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第四章《圆与方程》全章备课
教材分析：本章在第三章直线与 方程的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，
并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直 角坐标系中建立几何对
象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标< br>系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合，坐标法
是贯穿本章的灵魂 ，在教学中要让学生充分的感受体验。
教学目标：
1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法：利 用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽
象为直观，易于识记，同时凸现数学 知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关 系及其
互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点：
各知识点间的网络关系。
难点：
在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
教学过程
（一）整合知识，发展思维
1、圆的方程及其特点：
（1）标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

22
（2）一般方 程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0
）
22
222
x
2
和
y
2
的系数相同，且不等于0；没有
xy
这样的二次项。
（3）圆的一般方程 是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显；圆的标准方程则指出了
圆心坐标与半径大小，几何特征较明 显。
（4）圆的标准方程与一般方程可以相互转化。
2、位置关系：
（1）点与圆的位置关系：
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(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外；
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上；
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内。
（2）直线与圆的位置关系
方法一：直线与圆有无公共点，等价于 它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组
解，直线与圆就有几个公共点；方程组没有实数解，直 线与圆就没有公共点。
方法二：判断圆
C
的圆心
C
到直线的距离与圆的半径的关系： （1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；——求圆上任 意一点到直线的距离的最值；
（2）当
d?r
时，直线
l
与圆C
相切；——求圆的切线方程；
（3）当
d?r
时，直线
l< br>与圆
C
相交；——求弦长。
（2）圆与圆的位置关系
方法一：圆与 圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组解，
圆与圆就有几个公共点；方 程组没有实数解，圆与圆就没有公共点。
方法二：依据圆心距
l
= |
C< br>1
C
2
|与两半径长的和
r
1
?r
2
或两半径的差的绝对值
|r
1
?r
2
|
的
大小关 系，判断两圆的位置关系：
（1）当
l?r
1
?r
2
时， 圆
C
1
与圆
C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切 ；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交； （4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?|r
1
?r2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含。
3、用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何
问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
4、空间直角坐标系的建立，空间两点间的距离公式。
（二）应用举例，深化巩固
例1、一圆与
y
轴相切，圆心在直线
x
– 3
y
= 0上，且直线
y = x
截圆所得弦长为
27
，
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求此圆的方程。
例2、设方程
x
+
y
– 2 (
m
+ 3)
x
+ 2 (1 – 4
m
)
y
+ 16
m
+ 9 = 0表示圆，求

2 2 2 4
m
的取值范围，并求圆心的轨迹方程。
例3、已知直线
x – my
+ 3 = 0和圆
x + y –
6
x
+ 5 = 0，
（1）求实数
m
，使直线与圆分别相交、相切、相离；
（2）当
m
为何值时，圆被直线截得的弦长为
22
2 2
2
10
。
5
例4：已知方程
x?y?2x?4y?m?0
，
（1）若此方程表示的曲线是圆，求
m
的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线
x
+ 2
y
– 4 = 0相交于
M、N
两点，且
OM
⊥
ON
（
O
为原点） ，
求
m
的值；
（3）在（2）的条件下，求以线段
MN
为直径的圆的方程。
例5：据气象 台预报：在A市正东方向300的B处有一台风中心形成，并以每小时40速
度向西北方向移动，在距台 风中心250以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风
将影响A市？持续多长时间？
例6、已知
P
(
x
,
y
)为圆
C
:
x + y –
6
x –
4
y
+ 12 = 0上的动点，
（1）求
2 2
y
的最大值与最小值；
x
2 2
（2）求
x – y
的最大值与最小值；
（3）求
x + y
的最大值与最小值；
（4）已知定点
A
(– 1 , 0) ,
B
(1 , 0)，求|
PA
| + |
PB
|的最小值及点
P
的坐标；
（5）求点
P
到直线3
x
+ 4
y
= 0距离的最大值与最小值；
例7、已知圆
C
: (
x
– 1) + (
y
– 2) = 25，直线
l
: (2
m
+ 1)
x
+ (
m
+ 1)
y
–
7
m
– 4 = 0 (
m
∈
R
)，
（1）证明不论
m
取什么实数，直线
l
与圆
C
恒交 于两点；
（2）求直线
l
被圆
C
截得的弦长最小时
l的方程。
2 2
2
2


