高中课程标准数学必修2

高中课程标准?数学?必修2
4.2 直线、圆的位置关系
主备教师: 范天华
一、教学内容及其解析
1、内容:直线与圆、圆与圆的位置关系。
2、解析：
本节课是学生在初中已经学习了直线与圆、圆与圆的位置关系，并且能用几何的方 式判断直
线与圆、圆与圆的位置关系的基础上进一步学习用直线的方程，圆的方程去判断它们之间的位置
关系。处理的关键是如何把几何直观上的关系转化为方程之间的关系。教材是通过对具体例子的
分析探究，寻找到了用方程来判断直线与圆、圆与圆位置关系的方法。

二、教学目标及解析
1、目标
《课程标准》对本模块、本章和本节的内容要求是：
能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
（1）理解用直线方程、圆 的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系的方法，能根据所给的直
线和圆的方程判断出它们之间的位置关 系；
（2）能解决一些直线与圆、圆与圆位置关系有关的问题。
2、解析
根据《课程标准》对本模块、本章和本节的内容提出的要求，这两节课的教学目标定位应该
是：
（1）清楚直线、圆与它们的方程之间的对应关系，能够把几何直观上判断直线与圆、圆与圆
的 位置关系的方法转化为用直线、圆的方程来判断。
（2）给定直线和圆的方程，能熟练地判断出它们之间的位置关系。
（3）根据直线与圆、圆 与圆的位置关系解决一些与之有关的简单问题，如求圆的切线方程，
求弦长，判断圆的大小等。
（4）根据直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及与之相关的问题的解决，体会“数形”结合
的思想， 感受解析几何研究几何问题的方式。

三、教学问题诊断分析
1、学生在把几何判 断直线与圆、圆与圆的位置关系转化为用方程来判断的理解上可能会有困
难。原因是学生对解析几何研究 几何的方式认识还不到位，把“数”和“形”的结合的意识还不
强，转化的能力还比较低。解决的办法是 教师结合实例引导，关键是使学生清楚为什么可以这样
做。
2、解决一些与位置关系有关的问 题时，学生也可能会遇到困难。原因还是学生不能把“数”
和“形”很好地结合，不能很好地利用“形” 来寻找解决问题的方式。在教学中教师也是可以通
过实例加以解释和说明。

四、教学过程设计
（一）教学基本流程

探究直线与直线与圆位置关探究圆与

创设情，

圆的位置关圆的位置

引

入

课

系

的运
用：
切
题 系的方法
线，弦长问题。 关系


小结 配餐

目标
复习 作业

检测

（二）教学情境
1、创设情境，引入课题
问题1、一艘轮船在沿直 线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正
西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，
如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
设计意图：创设问题的实 际背境，感受学习直线与圆的位置关
港口
系的必要性及解析几何在解决实际问题中的运用。 < br>师生活动：师生共同分析此问题，可以发现此问题就是直线与
圆的位置关系的问题，引出本节要研 究内容。
轮船




4.2.1 直线与圆的位置关系
2、直线与圆的位置关系
问题2、在平面几何中，直线与圆有几种位置关系？如何判断直线与圆的位置关系？
设计意图 ：回顾直线与圆的三种位置关系及如何从几何直观上判断直线与圆的这三种位置关
系，培养学生看图及分 析图形的能力，为后面用方程判断直线与圆的位置关系做准备。
师生活动：（1）直线与圆有三种位置关系：
①直线与圆相交：有两个公共点；
②直线与圆相切：只有一个公共点；
③直线与圆相离：没有公共点。
（2）判断方法：
d
r
dr
相切
r
d
相离相交

①由公共点个数判断；
②由圆心到直线的距离与半径进行比较判断。
相交：
d?r
相切：
d?r
相离：
d?r

问题3、已知直线和圆的方程，如何通过方程判断它们之间的位置关系？
设计 意图：通过此问题，引导学生得到用方程判断直线与圆的位置关系的方法，培养学生数
形转化的能力。
师生活动： （1）由交点个数可以通过判断直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断，
方 程组的解即为直线与圆的交点坐标；
（2）可以由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较来判断。
例1、已知直线
l:3x?y?6?0
和圆心为C的圆
x?y?2y?4?0，判断直线
l
与圆的位
置关系；如果相交，求它们交点的坐标及弦长。
设计意图：及时巩固所学知识，在讲解过程中，注意发挥学生的自主性，加深对两种判断直线
与圆位置关 系方法的理解。
师生活动：教师引导，师生共同完成。


3、直线与圆位置关系的运用
1）弦长问题
22
例2 、已知过点
M
?
?3,?3
?
的直线
l
被圆
x?y?4y? 21?0
所截得的弦长为
45
，求直
22
线
l
的方 程。


