
三 、教学设计
（一）复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定
两个平面的位置关系有哪几种？
两个平面平行的判定方法有哪几种？
（二）两个平面平行的性质
根据两个平面平行 直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面
内的直线必平行于另一个平面．因此，在解决 实际问题时，常常把面面平行转化为
线面平行或线线平行．这个结论可作为两个平面平行的性质1：?

?
,a?
?
则
a
?
.
1．两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
的交线平行．
已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．
求证：a∥b．
直接证法: ∵α∥β，∴α与β没有公共点．
又
a?
?
,b?
?

∴a∥b
这个结论可作为性质2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．
2．例题
例2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
已知：α∥β，
l?
?
,l?
?
＝A．
求证：
l?
?
．

13

证明直线与平面垂直的方法有几种？

方法一，证明直线与平面内的任何一条直线都垂直；
方法二，证明直线与平面内两条相交的直线垂直；方法三，证明直线的一条平
行线与平面垂直．
我们可以试着用第一种方法来证明．
证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ
∩α＝a．

因为直线b是平面β内的任意一条直线，所以l⊥β．
这个例题的结论可与定理“ 一个平面垂直于两条平行直线中的一条直线，它也
垂直于另一条直线．”联系起来记忆，它也可作为性质 3：若α∥β，l⊥α，则l
⊥β．
3．两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离
与两个平行平面α，β同时垂直的直线L叫做这两个平行平面α，β的公垂
线，它夹在这两个平行平面间 的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．
如图α∥β．如果AA＇、BB＇都是它们的公垂线
段，那么AA＇∥BB＇，根据两个平面平行的性质定理
有A＇B＇∥AB，所以四边形ABB＇A＇是 平行四边形，
AA＇＝BB＇．

由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等 ，
公垂线段的长度具有唯一性．与两平行线间的距离定义 相类似，我们把公垂线
段的长度 叫做两个平行平面的距离．两个平行平面间距离实质上也是点到面或两

14

点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得
练习.夹在两个平行平面间的平行线段相等．
已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，
C∈α，B∈β，D∈β．
求证：AB＝CD．
证明：∵AB∥CD，
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于
AC＇和BD．
∵α∥β，∴BD∥AC．
∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．
这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等．




2.2.4平面与平面平行的性质

二、教学重、难点：
1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用.
2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用.
三、教学过程：
（一）温故知新
1. 两个平面的位置关系？
2. 面面平行的判定方法：
（1）定义法：若两平面无公共点，则两平面平行.
（2）判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面
平行.
（二）创设情景
两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？

15

通过分析可以发现，若平面
?
和 平面
?
平行，则两面无公共点，那么就意
味着平面
?
内任一直线a和 平面
?
也无公共点，即直线a和平面
?
平行.
用语言表述就是：如 果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行与
另一个平面.用式子可表示为：
?

?
,a?
?
?a
?
。
两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关
系？
（三）探求新知
如图，设
?

?
,
?
?< br>?
?a,
?
?
?
?b
，我们研
究两条交线的 位置关系。
因为
?

?
，所以a,b内有公共点,而a,b又同在< br>平面
?
内，于是有ab.
两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
用符号表示为：
?

?
?
?
?
?
?
?a
?
? ab
?
?
?
?b
?
?

（五）归纳整理









16

2.3.1 直线与平面垂直的判定
二、教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
三、教学过程
（一）新课导入
问题：直线和平面平行的判定方法有几种？
（二）探索新知 1.直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面
?
内的任意一条直线都垂直， 我们说直线l与平面
?
互相垂
直，记作l⊥
?
.直线l叫做平面的垂 线，平面
?
叫做直线l的垂面.直线与平面垂直
时，它们惟一的公共点P叫做垂足.< br>画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行
四边形的一边垂直，如图.
2.直线和平面垂直的判定
(1)试验 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片
竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
折痕AD与桌面垂直吗？ 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面
?
垂直？
3．直线与平面垂直的判定定理 ：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
思考：能否将直线 与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线
或两条平行直线？
例1 如图，已 知a∥b，a⊥
?
，求证：b⊥
?
.
证明：在平面
?
内作两条相交直线m、n.
因为直线a⊥
?
，根据直线与平面垂直的定义知

17

a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，
所以b⊥ m，b⊥n.
又因为
m?
?
,n?
?
，m、n是两条相交直 线，
b⊥
?
.
4.直线和平面所成的角
如图，一条直线PA和一个 平面
?
相交，但不与这个
平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线
PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜 线在这个平面上的射影.平面的一条斜线
和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成 的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或
在平面内 ，我们说它们所成的角是0°的角.
例2 如图，在正方体ABCD – A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，求A
1
B和
平面A
1
B
1
CD所成的角.
分析：找出直线A
1
B在 平面A
1
B
1
CD内的射影，就可
以求出A
1
B和 平面A
1
B
1
CD所成的角.
解：连结BC
1
交B
1
C于点O，连结A
1
O.
设正方体的棱长为a，因为A
1
B
1
⊥B
1
C1
， A
1
B
1
⊥B
1
B，
所以A< br>1
B
1
⊥平面BCC
1
B
1
.
所以A
1
B
1
⊥BC
1
.
又因为BC< br>1
⊥B
1
C，所以B
1
C⊥平面A
1
B1
CD.
所以A
1
O为斜线A
1
B在平面A
1
B
1
CD内的射影，∠BA
1
O为A
1
B与平面 A
1
B
1
CD
所成的角.
BO?
在Rt△A
1
BO中，
A
1
B?2a，
所以
BO?
2
a
，
2
1
A
1
B
， ∠BA
1
O = 30°
2
因此，直线A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的角为30°.
四、课堂练习