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第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
（2）会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法：进一步培养学生用解析法研究几何 问题的能力，渗透数形结合思想，通
过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题 和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学 习数学
的热情和兴趣。
二、教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学过程：
（一）问题情境设置
问题1：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？
问题2：什么叫圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
问题3：在平面直角坐标系中， 任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆
是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方 程又有什么特征呢？
（二）探索研究
设圆的圆心坐标为
A
(
a
,
b
)，半径为
r
。（其中
a、b、r
都是常数，
r
> 0），求圆的方程。
分析：设
M
(
x
,
y
)为这个圆上任意一点，那么点
M
满足的条件是
P =
{
M
| |
MA
| = r}，
由两点间的距离公式可得出点< br>M
适合的条件
(x?a)?(y?b)?r

化简可得：
(x?a)?(y?b)?r

问题4：以上方程是否表示以为
A
(
a
,
b
)圆心，
r
为半径的圆？
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222
22

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结论：以
A
(
a
,
b
)为圆心，半径长为
r
的圆的标准方程为：< br>(x?a)?(y?b)?r
。
（三）知识应用与解题研究
例1：写出圆心为
A
（2，– 3），半径长等于5的圆的方程，并判断点
2 22
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)
是否在这个圆 上。
分析：可以从计算点到圆心的距离入手。
圆的方程：
(x?2)?(y?3) ?25
；
M
1
在圆上，
M
2
不在圆上。
拓展：点
M
2
是在圆内还是在圆外？
探究：点
M(x0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?r
内的条件 是什么？在圆外呢？
结论：点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
2222
22
（1）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在圆外；（2）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=r
，点在圆上；
22
2
（3）
(x
0
?a) ?(y
0
?b)
<
r
，点在圆内。
22
222
222

例2：△
ABC
的三个顶点的 坐标是
A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),
求它的外接圆的方程。
分析：从圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
可知，要确定圆的标准方程， 可用待定
系数法确定
a、b、r
三个参数。[
(x?2)?(y?3)?25
]

例3：已知圆心为
C
的圆经过点
A(1,1)
和
B(2,?2)
，且圆心在直线
l:x?y?1?0
上，求
圆心 为
C
的圆的标准方程。
分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心 为
22
222
C
的圆经过点
A(1,1)
和
B(2 ,?2)
，由于圆心
C
与
A
，
B
两点的距离
相等，所以圆心
C
在线段
AB
的垂直平分线
m
上，又圆心
C
在直线
l
上，因此圆心
C
是直线
l
与直 线
m
的交点，半径长等于
CA
或
CB
。
归纳：求任意△
ABC
外接圆的标准方程的两种求法：
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（1）根据题设条件，列出关于
a、b、r
的 方程组，解方程组得到
a、b、r
得值，写出圆
的标准方程。
（2）根据确 定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆
的标准方程。
（四）练习反馈：课本P120练习。
（五）提炼小结：
（1）圆的标准方程；
（2）点与圆的位置关系的判断方法；
（3）根据已知条件求圆的标准方程的方法。
（六）作业：课本124习题4.1第2、3、4题。
板书设计：





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4.1.2 圆的一般方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的
代数特征，由圆的一 般方程确定圆的圆心半径，掌握方程
x
+
y
+
Dx + Ey + F
= 0
表示圆的条件。
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法
求圆的方程。
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程
x
+
y
+
Dx + Ey + F
= 0表示圆的条件的探究，
培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的
整体素质，激励学生创 新，勇于探索。
2 2
2 2
二、教学重点、难点
重点：圆的一般方 程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件
确定方程中的系数：D、E、F。
难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
三、教学过程：
（一）课题引入
思考：方程
x
+
y
– 2
x
+ 4
y
+ 1 = 0表示什么图形？方程
x
+
y
– 2
x
–
4
y
+ 6 = 0表示什么图形？
思路分 析：以上是关于
x
，
y
的二元二次方程，与圆的标准方程进行比较，得知应进行配方：
(
x
– 1) + (
y
+ 2) = 4表示圆；(
x
– 1) + (
y
– 2) = – 1不表示任
何图形。
拓展问题：方程
x?y?Dx?Ey?F?0
表示什么图形？
（二）探索研究
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22
2 2 2 2
2 2 2 2

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D
2
E
2
D
2< br>?E
2
?4F
1、配方：
(x?)?(y?)?