2）切线问题
例3、已知过点
P
?
3 ,2
?
的直线
l
与圆
x?y?4
相切，求直线
l< br>的方程。
22

变式练习1，求圆C的半径
r
，使直线l:3x?4y?12?0
与圆C：
?
x?4
?
?
?< br>y?3
?
?r
有如
2
22
下的位置关系：
（1）相交；（2）相切；（3）相离。


设计意图：让学生结合图形， 熟练地运用直线与圆的位置关系解决一些简单的弦长问题，切
线问题等。
师生活动： 让学生分析自己的解题思路。

4.2.2圆与圆的位置关系
4、圆与圆的位置关系
问题4、圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？
设计意 图：回顾两圆的位置关系，观察图形寻找用方程判断两圆位置关系的关键是把圆心距
与两圆半径的和与差 的绝对值进行比较，体会数形结合的思想。
师生活动：（1）平面内两圆有五种位置关系：
相交；外切；相离；内切；内含。
（2）两圆位置关系的判断方法：






r
1
C
1
d
C
2
r
2
C
1
r
1
d
r
2
C
2
r
1
C
1
d
r
2
C
2
相交 外切 相离
r
1
?r
2
?C
1
C
2
? r
1
?r
2

C
1
C
2
?r
1
?r
2

C
1
C
2
?r
1
?r
2











r
1
r
2
C
1
d
C
2
C
1
r
1
r
2
d
C
2
内切
C
1
C
2
?r
1
?r
2
内含
C
1
C
2
?r
1
?r
2


（3）两圆的位置关系能用方程组解的个数来判断吗？


< br>2222
例4、已知圆
C
1
:x?y?2x?8y?8?0
， 圆
C
2
:x?y?4x?4y?2?0
，试判断圆
C
1与圆
C
2
的关系。
设计意图：巩固方法，并培养学生解决问题的能力．
师生活动：引导学生一起完成。


变式练习2：
两圆
C
1
:x
2
?y
2
?6x?4y?12?0
和C
1
:x
2
?y
2
?14x?2y?14?0
的位置关系是

A．相交 B．外切 C．内切 D．内含


5、共交点圆系方程
2222
问题5、已知圆
C1
:x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0和圆
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F2
?0
相交，
证明方程
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?
?0
?
?
?R
?

表示的图形必过圆
C
1
与
C
2
的交点。

例5、求圆心在直线
x?y?4?0
上，并且经过圆
x?y?6x?4?0< br>与圆
22
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交 点的圆的方程。

变式练习3、求圆
x?y?4?0
与圆
x?y? 4x?4y?12?0
的公共弦长。

6、课内目标检测
（1）已知直线
4x?3y?35?0
与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。 < br>（2）判断直线
3x?4y?2?0
与圆
x?y?2x?0
的位置关系 。
（3）已知直线
l:y?x?6
，圆
C:x?y?2y?4?0
。试判断直线
l
与圆C有无公共点，
有几个公共点。
2222
（4 ）已知圆
C
1
:x?y?2x?3y?1?0
，圆
C
2:x?y?4x?3y?2?0
，判断圆
C
1
与
2222
22
22
圆
C
2
的位置关系。

7、课堂小结
问题6、今天我们主要学习了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法，请回顾本节所学的内
容 ，总结一下，如何用方程为判断直线与圆、圆与圆的位置关系？
设计意图：回顾本节所学的内容，清楚用方程来判断直线与圆、圆与圆的位置关系的方法。
师生活动：教师引导学生完成。




7、配餐作业
一、基础题（A组）

1、判断直线
4x?3y?50
与圆< br>x?y?100
的位置关系。如果相交，求出交点坐标。


2、求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：
（1）圆心为
M
?< br>3,?5
?
，且与直线
x?7y?2?0
相切；
（2）圆心在
y
轴上，半径长是5，且与直线
y?6
相切。

3、求以
N
?
1,3
?
为圆心，并且与直线3x?4y?7?0
相切的圆的方程。

4、求直线
l:3x?y?6 ?0
被圆
C
：
x?y?2x?4y?0
截得的弦AB的长。

二、巩固题（B组）
1、求经过点
M
?
2,?2
?
以及圆
x?y?6x?0
与
x?y?4
交点的圆的方程。
2222
22
22


2、求圆心在直线
3x?y ?0
上，与
x
轴相切，且被直线
x?y?0
截得的弦长为
2 7
的圆的
方程。


3、求经过点
M
?
3,?1
?
，且与圆
C:x?y?2x?6y?5?0
相切于点
N< br>?
1,2
?
的圆的方程。
22



三、提高题（C组）
1、已知圆
C:x?y?4
，直线
l:y?x ?b
，当
b
为何值时，圆C上恰有三个点到直线
l
的距
离都 等于1。



22

2、如图，圆
x?y ?8
内有一点
P,2
?
，
AB
为过点
P
0
且倾斜角为
?
的弦。
0
?
?1
22
（1 ）当
?
?135
时，求
AB
的长；
A
0
y
（2）当弦
AB
被点
P
0
平分时，写出直线
AB
的方程。

P
0
O
B
x