18

1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.
2．过△ABC所在平面
?
外一点P，作PO⊥
?
，垂足为O，连接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心.
（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.
（3）若P

A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心.
3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线
一定平行吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面
垂直的棱柱称为直棱柱） 中，底面四边形ABCD满足什么
条件时，A′C⊥B′D′？
五、归纳总结
1．直线和平面垂直的定义判定
2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3．线线垂直



线面垂直
2.3.2平面与平面垂直的判定
；
二、教学重、难点
重点：平面与平面垂直的判定.
难点：找出二面角的平面角.
三、教学过程：
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在 立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是
怎样定义的？它们有什么共同的特征 ？
在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举
出这个问题的一 些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该
如何表示呢？

19

（二）研探新知
1、二面角的有关概念
展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并
对以上问题类比，归纳出二面 角的概念及记法表示（如下表所示）

角
A
图形
边
顶点 O B
边
定义
构成
表示
2、二面角的度量
二面角定义反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，
是指二面角大一些 ，那我们应如何度量二两角的大小呢？二面角中在其棱上任取一
点为顶点，在两个半平面内各作一射线， 如图探究二面角大小的度量方法——二面
角的平面角.
特别指出：
（1）表示二面角的平面角时，要求OA⊥L ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
观察，类比得两个平面互相垂直的判定定理：
A
α
O B
β
从平面内一点出发的两条射线
（半直线）所组成的图形
射线 — 点（顶点）一 射线
∠AOB
二面角
A
β
棱 l
B α
从空间一直线出发的两个半平
面所组成的图形
半平面 一 线（棱）一 半平面
二面角α-l-β或α-AB-β
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（三）实际应用,巩固深化
例1、设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，
求证：面PAC ⊥面PBC.


20

例2、已知直线PA垂 直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC?
平面PBD.

说明 ：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明
BC
⊥平面
PAC
和
BD
⊥平面
PAC
是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面 垂直”与
“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直
?
线 面
垂直
?
面面垂直”转化途径进行．
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何
关系？


















2.3.3直线与平面垂直的性质

21

二、教学重、难点
重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用.
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透.
三、教学过程
复习引入
判断直线和平面垂直的方法有几种？
各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明.
若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明.
若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定.
在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直
线垂直？
判断下列命题是否正确：
1.在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行.
2.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行.
3.垂直于同一平面的两直线互相平行.
4.垂直于同一直线的两平面互相平行.
这节课我们来共同探讨直线和平面垂直，则其应具备的性质是什么？
创设情景
如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A
A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平
面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
（三）讲解新课
例1 已知：a
?
?
，b
?
?
。求证：b∥a
分析：此问题是在a
?
?
，b
?
?
的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，
则较困难。而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线
b
的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.
证明:假定b不平行于a,设
?
?b?O
,
b
是经过点O的两直线a平行的直线.
'
'
?a
∥
b
'
, a
?
?
,
?

b
'
?
?


22

即经过同一点O的两直线b ,
b
都与
?
垂直,这是不可能的,因此b∥a.
得到结论：
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直
线平行,也可简记为线面 垂直,线线平行.
例2.已知
l?
?
,l?
?
，求证?

?
.
（四）课堂练习
课本79页第1、2题.
拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面
内,欲使b∥a， 则a、b应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件。
解：a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b∥a
（１）a、b同垂直于正方体的一个面.
（２）a、b分别在正方体两个相对的面内且共面.
（３）a、b平行于同一条棱.
（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B′C′、ＣC′、ＡA′、ＡＤ的中点，
ＥＦ所在直线为a，ＧＨ所在直线为b.
（五）课堂小结
直线和平面垂直的性质定 理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方
法有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定 义、定理、公理，并适当引用
平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法 就是一
种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解
上会有 一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要
证的结论。








23
'

2.3.4 平面与平面垂直的性质
二、教学重、难点
重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
三、教学过程
(一) 复习提问
1.线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这
个平面.
2.面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：
已知 黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂
直吗这样的直线分别有什么性质 ？试说明理由！
（三）探求新知
例1.已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB
?
α, AB⊥a于 B，

24

求证：AB⊥β
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题
中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.
证明：在平面β内过B作BE⊥a，
又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，
又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° ,
∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
用符号语言表述: 若α⊥β，α∩β=a, AB
?
α, AB⊥a于 B，则 AB⊥β.
从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前
面
我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明.
（四）拓展应用
例2.求证:如果 两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二
个平面的直线,在第一个平面内.
已知:
?
?
?
,P?
?
,P?a,a?
?
.求证:a?
?
.

?
P
b
a
?
b
a
?
c
?
c
P

例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, a
?
α,
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）
分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
解：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，
∵ α⊥β ∴b⊥β

25

∵ a⊥β ∴ a ∥b ,
又∵a
?
α ∴ a ∥α

（五）课堂练习：
练习 第1、2题；习题A组 第1题
1.长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误.
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面B CD，试在
平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
∴AE⊥BD 又∵面BCD∩面ABD=BD,
面ABD⊥面BCD ∴AE⊥面BCD
（六）课堂小结：
1. 面面垂直判定定理.
2. 面面垂直的性质定理. 利用性质定理解决问题.
（七）布置作业：
习题A组第2、5题 ；习题B组第3题




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