2 24
2、讨论：（1）当
D?E?4F?0
时，表示以（
?
221
E
D
?
）
D
2
?E
2
?4 F
，为圆心，
2
2
2
DE
，
y??
，即只 表示一个点
22
为半径的圆；
（2）当
D?E?4F?0
时，方程 只有实数解
x??
（
?
22
E
D
，
?）；
2
2
（3）当
D?E?4F?0
时，方程没有实数解，因 而它不表示任何图形。
22
3、归纳：圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0
）。
22
22
4、方程的特征：（1 ）
x
和
y
的系数相同，且不等于0；
（2）没有
xy
这样的二次项。
5、比较：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
（1）圆的一般方程是一种特殊的二 元二次方程，代数特征明显；圆的标准方程
则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
（2）圆的标准方程与一般方程可以相互转化。
（三）知识应用与解题研究
例1： 求过三点
A
（0，0），
B
（1，1），
C
（4，2）的圆 的方程，并求这个圆的半径长和圆
心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方 程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而
条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
2 2
王新敞
解：设所求的圆的方程为：
x?y?Dx?Ey?F?0

∵
A
（0，0），
B
（1，1），
C
（4，2）在圆上，所 以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标
代入上面的方程，可以得到关于
D
，
E
，
F
的三元一次方程组：
22
?
F?0
?即
?
D?E?F?2?0
解此方程组，可得：
D??8,E?6,F?0
，
?
4D?2E?F?20?0
?
，
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∴所求圆的方程为：
x?y?8x?6y?0
；
配方得：
(x?4 )?(y?3)?25
，所以圆的半径
r?5
，圆心坐标为 (4 , – 3)。
归纳：用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于
a、b、r
或
D、E、F
的方程组；
（3）解出
a、b、r
或
D、E、F
，代入标准方程或一般方程。
例2、已知线段
AB
的端点
B
的坐标是（4，3），端点
A
在圆
(x?1)?y?4
上运动，求
线段
AB
的中点
M
的轨迹方程。
分析：如图，点
A
运动引起点
M
运动， 而点
A
在已知圆上运动，点
A
的坐标满足方程
22
2222
(x?1)
2
?y
2
?4
。建立点
M与点
A
坐标之间的关系，就可以建立点
M
的坐标满足的条件，求
出点
M
的轨迹方程。
解：设点
M
的坐标是（
x
,
y
），点
A
的坐标是
(x
0
,y
0< br>)
，由于
点
B
的坐标是（4，3），且
M
是线段AB
的中点，所以
x?
x
0
?4y?3
,y?
0
，于是有
x
0
?2x?4,y
0
?2y?3
①；
22
因为点
A
在圆
(x?1)?y?4
上运动，所以 点
A
的坐标满足方程
(x?1)?y?4
，即
2222
?< br>x
0
?1
?
2
?y
0
2
?4

②，把①代入②，得
(2x?4?1)?(2y?3)?4
，
222
3
2
2
33
所以点
M
的轨迹是以
(,)
为圆心，半径长为1的圆。
22
整理得：
(x?)?(y?)?1
，
（四）课堂练习：课堂练习P123。
（五）小结：我们学到了什么？
1、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
的讨论（什么时候可以表示圆）；
2、圆的一般方程与标准方程的互化；
3、用待定系数法求圆的方程；
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22
3
2

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4、求与圆有关的点的轨迹。
（六）作业：课本P124习题4.1 [A组]第1、5、6题。
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4.2.1 直线与圆的位置关系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。
2、过程与方法： 通过具体事例探究直线与圆的位置关系，经历利用点到直线距离来判断
直线与圆位置关系的过程，学会求 弦长或圆的切线的方法。
3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培 养数形结合
的思想。
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系。
三、教学过程
（一）实例引入
例1、已知直线
l
：3
x + y
– 6 = 0和圆心为
C
的圆
x?y?2y?4?0
，判断直线
l
与圆
C
的位置关系；如果相交，求直线
l
被圆
C
所截得的弦长。
问题1：在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点。
问题2：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？如 何用直线和圆的方程判断它们之
间的位置关系？
方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解；
方法二：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。
（二）问题解决
解法一：联立方程组：
?
22
?
3x?y?6?0
22?
x?y?2y?4?0
?x
2
?3x?2?0
，
因为判别式△ > 0，所以直线
l
与圆
C
相交，有两个公共点。
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解法二：圆心
C
（0，1 ），半径
r?
线
l
与圆
C
相交。
5
，圆 心
C
到直线
l
的距离
d?
10
?5
，所以 直
2
结论：判断直线
l
与圆
C
的位置关系的方法：
1、判断直线
l
与圆
C
组成的方程组是否有解：
（1）有 两组实数解，则直线
l
与圆
C
相交；（2）有一组实数解，则直线
l
与圆
C
相切；
（3）没有实数解，则直线
l
与圆
C
相离。
2、判断圆
C
的圆心
C
到直线的距离与圆的半径的关系：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
拓展：如何求直线
l
被圆
C
所截得的弦
AB
的长？
解法一：联立方程组，消去一个未知数，得关于的一元二次方程：
思路一：求出交点的坐标，由两点间的距离公式求得弦长。
思路二：设直线
l
的方程为
y = kx + b
，由根与系数的关 系得
x
1
?x
2
,x
1
x
2
，代 入弦长
公式即得。弦长公式：
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?(1?k
2< br>)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

解法二：利用圆被截得弦的性质：如右图，
|AB|?2r< br>2
?d
2
。
结论：对于圆内的弦长，利用圆心以直线的距离来求解较为简便。
（三）知识迁移
22
例2、已知过点
M
（– 3，– 3）的直线
l
被圆< br>x?y?4y?21?0
所截得的弦长为
45
，
求直线
l的方程。
问题1：确定一条直线的条件是什么？（两点；一点及直线的斜率）
设直线的 方程为
y?3?k(x?3)?kx?y?3k?3?0
；（为什么要化为一般式？）
问题2：已知条件是什么？如何转化更简便？
圆心
C
（0，– 2），半径
r =
5，又
|AB|?45
，所以
d =

5
；
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问题3：有什么好的解题思路？——利用圆心到直线的距离，求斜率。
|2?3k?3|k
2
?1
1
?5?k??
或
k =
2。
2
（四）反馈练习：课本P128。
（五）归纳：


（六）作业：课本P132，习题4.2 [A组] 1，2，3。
板书设计：





教学反思：












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4.2.2 圆与圆的位置关系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；
（2）掌握求圆的切线方程的方法。
2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。
3、情感态度与 价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结
合的思想。
二、教学重点、难点：
重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。
难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。
三、教学过程
（一）实例引入
例1、已知圆
C
1
：
x?y?2x?8y ?8?0
，圆
C
2
：
x?y?4x?4y?2?0
，试判< br>断圆
C
1
与圆
C
2
的关系。
思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？

（二）解决问题
圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。
判断方法：
方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。
方法二：依据圆心距
l
= |
C
1
C
2
|与两半径长的和
r
1
?r< br>2
或两半径的差的绝对值
|r
1
?r
2
|
的
大小关系，判断两圆的位置关系：
（1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；（2）当
l ?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
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2222

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（4）当l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含。

解法一：联立方程组，相减得：
x
+ 2
y
– 1 = 0，代入圆的方程，并整理得：
x
2
?2x?3?0
，因为△ > 0，所以两个圆有两个公共点。
解法二：因为
C
1
(?1,?4),r1
?5;C
2
(2,2),r
2
?10
，所以
|C
1
C
2
|?35
，
得
5?10?35?5? 10
，所以
|r
1
?r
2
|?l?r
1
? r
2
，两个圆
相交。

反馈练习：课本P130练习。

（三）知识拓展
1、如果两圆相交，其交线的方程是什么？
探究：由例1求出两圆的交线方程（两点式），你有什么发现？为什么？
结论：联立方程组，消去二次项即得两圆交线的方程。
2、圆系：过两圆
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
x?y?D< br>2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点
的圆系：< br>(x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
)?
?< br>(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
。
（四）知识迁移：求圆的切线方程
22
例2、已知圆
O
：
x?y?4
，分别求过点
A
（1，
3
），
B
（2， 3）的切线方程。
22
分析：（1）因为
1?(3)?4
，所以点
A
在圆
O
上，
k
OA
?3
，所以过点
A< br>的切线方
2222
2222
程为
y?3??
2
3(x?1)
，即
x?3y?4?0
。
3
2
（2）因为
2?3?13?4
，所以点
B
在圆外，设过点
B
的切线方程 为
y –
3 =
k
(
x
–
2)，即
kx – y
– 2
k
+ 3 = 0，所以
|?2k?3|
k
2
?1
?2?k?
5
，又直线
x
= 2过点
B
且是圆
12
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的切线，所以过点
B
的切线方程为
x =
2或5
x
– 12
y
+ 26 = 0。
归纳： 求过点
P(x
0
,y
0
)
向圆
C
：
(x?a)?(y?b)?r
所引的切线方程的方法：
（1）
P
在圆内，没有切线；
（2）
P
在圆上，仅有一条 切线，其斜率为
k??
222
1
k
PC
；
（3）
P
在圆外，有两条切线，设其斜率为
k
，根据圆心到直线的距离等于半径可得 。
反馈练习：求过点
E
（3，5）向圆C：
x?y?4x?6y?12?0
所引的切线方程。
（五）课堂小结
（1）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（2）如何求两个圆的相交弦所在直线的方程？
（3）如何求过点P的圆的切线方程？

（六）作业：课本P132，习题4.2 [A组]4，7；圆的切线方程练习。
板书设计：






教学反思：





22
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法：经历用坐标法解决几何问题 的过程，体会用“数”解决“形”的问题的
具体应用。
3、情感态度与价值观：通过观察图形 ，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分
析问题与解决问题的能力。
二、教学重点、难点：
直线与圆的方程的应用。
三、教学过程
（一）实例引入
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心 位于轮船
正西70km处，受影响的半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km 处，如
果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
（二）解决问题
（ 1）建立坐标系：以台风中心为原点
O
，东西方向为
x
轴，建立直角坐标系（ 如图）；
（2）将平面几何问题转化为代数问题：
圆形区域所在圆
O
的方程为：
x?y?900
；
轮船航线 所在直线
l
的方程为：
22
xy
??1?4x?7y?280?0< br>；
7040
问题归结为判断圆
O
与直线
l
有无公共点。 （3）解决代数问题：
d?
280
16?49
?
280
?35?30?r
；
8
（4）获得几何结论：这艘轮船不会受到台风的影响。
总结：用坐标法解决几何问题的步骤：
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实用标准文档 < br>第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何
问题转化 为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。

（三）应用举例
例2、如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度
AB
= 20m，拱高
OP
= 4m，
建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱
A
2
P
2
的高度。（精确到0.01m）
分析：（1）建立坐标系（如图）；
（2）如何求圆拱所在圆的方程？
x?(y? b)?r
，思路一：设圆的标准方程：圆心在
y
轴上：
22
?
?
b??10.5
?
100?b?r
?
圆过两点（10，0），（ 0，4），所以
?
。
?
22
r?14.5
?
?< br>?
(4?b)?r
222
思路二：设圆的一般方程：
x?y?Dx?E y?F?0
，圆过三点（10，0），（0，4）（–
10，0），所以圆的方程为
x?(y?10.5)?14.5
。
（3）直线
A
2
P
2
的方程：
x
= – 2；
222
22
?
x
2
?(y?10.5)
2< br>?14.5
2
?y?3.86
。 （4）如何求点
P
2
的坐标？联立方程组
?
?
x??2
（5）作答：支柱
A
2
P
2
的高度为3.86 m。

例3、已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到
一边的距离等于这条边所对边长的一半。
已知：
ABC D
是圆
O
1
的内接四边形，
AC
⊥
BD
，
O
1
E
⊥
AD
，垂足为
E
。
求证 ：
O
1
E =BC
。
分析：建立直角坐标系（如图），设
A
（
a
，0），
B
（0，
b
），
C
（
c
，0），
D
（0，
d
），如何求
O
1
的坐标？
O
1
(
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a?cb?dad1
2
1
,),E(,)
，所以
|O
1
E|?b?c
2
?|BC|
。
222222

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（四）反馈练习：课本P132，练习1，2。
（五）归纳小结：
（1）利用“坐标法”解决问题需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）用“坐标法”解决几何问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响？
（六）作业：课本P132，练习3，4。
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4.3 空间直角坐标系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简
单几何体顶点 的有关坐标，掌握空间两点间的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
2、过程与方法：通过空间 直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意
识到：将空间问题转化为平面问题是解决空 间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学
生类比，迁移，化归的能力。
3、情感态度 与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，在教
学过程中要让学生充分体会数 形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的
教育；培养学生积极参与，大胆探索的精 神。
二、教学重点、难点
重点：建立空间直角坐标系；
难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
三、教学过程
（一）创设问题情景
问题1：借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的 位置，那么空间
的点如何表示呢？
（二）知识探求
1、空间直角坐标系：
问题2：如何建立空间直角坐标系？
（1）在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。
（2）如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。
（3）空间直角坐标系的“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。
（4）在平面上画空间 直角坐标系
O-xyz
时，一般使
?xOy??xOz?135
，
? yOz?90
?
，
且使
y
轴和
z
轴的单位长度相同 ，
x
轴上的单位长度为
y
轴（或
z
轴）的单位长度的一半， 即
用斜二测的方法画。
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?

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2、思考交流：
为什么空间的点
M
能用有序实数对 (
x
，
y
，
z
) 表示？
设点
M
为空间直角坐标系中的一点，过点
M
分别作垂直于
x
轴、
y
轴、
z
轴的平面，依次
交
x
轴、
y
轴、
z
轴于
P、Q、R
点，设点
P、Q、R
在
x
轴、< br>y
轴、
z
轴上的坐标分别是
x
、
y
和
z
，那么点
M
就有唯一确定的
有序实数组 (
x
，
y
，
z
)；
反过来，给定有序实数组 (
x
，
y
，
z
)，可以在
x
轴、
y
轴、
z
轴上依次取坐标为
x、y
和
z
的点
P、Q
和
R
，分别过
P、Q
和
R
点各作一个平面， 分别垂直于
x
轴、
y
轴、
z
轴，这三个平面的唯一的交点就 是有序实数
组 (
x
，
y
，
z
) 确定的点
M
。
3、例题剖析：
例1、如图，在长方体
OABC— D
1
A
1
B
1
C
1
中，|
OA< br>| = 3，|
OC
| = 4，
|
OD
1
| = 2，写出
D
1
，
C
，
A
1
，
B< br>1
四点的坐标。
分析：
D
1
（0，0，2），
C< br>（0，4，0），
A
1
（3，0，2），
B
1
（3， 4，2）。
例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为
1
的
2
小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。如图建 立空间直角坐标
系
Oxyz
后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。





分析：
11
，，0）；
22
11111111
中层钠原子的坐标：（，0，），（1，，），（，1，），（0，，）；
22222222
11
上层钠原子的坐标：（0，0，1），（1，0，1），（1， 1，1），（0，1，1），（，，1）。
22
下层钠原子的坐标：（0，0，0），（1， 0，0），（1，1，0），（0，1，0）（
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4、反馈练习：课本P136，练习1，2，3。
（三）知识迁移：空间两点间的距离公式
1、思考：类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？
解决问题：
（1）设点
P
的坐标是 (
x
，
y< br>，
z
)，求点
P
到坐标原点
O
的距离。
如 图，设点
P
在
xOy
平面上的射影是
B
，则点
B< br>的坐标是 (
x
，
y
，0)，
在平面
xOy
上，有
|OB|?x
2
?y
2
，
22
在Rt△
OBP
中，根据勾股定理，
|OP|?|OB|?|BP|

因为 |
BP
| = |
z
|，所以
|OP|?x
2
?y
2
?z
2
。
2222
（2）探究：如果 |
OP
| 是定长，那么
x?y?z?r
表示什么图形？
表示空间中以原点
O
为圆心，
r
为半径的球。
（3）空间两点间的距离公式：
设
P
1
(x
1
, y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2,y
2
,z
2
)
在平面
xOy
上的射
影分别为
M(x
1
,y
1
,0)
，
N(x
2
,y
2
,0)
，
所以
|MN|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
，
过点
P
1
作
P
1
H
⊥P
2
N
于
H
，则|
MP
1
| = |
z
1
|，|
MP
2
| = |
z
2
|，所以|
HP
2
| = |
z
2
–
z
1
|，
在
Rt?P1
P
2
H
中，|
P
1
H
| = |
MN
|，
所以
|P
1
P
2
|?|P< br>1
H|?|P
2
H|?
22
(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
；
结论：空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，< br>P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式：
222
。
|PP|?(x?x)?(y?y)?(z?z)< br>12121212
思考：该公式与平面上两点间的距离公式有什么联系？
3、反馈练习：课本P138，练习1，2，3，4。
（四）归纳小结：我们学到了什么？
1、空间直角坐标系：用空间直角坐标系刻画点的位置，根据点的位置表示出点的坐标。
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2、空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式：
|P(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
。
1
P
2
|?
（五）作业：课本P138，习题4.3 [A组] 2，3。
板书设计：






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